Objei de celte noie complémentaire

Parmi les exemples que l'on peut donner de la loi exposée au n" 8 (p. 36}, touoliant les pliénomènes naturels produits dans des milieux illimités et que régissent des équations aux dérivées partielles, le plu,s grand nombre peut-être se rapporte à des cas où, quand les variables indépendantes se réduisent à deux, l'équation aux déri\ées partielles est de la forme binôme

(*) Plusieurs estraitç de ce Mémoire ont paru dans les Comptes-Rendw de l'Académie des sciences <1e Paris {2, 9 et 'IB janvier 1882; 20 février, 10 avril, 5 juin et n juillet 1882 ; 16 juillet , 15 octobre , 23 octobre et 19 novembre 1883 ; t. XGIV, p. 33, 71, 127, 514, 1044, 1505 ; t. XCV, p. 123; t. XCVII , p. In4 , 843 , 897 et 1131).

tp y désigne la fonction considérée, s et ^ les deux variables dont elle dépend, 2n etn les ordres respectifs, doubles l'un de l'autre, des deux dérivées partielles de tp qui entrent dans l'équation, enfin, A, un coefficient constant. C'est ce qui arrive, notamment :

1^ Pour lesproblèmes relatifs au mouvement de la chaleur dans les milieux athermanes, homogènes et isotropes, puisqiie, si a est un certain coefficient dépendant de la nature du corps, la température f, à l'époque f et au point du corps dont les coordonnées rectangulaires sont x, y^ z, vérifie, comme on sait, Téquation aux dérivées partielles

d^'f di<D d\ 1 df

réductible, par conséquent, à

2 bis] —i- ^ = o .

dans le cas simple où <i ne dépend que d'une seule des trois coordonnées;

2" Pour les questions qui concernent le mouvement transversal des barres homogènes droites et des plaques homogènes planes; car, si l'on suppose l'axe de la barre, dans son état naturel, choisi comme axe des x, et le feuillet moyen de la plaque pris de même pour plan des xy, le déplacement transversal cp, à l'époque t, du tronçon élémentaire quelconque d'abscisse x ou de coordonnées x, p, sera rég', dans le cas delà barre, par une équation telle que

' dx^ a« dfi '

et, dans le cas de la plaque, par une autre, ,„ ,., d\ „ 1^*? d^'f 1 dH

yGoosle

qui revient bien à la précédente (3) quand ^ n'y dépend pas de^;

3" Eniin, pour le problème des ondes que font naitre, à la surfane d'uit liquide pesant et profond, l'enlèvement brusque d'un solide immergé, ou l'application momentanée d'un certain excédent dépression sur une partie de la surface, comme il arrive lors d'un coup de vent; car la fonction ip, dont les trois dérivées en x, y, z égalent les composantes, u, V, m, de la vitesse subséquente en chaque point (x, '//, z) du fluide et à l'époque t, satisfait à l'équation

^ ' (U^ ^ \diifl dfl

ainsi qu'il sera démontré; et cette équation rentre bien encore dans le type (1) quand 9 devient indépendant de 1/.

Or l'équation {ij, et même celle-ci, comprenant (2) et (3 bis) .,

\dw^ df- I (ïct"

OÙ la variable unique s se trouve remplacée par les variables en nombre quelconque iP, y, ..., comportent deux formes très simples d'intégrales, qui donnent la solution de tous ces problèmes dans le cas d'un corps ou d'un fluide à dimensions indéfinies, et qui, de plus, établissent entr'eux un lien permettant de les embrasser d'un point de vue commun. C'est ce point de vue général que je me propose ici de montrer, avec quelques-unes des lois physiques qu'il met en évidence.

J'aurai, en premier lieu, à faire connaître les types d'intégrales dont il s'agit, en commençant par l'équation (1), à deux variables indépendantes seulement.

2. — Propriété de certaines intégrales définies , contenant sous le xignefle produit de deux fonctions arbitraires.

Pour arriver à ces solutions de l'équation (1), considérons d'abord l'intégrale définie

où a est un paramètre positif et f^ <[' deux fonctions arbitraires, astreintes seulement à donner à l'intégrale une valeur finie, bien déterminée. Si nous la différentions par rapport à s sous le signe /, il viendra

ou bien, en remarquant que — ^est, au signe près, la

différentielle de — , puis posant ^ t= ^J et observant qu'aux valeurs zéro et oo de ^ il correspond les valeurs co et zéro

