Leur intégration

L'équation aux dérivées partielles (78) se déduit de celle, (1), que nous avons appris à intégrer, en posant «. =2, s=x,

. dH ly — t, A = L L'équation (14), en 4*, sera donc ici ■,—->- 4^=0,

et elle donnera

(83) 1^ (y) = soit COSy , Boit siny.

Par suite, les solutions particulières (9) et (15) prendront les deux formes suivantes, dont chacune est double ou même quadruple .

On remarquera que l'une quelconque des quatre espèces de solutions ainsi formées donne les autres par ses trois premières dérivées en x , avec la seule difTérence que celles-ci contiennent, suivant les cas, au lieu de f, l'une dos fonctions

Il est également important d'observer que, poura;=o, la première des intégrales (84) se réduit h'o = , f f If::^—] dx, tandis que la deuxième s'annule , et que les deux autres solutions, (85) , deviennent simplement y ~-^ fip}^ '^^ ^^ valeur connue, ô-V V' ^^^ deux intégrales bien classiques j cosw^t^w, ( sinm^dm: celles-ci, en y posant m = — ~ et multipliant par yf^j donnent en effet

^ ' Jo 2 2 ' Jo 2 2

Des réductions analogues se produiraient évidemment, toujours à la limite x~o, dans les dérivées successives en « ou ^ de ces quatre expressions de f, .

Nous devrons prendre ici les solutions particulières (84) et (85) avec les signes supérieurs seulement ; car il faut , d'après (79), que ^ s'annule soit quand t~ — oo , soit quand X = CD . Or, si l'on adoptait les signes inférieurs +, et qu'on supposât à la fois x très grand et t comparable à — x^, d'une part, dans (84), les valeurs de a qui sont à considérer, ou

pourlesqaellesl'arc— Y est fini, donneraient à la variable

^-H-x-de la fonction f toutes les valeurs finies possibles ;

d'autre part, dans (85) , les valeurs de « pour lesquelles

possibles à la variable t 1--5-7 '■ donc , on ne pourrait annuler f , pour toutes les valeurs infinies comparables do — ^ et de 3?^, qu'à la condition de poser identiquement /■=0j ce qui serait supprimer l'intégrale dont il s'agit. Ainsi les solutions (84) et (85) prises avec les signes supérieurs — subsisteront seules ; et alors les deux conditions (79) exigeront uniquement qu'on ait /■( — go) = 0.

Nous admettrons que la fonction f{t) ne devienne jamais infinie et que, de plus, elle décroisse assez vite, quand sa variable tend vers — oo , pour que l'expression I fit — -~-)(^a

ait iine valeur finie bien déterminée. Alors la première des deux intégrales (84} , dont les éléments sont à fort peu

près fit — ^ ] An. pour a très-graîid , aura évidemment sa

valeur finie aussi et bien déterminée. Quant à la seconde (84) , où les éléments analogues ont sensiblement pour

valeur -^fit — \)—i> on voit qu'elle serait finie et déterminée quand bien même la fonction finie f{t) ne tendrait pas vers zéro pour 1 = — 00 . Et il ou est de même des intégrales (85), qui ont leurs éléments correspondant à œ très

quatre premiers ordres, de ces diverses intégrales, et leurs dérivées tant premières que secondes par rapport à t, dérivées qu'il est nécessaire de considérer puisque les plus élevées d'entr'elîes paraisssentdans l'équation indéfinie (78), elles auront les mêmes formes que (84) et (85) , à cela près qu'il y figurera parfois 't.foM.^^ f'au lieu de f Elles seront donc, toutes, parfaitement déterminées, si les deux expressions 1 f { t — "-K ) <?« et I f" [t — %r I dri. ont ellesmêmes des valeurs bien définies. Or une formule qui nous

a déjà servi pour un but analogue, dans une question précédente où elle porte le n" 46 bis (p. 412) , montre qu'il en. sera ainsi , à la seule condition, que les deux dérivées première et seconde'de la fonction f{t) restent constamment finies comme elle. Nous admettons, il est vrai, qu'on puisse appliquer ici la règle de différentiation donnée au n° 2 (p. 361), laquelle, d'après (8), exige les conditions

(po„r. = o) ,/-(,^)*(|!)=., „/-(,|!)^(^)=o,etc.;

mais ces conditions ne pourront manquer d'être vérifiées, puisque les fonctions 4", 4''? ¥% ■•■ seront ici de simples sinus ou cosinus, et que les fonctions /, f, f", ... ne seront pas davantage susceptibles de devenir infinies.

