EV

Ainsi, la somme considérée vérifiera l'éciuation aux dérivées partielles

dont le second membre no dépend plus do <t. Ce second membre sera même nul, et l'équation (18) ne différera pas de la proposée (1), si la fonction /, d'ailleurs arbitraire, est astreinte à ce que sa dérivées — 1*"' tende vers une même limite quand sa variable devient soit infinie positive, soit infinie négative. C'est ce qui arrive, en particulier, lorsque l'énoncé de la question implique que la fonction /"s'annule ou, du moins, s'approche indéfiniment de zéro , pour les valeurs absolues très grandes de sa variable.

La fonction rp, somme de deux intégrales de la forme (9), aura pour dérivées successives par rapport à $ des fonctions composées, de même, de deux intégrales, dont la forme sera, alternativement, (15) et (9). On voit, de plus, en différentiant l'équation (1) par rapport à 5, que toutes ces dérivées constitueront, ellçs aussi, des intégrales de (1), affectées de fonctions arbitraires, qui seront /", ou f, ou /"', etc., mais qu'on pourra supposer toutes indépendantes, en imaginant que l'on change, de l'une à l'autre, la fonction f. D'ailleurs, on n'obtiendra, de la sorte, que 2 n formes distinctes

— A -j^ , dont l'expression ne diffère de celle de a que par la substitution de — A /'"' à /. Ainsi, la forme des déri-

vées se reproduisant après 2 n différentiatioas, on ne peut avoir, par ce moyen, que 2 «solutions distinctes.

Si l'on se place dans l'hypothèse où on en obtiendrait effectivement 2», et où il n'y en aurait aucune, ni de celleslà, ni des 4/* plus simples dont il a été question au numéro précédent, pour laquelle la forme (9) ou (15) de l'expression de ses diverses parties ou de celles de ses dérivées successives en s et en <r [jusqu'à un certain ordre) devînt illusoire à la limite s = o, il est clair que la superposition de toutes ces solutions particulières, au nombre de ^n, en formerait une autre très générale, affectée de 6w fonctions arbitraires, et dont l'expression, ainsi que celle de ses dérivées en s et en ff (jusqu'à l'ordre considéré ), ne contiendrait à la limite s = 0 que des termes rentrant dans l'un ou l'autre des trois

types /'M, J^7('-4) ''«'jT" ("4) '^- °'" aurait donc alors assez de fonctions arbitraires pour satisfaire à 2re relations linéaires, où paraîtraient, pour 5 = o, la fonction 'f et les dérivées dont iî s'agit, affectées de coefficients constants; et, cela, en égalant séparément, dans chaque relation, les termes de chacun des trois types, comme on l'a fait par un dédoublement, vers la fin du numéro précédent fp. 368), quant il s'agissait de vérifier n relations où entraient des termes appartenant seulement aux deux premiers types. On pourrait essayer, par exemple, de se donner arbitrairement en fonction de c-, à la limite s = o, la fonction y et ses 2 « — 1 premières dérivées en s.

Mais laissons de côté ces considérations générales, et, pour nous borner à une solution particulière dont nous aurons besoin, admettons que îi soit un nombre pair, ou que l'ordre 2 îî- de l'équation proposée (1) égale un multiple de 4. Alors l'équation en i^, (16), peut s'écrire

et elle est la même quel que soit le signe que l'on adopte dans (9). Donc, rien n'obligera à changer la fonction ^ (y) quand on passera d'une des deux expressions (9) à l'autre, et la solution obtenue en formant leur somme sera

Observons que toute intégrale ']/{y}d.e (16) ou de (19) se compose, au plus : 1" d'une solution particulière, déterminée de manière à s'annuler, ainsi que ses. n — 1 premières dérivées, pour y ~ o; 2" et des n solutions simples , déjà considérées tout à l'heure, des mêmes équations linéaires privées de second membre, ou autrement dit, de (14). Donc l'expression (20) de cp, si on la réduit à sa partie essentielle, bien distincte, c'est-à-dire si on en ôte les termes qui sont séparément des intégrales de (1) comprises dans le type (9), se calculera en y mettant pour ^ l'intégrale particulière de (19) qui donne 4- (o)=o, ^' (o) = 0j !p"(o) = o, ..., 4i'''-''(o)=o. Cette valeur de ^, tout à fait déterminée en fonction de y, est évidemment proportionnelle à K , d'après (16); de sorte que, à un facteur constant près sans importance, la solution (20) sera toujours la même quelle que soit la valeur numérique choisie pour le paramètre K. Ainsi, l'on peut attribuer à K celle qu'on jugera la plus commode.

