U>^—^^IU

Cette relation montre que l'intégrale essentiellement positive / f'^dx, supposée finie pour t = — oo , ne cesse pas, à mesure que agrandit, de diminuer, et avec une rapidité appréciable tant que les dérivées -r— conservent des valeurs sensibles. Il est donc inévitable que , au bout d'un temps fini, c'est-à-dire déjà pour les très grandes

valeurs négatives de ^, on ait partout ^— = o, et, par suite,

d'après (43 bis) , -~=o. C'est dire que la seule expression

possible pour <f' est f' = constante , ou même , vu (44 bis) , rp' = 0 toutes les fois que k n'est pas nul.

Ainsi , quand ^ et — ~^ ^^ deviennent pas infinis entre

les limittts w = o,w — ce et de f= — co ù i^ =: ^, les relations (43) et (44) déterminent la température tp , soit complètement , si k diffère de zéro , soit à une constante près , si k est nul. Dans ce dernier cas , on pourra, pour achever de définir f , se donner encore la température , généralement invariable, réalisée aux points de la barre dont l'abscisse X est très grande.

Observons que, dans la formule (45), le terme — 2k ff^ aurait pu être supprimé, si l'on avait considéré le cas particulier où k~ œ et où , pour w = o , l'on connaît directement f en fonction de t. En effet , comme il est

entendu que, pour x = o, la dérivée -^ = k'}' doit rester

finie, on aurait eu %' = o et, par suite, {k %) f,' = o.

iO. — Intégration de ces équations.

Il nous suffira donc d'intégrer (43) dfe manière à pouvoir satisfaire ensuite à la condition (44). Or, l'équation (43) se déduit de (1) en posant s = œ, a=i, n='i .A = — 1. Par suite, l'équation (14) [p. 364] devient, ici, + y' (y) = 4" Wî ^t elle donne, abstraction faite d'un coefficient numérique sans importance, •]! (y) = e'^'. Mais la deuxième de ces solutions, où l'exposant de e serait respectivement, dans (9) et (15),

Y = Yj et y — — , ne peut convenir ; car, pour œ = <x> , elle

rendrait visiblement infinies les deux valeurs (9) et (15) de <f , quel que fût l'intervalle dans Lequel la fonction /■différerait de zéro. Et le même inconvénient se présenterait pour l'expression de ^ (y) que donnerait l'intégration de (16) prise avec les signes inférieurs , expression propor-

tionnelleàe' ( e (^™ et devenant sensiblement -5- e'

pour y très grand, Donc, il n'y a pas de solution possible dans le genre de (20), et il faut se borner à prendre (9) et

(15) avec les signes supérieurs, en y faisant d'ailleurs ^[■j-) = e^'. Cela donnera pour l'intégrale de (43), avec deux fonctions arbitraires que j'appellerai f et fi,

D'ailleurs , chacune des deux intégrales définies qui composent cette valeur de f sera parfaitement déterminée , ainsi que ses dérivées successives en x ou i, pourvu que les deux fonctions f {£) et /i {#) , supposées finies pour toutes les valeurs de t comprises entre — oo et ^, donnent des

valeurs déterminées aux intégrales j f (t ^ ~] da.,

j fi{t — "V) '^"^ ®^ ^ leui's dérivées par rapport à i. En effetj dans ces conditions , d'une part, le dernier terme de (46) sera déterminé, malgré sa limite supérieure infinie, à cause de l'exponentielle qui s'y annule à cette limite , et le terme précédent le sera aussi, car ses éléments correspondant aux très grandes valeurs de a sont sensiblement égaux

aux éléments analogues de l'intégrale I fit — -^ (^a , bien définie par hypothèse ; d'autre part, comme la fonction e"'' se reproduit (sauf le signe) par la diiïérentiation , les dérivées en #ou x du second membre de (46) auront même forme que ce second membre , à cela près qu'il pourra s'introduire, à la place des fonctions /" ou /i, leurs dérivées successives, changées ou non de signe. Le procédé ainsi appliqué pour les différent! ations par rapport à x exige , il est vrai , d'après une condition démontrée vers la fin du n" 2 (p. 363), que les produits

'^'('-t) '-£■ A'-if) '-"'' 'f'{'~&) '~^'*-

deviennent nuls à la limite « = o ; mais c'est bien ce qui

arrivera toujours, si les fonctions /* (^), fi{i) et leurs dérivées restent finies pour ^ = — co , comme on le suppose.