Les quatre solutions particulières (84) et (85) se trouvant ainsi bien admissibles , on formera une solution plus générale en les superposant après les avoir affectées de quatre fonctions arbitraires distinctes f. Et il n'y aura plus ensuite qu'à déterminer ces fonctions arbitraires par les deux conditions spéciales (80) , ou , plus généralement , (80 bis) , dont cbacune se dédoublera, si l'on opère comme il a été indiqué à la fin du n" 3 (p. 368), et comme il a été fait au n° 10 (p. 413).

i7 — Résultats de cette intégration dans les cas les plus simples.

Mais, jusqu'à ce que nous abordions le problème du cboc transversal, bornons-nous aux cas où l'on connaît directement en fonction du temps f , pour l'extrémité tc= o,

soit le déplacement f et le cbangemenl de direction-^,

soit, à défaut du premier, l'effort tranchant, mesuré par -jj, ou, à défaut du second, le couple de flexion, représenté de même par — jj. Dans tous ces cas, aulieu d'avoir à prendre

simultanément Iris quatre solutions particulières {84)et (85), il sufliL d'en supei-poser deux seulement, de même que, dans les deux cas extrêmes de l'échauiFement d'une barre auxquels répondaient les fonhules (51) et (52), il a suffi d'utiliser respectivement une des deux intégrales particulières dont la formule (46) exprimait la somme.

Et d'abord , quand on connaît y et -^, ou qu'on doit satisfaire aux conditions spéciales (80) dans lesquelles les fonctions F (^, Fi (^, d'ailleurs arbitraires, tendent vers zéro pour ^= — 00 , il n'y a qu'à choisir celles des solutions (84) et (85) où paraît un sinus. La première, (84) , s'annule

pour 3!= 0, tandis que sa dérivée en iK, / fit — -~\cos—dcL, se réduit en même temps à — / [f] : la deuxième, (85) , devient JLlf{tj pour x=o, et elle a sa dérivée en x,

— / ^v — t) ^^"-yT*^*' égale alors à zéro. Donc, la

somme des deux vérifiera bien les conditions (80), si l'on

prend, dans la première. f{f}=^ — - V, [t] et , dans la se-

conde, f{^=^ — F(^). Par suite, il viendra

i (quand œ = F (i] et -^ = Fj [() pour ic = o)

Admettons, en deuxième lieu, que l'on connaisse l'effort tranchant et le couple de flexion , c'est-à-dire qu'on doive avoir

F' il) et F/ ((} désignant deux fonctions données de t, dont on appelle F {^) et F, {t} les fonctions primitives calculées de manière que F( — Go) = oet Fi ( — od) — o. Alors on prendra les deux intégrales (84) et (85) qu'on avait délaissées tout à l'heure , ou qui. contiennent un cosinus. La première, ditTérentiée trois fois en x, donne, en particulier,

valeurs qui , pour x = o -, deviennent respectivement zéro et -^ /" {i}. La deuxième donne de même

valeurs qui se réduisent à —^f'{fj et à zéro pour^ = o. Donc, la somme des deux rendra bien les dérivées -j—- et -r^ égales respectivement à F' (t) et à F/ {/) , si l'on pose : 1" dans la première, f {t)= — rF'(^), ou, vuque/'( — co)=--o

comme F (— co ) , /" (#) = -—z F (^ ; 2" dans la seconde ,

/'(^)^— Fi'(^) ou, de même, /"(^j =^Fi (O-Onaura. par

conséquent,

quand —{ = F' (() et ~ = F/ (i) pour a; = \ ds>^ dar

F i--- cos— ~Hi\ i- —

Passons, en troisième lieu, au cas où les données sont

f = F (;) et ■— = l\'[t) pour œ = o,

yGoosle

la fonction primitive Fi (t) étant encore supposée choisie de manière que Fi ( — ao) = o. Ce seront alors les deux formes (85) qui résoudront la question. Car, pour x = o , la première donne

et, la seconde.