J)ans ces conditions, .la solution (20) jouit de la propriété de s^innuler, avec toutes ses dérivées d'ordre pair en s, à la limite s = 0 ; car, d'après la règle de différontiatiou donnée plus hautj^ et ses dérivées seconde, quatrième,..., 2 (ïï — l)*™par rapport à s contiennent respectivement, sous le signe/, les

facteurs -Jj (yt)» '{''("âTï")' ■■'■' 4''""*' [yr)' ^^^"ï^^^^ ^'^"^^" leront pour s = o, quelque valeur finie qu'on y donne à a. Et les dérivées paires suivantes s'annuleront de même ; car l'équation (1) montre que 2 m difTerentiations en s ramènent

la forme primitive, puisque y^, ayant la valeur de — ^jit

ne diffère de f que par la substitution de — A /'"' à /.

Cela n'empêchera pas de pouvoir, en outre, choisir à volonté une certaine dérivée d'ordre impair , comme , par

exemple, --7- , à la même Hmite 5 = 0 . En effet, la différen-

tiation de (20) donne

et l'on voit que celte dérivée se réduit à

Enfin, la dérivée (21) de <f par rapport à s constituera évidemment une nouvelle solution particulière de (1), se réduisant, pour s = 0, à une fonction donnée quelconque (22) de 0- et ayant, de plus, toutes ses dérivées d'ordre impair nulles à la même limite s = 0.

5. — Extension de la méthode d'intégration précédente à des équations aux dérivées partielles d'un nombre quelconque de variables indépendantes : propriétés des intégrales définies qui serviront à cet effet.

L'intégration si simple de l'équation (1), par le moyen d'expressions rentrant dans la forme (5), invite à essayer d'étendre la même méthode à des équations plus générales, obtenues en remplaçant, dans (1), chacune des deux dérivées de a par un groupe de dérivées du même ordre, relalives à plusieurs variables destinées à tenir lieu soit de s, soit de 1. Nous verrons dans l'avant-demier numéro de cette étude (n" 30) comment on s'y prendra si c'est la dérivée de l'ordre

le moins élevé, ou se rapportant à <?, qu'on remplace ainsi par tout un groupe, comme il arrive pour l'équation (3 ter) [p.359]: une telle substitution ne se présenlant, à ina connaissance, dans aucun autre problème physique que celui des ondes liquides dont je m'occuperai à cet endroit, il n'est pas nécessaire d'en traiter dès à présent. Nous nous bornerons donc, ici, au cas où c'est la dérivée de l'ordre le plus élevé 2 n, prise par rapport à s, qu'on remplace par plusieurs du même ordre, et nous considérerons, à cet effet, l'équation (4), où le le nombre des variables indépendantes est quelconque. Nous écrirons cette équation ainsi,

en désignant, au besoin, par i^ la somme symbolique ou le

d^ ^2 paramètre différentiel du second ordre ~ -i- -j^ -^- . . . , et en

substituant, pour fixer les idées, / â c. Nous imaginerons, en effet, que cette variable t désigne le temps, que les m autres variables indépendantes, a:, y . . . , soient des coordonnées rectangulaires, dans un espace à m dimensions, et que, par suite, la fonction à évaluer, tp, admette, à chaque instant t, une certaine valeur en chaque point [x, y,...) del'espace dont il s'agit.

\\ nous faudra, d'abord, généraliser la forme de l'intégrale définie (5) [p. 360], de manière à y faire entrer x, y, ..., au lieu de s, sans compHquer, s'il est possible, le mode de calcul de l'expression \ <f, qui est, actuellement, l'analogue de ce

qu'était la dérivée seconde -~. A cet effet, de même que

d^ nous avons, dans (1), substitué à —, pour en déduire (4)

ou (23), la somme

de même nous remplacerons, dans (5), ie carré / parla somme analogue

dont la racine carrée r désignera, comme on voit, la distance de l'origine des coordonnées au point considéré quelconque (a;, y,... jet, cela, quel que soit celui des trois nombres m =1, m=2, ï» = 3, qui exprimera combien il y a de coordonnées i^;, g',... ou combien l'espace considéré a de dimensions. Mais, en même temps, afin de pouvoir approprier à notre but l'expression ainsi obtenue, nous remplacerons, dans (5), l'exposant 2 de « par un exposant indéterminé ^, nous réservant d'en disposer de manière que le A3 de cette expression se calcule aussi simplement que le -—j de (5), c'est-àdire, parla substitution, sous le signe/, aux deux fonctions /"et 'l', de leurs dérivées premières f et i}-'. Nous prendrons donc

