ÉLASTIQUES. — THÉORIE COMPARÉE DU CHOC

LONOITODINAL d'UNB BARRE.

15. — De la pi-opagalton du mouvement transversal le long d'une barre homogène droite : équations du problème.

Passons maintenaiil à une deuxième série d'applications des procédés d'intégration exposés au t; P'', savoir, en premier lieu, aux problèmes qui concernent le mouvement transversal d'une barre élastique et homogène, ayant la forme d'un cylindre ou d'un prisme très allongés.

Nous supposerons d'abord que cette barre s'étende, le long d'un axe d'abscisses positives x , depuis l'origine jusqu'à l'infini, et que, primitivement en r^os dans toute son étendue , elle vienne à être sollicitée, par des forces agissant sur son extrémité ^ = o, à se mouvoir parallèlement à une certaine direction , normale à l'axe des iç et à un des axes d'inertie principaux de ses sections.

Le déplacement », fonction de a; et de ^, sera régi par t'équation indéfinie (3) [p. 358]. Mais, de même que, par un choix convenable de l'unité de temps, nous avons un peu simplifié, dans les questions précédentes, l'équation indéfinie des températures, de même, actuellement, nous remplacerons at par L ou nous supposerons adoptée une

unité de temps telle, qu'on ait a = l. Ainsi notre équation indéfinie sera

Il faudra y joindre les conditions spéciales évidentes

(79) [pour l ^ — ce ) ç ^ 0 , (pour x infini) w = o ,

Tune , que le corps a été d'abord en repos, l'autre, qu'aucun déplacement tp ne lui vient'de ses points situés à l'infini.

En outre, les diverses manières dont le mouvement lui est communiqué à son extrérailé s'exprimeront , dans chaque cas, par deux relations spéciales kœ = o. Le procédé le plus simple pour y ébranler la barre consiste à lui imposer certains déplacements ^ et certaines directions

-7^, connus à chaque instant. Alors, en appelant F(^), Fi(^)

deux fonctions données de ^, astreintes seulement à s'annuler pour !f= — 00 , on aura

(80) [pour^ = o) ? = F((), -J=F, (().

Mais, au lieu d'imprimer ainsi directement, à l'extrémité de la barre , un certain déplacement F [t), on peut encore agir sur elle par l'intermédiaire d'un ressort . dont le bout libre exécutera ce déplacement imposé F {t}, tandis que l'extrémité de la barre subira seulement , de la part du ressort dont l'autre bout lui sera fixé , une traction transversale [effort tranchant) proportionnelle à la diiïérence F [(} — œ, qui exprime rallongement du ressort. Or on sait, par les principes delà théorie des barres élastiques, que l'effort tranchant dont il s'agit dépend de la forme variable de la barre, et qu'il est mesuré, à un facteur constant près,

prise pour la valeur de x qui correspond à la section sur laquelle on le considère. Donc, si Ti désigne un certain coefficient positif donné, cette dérivée troisième de y en a; égalera , pour * = o , le produit