Pour qu'il résulte de leur superposition

il faudra évidemment poser , dans la première ,

et , dans la seconde ,

Il viendra donc

Enfin , si l'on connaît , pour x = o, l'effort traacliaTit et le changement de direction •^, ou qu'on ait

on superposera les deus solutions (84), qui, à la limite œ ~ 0 , donnent , la première ,

et , la deuxième ,

-/■('). -si = Tr /•(')■

En conséquence, après avoir détenniné la fonction primitive F {û) de manière que F ( — co ) = o , on prendra , dans la première solution ,

dans la deuxième,

Et la formule définitive de f sera

— P| \t—^ fcos — —

La fonction F (t) a, dans cette formule (89) ainsi que dans (87) , un sens qu'il importe de bien saisir : elle exprime Vimpulsion transversale iolale qu'on a imprimée à la barre, par son extrémité x= o, jusqu'à l'époque considérée t. En eflfet, F [t) désigne l'intégrale

o'est~à-dire la somme des produits de tous lés éléments du temps écoulé par les efforts tranchants respectifs qui ont été appliques à l'extrémité x = o durant ces éléments de temps.

De même, dans les intégrales (87) et (88), la fonction

Fi (i) -= j -T^iit, somme des produits des divers éléments

du temps écoulé jusqu'à l'époque ^ par les valeurs correspondantes (changées pourtant de signe) des couples de flexion appliqués à l'extrémité de la barre , est ce qu'on pourrait appeler l'impulsion totale de rotation exercée jusqu'à cette époque sur l'extrémité considérée de la barre.

18. — Leur spécification pour des barres diversement sollicitées.

Voyons ce que donnent les formules précédentes dans les cas qui semblent les plus simples et les plus intéressants .

Nous en considérerons de trois sortes. Dans ceux de la première , la barre . au lieu de se terminer au point x = q, se prolongera indéfiniment du côté des x négatifs, quoique on n'ait spécialement en vue que sa partie comprise de x = ohx = œ; et elle sera sollicitée, à l'origine iP = o, de manière que les phénomènes soient parfaitement symétriques de part et d'autre de ce point, ou que, par suite, la

dérivée -r- s'y annule : ces cas se trouveront donc représentés par les formules (86) et (89), prises avec Pj [t] = o, ou réduites à leurs termes affectés de la fonction F. Nous rangerons dans la- deuxième espèce les cas où la barre se terminera à l'extrémité x=^ o , et où sa direction y sera libre , en ce sens qu'aucun couple de flexion ne s'y exercera : ils seront donc régis par les formules (87) et (88) dans lesquelles on fera Fj {€) — o. Enfin, la troisième espèce concernera les cas de barres dont l'extrémité a:=o sera fixe, eu sorte que ces barres ne pourront que pivoter autour de l'origine, sous l'action de couples donnés ou produisant des changements de direction donnés : les déplacements f seront alors exprimés par les formules (88) ou (86) , prises avec

Si, dans tes diverses relations Indiquées, on adopte pour variable d'intégration , au lieu de a , celle dont dépend la fonction arbitraire placée sous le signe /, variable qui est

t g-Y ou t ~, et que nous appellerons t^, il viendra;

lo Pour les cas d'une barre dont le premier élément considéré garde sa direction primitive , comme il arrivera si elle est indéfinie dans les deux sens et sollicitée symétriquement de part et d'autre de l'origine des abscisses,

! (quand œ = F (!) pour fn = o)

1 [quand — - = F' (() pour x = o\

2° Powr les cas d'une iarre dont l'extréirdié est libre de tout couple de ftewlon,

f [quand ^ = F {() pour x z= o)

( '^sTiîJ. r'4(l-l,)'^'"°4(l-.ldJ (,,,)f '

\ ^qumd — = r(i)poura! = oj

3° Enfin , pour les cas d'une barre pivotant autoïir de l'ori/jine , c'est-à-dire tlans laquelle le déplacement œ s'annule au point a: = 0 ,

= \/^/'si,. " ^"'•'

■li'-'i] /,:

Si l'on suppose nulle la fonction F {ti) ou Fj (#,) , excepté dans l'intervalle compris entre deux valeurs infiniment voisines t^ et ti + dt,^ ces intégrales se réduiront à un seul de leurs élémentSj qui constituera ce que j'appelle la sw^m^ïo?! simple naturelle de la question.

