AM.> = K

En supposant, par cKerople, le nombre % pair, on prendrait pour'ç, au lieu de (20), la somme

(36) ,=j;-"[,(,-.^)+^(,^^)],(ii.)..,

où / (^i) désignerait une fonction arbitraire ayant même dérivée n — 1'°"' pour li = aD que pour i, ~ — co . En effet , d'après (35) , l'expression

pourrait être remplacée par

) 211(^2)' tl /"M.

et il viendrait successivement

2k( Vsr

^in-^-n-Ç)]

Donc , la fonction (36) , pourvu qu'elle eût des valeurs finies et bien déterminées, ainsi que ses dérivées en r jusqu'à celle de l'ordre 2n , vérifierait bien l'équation proposée (23).

7. — De leur intégration , quand c'est le temps t qui est la variable principale.

La solution particulière (32) acquiert une grande importance, quand l'intégrale j 'I' r^^"" ^^ a une valeur déterminée et quand , par suite , comme on a vu, la somme

( çr"" dr est constante. En effet, dans le cas où, le

temps t étant la variable indépendante principale , on donne directement les valeurs initiales de^ et de ses n — 1 premières dérivées par rapportât, on fonction des coordonnées ce, p, ... et pour toutes les valeurs de ces coordonnées comprises entre — go et ->- gc , cette solution (32) devient la solution simple naturelle de Vèquation auœ dérivées partielles (23).

Pour le reconnaître , partageons l'espace indéfini considéré, à m dimensions, en éléments infiniment petits, que j'appellerai dia et qui, avec le système de coordonnées

rectangulaires a;, y, ... , auront l'expression dm = dxdy... ; puis imaginons qu'on multiplie, à une époque quelconque t, chacun de ces éléments (^ra d'espace, ayant certaines coordonnées œ, y-, ..., par la valeur de tp qui s'y trouve produite , et appelons /çf^îsla somme des produits pareils, pour tout l'espace îs dont les éléments sont à des distances de l'origine inférieures ou égales à une certaine valeur donnée r. L'expression (32) de ^ ne dépendant que de r , si l'on divise cet espace, à partir de l'origine, en uneintinité de régions concentriques d'épaisseur dr , dont la limite intérieure, de rayon r, vaudra Kr""', en appelant K un certain nombre, et dont l'étendue égalera par suite K?"""' dr, il est évident que la somme considérée, J'^drs, pourra s'écrire K/(pf """'(^r. On aura donc, d'après (34),

(3,) /y. = ,Kj-',(^)r-V... .i, 5 = -^.

Il résulte de là : 1" que l'intégrale /^t^s, étendue à tout l'espace , acquiert la valeur , finie et déterminée par hypothèse, eK f 4^ {"^1 ^ "'' '^^' ^^ ™Ème à toutes les époques t ; 2" que cette intégrale /fdm, étendue seulement jusqu'à une distance limitée r, conserve encore une même valeur à toute époque , si on prend le rayon , r, de l'espace considéré zs, proportionnel à la racine carrée du temps l; 3" que, ? étant, pour ^infiniment petit, aussi grand qu'on le veut quelque minime qu'on fasse r^ l'intégrale ffdjs reçoit , à l'époque t= o, sa valeur totale , invariable , pour peu que le rayon r de l'espace e diffère de zéro ; en sorte que les produits fd'Si , relatifs aux éléments dts situés aux distances finies de l'origine, n'y ajoutent plus rien d'appréciable; 4" et que , par suite , à cette époque ^ = o , la fonction f est nulle, du moins en moyenne , à l'intérieur des éléments, dm, composant ensemble une zone quelconque K r""'- dr et antres que celui dont les coordonnées sont iP = o , y = o, . . . .