Posons, pour abréger,

Il viendra aisément

( -jr"/(T)*-i'4-ij::7'-44)^*'«-

ou bien, en intégrant par parties, et supposant le terme

(*) Voir à la fin du mémoire une' Addition ou sont démonfi'ées , un peu p!us simplement que ci-après, les propriétés de cette intégrale définie ■(), considérée comme une transformée de la précédente (5).

intégré, <y}-^ f i^\ Y \yj] > "^' ^^^^ ée,u^ limites

Il suffit donc (Pannuler m — 2 - — , ou de prendre

pour que les expressions de la forme f A [-^) t (yr) '^^ aient leur paramètre différentiel ia calculable comme on le désire , c'' est-à-dire en y remplaçant simplement, sovs le signe I> f et ^ par f, ^ . Et cette propriété leur conférera une sorte de prédisposition à fournir, comme les potentiels dont le Aa est également facile à évaluer, des intégrales aux équations de la physique mathématique, dans lesquelles les A^ des fonctions inconnues jouent un rôle considérable.

Seulement, tandis que l'utilité des potentiels se montre, ainsi qu'on l'a vu, pour intégrer des équations où ne paraissent que des dérivées d'un môme ordre pair des fonctions inconnues, c'est, au contraire, pour les équations du type (23), contenant une dérivée, par rapport à une certaine variable, d'un ordre deux fois moins élevé qiie les dérivées qui y paraissent par rapport aux autres, que ces nouvelles expressions s'emploieront naturellement.

La formule (27) donne^ = oo dans le cas w = 2, qui est celui des corps à deux coordonnées x, y^ c'est-à-dire des plaques. Alors a." et, par suite, les deux fonctions /, 4* prendront toutes leurs valeurs finies quand a sera infiniment voisin de l'unité; en sorte que, si l'on pose

„ := 1 ^ Jl ; d'où da^ — d&,

yGoosle

i] suffira de donner à — les valeurs, tant négatives quo positives, très voisines de zéro, ce qui permettra de remplacer ctp ou f 1 H j par e . Si, d'ailleurs, on fait abstraction du facteur constant —, l'expression (24) de f deviendra

(28) (pour*. ^2) ^=J f\^Le^4,\^-e j dp.

On reconnaît directement, en calculant le \ de cette expression (28) et en suivant exactement la marche qui a conduit au résultat (26), que ce paramètre i^ égale bien

I,e cas m = 3 offre nne particularité intéressante. La valeur (27) de ^ y est — 2, tandis qu'elle égale 2 pour m = l. Il suit de là que l'expression (24) de ^, si on la multiplie par r, donne alors identiquement

ou bien , en remplaçant ra par a ,

Ainsi, quand m=S, le produit rf est lui-même delà forme (24) , avec la valeur àe p, j) = 2, qu'on aurait pour f dans le cas m = 1 , mais avec permutation des deux fonctions /■, ijj. Et il est évident que l'expression r^f, transformée d'une manière analogue, aurait une forme pareille, sauf la substitution de /", Y à /, 4"- Par suite, /■A^ç se confond avec ce que serait le Aj de l'expression (29) de r^ si on avait m= 1 ou si la somme r^ = «^ + y* -h . . . s'y réduisait

au terme x', cas où i^ :

lité riaf = "jV"' spéciale à toute fonction de trois variables

X, y, z qui ne dépend que du radical r =^\j' y?- + y"- ^ z^.

Le paramètre Aj de l'expression (24) de cp prise avec la valeur (27) de ^ et, par suite, le Aa de son As, etc., ne sont pas les seules fonctions de ses dérivées qui aient des formes simples. Il en est de même de l'expression

T -7- , eénéralisation de celle , -;- ou -V- , que représente la formule (6) dans le cas m~\\ et, par suite encore, il en est de même des expressions r -—■ , r — ^ — , etc. En effet , difïerentions (24) par rapport à r. sous le signe / ; puis muUiplions par r"~ , remplaçons, dans le résultat, — da. par r d —— et, substituant k p — 1 , d'après (27),

le produit p -~ — - — - , prenons la nouvelle variable d'intégration

ç = -C- = /llj ^- ; d'où «" = r^ ^-^.