19. — Lois de la transmission du mouvement transversal le long de ces barres.

Voyons , par osemple , ce qu'exprime cette solution simple, dans le cas d'une barre dont l'exlrémité œ = o est

fixe, mais au premier élément de laquelle on a imprimé une certaine inclinaison positive,

pendant l'instant très court 2t compris entre les époques l, = — £ et ;^i=e; après quoi le même élément a éfé ramené et désormais maintenu dans sa direction primitive, choisie pour celle de l'axe des w. Proposons-nous d'examiner l'état que présente la barre au bout d'un certain temps i, fmi et, par conséquent; beaucoup plus grand que b. Nous pourrons alors , dans la formule (94) qui résout la question , poser Fi (^j) = 0 en dehors des limites ti=±t, F, {l,} = a entre ces limites, etj de plus, réduire à Vile dénominateur \t — ^, hors du signe sinus . puisque ?, n'aura à varier que de — £ à €. Il viendra

[96) ^= ^^ / sin . , dt^.

Comme, d'ailleurs, l'arc --7 peut s'écrire -- 11— -7) ,

(97) ^ A + il + ii! H

on voit que le sinus de — ■ pourra être remplacé luimême par celui du premier terme — , tant que le rapport — ne sera pas extrêmement grand ; car le terme suivant, ni viendraient après, - et, par conséquent.

négligeable vis-à-vis de tc. On aura donc, pour la solution simple cherchée,

Vttî

Mais, quand t sera assez petit, ou x assez grand, pour que

le produit du rapport -— par — devienne comparable à t:,

on n'aura plus le droit de néghger ce produit et , en le supposant fini , de manière que le Iroisième terme de (97) reste encore négligeable , on puurra écrire :

Alors, efi'ectuant dans (96) l'intégration par rapport à ^, , on trouvera

/2(2aî) /4iï . £«^\ . ^■^ 99 a = ^ ' — ; sin — sm — -.

Cette formule se confond, comme il le fallait bien, avec la précédente (98), tant qu'on suppose infiniment petit le rapport

-T- et , par conséquent , tant qu'on veut ne considérer (98)

que comme solution, simple, comme élément d'intégrale , ou y prendre e infiniment petit.

Étudions maintenant ce que représentent ces formules (98) et (99). Examinant d'abord la première pour une époque ^déterminée, on voit que le déplacement», nul à l'origine ^~ o, devient alternativement positif et négatif,

en s'annulant pour les valeurs de x qui rendent l'arc —

multiple deiï, et en atteignant ses valeurs absolues maxima.

l^ (2aE')

— ■ ■--, poiir celles qui rendent cet arc multiple impair

de ■^. La déviation imprimée momentanémmi à la barre a donc fait naître une inanité d'ondulatious , de fVm en plus courtes à mesure que Von s'éloigne de l'origine. Leur hauteur ou amplitude ne varie que très peu de l'une à l'autre, et ce

n'est même qu'aux points assez éloignés pour que l'arc -^ y soit très grand, qu'elle commence à décroître, dam le rapport du sinus de l'arc lentement croissant-^ à cet arc luimême, comme le montre la formule (99) : cette hauteur tend donc vers zéro, à mesure qu'on s'éloigne de l'origine, en présentant uns infinité de maxima et de minima. La formule (98) fait voir d'ailleurs : 1" que^ d'un instant à l'autre, te sommet de chaque ondulation progresse , ainsi que ses extrémités {où ^ ~o), &n parcourant, à partir du bout ébranlé x=o où toutes ces ondulations étaient d'abord confondues, des espaces totaux x proportionnels à la racine carrée du temps écoulé t ; 2" et que leur hauteur est en raison invmse de cette même racine carrée du temps, s'il s'agit, du moins, des ondulations les plus voisines de l'origine , qui se trotwent être, à la fois, les moins rapides , les plus hautes et les plus longues. Quant aux autres, auxquelles la formule (98J n'est pas applicable , mais seulement la formule (99) . le fait de leur inégalité de hauteur à un même moment rend plus complexe la manière dont cette liauLeur varie d'un instant à l'autre.