Aiasi, quand l'exp-ession i '^^ i-~\ 5" d'i est finie et

déterminée , la solution (32) eonment aux cas où la somme /fdzi, étendue à tout l'espace, est constante, et oà f peut être censé s'annuler initialement, excepté à l'intérieur de l'élément particulier d'étendue à partir duquel se comptent les

Cela étant, prenons successivement pour cet élément d'étendue, que j'appellerai è^îs, , tous ceux d'une région finie quelconque ts, , dont les divers points auront certaines coordonnées «i, y^, ... par rapport à un système déterminé d'axes. Il faudra remplacer, dans (32) , x, y, ... par X — Xi,^-^p,, . . . , ou écrire

pour passer des axes dont l'origine est l'élément d'e dzii à ces axes déterminés communs; d'ailleurs, si, pour abréger , l'on pose

(37 ôis) K' = K r

on pourra, dans chaque intégrale simple (32), choisir £ égal

au produit de -^ par une fonction arbitraire F (a^i , y, , ...)

des coordonnées de disi. Et la somme de toutes les solutions particulières ainsi obtenues donnera l'intégrale plus générale

Il est facile de voir ce qu'y représente la fonction F (^1, ^1 ,...). li'intégrale /^(^flî, étendue à tout l'espace, égale évidemment la somme des intégrales analogues , invariables , correspondant aux diverses solutions élémen-

taires écrites sous le signe /. Mais , calculée pour l'époque ^=0 et pour un petit volume as quelconque , elle se réduit à ce que donnent les solutions élémentaires dans lesquelles les distances r se comptent à partir d'éléments dtsi compris dans cet espace, puisque même la somme fyd^i relative à un seul élément dis^ , se trouve alors tout entière concentrée dans l'étendue qu'occupe celui-ci dts,. Et comme elle vaut d'ailleurs, pour cet élément, K'e ou F {x„ y,, ...)dzii, elle égalera F (a;, y, ...) djzh l'intérieur de chaque élément -dtR de l'espace considéré et , par suite ^ fV [x ^ y , ...)dis^ ou f3 F (ic, y, . . .) , pour cet espace ro , supposé assez petit en tous sens, de manière que la fonction F [x, y, ...) y ait sensiblement la même valeur partout. Donc, avec l'expression (38} de ^ , la valeur moyenne de cette fonction f à l'époque t= 0 , dans tout espace irLfmiment petit entourant le point {x, y, ...) , n'est autre que F [x. y, ...). Autrement dit , la fonction arbitraire F entrant dans l'intégrale (38)

Comme il correspondra , à chacune des n formes distinctes de ^ données par l'équation différentielle (14), une solution pareille à (38) , la somme de ces n solutions constituera l'intégrale générale de (23) , avec les n fonctions arbitraires de x,y, .. qu'elle comporte ; car cette équation aux dérivées partielles (23) n'est que du n^' ordre par rapport au temps l, pris ici pour variable principale.

Observons que , d'après les formules (34) , (34 Im) , et comme il a été reconnu à la suite do ces formules , l'expression /tp(?ra ou K/tpr™"* dr, étendue à tout l'espace et calculée pour un seul élément de l'expression (38) de y , aura sa

valeur, F (a^i, yi, ...) cira, , égale à:^K / -^r"' dt. dans

les cas de 4* (y)= e-ï,etdansceluide m= lavec i^ (y) —soit cos Y , soit sin y. Si l'on appelle (7 l'étendue , Kr""*, de la figure quilimiteintérieurementune quelconque des régions concentriques, d'épaisseur dr, en lesquelles a été divisé

l'espace autour de l'élément d csi , cette valeur de <T -^ di. Nous verrous plus loin ce qu'elle représeute, du moins dans le cas de ^ (y) = e~', quand nous appliquerons (n"' 13 et 14) la théorie générale exposée ici aux problèmes de l'écliauffemenl et du refroidissement dhm milieu d'un nombre quelconque de dimensions.