Il viendra, si nous supposons d'abord m diiférent de 2 ,

et , dans le cas m = 2 , ^ = 00 , pour lequel l'expression (28) de cf a été obtenue en multipliant par^ ,

(30 bis) (pour m = 2) r -J = jT °° / (~) f (~j d^ ,

comme on le déduirait, du reste, directement de (28), en posant, après la différentiation, j'^e— P=ï;.

On remarquera que ces expressions (30) et (30 bis) rentrent encore dans le type (24) , où l'on, ferait p= — . Et l'on reconnaîtrait, en les différentiant elles-mêmes par rapport à r , puis multipliant les résultats par r et prenant pour^ variable d'intégration-, sous le signe /, le produit a = r^~""'ï; ^^«, que

intégrale définie identique à i^f. Effectivement, f ne dépendant deœ, y,'... que par l'intermédiaire de r, un calcul direct et facile donne

M d f m-l df\

Pour m~l ou ^=2, on retrouve bien, dans (30), la formule (6), sauf les change|nënts de s en ?" et de « en K. Pour m = 3 ou^= — 3, il y a avantage à poser, dans (30), î^ s = « , d'où il résulte i^ = a', (?C — 3 a* da. et

{^0 ter) (poLirm = 3) ^i -^ ^ i f

6. — Intégration des équations proposées , pour les cas oii la distance r à l'origine joue le rôle de variable principale .

Rendons actuellement les expressions (24) et (28) de ^ dépendantes de ^ , en ajoutant 1: ^ à la variable de l'une des deux fonctions f,^: ce qui équivaut , au fond , à prendre f . 1" de l'une des deux formes

avec p = - — — , quand le nombre m des coordonnées a;, y, ... est différent de 2, et j 2°, de l'une des deux formes

(31 Ms]

a'^TJMT

quand M = 2.

Les expressions correspondaiites de ip,^)" y n'en différeront que par les substitutions de (T 1)"/^"' à / et de iJj'"' à 4"-

, qui aura encore les mêmes

formes , contiendra seulement, sous le signe/, /'"' à la place de f. Donc , l'équation aux dérivées partielles proposée (23), devenue

f" ( ' - t) h (2T,) * (- 1 )"*'•' (Ir.)] * = »■ *■■

sera satisfaite identiquement, si l'on assujettit la fonction 4" à vérifier l'équation différentielle (14), (T 1)" '}''''' -h A 4* = 0 , comme dans le cas où les m variables x , y , . . . , dont r . dépend , se réduisaient à une seule x ou s. Chacune des n formes distinctes de <^ donnant de la sorte , vu les doubles signes '^, deux solutions de la première forme (31) ou (31 bis) et deux de la seconde, avec autant de fonctions arbitraires, la superposition, soit des premières (31) ou (31 bis) , soit des secondes (31) ou (31 bis) , soit d'une association de 2 ïi groupes des unes et des autres , constituera une solution pius générale , où ne paraîtront encore , il est vrai , que les deux variables t et r, mais qui contiendra 2 » fonctions arbitraires. Or ce nombre de fonctions arbitraires est précisément celui qu'Indique, pour l'intégrale générale, l'ordre même (par rapport à r), de l'équation aux dérivées

partielles proposée , dans les cas où la fonction f ne dépend des coordonnées x, y, ... que par l'intermédiaire de r , ou est supposée avoir, à chaque instant t, valeur égale en tous les points situés à une même distance r de l'origine , et oii. cette distance r est prise pour la variable principale.

En outre , les fonctions arbitraires se trouvent engagées dans (31) et (31 Ms) , comme elles l'étaient dans (9) et (15) , d'une manière assez commode pour la vérification de conditions analogues à celles d'état initial ou se rapportant à l'origine r= o. Car, s'il s'agit des secondes expressions (31) et (31 f/is) 5 leurs valeurs pour r = o, celles de leurs A^ , des Aï de leurs V> etc., seront les produits de f{i), de f {t), de f {i)y etc., par certaines intégrales définies prises entre les limites o et oo , ou — oo et go ; et elles s'exprimeront ainsi simplement, en fonction def{l}, ou de f (i), ou de f" {(}, etc., pourvu que ces intégrales définies ne soient pas infinies ou indéterminées. De même, s'U s'agit des premières (31) et (31 bis), les produits, par r"*"', de leurs dérivées du premier ordre en r , ou de celles de leurs A^ , des ^i de leurs A^, etc., se trouveront, d'après (30) et (; proportionnels à des expressions comme

fi iT-^:-»U' Uï^Uï,

laquelle, pour r= o, devient le produit d'un certain facteur constant par /(^), pour\'u que l'intégrale j vU^'^j dK soit finie et déterminée.