Une loi simple s'y dégage toutefois, quand on imagine un obser\'ateur animé , le long de la barre , d'une vitesse constante quelconque K, et qui , parti de l'extrémité x = o à l'époque t=^o, c'est-à-dire au même instant où les ondulations s'en détachaient avec des vitesses infinies mais désormais décroissantes, finirait par les dépasser successivement, les unes après les autres. Comme cet observateur

aurait à chaque insiant l'abscisse x = Kl, les valeurs de y produites à côté de lui , aux endroits même où il serait . se trouveront exprimées, d'après (99), par la formule

jj'observateur , s'il se croyait immobile et s'il ne voyait qu'une partie infiniment courte de la barre, constaterait donc sur cette partie (sans cesse changeante} un simple

mouvement vibratoire , d'une période -=^ d'autant plus

coude que sa propre vitesse serait plus grande, et d'une amplitude inverse de la racine carrée du temps écoulé, t. Mais , si , capable d'observer à une certaine distance en avant et en arrière, il pouvait suivre quelque temps des yeux ce qui se passerait en un même endroit, il y remarquerait, après avoir, toutefois, dépassé les premières ondes, une suite d'ondulations sinusoïdales qui s'y propageraient avec la

(comprenant une convexité avec la concavité qui suit) ou,

par conséquent, la période — .

Pour le démontrer, observons que les ondulations dont il s'agit correspondent à d'assez grandes valeurs de

— —lVt= Kx et, par suite, à d'assez grandes valeurs soit de ^, soit de x: en conséquence, le rapport— n'y varie que

peu sur une étendue comprenant plusieurs ondes, ou durant le temps, très petit par rapport à f, qu'emploie chaque onde àparcouriruno telle étendue. On peut donc y assimiler, dans

ces conditions, les deux dérivées de — par rapport hwei h i.

constantes, et, pour deux accroissements modérés, ^w et A#, de a: et de i, prendre comme valeur simultanée ou

accrue du rapport -- l'expression

La formule (99) de f , si l'on y remplace é et x par f-^ M et par is--*- ^x=Kê -\-^cc, puis qu'on y regarde i#, àx, comme les seules variables , deviendra donc très sensible- As \x ment, vu la petitesse supposée des rapports —et — qui

rend à fort peu près constante l'expression — — sm — ,

(101) Y =^^i:^ -— sin-- sini(K"-i-H2KA^ — K^ii).

Les variables étant ^x et ^t , cette expression de œ est de la forme

et elle représente bien l'ordonnée d'une courbe sinusoïdale,

sur l'axe des abscisses) et se transporteraient dans le sens

des a; positifs avec une vitesse de propagation égale à — .

Il résulte, en outre, des formules (100) on (101), que l'observateur verra la bauteur de cette sorte de houle , de longueur constante, à côté de laquelle il passera, décroître graduellement , en raison inverse de la racine carrée du temps t.

Voilà suivant quelles lois se propagera et s'éteindra peu à peu le mouvement dû à une simple déviation instantanée du premier élément de la barre.