Or cette nouvelle intégrale, où r'en n'en^pècberait d'appeler * la variable d'intégration qui s'y irouve désignée par p, ne diffère de {5j qu'en ce que, sous le signe /, la fonction -î^, où paraissait le paramètre s, est remplacée par

sa dérivée -Y et cesse de dépendre de la variable — pour dépendre de —, tandis que, an contraire, la variable -^ fait place, dans l'autre fonction f, à ~^. Ainsi, Tm^y-

grale (5) conserve, dam la différentiaiion par rapport à s, sa forme essentielle, puisqu'elle a pour dérivée

Par suite, la dérivée seconde, évaluée en différentiant de même (6), sera

Donc, on ohtimtla dérivée seconde de l'intégrale (5), grâce, à la forme particulière de celle-ci, m différentiant une seule fois, sous le signe/, chacun des deux facteurs arbitraires f ^,

par rapport à la variable, -^ on -^, dont il dépend. Et l'on

aurait de même, successivement, la dérivée d'un ordre quelconque de f par rapport à s.

Toutefois, ces règles ne sont applicables qu'autant que chacune des intégrales différentiées comporte le procédé usuel de différentiation sous le signe/; ce qui exige que l'intégrale obtenue existe, comme la proposée, en tant que quantité parfaitement définie, et que l'incomplète détermination de la limite supérieure infinie ne nécessite pas l'adjonction, dans la dérivée, d'un terme spécial. C'est ce que l'on recoimaîtra d'ordinaire, aisément, en se donnant d'abord pour limites de l'intégrale (5), au lieu de

zéro et co , les deux quantités es et — , où e et ej désignent

deux nombres positifs très petits, indépendants de s, et en examinant ce qui arrive lorsqu'on fait tendre ces deux nombres vers zéro. Comme le rapport — diminue de — à siS pour a grandissant de ii' à — , les éléments de l'intégrale

/ '''^'T') "^ (tt) '^"^ '1^'^ ^^"^ cessent pas de lui appar-

tenir quand s croît de ds auront en tout la dérivée

/ ^/'(ôt) '^' ("V '^'^' analogue pour la forme (y compris môme les limites) à l'intégrale proposée, et qui devra, comme celle-ci, rester finie et déterminée à l'instant où s et £i s'annuleront , sans quoi la règle de différentiation formulée serait en défaut. Mais la dérivée cherchée comprendra encore le terme — s f r-^-l 'l' i-^] , provenant

des él'éments perdus par l'intégrale lors de raccroissement sds de !a limite inférieure. Il faudra donc aussi que ce terme s'annule pour s :^ o , ou, autrement dit, en le multipliant par — s elremettaat h au lieu de îs, il faudra que l'on ait

is; ■f{T)*{ê]=° '•'™" = °'-

Cela posé, et en vue de rendre l'expression (5) de o intégrale de l'équation (1) [p. 357] , faisons-la dépendre de la seconde variable ^, sans changer sa forme par rapport à s. Il nous suffira, pour cela, d'ajouter, sous le signe/, +i à la variable de Tune des deux fonctions f, '{j, à celle de la première, par exemple. Au fond, cela rendent à écrire, sauf tout au plus un changement de notation pour f,

Alors /'continue, comme dans (5), à ne dépendre de a que

par l'intermédiaire de la fraction —, et sa dérivée y™' par

rapport à celle-ci , dérivée qui entrera , d'après ce qu'on

vient de voir, dans l'expression de --^,est(~ yff"^U^~j, On aura donc

Et la dérivée suivante sera évidemment

On suppose, toutefois, que ces expressions soient parfaitement finies et déterminées, et aussi, d'après la condition (8), que les produits

s'annulent à la limite a = o. C'est ce qui arrivera dans tous les exemples que nous aurons à traiter ci-après; caries fonctions placées sous le signe/dans les intégrales considérées, savoir /■ ^^ ^: ^j ^ (^j , /" (<^ T -^j V [y) ' ^^*^- ' ne cesseront d'y être finies pour aucune valeur de a. II est vrai que, dans la dernière des questions que nous aborderons, celle des ondes liquides, les facteurs <|j"[^ , '!'"' (^ ,

etc. , deviendront infinis quand « s'annulera : mais ils seront multipliés respectivement, sous les signes/, par les

dérivées f (.*^^n~i")) /"{^ -^ô~i) > ^-^^^ ; 1^^ > prises alors pour des valeurs infinies de leurs variables, se trouveront être, vu les données de la question, incomparablement

■plus petites, que les autres, V'{~^]j V"[^]> •-., ne seront

grandes ; de sorte qu'on aura des produits , non seulement finis, mais nuls.