Par conséquent, l'intégrale (46) et ses dérivées seront des fonctions parfaitement déterminées , et toxijours tinies ,

/ /l'f^ — "V) '^"' ^^^-1 1^ soient elles-mêmes. Or c'est ce qui aura lieu, si, comme nous l'admettrons, la fonction fit) , qui a pour dérivée /' [t) , reste finie , elle aussi , à la limite ^= — oo . Car une intégration par parties donne , par exemple,

(46 bis) ^ y=^ J .^^

relation où la dernière intégrale est rendue évidemment tinie

par le dénominateur K^: ainsi, la proposée I fU — "~\do.^

oùj d'ailleurs , a peut sans inconvénient décroître jusqu'où zéro , est bien finie également. Et , de même, la fonction /i(^ restant, par hypothèsOj finie pour ^= — co , l'expression

/ A' U — -^j '^'t sera aussi finie et déterminée.

Il suffira donc , pour que l'intégrale (46} soit la solution unique cherchée, d'y déterminer les fonctions arbitraires f ^ f\ de manière que la condition spéciale (44) se trouve vérifiée à toute époque. Or, si l'on porte dans (44) l'expression (46) de cp, ainsi que sa dérivée en œ

et si l'on observe que l'intégrale classique de Poisson , j g ~ "^ (/m = -^ , donne , en y prenant i

I =«[Fw-v^/,(f)-J^r('-4)''"]-

On y satisfait en égalant séparément, dans les deux membres, les termes intégrés et aussi, élément par élément, ceux qui ue le sont pas, c'est-à-dire en posant, après avoir

multiplié par y - ,

if,'(t]= -*/'(')•

Mais traitons d'abord et à part les deux cas simples i^ = 00 ,' ;É = 0 , qui sont ceux oii l'on connaît directement en fonction de / , pour a; = o , soit la température tp = F {^ ,

soit le flux de obaleur — ~ = ^F(#), que j'appellerai Fi [i]

pour éviter d'y faire figurer le facteur k, alors nul, et le facteur, supposé alors infini , F (^. Dans le premier cas, les deux équations (50) , divisées par k , donneront , en commençant par la seconde ,

il)-

Donc , l'expression (46) de f prendra la forme , d'ailleurs connue ,

[quand f = F [l] pour

Dans le second cas , au contraire , le seul terme qui subsiste aux deuxièmes membres de (50) est le premier

\/'^ kF {l) = \/? F, [t), et ces relations donnent

Par suite , /, {p) se réduit à une constante , et l'expression (46) de f est

[quand — ^ = Fj [t] pour ï = o]

Pour a; = oc , l'intégrale qui paraît au second membre de cette relation a tous ses éléments nuls. Ainsi , la constante arbitraire Introduite par l'intégration exprime la température produite à l'infini , température qu'il suffit alors de supposer donnée directement pour achever de déterminer le problème.

Passons maintenant au cas générai. La première formule (50), multipliée par — k, devient, en y remplaçant ^/'(^) par sa valeur tirée de la deuxième (50),

yGoosle

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre en fi {(]. Intégrée, elle donne, si l'on appelle c une constante arbitraire destinée ii disparaître des résultats définitifs ,

,54) /•. (,) = V'I *' «"'Jf' FW ^- '" A + I « '".

Il en résulte par différentiation, d'après la deuxième (50),

(56) /'('i = V'; ^FW + i'.'-'J^'FH. -"'*]„'•".

Telles sont les expressions de /" {t) et /i ii) , où il faudra

remplacera, respectivement, par ^ — et ^av l — ■^,

pour les porter ensuite dans (46). Mais la formule définitive se simplifie quand on substitue kx b. a. dans l'intégrale

i /i 1 ^' — "oTJ ^ 2 da., ce qui donne

Il vient alors , en supprimant finalement les termes ou les parties de termes qui s'entre-détruisent, et en remplaçant la variable d'intégration x par une autre , 9 , égale à

On peut y transformer , au moyen de l'intégration par parties, l'intégrale où paraît (^ S , en observant que

Il vient alors , si l'on réduit le résultat et qu'on mette imalement partout ~y- au lieu de « :

[56 JAs]

On voit que, pour k infini, celle-ci se réduit bien à (51), , tandis que , si k tend vers zéro , la précédente , (56) , en y posant A F (if) = Fj [t], donne la formule (52), du moins dans sa partie variable , la seule que déterminent alors les équations générales du problème.

îi. — Conséquences générales qui en résultent

Déduisons maintenant de ces formules quelques lois simples.