On obtiendrait des lois tout à fait pareilles, où, seulement, le cosinus do Parc —remplacerait son sinus, mais où serait toujours, pour les grandes valeurs du rapport— ,

le facteur — - sin -^, dans le cas, représenté par la formule (93) , d'une barre ayant subi à son extrémité œ=o , au commencement et à la fin d'un très petit instant 2e, deux impulsions égales et contraires , qui donneraient F (#i) = a entre les limites iî, = + e et F {ti) = o en dehors de ces limites. Et des lois analogues régiraient encore le cas, auquel répond la formule (91), d'une barre indéfinie dans les deux sens , soumise de même, en un do ses points choisi pour origine , à deux impulsions égales et contraires, imprimées respectivement aux deux époques t = Te. On voit que l'expression de f égalerait alors la demi-somme des deux précédentes. Seulement, la valeur F (A) = a , en-tre les deux limites ^, — T ^ , serait celle de l'impulsion exercée sur une moitié de la barre indéfinie, et n'égalerait que la moitié de l'impulsion totale donnée.

Quant aux cas exprimés par les formules (90), (95), (92), leurs lois concrètes seraient un peu moins simples, à cause

du facteur -^j^ — -, qu'y contiennent en plus les éléments

des intégrales. Il est bon d'observer, et il résultait du reste déjà de l'origine même du type (15) auquel ces solutions sont empruntées, qu'on peut les déduire immédiatement des précédentes , appartenant au type (9), par une simple diÊférentiation en œ. Par exemple, l'expression (90) de f est la dérivée de (93), avec changement de signe; l'expression (95) de 'f est la dérivée de (91) ; etc. Les solutions simples naturelles correspondantes s'obtiendraient donc en diffé-

rentiant par rapport à w celles du premier type , telles que (98) ou {99), et l'on pourrait même, dans cette différentiation,

regarder comme constant le facteur — - sin -— ^ , qui n'y

varie, en comparaison de sin -j- ou cos-^"? qu'avec une

lenteur pour ainsi dire infinie.

On remarquera, à ce propos , que la dérivée par rapport à œ de l'expression (99) de y ne contiendra plus , il est vrai , le dénominateur x^, mais qu'elle gardera encore le dénominateur ^, et qu'elle acquerra aussi en dénominateur un nouveau facteur i. Donc, les solutions simples du second type s'évanouissent pour a; infini , quoique moins rapidement que celles du premier; et elles s'évanouissent également pour t infini. C'est dire que , de toute manière , la barre élastique ne transmet, le mouvement transversal qu'en le disséminant et le rendant insensible, contrairement à ce qui arrive pour le mouvement longitudinal, régi, comme on sait, par l'équation de d'Alembert (ou des cordes vibrantes)^ laquelle exprime une transmission intégrale, sans altération, c'est-à-dire sans condensation ni dispersion.

20. — Problème de la dissémination du mouvement transversal le. long d'une barre indéfinie dans les deuœ sens, à la suite de déformations et de vitesses initiales données.

Nous avons vu aun"? (p. 390) que la solution simple (32), fournie par notre premier type (9) ou (31) d'intégrales , est propre à devenir l'élément de la solution générale, pour le cas d'un milieu à m dimensions indéfini dans tous les sens et dont l'état, soustrait à toute action étrangère, n'éprouve de changements qu'en conséquence de sa manière d'être initiale : il faut toutefois, pour cela, que cette valeur (32) de y rende la somme /fdis finie et déterminée quand on

la prend dans tonte l'étendue es du système, ou que,

en d'autres termes, l'intégrale f ^\-^\^ '^^ soit eile-

même finie et déterminée. C'est bien ce qui aura lieu s'il s'agit du mouvement transversal d'une barie élastique indéfinie dans les deux sens, puisque, m égalant alors 1 et ^ (y) étant soit sin -f , soit cos y, il vient , d'après (85 bis),

■l^ (-^ î d^=—^. D'ailleurs, le coefficient K delà

formule (37) [p. 389] n'est autre que 2 pour un milieu à une seule dimension, comme ici , où l'espace <jdr~Kr""^ dr, compris entre les distances r et r -t- dr de l'origine^ se compose seulement de deux éléments linéaires dr, situés symétriquement de part et d'autre. Il ^"ient donc , en appliquant la form.ule (37) à l'étendue totale de la barre,

f^d.ir>-=2s.-^=^ ^T.-. et la valeur du coefficient K', définie par (37 bis), est K'= \^.

Ainsi, les solutions simples naturelles de la question, si l'on y remplace e par un coefficient choisi de manière à

rendre la somme totale ff dm, on j -f dx, égale à l'unité, seront, d'après [32} fp. 384], ~^

(102) a =; soit .sin — , soit — — cos --.