Quant aux dérivées de rp par rapport à s, elles ne donnent lieu à aucune difficulté spéciale, si l'on suppose les fonctions f, f, f, ... continues pour toutes les valeurs de leurs variables; et il suffira évidemment que l'intégrale (9)

soit bien déterminée, pour que, en y faisant croître « de (^T, elle reçoive l'accroissement, bien déterminé aussi,

d'y 1 fi"^^ 'YJ ^ \Y^] ^°^' ^^ viendra donc générale-

ment

,9. — Intégration générale de l'équation aux dérivées partielles

L'expression (9) contenant, sous le signe/, deux fonctions arbitraires /'et ^, choisissons l'une d'elles, ^ par exemple, de manière que cette expression satisfasse à Téquation aux dérivées partielles proposée (1) [p. 357] , et nous conserverons, de la sorte, l'autre fonction arbitraire, f, disponible pour vérifier les conditions spéciales, comme celles dites d'étal initial.

D'après les foi'mnles générales (10) et (12), on aura

Tous les éléments de l'intégrale du second membre seront nuls , si , appelant y, pour abréger , lo rapport ^-^, on pose

Ainsi, l'équation proposée (Ij se trouvera satisfaite par l'expression (9) de f, toutes les fois qu'on prendra pour la fonction 4" une intégrale de l'équation différentielle (14),

qui est de l'ordre rà'"' et linéaire à coefficients coiistaais. Comme une telle équation admet toujours n intégrales distinctes, on obtiendra en tout, vu le double signe :;:, 'in expressions de la forme (9), ayant, cliacune, leur fonction arbitraire /. Et la superposition de ces 2m intégrales particuKères devra bien donner l'intégrale générale de (1), puisque celle-ci ne comporte pas plus de 2 ?ï fonctions arbitraires. Toutefois, les fonctions dont il s'agit, /, devront perdre en partie leur généralité, et s'annuler à l'intérieur d'intervalles plus ou moins grands, quand il faudra, dans (9), faire égal à zéro le facteur f à l'une des limites a = o, « = 00 , ou à toutes les deux, pour reiidre l'expression (9) bien déterminée et ses dérivées calculables par la règle qui a été suivie.

Mais la forme même de l'équation (1) montre que, si une

certaine fonction ^p la vérifie, sa dérivée -j- , mise à la place de y. la vérifiera également. Donc, la dérivée de (9) par rapporta s, { /' ['^ k^") 4^' (v) '^'^i constitue ellemême une intégrale de (1). Appelons-la. elle aussi, f, en y remplaçant, du même coup, i/ par ^ ; car \' est une valeur de "J;, vu que l'équation différentielle (14) ne cesse pas, elle non plus, d'être satisfaite par la substitution à une intégrale de sa dérivée. Ainsi, l'équation (1) comportera, tout à la fois, %n solutions de la forme (9) et 2» autres, ayant également leur fonction arbitraire f, de la forme

On aurait, du reste, obtenu directement celles-ci (15), en introduisant + <?, dans (5), non à côté de -^ , mais à côté de -g-^ , et en échangeant entr' elles /, A.

On voit que l'intégrale générale de (1) pourra être formée,

soit avec les 2 n solutions du premier type, (9), soit avec les 2 ïî- du second type, (15), soit, enfm, avec 2 n combinaisons des deux types, que l'on clioisira, chaque fois, de manière à satisfaire le plus simplement possible aux 2 n conditions accessoires propres à la question, posée.

Observons, à cet égard, que les fonctions arbitraires, /, contenues dans (9) et (15), s'y présentent assez avantageusement pour la vérification de conditions, analogues à celles dites d'état initial, se rapportant à la valeur s = o, comme 11 y en fiura toujours quand s sera la variable p)-incipale, c'està-dire quand ce sera pour certaines valeurs de s, notamment pour s =o, que des relations spéciales données permettront de connaître, en fonction de t, les valeurs de u ou de

ses premières dérivées, -j- , — j- , ■ ■ ■ , prises par rapport a s. En effet, s'il s'agit du type (9j, la dérivée , - ^j , d'un

ordre impair quelconque % p ■+■ 1, s'y réduit, d'après (11), pour i' = 0 , au produit de f"'' [^) par le facteur constant

[, \y j 4'''^''' r^) f^'^'j de sorte que, donner en fonction de n la valeur misais (ou correspondant à s = o) de cette dérivée, cela équivaut à donner la dérivée f'"^ [n] de la fonction arbitraire /à introduire dans (9). Et s'il s'agit du type (15), obtenu en différentiant (9) une fois par rapport à 5, ce sera évidemment la fonction 'f elle-même, ou une de ses dérivées d'ordre pair en s, dont la valeur initiale se trouvera exprimée, à un facteur constant près, par /(<!■), ou /" (<t-), ou f" (ï) , etc. ; car la relation (15), différentiée 2 p fois , donne

comme valeur de j~ , à la limite s = o. le produit de

(+l)''jf°*"'(4) <«^ par /'" (.).