ISt d'abord, si la température donnée, ¥{t), du milieu avec lequel la barre se trouve en relation par son extrémité ic= 0, est une fonction périodique du temps, redevenant la même chaque fois que i croît d'une certaine quantité T, la température ?, en tout point de la barre , admettra également la même période T. La raison en est que t n'entre, dans (56) ou (56 hù), que comme faisant partie des variables

t r- , ou t — ^— ^ , etc. , dont y dépendent les fonctions

F on F': or, par hypothèse, celles-ci retrouveront les mêmes valeurs quand t et , par suite , les variables dont il s'agit, croîtront de T.

Observons de plus que F [t] , F' [t] , fonctions dont la seconde aura sa valeur moyenne égale à zéro , pourront être ordonnées en séries procédant suivant les cosinus et

les sinus des multiples de -^ t, et que, alors , dans {56 Us) ,

les intégrations par rapport à 9 , portant sur des expressions de la forme

où Tti ne sera jamais nul, s'effectueront exactement au moyen de termes de la même forme, qu'il faudra prendre

duîts d'exponentielles , dans lesquelles e aura comme espo-

sant — -~-ç ou ^ , par des cosinus ou sinus d'arcs qui

seront respectivement m it -^ ^j , m U — ~\. Et les

intégrations par rapport à « aboutiront même ensuite dans tout le second membre de (56 ôïs); car, eny développant les cosinus ou sinus de manière à faire sortir des signes / les facteurs cos mt et sin mt, il ne restera sons ces signes

que des expressions ayant les formes e ""'"'* cos -\d<£,

e ~^"* sin -^ dx, 6~-^ cos pa^ da, e-^smpx^d'x, qui

sont de celles qu'on peut intégrer entre les limites k = o ,

a = oo . Il suffit, en effet, d'y remplacer a par 7j=:et 2pq

par f, pour les ramener à celles dont les formules [s] e\ (/) ■lu n" 8 fp. 402) donnent les valeurs.

Mais je n'insisterai pas ici sur ce point. J'observerai seulement que , pour co infini , cp se réduira à La valeur moyenne constante de F f^, que j'appellerai M- Eu effet, quand x deviendra très grand , les éléments affecté-s , sous le signe d'intégration par rapport à a , de l'exponentielle

e~'%^ s'évanouiront dans (56 his) ; et il n'y restera , à part

le premier terme Me 2 de l'expression de P \t — 9^)^"^ 2,

que des termes proportionnels aux produits de e"T par

des cosinus ou des sinus d'arcs de la forme m [t — -^-A : or,

pour 0) très grand , ceux-ci changeront sans cesse de

signe [car M [^ — — ) y grandira de « si peu que

croisse a] ; en sorte qu'ils donneront des éléments alternativement positifs et négatifs, formant un nombre restreint de groupes dans chacun desquels les termes , infiniment petits, iront sans cesse en croissant ou en décroissant de l'un à l'autre (quant à la valeur absolue) et n'auront ainsi qu'une somme comparable au plus grand d'entr'eux. Donc, quand a; sera infini, it n'y aura plus à considérer dans (56 bis) , sous le signe /, que le

termeMe~"i", dont le produit par d-'x., intégré dea = oà

a — co , donne M \/ - ; et il viendra bien œ = M. > V 2' ^

Si , au contraire, la température donnée F {i) n'est pas périodique , mais qu'elle n'ait commencé à dififérer de zéro qu'à partir d'un certain instant, la température (f de la barre sera nulle partout jusqu'à cette époque, et elle restera même toujours nulle aux points infiniment éloignés de l'extrémité chauflfée (ou refroidie) œ = 0. En eiïet, d'une part , les fonctions F et F' ne se trouvent prises , dans i'56) et (56 Us), que pour des valeurs de leurs variables inférieures à t et qui, par suite, annuleront constamment ces fonctions

tant que ^ne dépassera pas la valeur limite pour laquelle F [i] commence à différer de zéro; d'autre part, quand œ est très grand, les fonctions F ou F', dans (56 hvi) par exemple , n'ont leurs variables supérieures à la même limite , et ne cessent de s'annuler , que pour des valeurs de a ou de 6 très grandes, auxquelles il ne correspond, vu la

présence des exponentielles e~-^ , e—^y, que des éléments insignifiants des intégrales.

iS. — Lois de réchauffement de la barre par contact.

Bornons-nous désormais aux deux cas extrêmes que représentent les formules simples (51) et (52) , ou dans lesquels on se donne directement en fonction de t, pour

a: — 0 , soit la température œ , soit le flux de chaleur — — .

Le premier cas est celui de l'échauffement de la barre par le contact d'un milieu, tel qu'un liquide j communiquant à ce qui le touche des températures, F [t), sensiblement uniformes à chaque Instant ; le second est celui de réchauffement par introduction directe de quantités connues de chaleur.