Voyons, par exemple, à quelles conditions les valeurs de !p données par les secondes expressions (31), (31 Ms), et celles

de r"""*-^ déduites des premières (31), (31 lis), restent

ainsi finies et déterminées à la limite r = o.

Et,' d'abord, s'il s'agit des secondes (31), (31 bis), ^ s'y

réduit , pour t~o, au produit de f{i) par j 'P [— } df.

'a ou

par / -1 {-^e j dp. Or, en posant soit a" = S*, soit e = k^, ou

les intégrales J n^")'^*' / 'f' (i^' ) '^ ? deviennent, toutes les deux, à part un facteur numérique fini, ^ (~k") ^ (^ ?■ On voit donc que ces valeurs de f pour r = 0 seront finies et proportionnelles à /"(^ si l'intégrale / "^ (■y) ^*~"' '^^ ^^* eîle-mèmo finie et déterminée, tandis qu'elles seront infinies si elle est infinie. Le second cas se présentera pour m égal ou supérieur à 2 ., toutes les fois qu'on n'aura pas ij; (o) = o ; car , alors , à la limite inférieure ^ = 0, le facteur infini i ~™ rendra évidemment infinie l'intégrale I ^ ("ô") ^ ™ (^ ^. C'est ce qui arrivera, par exemple , dans les applications empruntées à la théorie analytique de la chaleur, où ^ (y) sera une exponentielle telle que e"^, donnant i}* (o) = 1. Dans tous les cas de ce genre, les secondes formules (31) et (31 bis) ne pourront donc pas, pour les corps de plus d'une diinension, être employées à la limite r = o, où elles rendraient f infini.

11 n'en est pas, heureusement, toujours de même clés premières formules (31) ou (31 bis) , en ce qui concerne les valeurs qu'y prend l'expression r""'-^ â la limite r = o. Cette expression, abstraction faite du coefficient numérique y ! 11 quand m diffère de 2, devient alors, d'après.

(30) et (30 te), le produit de /■(^} par f^ Y li^^) (^^- Or, si nous posons

C™=?; d'où dl,^mi'"~^ di,

yGoosle

l'intégrale 1 Yi^^'^j'^-W^^^^''^^^^^'^^'^'^^^'^^ f Vlir]^'"' '^^'i et l'on voit que la fonction sous le signe / n'y deviendra pas infinie à la limite S = o. De plus, le facteur ^"~', en grandissant indéfiniment, pour m y 1, h la limite supérieure, n'empêchera pas l'intégrale d'être déterminée, du

moins lorsque l'autre facteur Y [^) ^^era lui-même une

exponentielle décroissante, dont la petitesse, quand i deviendra infini, l'emportera infiniment- dans le produit, comme on sait , sur la grandeur de toute- puissance de 5- On pourra donc alors , quel que soit m , déterminer f de

manière que l'expression r™"' ~- se réduise, pour r = o, à

une fonction arbitraire du temps ï. Nous traiterons, au n" 13, un problème intéressant où se trouvera utilisée cette propriété.

Du reste , quand , à raison des limites spéciales , zéro ou ± 00 , des intégrations , une des expressions (31) , (31 bis) , ou de leurs dérivées partielles à considérer, ne sera pas finie et bien déterminée , on pourra toujours la rendre telle, aux dépens, il est vrai, de sa généralité, en y supposant la fonction /'nulle dans d'assez grands intervalles pour qu'on n'ait pas besoin d'atteindre ces limites « —o,o!.=:^œ.