En résumé, les intégrales de la forme (31) et [31 bis)^ grâce à la propriété qu'elles ont de transmettre cette forme simple â leurs paramètres différentiels i-., sont aptes à exprimer les états variables de corps à dimensions indéfinies , quand ces états dépendent d'équations aux dérivées partielles du type (23). Non seulement elles les représentent dans les cas où ils sont ^actement les mêmes à d'égales distances tout autour d'un contre de rayonnement persistant, mais, de plus, elles fournissent immédiatement les solutions simples naturelles, [32), dont se compose leur expression générale, lorsque le corps est abandonné à luimême après avoir été disposé inUialement d'une manière quelconque. Ces derniers problèmes, concernant le cas où le temps # joue le rôle de variable principale , auraient pu , il est vrai , se résoudre par l'emploi de la formule de Fourier , appliquée à des sommes de solutions élémentaires ayant la forme d'exponentielles, réelles ou imaginaires, à exposants du premier degré en t,x,y, ... Mais la forinule de Fourier donne toujours comme résultat une inlégrale défmie d'un ordre de multiplicité double du nombre des variables non principales ^ , j/ , . . . ; et il aurait fallu alors , pour arriver aux solutions simples naturelles dont il est (juestiou , ou , ce qui revient au même , aux intégrales générales définitives, de la forme (38), effectuer la moitié des intégrations indiquées par les signes /. Or c'est là un genre de réduction pour lequel on ne possède aucun procédé général de calcul, difficile par conséquent et qui,

peut-être même, n'aboutirait pas toujours, à cause du caractère parfois un peu iiidécis de la formule de Fourier, ou de sa convergence douteuse.

Les intégrales (31) et (31 bis) , de la forme (24) , donnent donc une seconde preuve de ce fait, déjà indiqué par l'usage des potentiels dans le mémoire précédent et dans la première note complémentaire , que tout nouveau type général de fonctions dont les paramètres différentiels i^ se forment d'une manière simple constitue une découverte d'un réel intérêt en physique matliématique et peut y rendre abordables certaines catégories de questions.

Vu l'importance de la solution particulière (32) , et quelque simple qu'ait été la voie suivie pour l'obtenir , il ne sera peut-être pas inutile de vérifier directement qu'elle satisfait bien à l'équation (23). A cet eifet, nous ferons

abstraction du facteur constant .■■ v- , c'est-à-dire que nous

(Va)-

prendrons

Il viendra aisément

(39H ^=1,^^^-^..=1, A,., = ^; ^ ' dt t dx^ dy^ t - ' 2t

et l'on trouvera de pins , pour toute fonction de y qu'on différentiera en x, y, ..., les formules symboliques

d ^d-i d d^ d^y d i-j^ d-^ d dx dx dy dx^ dafl dy dm^ dy^ dy

d'où

j / îw d\ d

(40) 4,=, [-i-'iT^T,-

D'ailleurs, toutes les fois qu'on aura à prendre la dérivée par rapport à y du produit de y et d'une dérivée -j- , on aura évidemment

de sorte qu'on pourra , dans — | y -— ] , intervertir l'ordre

des facteurs symboliques ~r ■> 1 1~ ■> pourvu qu'on ajoute 1 à celui-ci. On trouvera d'abord, d'après (40),

La même formule (40) , appliquée à celle-ci , donnera ensuite, si l'on fait passer tous les facteurs simples y à la fin du résultat , en suivant la règle (40 bis) ,

En continuant de même , il viendra finalement

D'autre part , la différentiation de (39) par rapport à f, donne successivement , d'après la première (39 bis) .

[ l 2 ' dyl\2 ^ dy}^

On voit que, à part l'ordre dans lequel se présentent les facteurs symboliques , ordre évidemment inditrérent ici ('), ce dernier résultat ne diffère de (A^l" ^ qu'en co que f — 1)" ^

y remplace -7-;-. Donc , quel que soit le nombre m des

variables a;, y , ..., l'équation aux dérivées partielles (23) sera satisfaite identiquement , si l'on détermine 4' (y) par la relation (14), {'^ l)" •^'•"^ -t- A ^ .= 0 , prise avec les signes supérieurs , comme on a convenu de faire en établissant la solution (32).

8 . — Application de la même forme d'intégrales définies à l'intégration de certaines équations différentielles.