Considérant d'abord la formule (51) , admettons en premier lieu que la fonction F {() , nulle pour ^ < o , atteigne rapidemeiit, dès que t devient positif, une certaine valeur

f, désormais constante. On aura donc F [i — -^-ï = o pour i — -jr-r <' 0, ou pour a <" —^ et F [t — -— - j = c pour

t — -^r— > 0 , OU pour K y -^. La valeur (51) de f devien-

dra , abstraction faite des époques ^ <^ o pour lesquelles elle donne évidemment ^^ = o ,

(57) (pourO^) '^ = Vl' __£^

La température f ne dépend, comme on voit, que du. rapport -^ , et elle décroit, en valeur absolue , de' c à zéro .

quand ce rapport grandit de zéro à oo . Donc, touies les lempéraiwes intermédiaires en^e la première eu la dernière produites à l'extrémité chauff'ée de la barre se propagent, le long de celle-ci , de Mie sorte qtte les plus voisines de la première réalisée s''observent toujours en avant des autres . et ainsi de suite , cfuicune se déplaçant d'ailleurs déplus en plus lentement à mesure qu^ elle avance. '^n effet, l'espace total, œ, décrit par le point où on la constate , n'est proportionnel qu'à la racine carrée du temps écoulé t. Par suite, la

vitesse de propagation,-^, de chaque température, est en raison inverse de \Jtou de l'espace déjà parcouru x.

Faisons maintenant une autre hypothèse , tout aussi simple , et propre à nous donner une expression de f telle , qu'il suffise d'en superposer de pareilles pour reproduire immédiatement l'expression générale considérée (51). Comme ce sont les. températures F [t] , successivement réalisées à l'extrémité a? = o , qui jouent ici le rôle dévolu d'ordinaire aux conditions d'état initial , et comme ty prend toutes les valeurs possibles entre — ao et -»- oo , il suffira de former ce que j'ai appelé au n" 8 du Mémoire principal (p. 2i%)\ix solution simple naturelle pour le cas d'un système, illimité, savoir, l'expression de <? obtenue en n'attribuant à la fonction arbitraire F (^ sa valeur que pour t compris entre deux limites infiniment voisines ti,ti-h- dt^, et en supposant la fonction F [t) nulle en dehors de cet intervalle. 11 est clair , en elFet , que , si l'on opère de même pour tous les petits intervalles dti compris de ^^ — — oo à ^, = oo ,

ou que Ton forme les expressions partielles de <p correspondant aux vraies valeurs F (A) de F {i) dans ces intervalles , leur somme donnera bien, à chaque instant, une expression totale de 9 égale à F (A) pour a; = 0 et identique, par conséquent, à l'expression générale (51).

Pour arriver de suite à ces solutions simples naturelles , prenons comme variable d'intégration, dans (51), la variable même dont F y dépend, en posant

(58W — ~=^i,; d'où « = ^ et d!,.=. -it — ti) ^dt,.

Alors on trouve

(59) <= = -^ C (i — ii)"^«~4(î-'j)-Fif,)tff, ;

et , si F (ii) est nul en dehors d'un certain intervalle di, , par exemple en dehors do l'intervalle compris entre (, = 0 et (, = dti , il viendra , en faisant ¥ (o) dt^= t : l" d'une part,

(pour i < o) ? = o .

2° d'autre part,

(60) (pourO"! ?= -~ -^.'^^' ■

Vît 2(Vi

Posons , pour abréger , ^ = ^, et cette expression pourra

La dérivée de sa valeur absolue par rapport à a; a le même signe que celle de le 3 par rapport a 5 , ou que

yGoosle

1 — i*. Ainsi , à chaque instant t. f est maximum pour ^ = i . ou pour w = \/lt, et ce maximum vaut :■ — .

Cela* revient à dire que l'introduction brusque , à l'extrémité de la barre, d'une certaim quantité de chaleur, suivie aussitôt après du rétablissement d'une température nulle à cette extrémité, fait naître dans la barre uns sorte dlonde calorifique, dont le sommet parcourt des espaces totaux proportioifuels à la- racine carrée du temps écoulé , tandis que sa température est en raison inverse de ce temps. La quantité totale de chaleur qui constitue l'onde décroit aussi, mais mains vite, car elle est proportionnelle à la racine carrée de cette température maximum. Un calcul immédiat donne , en effet ,

(60 dis) j f dx =

Viri ^ /a; = n V^'"'

La quantité de chaleur reçue d'abord par la barre se dissipe peu à peu, à travers la base ^ = o où la température est maintenue constamment nulle.