Par exemple, si l'on adopte, dans (31) et 1^31 Ms), les signes supérieurs, on admettra que la fonction continue f s'annule pour toutes les valeurs de sa variable comprises en dehors d'un certain intervalle /Ïm, dont nous prendrons, pour fixer les idées, la limite supérieure égale à zéro; et l'on se contentera d'attribuer à ^.des valeurs positives, c'est-à-dire dépassant cette limite. Alors la variable, que j'appellerai 4 , de la fonction /, et qui égalera, soit i ^

ou ^ — s— ) soit û — ^ 6' ou ?^ ^ e ' , n'aura évidemment à devenir, ni positive, ni inférieure à une valeur

négative déterminée; et l'on voit que, pour f el r plus grands que zéro, a et fi pourront ne varier que dans des intervalles finis , dont se trouvera même exclue la valeur parfois critique a = 0. Ainsi, cliacune des l'orraules (31), (31 bis) conduira toujours à certaines solutions particulières non illusoires, qui comprendront même une fonction entièrement arbitraire entre des limites plus ou moins étendues.

Voyons ce que deviennent ces solutions , prises encore avec les signes supérieurs et pour t y o, quand on les réduit à un seul de leurs éléments ou, autrement dit, quand la fonction /(^j) est censée ne différer de zéro'que pour des valeurs négatives de ^j infiniment voisines de l'une d'elles , zéro par exemple. Choisissons ti , au lieu de « ou de p, pour variable d'intégration. Il viendra

isoil (2t — 2ti)j = [2t — 2lif-l ,

i soit log [2t — 2ti), I soit log ,

formules d'où l'on déduira â<x., dp. Finalement, ti devant rester , par hypothèse , infiniment voisin de zéro , on pourra supprimer partout 2#i à côté de 2f, et, si l'on appelle s une intégrale infiniment petite constante, d'ailleurs arbitraire, les premières expressions (31), (31 Ms) se réduiront à

tandis que les deuxièmes deviendront (32 «^) ' = i©"^*(s-)-

Ces deux solutions particulières peuvent s'écrire encore, respectivement ,

V'âï

•nYj?^^''=-nTj^ '!*■"'■=-

Sous cette forme , on voit que la deuxième donne

Par suite: 1", pour t infini, l'intégrale f '^dt est alors iinic et indépendante de r, quand l'expression

/ ^("ô')^*'"'" ^^ ^^* elle-même finie et déterminée, ou , autrement dit , d'après ce qu'on a vu ci-dessus (p. 382), quand les deuxièmes valeurs (31), (31 U&) de tp restent finies à la limite r= o; 2", à cette limite ?' = o,

l'intégrale considérée, 1 tf(?^, atteint, dans le même cas,

sa valeur définitive, ^ j i (—1 1 *""* dl, dès que ô a dépassé

zéro, de aorte qu'on peut alors, pour /■ infiniment petit, supposer la fonction f nulle, au moins en moyenne, quand t y varie entre deux valeurs positives quelconques. On voit, de même, que la première (33) donne

Par conséquent , toutes les fois que l'expression

sera finie et délerminée, i'intégraie I <^r^~^ dr acquerra

elle-même, pour r = oo , une valeur finie constante, c'est-à-dire indépendante du temps t', et elle atteindra cette valeur sans que r soit infini, mais môme quelque petit que soit r, pourvu qu'on prenne t infiniment peu

supérieur à zéro ou pourvu que le rapport 5 de r à \/2^

dépasse toute limite assignable. Nous verrons au n" suivant quel intérêt considérable présente, à raison de cette propriété , la solution particulière (89).

La même solution (32) jouit encore d'une autre propriété,

assez analogue, mais où paraît , au lieu de cp, la dérivée -j- .

Cette dérivée, d'après (32), a pour valeur, en continuant à

appeler ? le rapport de r à \/2 1 ,

(\/a)"*'iii,'2i'

et il en résulte

L'expression de l'intégrale I ^ j'""^ dt ne diff'ère donc de celle, e l ^ (-^) ^™~' d^, de l'intégrale i fr^'^dr,

que par le changement , sous le signe /, de ^ en Yi et ce changement n'introduit même dans la somme aucune différence de valeur absolue, quand4'(Y)=e-ï (d'où ([-'= — 4')- Il en est encore de même quand l'intégration se fait entre les deux limites i = 0 , 5 = ce et que , m étant Tmiité , tjj (y) = soit cos Yj soit sin y [d'où 4*' (y) = soit — sin y, soit

cos ~ rf s = I sin — d^.

Alors, vu la formule (34), l'expression j fr'"~Vr reçoit,

quel que soit t, la môme valeur absolue que l'expression