Elles auraient pu se déduire des solutions simples, telles que (98), qu'a fournies dans la question précédente le premier type d'intégrales, comme il était, du reste, évident par le n" 6 et par l'exemple , emprunté à la théorie de la chaleur, qui a fait l'objet du n° 14.

Pour t infiniment petit et r différent do zéro, les facteurs

sin~ ou cos -7-, auxquels sont proportionnelles les ex-

3 (102) de », ne se réduisent pas, il est vrai, à zéro,

comme il arrivait pour le facteur e"'" dans le cas de la solution simple (67) [p. 429] : mais ils changent de signe dès que r varie, et ils ont leurs valeurs moyennes, dans tout intervalle fini , égales à zéro. Or cette circonstance suffit ici pour que , à l'époque t= o , les termes de toute somme composée d'une infinité de pareilles expressions, dans lesquelles r varierait uniformément d'un terme à l'autre, s'entre-détruisent, à l'exception de ceux où r sera nul.

Et, eueflet, si , conformément à la formule (38), prise en réduisant V («i, y,, ...) à /(a^i), ffe, a dx^ et r^ à [x — x^, on pose

ces expressions de ^recevront, à la limite t — a , les valeurs simples /'(^), comme dans les cas où la fonction

^\l\ s'annule à la même limite dès que r diffère de zéro.

Pour le reconnaître, et pour prouver en même temps que ces expressions (103) sont bien finies et déterminés, débarrassons-les du dénominateur S^l^ qui semble les rendre infinies à la limite ^= o.

Dans ce but, prenons la no iivelle variable d'intégration, «, définie par la formule

^^- / , ou »i = a^ -I- 2 « l^î , donnant dx^ = 2 l^i dn.. 2V~t

yGoosle

Or, si la fonction f{Wi) , toujours fmio, varie graduellement et ne change de signe qu'un nombre limité de fois entre ^j— :^co , ces expressions seront parfaitement déterminées,

commelesintégralesmôme / sin «*(/« et / cosœ*c?a. Car,

pour les grandes valeurs absolues de a, les éléments y formeront un certain nombre de séries de termes extrêmement petits, alternativement posilifs et négatifs, dans chacune desquelles les termes iront en croissant ou en décroissant et auront une somme algébrique inférieure ou du moins comparable au plus grand d'entr'eux , c'est-à-dire insensible. On pourra donc ne pas tenir compte de ces éléments, et raisonner comme si l'intégration, qui porte, dans (104), sur des fonctions finies , se faisait entre des limites finies. Ainsi, lès expressions (104) de ^ seront parfaitement déterminées. De plus, à la fimite û=o, les éléments "correspondant aux valeurs modérées de a, les seuls à considérer, deviennent , sous le signe /, f{x) sin a^ dx , flx) cos a* da.. Leurs sommes vaudront donc ;

et il viendra bien

Les formules (104) seront donc admissibles, comme intégrales de l'équation -T^-(---T-^ = o, pourvu qu'elles donnent

des valeurs finies et déterminées aux dérivées qui entrent dans cette équation , ou à celles dont elle implique l'existence, savoir, aux dérivées première et seconde de f par rapport à t, ainsi qu'aux quatre premières par rapport à x. Or, en premier lien, les dérivées en x des expressions (104) s'obtiennent immédiatement , si l'on suppose finies et continues les dérivées correspondantes de la fonction /", et, se trouvant de même forme que ces expressions (104), elles sont déterminées comme elles.

II ne nous reste ainsi qu'à nous occuper des dérivées par rapport à t. Admettons , provisoirement , que la fonction / s'annule ou du moins devienne constante pour les valeurs absolues très gratides de sa variable ;" de sorte qu'on puisse supposer iînies les véritables limites des intégrations , en ce qui concerne , dans (104) , les éléments dépendant de t. Alors la dérivée en C des deux expressions (104) sera évidemment représentée par les formules :

,„it l r7'.>-H2«/^)cos«V2„^«.