Oa pourrait encore composer .l'expression générale (51) de 'f avec des éléments empruntés à la forme (57) , dans laquelle on reniplacerait t par t — ^, et c par F' (t^) dli : car la valeur (57) de '^ exprime les efTets produits au bout d'un temps quelconque t, sur les températures de la barre , par un changement c survenu à son extrémité w = o; et , par suite, chaque changement élémentaire F' (^,) dti, qu'on y fait naître , vient ajouter à l'expression antérieure de ç un nouveau terme de la forme indiquée. Mais ce mode de superposition, où les éléments qu'on réunit contiennent F' (t,) en facteur , est bien moins direct que le précédent , où paraissent les valeurs mêmes de la fonction donnée F (^i). Aussi la forme (57) des termes élémentaires est-elle beaucoup plus compliquée que (60).

13. — Echauffement d'un corps indéfini à une, devœ ou trois dimensions , par l'introducHon continue, en un de ses points , de quantités données de chaleur (').

Ils nous reste à voir maintenant quelles lois résultent de la formule (52), pour réchauffement d'une barre au moyen de quantités connues de chaleur qu'on lui communique par son extrémité, Mais nous élargirons la question , en observant que , si la barre , au lieu d'être comprise de i^ = o à X = œ y s'étendait jusqu'à l'infini de part et d'autre de l'origine, et qu'on y versât, toujours en ce dernier point, une quantité de chaleur double à chaque instant de celle qui s'y répand en effet du côté des w positifs, les deux moitiés , séparées par l'origine , de la barre indéfinie ainsi obtenue, se comporteraient exactement comme le fait la proposée; car chacune d'elles prendrait, par raison de symétrie, une moitié de la chaleur totale, au fur et à mesure de son introduction. Etant ainsi ramenés au cas d'une barre, ou d'un corps à une seule dimension, chauffé en un de ses points , nous chercherons d'une manière générale quelles températures prend tout corps homogène indéfini, d'un nombre quelconque m de dimensions , quand on y introduit successivement des quantités données de chaleur en un point choisi comme origine des coordonnées œ,p, .... Nous appellerons F {() le fiux total de cette chaleur par unité de temps.

La température <a , fonction de É et de la distance r à l'origine, vérifiera, comme on sait, une équation indéfinie

de la forme %~J~'^ \%= o , que nous réduirons , par

un choix convenable de l'unité de temps , à celle-ci ,

(*) Cette question avait déjà été l'ésolue , d'une autre m (Journal de l'Ecole polytechnique, SXXll* cahier ; 184S).

comprise dans (23) [p. 374J. En outre, celte température » s'annulera, quel que soit /, pour )- infini, quel que soit r, à l'époque ^ = — co , et elle satisfera, pour ^=0, à la condition spéciale exprimant que le flux total de la chaleur introduite est F (^.

11 nous reste à former cette condition. Pour cela, décrivons autour de l'origine comme centre, avec un rayon quelconque r, une figure, qui se composera de deux points seulement dans le cas d'une barre ou simple ligne, mais qui sera une circonférence , dans celui d'une plaque, et une sphère, s'il s'agit d'un corps massif. Nous appelleions «t son étendue , à laquelle on pourra attribuer l'expression générale Kr°^', K désignant un coefficient numérique, respectivement égal à 2, à 2^1 et a 4^: dans les trois cas M=l, w=2et m— 3. Si, en vue de simplifier les formules, nous supposons le coefficient de conductibilité du corps égal à M» , le flux total de chaleur qui , à l'époque t , franchira durant l'unité de temps la figure de rayon r, en s'éloignant de l'origine, aura pour valeur le produit de

l'étendue t de cette figure par la dérivée — ■—■ Ainsi , la relation spéciale à r = o sera

(poi

Ces diverses conditions déterminent complètement f. On le prouve par une méthode dont le principe est le même que celui de la démonsfration donnée au n" 9 (p. 408). Remplaçons ^ par y -h cp' dans l'équation indéfinie (61) et dans les autres relations désignées , en admettant ioutefois que la dernière, (62), ait lieu, non pas précisément pour r = 0 , mais pour une valeur très petite s de r, qu'on ne supposera nulle qu'à la fin des calculs. Il viendra

yGoosle

avec les conditions spéciales

■f =o(pour< = — 30,1, ? = 0 (pour )■ = 30 i,r — =o (pour/ = =).

Or, si l'on multiplie (61 bis) par 2r'"~' f' (fr et qu'on intègre de ?■ — £ à r = r , en substituant a œ' -7- | r"^' -j- } l'expression équivalente

et tenant compte de la condition spéciale à la limite inférieure £ , on trouve

,^(^, ^ é-^ J, \drj

r-''4'=± rVv'--'*-.2 rm%^-v.