D'ailleurs, les dérivées de f [y compris la fonction f ellemême s'il s'agit du type (9)] qui, à la limite s = o, ne se réduisent pas ainsi au simple produit d'un facteur constant

par f\'^) ou par une de ses dérivées, y deviennent^ à pai'L encore un facteur constant, delà forme / . /''" U -^—-j dx, où la fonction placée sous le signe/dépend toujours de la seule variable n t;: —, quelle que soit la fonction -{j. c'est-àdire la solution particulière de (14), que l'on considère.

Admettons,par exemple, qu'il s'agisse de cas où, avariant de zéro à 1: œ j » des conditions spéciales, relatives à la limite 5 = :!: œ , consistent à y annuler asymptotiquement », pour les valeurs tant finies qa^m/imes négatives de t, et où les 71 autres conditions, spéciales à la limite s = 0 , soient exprimées par des relations linéaires, à coefficients constants . entre -s , diverses de ses dérivées prises les unes par rapport as, les autres par rapport à t, et des termes tout connus en fonction de t. On satisfera aux conditions relatives à s =:î: 00 en posant /'(— 00) = 0 et en excluant les n solutions (9) ou (15) où seraient pris les signes inférieurs -h. En

effet, dans ces solutions, les deux variables, <t -1- y et <r + ^ ,

dont dépendent les fonctions f. reçoivent toutes les valeurs

finies possibles quand, la variable-— ^ou-^de la fonction ^

étant finie , on fait s'^ très grand et c- très grand négativement; de sorte qu'il faut poser identiquement /=o pour annuler alors f quelle que soit la très grande valeur négative attribuée à 1. Au contraire , les solutions (9) ou (15) prises avec les signes supérieurs — donneront ^ = 0 . pour s^ infini et pour toutes les valeurs finies ou infinies négatives de tr, pourvu qu'on pose seulement /( — x ) = 0. Il restera donc, pour satisfaire aux n relations linéaires, spéciales à ^ = 0, qu'on peut qualifier de conditions ffétat initial, ces 2 n solutions particulières (9) ou (15), ayant,cbacune, leur fonction arbitraire /, mais prises toutes avec le signe supérieur — . D'après ce qu'on vient de dire, l'expression de 'j composée de tou tes ces solutions, et ses dérivées

successives, ne contiendront, à la limite 5 = 0, que deux sortes de termes, les nns^de la forme /"(o), comme les termes tout connus des relations considérées, les autres, de la forme

/ iT ~] dx. Chacune des n relations linéaires se

dédoublera donc en deux, si on y égale séparément les termes finis, ou de la première forme, et, séparément aussi, les termes placés sons le signe/, tous dépendants de la même

variable, t — — , qu'on pourra, sans inconvénient, remplacer

ensuite par t. Et l'on obtiendra bien, de cette manière,entre les 2 n fonctions /et leurs dérivées, les 2 7i équations (finies ou différentielles) nécessaires pour déterminer ces fonctions arbitraires f.

On verra plus loin (n"' 10, 16 et 22) des applications de cette méLliode.

Quand la variable principale n'est plus s, mais ^, ou que, pour (T = 0, cp et ses K — 1 premières dérivées en c- sont connues en fonction de s, les formes (9) et (15) cessent de convenir. Nous verrons au n" 7 comment on peut, souvent, former alors l'intégrale générale, en superposant certaines solutions particulières que fournit le type (9).

4. — Autres formes d'intégrales , permettant de satisfaire plus directement à certaines conditions d'état initial.

Mais cherchons, en n'annulant pas séparément, dans (13), tous les éléments du second membre, à trouver encore d'autres formes d'intégrales, qui pourront être mieux appropriées à certains problèmes. Observons, dans ce but, que le second membre de (13) serait exactement iutégrable, si la quantité

Pl)%"(^)-A,(^), fonction de -^-j , égalait le quotient d'un facteur constant K,

quelconque, par la racine carrée de sa variable ; car, alors,

le produit de. cotte quantité par doi. vaudrait - — d-^^ et le second membre de (13) deviendrait

Donc, si l'on détermine 4*, non plus par l'équation différentielle (14), mais par celle-ci,

où K désigne un nombre constant quelconquOj î'expression (9) de f donnera

C'est cette dernière équation aux dérivées partielles, avec un second membre fonction de s et de <t, que la valeur (9) de y vérifiera, et non l'équation proposée (1) [p. 357]. Mais, comme le second membre de (17) est

quand on prend, dans (9), le signe supérieur, et

quand on y prend, au contraire, le signe inférieur, il suffira de faire y égal à la somme des deux fonctions ainsi représen-

tées successivement par (9), pour que l'expression -7-^ h- A-j^

se forme également par l'addition des deux précédentes et soit égale à