FM

De même , au lieu d'imprimer l'inclinaison F, {f) au premier élément de l'axe de la barre, on peut tendre seulement à la lui communiquer , par l'intermédiaire d'un manchon intérieurement élastique , mais à surface extérieure rigide, dans lequel la barre sera encastrée , et qui , seul, prendra immédiatement cette direction Fi if). Nous admettrons que Vmcastremmt élastique réalisé ainsi développe un couple de

^&miw ■ proportionnel à l'angle, Fi (^ ~, des deux

directions eflèclives de l'axe du manchon et de celui de la barre. Alors, comme le couple de flexion est d'ailleurs

mesuré par — -~ lorsque l'effort tranchant l'est par -—g-,

si ki désigne un certain coefficient constant positif, la

dérivée seconde -^ aura , pour x = o , ia valeur

Donc, en résumé, quand le mouvement sera transmis à l'extrémité de la barre par l'intermédiaire d'un ressort et d'un encastrement élastique, les conditions spéciales (80) feront place à deux autres moins simples , telles que

{80 bis)

Ce cas est ici l'analogue de celui de réchauffement par rayonnement dans une question précédente sur le mouvement de la chaleur le long d'une barre. On en déduit, de

même : 1° en prenant A = oo , y^i = oo , lo cas particulier de la transmission par contact, auquel répondent les conditions (80), 3» en prenant, au contraire, k ou.è, infiniment petits , mais en continuant à supposer les fonctions 4 F (^ ou ^1 Fi {fj finies, d'autres cas extrêmes, dans lesquels , au lieu de se donner à l'extrémité a; = o , comme dans le premier, soit le déplacement de la barre , soit sa direction , on se donne, respectivement, soit l'efïbrt tranchant, mesuré par

-Tj-, soit le couple de flexion , qu'exprime de même — -7^.

Grâce à ces diverses relations (78), (79), et (80) ou (80 bis), la fonction œ est complèteinent déterminée. On le prouve par un procédé comme celui qui a permis de démontrer un fait analogue dans une question précédente (n" 9 , p. 408). On remplace ^ par » -t- »' dans (78) , (79) et (80 Us). En observant que y les vérifie séparément , il vient

"^ if

[pour;

-ool,

ts' —

(pour

X infini

et

(pou

Multiplions (81) par 2 -i- dx, et, après avoir substitué à

-Yi -k l expression , évidemment équivalente ,

d fd^'s' à/ __ d\' dY\ 1 d /d'f'Y 'd^ \^ ~^ '^ ^tj '^'ilt \^j '

intégrons entre les limites ^ = 0, ^ — co . Les termes exactement intégrables ne donneront rien à la limite supérieure, à cause de la condition spéciale »'= 0 ('pour a; infini): quant à leurs résultats relatifs à la limite inférieure , on

pourra y remplacer les dérivées troisième et seconde de y' en X par leurs valeurs tirées des deux dernières relations (82). Indiquons ces résultats, spéciaux à is = o, au moyen d'un indice zéro placé à la suite, et il viendra aisément

a)>rm'^-s

La quantité placée entre parenthèses', dans cette formule, ne dépend donc pas du temps , et elle est nulle à toute époque , en vertu de la première condition spéciale (82). Comme aucun de ses termes ne peut devenir négatif.

chacun d'eux, sera nul, et il viendra, en particulier, -^=o ;

d'oii il résulte que œ', nul pour 1= — co , reste nul à toute époque. Ainsi, la valeur de 'f est unique , et le problème proposé se trouve complètement défini par les relations (78), (79) et (80) ou (80 bis).