Cette relation montre que, si, à un.moment queiconque, f cessait d'être nul , la dérivée en r du carré 'j>'^ serait alors

positive; car l'intégrale j f'^r rfr ne pourrait manquer

de grandir et aurait sa dérivée par rapport h i de même signe que l'autre intégrale, essentiellement positive,

2 / [-—j r"'^' dr. Donc, le carré ^'^ à ce moment, irait en

augmentant avec r, et f ne pourrait être nul pour r infini : ce qui démontre qu'on doit posor forcément f = 0.

Appliquons le procédé d'intégration exposé au n" 6 (p. 380). Devant avoir une valeur de f insensible, quel que soit r, pour les très grandes valeurs négatives de f, nous

serons obligé de prendre les formules (31) ou (31 bis) avec les signes supérieurs — , d'après une raison qui a été développée, dans un cas analogue, au n''3 (p. 367). De plus, nous devrons clioisir les premières (31) et (31 bis), qui permettent de déterminer la fonction arbitraire f en se donnant, à la limite r= o, ou, sensiblement, pourr — e,

les valeurs successives de r"~' -^. Ces valeurs y devien-

nent, comme on a vu au n" 6 (p. 382 et 383), les produits

de fit) par ( '^'{~YJ ^™~' ^^ ^^ P^i" ^'^ premier ou le

second des deux nombres, \/''(2 — m)^et 2, suivant

que m diffère de 2 ou égale 2. D'aiUeurs , l'équation en 4*; 1^ même quel que soit m, donnera toujours

^iy) = e~''l cVoùY('{) = — e~''. L'intégrale j V[-o)'^"'~'^^ deviendra donc — / e~T S™"*^?. Dans le cas m = 1 , elle vaudra , comme on a vu , — v/r ; dans le cas m — 2,

en observant que yx = d~. elle deviendra le a I = — 1 ;

enfin, dans le cas m = S , la quantité sous le signe /,

changée de signe , y vaudra i.de 2 , et une intégration par

parties ramènera l'expression à — I e~Y d^~ — V/-.

Donc, les trois formules correspondantes de r"~^-j-, à la

limite r= 0, seront — y/''- f[f)^ — % f{t), — y'Z fit). En

les multipliant par les valeurs respectives , — 2 , — 2 tt: , — 4 Tï , do — K , il viendra , comme expressions du flux

total F {t)AB la chaleur introduite , w 2 tc fit), A^ fit), 2t:\ 2-r. f{t). Par suite, la condition (62) revient à poser

l'ai

{pour

{pour

' FW

(pour

et il résulte alors des premières formules ('31), (31 te), pour les expressions cherchées de œ, en prenant d'ailleurs, dans

la seconde, re^~^ et, dans la troisième, r « comme variable d'intégration,

^7 / l^^l'-r-O'^^ ''' (po«r« = 3).

Ces formules donneront bien, en outre, y = o soit pour t= — X , soit pour r = x> , car on aura F ( — oo) = o.

On remarquera que, dans les cas m =2 et m = 'A, qui sont ceux d'une plaque et d'un corps massif, la température a devient infinie à l'origine r= o des coordonnées ; ce qui prouve, comme il était naturel de le penser, que la région où l'on introduit directement la chaleur n'est pas rigoureusement assimilable à un point unique et qu'il faut se contenter de la regarder seulement cpmme très petite , lorsqu'il s'agit d'un milieu à plusieurs dimensions et de filets de chaleur divergents.

La première (64) conduit bien à la formule , (52) , que nous avions déjà obtenue pour le cas 7» = 1 , vu que F^ [t] , dans (52), désigne un flux total de chaleur égal à la moitié deF(0.

yGoosle

Quand on suppose le flux F (û) nui pour ^ <^ o et égal à une constante c pour # ^ o, la deuxième et la troisième (64) deviennent respectivement

[65} ?=:^ / * 2— et r? --=-—-- ( . , «^.

On voit donc que chaque valeur de 'f , s'il s'agit d'une plaque, et chaque valeur de rœ, s'il s'agit d'un corps massif, se propageront, à partir du "point chauffé, de manière à franchir des distances totales r proportionnelles à la racine carrée du temps t écoulé depuis le commencement de l'échauffement(*). D'ailleurs , les températures les plus voisines de zéro, les premières produites, marcheront en avant des autres; caries valeurs (65) de tp et de r<p

décroissent respect-ivoment do oo X (^ à zéro et de -t-^a zéro,

quand on y fait croître de zéro i l'inlini le rapport — ^.