Substituons-y — d cos k' et d sin v} à sin a*.2a rfa et à cos«^. 2«rfa, puis "intégrons par parties, en observant que, d'après l'hypothèse, la fonction/', supposée d'ailleurs continue partout, s'annule aux deux véritables limites des intégrations. Il viendra simplement

soit — v - / f" ■> -^ 2 « Vt) sin «2 d'A.

Ces expressions ont les mêmes formes que les proposées

{104) , et , comme elles restent finies, bien déterminées, quelque grand que soit l'intervalle en dehors duquel la fonction f a été supposée égale à zéro , rien n'empêchera d'admettre que cet intervalle devienne infini , ou que la fonction /" (a;,) s'annule seulement pour ^, =:::;: oo . Mais ii faut que cette dérivée Z' (endebien, en effet, vers zéro, quand la valeur absolue de sa variable grandit indéfiniment ; sans quoi le terme aux limites qu'on a supprimé dans le résultat de l'intégration par parties conserverait des valeurs finies et même indéterminées, dont la présence empêcherait la dérivée de o d'exister en tant que fonction bien défmie.

Étant ainsi admis que /^ (± oo ) = o , il en sera de même de f" 1 20 ) - et les formules (105), difFérentiées encore de la même manière, par rapport à t , montreront que l'équation

aux dérivées partielles proposée, ^= -7-1 est satisfaite,

comme on pouvait le penser.

Obsei'vons que, si les formules (104) se réduisent à y = f(a;) pour t=o, les formules (105) donnent, respectivement, ^=±/" (a;) à lamêmelimite t=o. On pourra donCj

en mettant, dans la seconde, /î au lieu de /pour éviter toute confusion , et en superposant ensuite ces deux intégrales, former l'expression de f qui correspond à un éUU

initial quelconque , c'est-à-dire qui rend les vitesses j et

les déplacements ç, pour t=o, égaux respectivement à deux fonctions arbitraires données de ce. Appelons F fa;) la seconde de ces fonctions, représentant les valeurs initiales de y, F,"(ip)la première, et F| (x) l'intégrale

j dx j F," [w) dx. Nous aurons évidemment , pour déterminer f[x) et f^ (^), les deux équations

(106) fW) ^ /, (^) = F [x}, I" [x] — /•," [œ) ^ F," [»),

yGoosle

La seconde, multipliée par dœ, puis intégrée à partir de x = — co et en observant qu'on doit avoir /"{ — go) = o, fi { — X ) = 0 , donne

(107) /'fe)~/.'(^] = F/(4

D'ailleurs, on peut toujours admettre que f{x) et fi {w) soient égales pour x = — x . Kn effet , puisque ces fonctions sont supposées ne pas grandir indéfiniment avec — w et que, déplus,/' ( — go) =oet/ï'{ — co) = o, on ne peut leur attribuer, pour x = — oo , que des valeurs constantes, A -H B , A — B. Or , en réduisant ces valeurs à leur partie commune A, on, autrement dit, en ajoutant — B à f{x) et B à ^ (a:), on ne change é^ddemment rien, ni aux équations (106), ni à (107). Il est donc permis d'intégrer celle-ci (107), après l'avoir multipliée par dx , de manière que f{x) — fi (x) s'annule pour^= — ^co , comme le fait F, {x). Il vient alors

équation qui , combinée avec la première (106), donne enfin

Observons que les conditions f'{cc) = o, f,'{cc) = o^ auxquelles nous avons dû plus haut astreindre les fonctions f{x) , fiiw), seront vérifiées, si les valeurs initiales de f deviennent constantes pour t = ±aD , ou que F' (± co ) = 0, et si l'on a soin de prendre un axe des x animé, dans le sens normal à la barre, de la même translation constante que le

centredegravitédecelle-ci; en sorte qu'on ait j -^dx=o, c'est-à-dire, pour l'époque l = o, j Y'' {x)dx = o et, par

conséquent, Fi'(x), ou j F" {r) dx, nul pour ic =co.

Alors, eu effet, les deux relations (108), différentiées une fois et prises ensuite pour x = œ , donneront bien