M. de Tilly, Membre de l'Académie Royale de Belgique , a eu l'idée, en lisant l'article du 2 janvier 1882 [Comptes- Rendus , t. XCIV, p. 33] où j'appliquais l'expression (5) de cp à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (1) , de faire servir la même expression , que ses deux fonctions arbitraires /", ^ rendent susceptible de prendre bien des formes différentes, à représenter des intégrales de certaines équations différentielles; et il en a déduit une méthode

ingénieuse d'intégration pour celles du type -~ = Âr" tf , où A. et a sont deux constantes quelconques.

(*) Parce que leurs parties variables ou indiquant des differen tintions sont

toutes pareilles , de la forme -/ ^ , et non des deux formes différentes ^ , ï —

comme dans (4t).

Voici en qaoi consiste cette méthode, dans le cas simple » = 2, qui est le cas de l'équation du second ordre à laquelle se ramène celle du premier ordre dite de Riccati. J'y emploierai d'ailleurs la forme (24) , moins spéciale que (5) et qui , pour cette raison , pourrait comporter des applications plus nombreuses.

Démontrons d'abord une propriété importante dont jouit l'expression (24) quelque valeur qu'on y attribue à p , propriété implicitement indiquée dans le n" 5 ci-dessus. Comme le is de toute fonction de r, quand on y prend r égal à la racine carrée de la somme des carrés de m variables ^, y, ..., a pour valeur

fm m — lé^

et comme, de plus, cette expression devient d\ I 2\ 1 tfo

lorsqu'on y remplace m, en vertu de (27), par 2 , on

aura, pour toutes les valeurs de p qui rendront m entier et positif,

Telle est la propriété dont il s'agit d'établir la généralité, en faisant voir qu'elle subsiste dans le cas dc^ quelconque. Posons , pour abréger

ce qui permettra d'écrire

Deux différentia lions consécutives de <f par rapport à r donneront

Sous le dermer signe /, remplaçons —^ par a «y,

ce qui revient au même d'après la seconde (h), ei, ayant mis ensuite dY {y) an lieu de Y' fï) ^^T ? intégrons par parties comme nous l'avons fait pour arriver à (26) [p. 376] , en supposant de même nul le terme aux limites ,

Il viendra évidemment

relation qui est bien équivalente à (a)

La formule générale {a) ainsi établie , admettons que l'équation à intégrer soit

A désignant un coefficient positif. L'expression {c) de f la changera, vu (a), en celle-ci,

(.) J^'^ir {fi V iï) - ^fip] ^ [y] ]d. = o.

yGoosle

M. de Tilly y satisfait en posant

.r- — ^ r= — V^ = iineconat, arbjLr. f— <; ,

et en prenant par suite , à des facteurs constants près ,

ce qui, à cause des valeurs [c] et (h) de f , P et y, donne

Du reste, et comme l'a remarqué M. de Tilly lui-même, cette intégrale de l'équation différentielle [d) [ou de l'équation [m) ci-après] avait été obtenue aiitrement par Poisson , qui l'a démontrée dans le XVP cahier du Journal de l'Ecole

On choisira c positif, pour que l'exposant de e sous le signe / soit constamment négatif et rende finie l'intégrale. Observons d'ailleurs que le terme aux limites supposé nul dans la démonstration de la formule fondamentale [a) le sera bien on effet. La raison en est que , à chacune des limites a.= o, oL-=(Xi , l'une des deus variables auxiliaires P, Y deviendra infinie et fera annuler toute fonction contenant en facteur l'exponentielle correspondante/ ([3} ou '^{y), comme , par exemple, l'expression cl^~^ /"(p) -}*' (y).

Il est inutile de multiplier le second membre de {K) par une deuxième constante arbitraire c'\ car, si on le fait, mais qu'on change ensuite, sous le signe /, c'dix. en dv. ou c'a en a , on retombera sur la formule [K) , avec une autre valeur de la constante c. On n'obtient donc toujours qu'une intégrale particulière : mais un procédé connu permet d'en déduire l'intégrale générale.