Enfin, si Fon prend, dans (64), pour variable d'intégration, «^ ,.1

et qu'on appelle ^i, la variable même , t ^ ou t — -^-j-j

dont F dépend sous les signes/, il viendra, quel que soit le nombre m des dimensions , la formule générale

(*) Dans lo cas m= 1, ce serait chaque valeur du qaotient — qui se propagerait suivant cette loi simple. On le l'ecoiinaît sur la preniièi'e (64) , on y remplaçant la variable d'intégi'ation i par — ; ce qui donne, au lieu des formules (S5) ,

yGoosle

La solution simple naturelle de la question s'obtiendra en y supposant F {t^) nul en dehors d'un très petit intervalle , compris! , par exemple , de /i = o à #, = d^i. Alors la quantité totale de chaleur , F {t,] dû, , cédée au corps , sera censée l'être tout entière à l'époque ^ = o. Désignons-la par dq ei, f étant nul pour ^ <^ o , ne nous occupons que des époques ( ultérieures. La variable infiniment petite #, pourra y être négligée vis-à-vis de t, et la formule (66j, réduite à un seul élément, deviendra

kV^i

Elle donnera , à chaque instant t, des températures y

décroissantes de =^ à zéro pour des distances r crois-

(2 Vn) santés depuis zéro jusqu'à l'infini.

On reconnaît dans cette solution simple une spécilication de celle , (32) , dont nous avons étudié aux n»' 6 et 7 les belles propriétés générales.

Contentons-nous ici d'en déduire la vinsse de propagation de chacune des couches concentriques en lesquelles se divise , par le fait même de sa diffusion, la chaleur dg primitivement emmagasinée dans un espace infiniment petit en tous sens autour de l'origine. Pour cela , décrivons de l'origine , comme centre, avec des rayons r de plus en plus grands et se succédant graduellement, une infinité de figures a parallèles ; et imaginons que ces figures grandissent, avec le temps t, de manière à comprendre toujours, entr'elles et au-delà de chacune d'elles, les mêmes fractions de la chaleur totale dq. Il est évident que la quantité constante de chaleur, fsdr, comprise entre deux consécutives de ces figures , pourra être regardée comme une même couche élémentaire considérée dans ses états successifs. Par conséquent, l'accroissement de son rayon r pen-

dant l'unité de temps sera sa vitesse de propagation cherchée (').

Exprimons donc que la couche proposée sert , à toute époque , de limite intérieure à une même somme de chaleur, représentée par

J%.^.^Kj%r-

ou que, lorsqu'on suit la couche, l'intégrale K / ■fr'" ' dr

reste constante . La formule (67) , en v faisant —^ = £ ,

\f2l donnera

(69) r%.dr=K r%.'"-V. = K~^^ f^-ke^'di.

Ge résultat sera invariable si le, rapport' de r à V^/ ne change pas. Ainsi , les diverses couches concentriques de chaleur, en se répandant dans le coi'ps, parcourent des distances totales r proportionnelles à la i'acine carrée du temps écoulé t : elles ^agrandissent donc, toutes à la fois et suivant . toutes leurs dimensions, dans un même rapport. Par suite, leur épaisseur dr est aussi proportionnelle à >/t, et les températures qu'elles produisent , réciproquement proportionnelles à leur étendue «r (fr = K r ""* <?r , sont en raison inverse de \}l~tj- C'est, d'ailleurs, ce qu'on voit directement sur la formule (67) , en y supposant le rapport -- constant.

Parmi toutes les couches concentriques de chaleur, il y a

(*) Quand dq désigne , non plua une quantité de chaleur , mais une certaine masse dissoute dans un milieu indéfini et se difflisant autoui' d'un point où l'on suppose qu'elle a été initialement coiicenti-ée , la vitesse dont, il s'agit ici est éyidemment celle que prend l'une de ses couches sphériques , et -^ exprime sa densité (ou masse par unitc de volume) & rintcrieur du milieu dissolvant.

lieu de distinguer spécialement celle pour laquelle le rapport — ^ égale \^m : car c'est elle qui apporte successivement,

en tous les points du milieu, les températures les plïts grandes (en valeur absolue) qti'on y observe. En efiet, si l'on calcule la dérivée, par rapport à (î, de l'expression {67) de tp, on

voit qu'elle a, pour dq^o, le signe de ^ — m : donc, à une distance finie r de l'origine, f commence par s'écarter de zéro, jusqu'à l'époque t = ^, pour s'en rapprocher ensuite indéfiniment.

Dans le cas m = 2, qui est celui d'une plaque, l'intégrale du dernier membre de (69) s'exprime sous'forrae finie, car

elle égale 1 — e 3I, ou e 4; ; et comme, en outre, K vaut

alors 2 -^, le dernier membre de (69), expression de la quantité de chaleur située en avant d'une couche donnée, devient

(70) [paiir '.< = 2} J^%.dr = e-T,dg.

Si l'on V fait ■-— : = ^m = ^2 , elle se réduit à — — ^n^^ — ■ V-2i ^ ^718.,,

Ainsi, quand c'est dans une plaque que se répand la chaleur

donnée , la couche circulaire de cette chaleur, qui apporte

aux divers points de la plaque leurs températures mawima,

est celle qui a au devant d'elle d'autres couches , pour une

valeur équivalente à la Traction— de la chaleur totale , soit

un peu plus du tiers. On voit qu'elle se trouve à quelque distance devant celle qu'on peut appeler la couche moyenne, et qui en a autant d'autres en avant qu'en arrière.

Mais revenons au cas général de m quelconque. La cha-

leur se dissipant de plus on plus, il n'en reste, pour #=co , qu'une partie infiniment petite aux distances finies r. Or,

la chaleur totale, — ( •7 ~ dL qui traverse une figure fixe T, de rayon r, depuis l'époque t = o jusqu'il l'époque (=03, n'est autre que celle j -f^ dr, qu'on retrouve finalement aux distances supérieures à r. Celle-ci égalant dq, valeur constante de l'intégrale ( f^dr, on a donc

(71) ou bien

(72) (en-

absolu.) f^^r'-Ut = f

corome nous l'avions, du reste, remarqué déjà au n" 6, après la formule (34 Ms), et au u" 7 (p. 391).

14. — Refroidisse >nent d'un milieu homogène indéfini à une , deux ou trois dimensions.

Etant donné toujours notre milieu indéfini de m dimensions et à la température uniforme de zéro degré, imaginons qu'on y répartisse à l'époque i = o, d'une manière quelconque et dans une partie quelconque ra^ de son étendue, une certaine quantité j de chaleur. Celle-ci, en se dissipant ensuite librement dans tout le milieu, y produira une suite de températures dont le calcul fait l'objet du problème classique dit du refroidissement des milieux ath&rmanes, problème complètement résolu depuis Fourier. Aussi, m'y arrèterai-je uniquement pour faire voir que sa solution est une application particulière de la méthode exposée aun" 7.

Soit F {x„ 1/i, ...) la quantité de chaleur déposée initialement, par unité d'espace, dans un élément dis^ = (foi dpi. . . . de la région ^i, savoir, dans celui dont les coordonnées sont 3?i,j^i, .... Autrement dit, représentons parF{a;i,yi,.. ) la température initiale produite en [Xi, ^j, ...}. Chaque élément d^i aura possédé ainsi , à l'époque t = o , une quantité dq de chaleur égale à F {Xi, Pi, ...) d^,. et il est clair qu'il se comportera désormais , à l'égard de tout le reste du milieu , comme le faisait , dans la question précédente, l'élément d'espace situé à l'origine des coordonnées, après avoir reçu une pareille quantité dq de chaleur. On aura donc, d'après (67j, en superposaiit les valeurs de f relatives à un même point {x, y^...) et dues aux diverses quantités élémentaires dq de chaleur.

(74) et

= y'(a^ — aj)^^-{y — ^i)'

Prenons les variables d'intégration a, ,3, ... définies par les formules

d'où

dœ^ ^2 Vtd«,, dy^ =2 V~% A^ , .... Il viendra

(77) cp =(^]''r.. rF(3^+2«v'i,j'--2pV'T,...)*-("'+i^'+-W|3...;

yGoosle

ce qui est la formule connue, donnant la solution du problème.

On vérifie immédiatement, vu la valeur de l'intégrale de Poisson

que, pour ^ = o , cette expression (77) de f se réduit bien

Les solutions simples naturelles sont donc représentées par (67), dans cette question comme dans la précédente. Seulement , on les y combine d'une autre manière , en prenant successivement pour origine des distances r les divers points de l'espace, tandis que , dans la question précédente, c'était l'origine des temps que l'on changeait d'une solution à l'autre. On superpose ici des intégrales en quelqne sorte contemporaines, mais relatives à des centres d'émanation calorifique difTérents ; am contraire , dans ]a question précédente , on superposait des solutions successives, ou ayant débuté à des instants différents, mais se rapportant à un même centre d'émanation.

Comme les lois élémentaires de la propagation ne diffèrent pas de celles qui viennent d'être données à la fin du n" 13, il serait inutile d'y revenir.

5 m. — APPLICATIONS A l'ÉTODE DES VIBRATIONS TRANSVERSALES