Quand ^ = 3, si l'on prend en outre c= 1 et A=:.I, l'es-

pression [h] de tp, réduite à / e - l [f ^ ■;^] dy. , reçoit

la valeur C e-j d^ =\/t' P*^^^ *" ~ ''•* ^'' ^^ ™leur

I e-^ (fo: = 0, pourî' = x . Or l'intégrale générale et

unique de l'équation (d) est alors (f =M(;"'' + Ne*"; en la

déterminant de manière que ^ = \/ -^ ponr r — o et que

ç — 0 pourr = ûo , elle donne?— V/ y ^~'^- ^^ vient donc la formule (connue)

Revenant an cas général, montrons enfin que l'équation que Ton a ainsi intégrée, {d}, équivaut bien à celle de Riccati, comme on le sait du reste. Appelons q un exposant quelconque , et substituons à r la nouvelle variable w que définit la relation

ri en résulte les formules de transformation

?1 i gd di__l \-qd II i,, d \ii^—ii / d^ 1— î '^\. r q d%^ dr^ u dii\q du) g^ \d%'^ n du/'

et l'équation (d), multipliée par g^ u^"^, devient finalement

yGoosle

On peut, en choisissant convenablement ^,^ et A, lui faire prendre toutes les formes comprises dans celle-ci,

où m, k et B sont trois constantes quelconques , dont la dernière cependant, B, doit être positive comme A. Ainsi , la solution trouvée (h) convient à toutes les équations du type {l}. On voit de plus que celles-ci, mises sous la forme {k), ne cesseront pas, quand on y fera varier q, d'être équivalentes à {d) ou , par suite , équivalentes entr'elles , et d'admettre la même intégrale (A), pourvu que les deux constantes A j j^ restent les mêmes et que r reçoive l'expression M* définie par (j).

Or, la valeur de q qui simplifie le plus possible l'équation {k) est celle, §■ = ^ , qui fait disparaître son second terme ,

et qui lui donne la forme de l'équation de Riccati transformée ,

Par conséquent, l'équation [d] et l'équation (k) ou {i) reviennent à .celle de Riccati (m) ; et c'est une solution particulière de celle-ci que représente l'intégrale définie [h).

On a vu par la relation (i) qu'en mettant sous la forme d'une intégrale définie une certaine solution , directement évaluable d'ailleurs, d'une équation différentielle, on se trouvait avoir calculé de la sorte, et assez simplement, la valeur de cette intégrale. Voici un autre exemple, assez remarquable, d'une pareille détermination, où il s'agit d'intégrales définies assez analogues à {i) , mais plus compliquées.

Dans l'expression

posons f (p) =e-'^, ^ (y) = cos y; ce qui rend évidemment finie et déterminée cette expression , et ce qui , de plus , permet de lui appliquer, ainsi qu'à s^s dérivées en r, la règle de difTérentiation exposée au n" 2 [p. 361], car la condition (8) est évidemment satisfaite. Nous aurons successivement :

Par conséquent , l'intégrale définie représentée par 9

vérifie l'éqnation différentielle -jy h (^ = 0 , dont la solution

générale et unique , avec quatre constantes arbitraires A, B, G, D, est

[q] u. = e - 7: ^A cos — -t- B sin — We^: fCcos — H-Dsin — ). Les formules [p] montrant, de plus, qu'on a

('/] (pour *■ et aussi

f = jr°°,-y i =1/2 jr°°,—'i» =v'^ .

délerrainoils les quatre constantes A, B , G , D de manière que ces quatre conditions spéciales [q'), {q") soient satisfaites. Il faudra, pour cela, prendre P^ = \/ —^\i~ù , C — 0 , D = 0 , ou

La différen Liation de celle-ci donne, effectivement,

■=^ — e — — C03 sin — ,

dr^ 2 ^'-\ /2 ^/2/

et les quatre conditions spéciales [q') , {/') sont hien vérifiées.

Égalons les expressions correspondantes, [f] et (r) ou (■/), de tp et de ses trois premières dérivées, puis posons,

pour simplifier, --:= p- Il viendra, d'une part, /2

Jo ^"T *=''^ -;;ï- '^"^ V 2 * ^cosp, et, d'autre part,

1 J e-^cos — rf« = — e-qco8p — sinp),

yGoosle

Ainsi se trouvent évaluées quatre intégrales définies assez remarquables.

On en déduit d'autres , un peu plus générales , en y remplaçant a par m « et p par mn, oiim et ra désignent deux nombres positifs quelconques. Cela donne ;

Faisons , dans ies deux premières , w = o, » = 1 et, dans les deux dernières , w — o , m = V *' ^^ 'viendra

formules dont les deux dernières sont bien connues (') .

(*) On remarquera quo la deusièiiie des quatre intégrales (f), en y posant fl = — , devient / - ' dx el que. d'autre part, sa valeur v/î!, élevée au carré , égale l'intégrale classique / ■ ■■- ix. On a donc la relation , asseï

§ II. — APPLICATIONS DE CETTE MÉTHODE DANS LA THEORIE DE LA CHALEUR ET DANS CELLE DU FROTTEMENT DES FLUIDES.

9. — Problème de l'échauffement d'une barre et autres analogues : équations qui les définissent.

Les applications physiques les plus simples qu'on puisse donner des ihéories précédentes sont celles qui concernent le mouvement de la chaleur dans les corps athermanes isotropes à une, deux ou trois dimensions [barres , plagties et cor])s massifs'] (').

Nous commencerons par étudier réchauffement d'une barre homogène cylindrique ou prismatique , s'étendant , le long d-un ase pris pour celui des abscisses positives w, depuis l'origine jusqu'à l'infini j rendue imperméable à la

(*) D'ailleurs ces lois ai, mouvement de la chaleur par conduclibilité paraissent régir , comme on sait , la diffusion d'un corps (non gazeux) dans un dissolvant à température uniforme , au moins tant que le dissolvant se trouve encore assez loin d'en être saturé. Alors , en effet , le flux de matière dissoute qui ti-averse par unité de temps un élément plan semble être simplement praportionnel à la dérivée, suivant la normale à l'élément , de la densité effective p ( ou masse par unité de volume ) de cette n\atière dans le milieu , tout comme les flux de chaleur le sont h la dérivée analogue de la température ; et l'on remarquera que , pour compléter l'analogie , la température mesure en quelque sorte (sauf un facteur constant), aux divers points d'un corps homogène athermane, la densité de la chaleur, ou chaleur contenue dans l'unité de volume. Par suite , la densité considérée de la matièw dissoute variei'a d'un instant àl'autre, dans chaque région de l'espace, d'après les mêmes lois que la température d'un certain milieu athermane qui l'occuperait et qui , nuK points où est déposé le corps en train de se diffuser , aurait reçu ou recevrait do la chaleur exactement comme le dissolvant y a ahsorbé ou y absorbe de la matière dissoute.

Un tel modo de difftision est précisément celui auquel on arrive en assimilant le corps qui se diffuse à un fluide , régi par la loi de Mariotte , qui transpirerait on filtrerait à travere un milieu perméable comme du sable, à la condition, toutefois, d'admettre que son coefficient de frottement intérieur , appelé s par Navier , fit proportionnel a. sa densité (ce qui n'a pas heu dans les gaz , où < en est à pou près indépendant).- On peut voir en effet, par la formule (h) de la p. 4 de mon Essai sur la théorie des eaux courantes, dans laquelle le terme sin I représentatif de l'influence de la pesanteur est ici négligeable, que la vitesse V du fluide , dirigée , en

chaleur sur ses faces latérales, et chauffée enliii, à l'origine iC=o, de maaière qu'on y connaisse, en fonction du temps i, soit la température tp de la barre, soit le flux de chaleur qui y traverse sa surface de base , soit , du moins , la tem-

tout point (x,y,3). suivant la normale ds àla surface p :=const. qui y passe., est proportionnelleàla dérivée, changée de signe, de la pression p ou de la densité p , le long de cette normale ds, et à un certain coefficient, — , qui se trouve d'ailleurs, lui-même, pour un degré donné de compacité du milieu perméable, être en raison inverse du coefficient t de frottement intéi-ieur. Admettons qiie celui-ci soit proportionnel à la puissance n^' de la densité p. La vitesse V sera donc en raison directe de — — —, et la masse fluide débitée par l'unité d'aire de la sui'foce p 1= const. , ou le fiua; de transpiration , évidemment proportionnel lui-même au produit de cette vitesse par la densité p , aura une expression de la forme — aï [A-K — , comme il arriverait pour les courants de chaleur dans un milieu athermane où le coefficient de conductibilité serait en raison directe de la puissance (1— n)i'»e de la températui'e p. Alors l'équation aux dérivées partieLes, bien connue, régissant les variations de cette dernière, deviendi'ait

^ il '^ ( i-t ''P^ L- ^ ( i--n^P\ ^ l j„'^P\]

n multipliant par (2 — n) f,* ' Ht

■"Aî(pî-»).

Tfilie sera donc l'équation indéfinie du phénomène considéré de liltration. Oi', en y faisant n ^ 1, elle coïncide, comme on voit, avec celle des phénomènes de diffusion généralement admise.

Loreque n diffère de 1 , elle est encore intégi'able dans certains cas simples , notamment quand l'état est permanent ou qu'elle se réduit à Âj (pî^— "^ ^ o , et quand p ne varie que de petites fractions de sa valeur, cas oii le coefficient a* pf— » peut éti-e supposé constant. On sait du reste que , si les coefiîeients de conductibilité et les capacités caloiifiques sont assimilés ainsi à des constantes , dans la théorie analytique de la chaleur, c'est, de même, paree que les variations de température que nous observons ordinairement se trouvent être très faibles en comparaison de la température absolue.

Pour un gaz se diffusant dans un solide ou dans un liquide et, probablement aussi, pour un gaz filtrant à travers un corps spongieux , la résistance qu'éprouve l'unité de masse est proportionnelle à V*, non à la vitesse V, pai' suite sans doute des plus grandes valeurs de celle-ci , capables de rendre l'écoulement dans des espaces aussi iiTéguliers tourbillonnant comme dans les grandes sections et régi

dès lors par les mêmes lois ; V y est donc en raison directe, non plus de ,

p ds

mais de \/ — , et l'équation indéfinie en p , presque aussi aisée à former ,

cesse d'être linéaire par vappoi't aux dérivées de p.

péra'tiire d'une enceinte chaude , rayonnant sa chaleur vers cette base proportionnellement à la différence de leurs températures {'). La même analyse s'appliquera du reste, sans modification , au cas d'un milieu limité par une face plane, mais indéfini suivant tous les autres sens , et qui serait , à chaque instant , chauffé également sur toute l'étendue de cette face plane ; car, si l'on considère un tel milieu comme formé de fibres infiniment longues normales à sa surface , chacune d'elles, adjacente à d'autres possédant les- mêmes températures , ne pourra que se comporter comme une barre isolée, imperméable latéralement à la chaleur.

Enfin le môme genre de calcul donne aussi les vitesses qu'une niasse fluide indéfinie reçoit de proche en proche, par l'effet des frottements, d'une plaque solide et mince immergée, de dimensions également indéfinies, à laquelle on imprime dans son propre plan une translation rectiligne d'une rapidité variable en fonction explicite du temps , loirsqu'on suppose d'ailleurs les mouvements bien continus , ou nontourbillonnants, et, le frottement de la plaque, suffisant pour produire l'adhérence à cette plaque de la couche fluide contiguë , ou , plus généralement , proportionnel à la différence des vitesses de la même plaque et de la couche fluide contigué. C'est ce qu'on peut voir au § Il d'un GompUmeni à mon Essai sur la théorie des eaux courantes, inséré dans le volume de 1878 du Journal de Mathématiques pures et appliquées.

On sait que l'équation indéfinie du mouvement de la chaleur le long de la barre sera de la forme

rf^ J-^ i?

(•) S'il s'agissait , non d'une pi-opagation de chaleui' , mais de la diffusion d'une matière, remplissant un réaen'oir, à travers une paroi plane, supposée infiniment épaisse, de ce réservoir, le ràle qu'avait la température de l'enceinte serait évidemment rempli par la densité de saturation , dans ia paroi , de la matière dissoute, densité proportionnelle à la densité effective de cette matière dans le réservoir ainsi qu'à son coeffieient de solubilité dans la paroi , et exprimant ce que devient la densité , dans la pai-oi , de la matière dissoute , quand il y a équUibre avec le réseiToir ou que le dus de diffusion s'annule.

et que le flux de chaleur qui traversera , dans l'unité de temps , une quelconque des sections normales , en allant vers les ce positifs , égalera le produit d'un coefficient

numérique donné par — -j-. Mais, pour simplifier un peu

les formules, nous supposerons a^ t remplacé par?!, ou a par 1, ce qui revient à choisir convenablement l'unité de temps, et nous attribuerons à la barre des dimensions transversales telles , que le flux de chaleur qui pénètre à travers une de ses sections égale simplement, par unité de

indéfinie en f , aux dérivées partielles ,

D'autre part, si F [() désigne la température connue de l'enceinte, à l'époque È, et k un coefficient positif constant, proportionnel au pouvoir émissif de la base x^o , la condition spéciale à cette extrémité a; = o de la barre sera généralement

(44) (pour x = o) J = ^ [F (() - cp ].

Elle se réduit à rp = F (#), quand il y a contact de la barre avec le corps dont î' [t) désigne la température et quand, par suite, on peut supposer infini le coefficients, ou attribuer à l'extrémité de la barre (à une différence infiniment petite près) la température même de l'enceinte, F(^),

connue à cbaque instant ; et elle se réduit à — ^ — k'F {t),

quand , au contraire , k pouvant être censé infiniment petit et la température F [t) de l'enceinte beaucoup plus grande en valeur absolue que celle, tp, de la barre, c'est le flux de cbaleur qui se trouve donné directement.

Si Ton joint à l'équation (43) cette relation spéciale (44), et si l'on admet , en outre , que la température f et les Ûus

de chaleur — -3- soient finis , sur toute l'étendue comprise

de a; = 0 à X = co et entre les limites t — — co ,t=^( , la fonction 9 sera déterminée, ou complètement, on, du moins , à une constante près.

En 00*01, soit tp une fonction qui satisfasse à toutes ces conditions, et appelons tp -^- ç' toute autre solution , supposé qu'il en existe. Il est clair que cp' devra vérifier les deux relations , transformées de (43) et (44) ,

[A4, bis) {pour^ = o)

tiens constamment finies entre les limites 5? := 0 , ic = 00 . Or, il est aisé de reconnaître que ces conditions obligent de poser identiquement tp'=o. sauf quand le coefficient d'émission h est nul , cas où elles donnent seulement (f'= constante.

Pour le démontrer , multiplions (43 })is] par 'l w dx et ,

après avoir substitué à / -jj la différence

. d\' en

{.'Kl

intégrons entre les limites constantes a; = o, œ — x. Kn tenant compte de (44 his) et appelant /„ la valeur de »' à la limite a; = 0 , il viendra

(45) 4 r>i.=2,-4i-2jo.-.-2 r7*i)V

Dans le second membre , le premier terme , le seul qui n'y soit pas essentiellement négatif, reste fini , par hypothèse, quand on fait croître indéfiniment la limite supérieure œ. En mè]ne temps, le dernier terme grandit jusqu'à dépasser toute quantité donnée , à moins que la dérivée

-^ ne tende assez vite vers zéro, pour x croissant, cas où

le premier terme 2 f' ~ décroît jusqu'à zéro. Donc, de

toute manière, il suffit que y' soit variable, pour que le dernier terme, négatif, du second membre de (45) finisse par l'emporter sur le premier è mesure que m grandit. Donnons à x une valeur suffisante pour qu'il en soit ainsi à toutes les époques comprises entre — xi et ^, cette dernière étant d'ailleurs choisie à volonté. La relation (45) pourra s'écrire alors , en appelant 0 une fonction de ^ et a; inconnue, mais positive et de grandeur notable,

(45 bis]