CO) = 0, A

En définitive, l'expression générale demandée de a sera, d'après ([04j et (108),

—^ l \l' {!s^2'AVt](siaa^-*- cas «^]

Quand on y fait F, = o, elle se réduit à celle que Fourier a obtenue pour le cas d'une barre abandonnée à elle-même, sans vitesse initiale, après avoir été arbitrairement flécbie sur une étendue quelconque. La solution simple naturelle correspondante, ou qui exprime les déplacements successifs <f provoqués dans ia barre par un certain déplacement initial F {cei) d'un seul élément dXi , se déduit immédiatement des formules (103) et (108) , en observant que l'on doit remplacer /'par f, dans la seconde expression (103) de tp et superposer ensuite cette seconde expression (103) à la première. Si l'on pose F [xi) dXi = dq , el qu'on transporte l'origine sur l'élément considéré da^i, cette solution simple sera

Mais si les vitesses initiales étaient telles, qu'on pût adopter isolément l'une ou l'autre des expressions (104), la solution simple analogue serait

'"" '=7fe(

21. — DifflcuUé que présente l'emploi d'intégrales analogues pour l'étude des vibrations transversales ou normales d'une plaque élastique plane ; calcul des mouvements propagés , dans ce cas d'une plaque , autour d'un centre v/nique d'ébranlements.

Quand, au Lieu d'une simple barre, il s'agit d'une plaque plane homogène, indéfinie dans les deux sens des x et des y, et dont on veut étudier le mouvement transversal consécutif à des déformations ou à des vitesses initiales données, l'équation aux dérivées partielles de la question

précédente , --^ -h -—^ = o, se trouve remplacée par celle-ci :

(112) -^-hA ^2^ = 0, où As = -— - H- — -.

* ' dt^ dafl dy^

Alors la méthode d'intégration exposée au n"? (p. 391) donne bien, en faisant, dans (32) ou dans (32 Us) , m = % et en prenant encore -Jj (y) = soit sin y, soit cos ■(, les deux sortes d'intégrales particulières

fU3i u = — sin — , (p = —-- cos -— ;

mais , d'après ce qui a été démontré au même endroit (p. 390), pour que ces intégrales constituent les solutions simples naturelles de la question, on expriment les effets d'ébranlements initialement concentrés à l'origine des distances r, il faut que la somme f'sdvi, étendue à toute la

plaque, et qui égale ici 2 ^i ( 'frc^r, soit finie et déterminée. Or, abstraction faite du facteur constant 2 tv e, cette somme, si l'oii pose toujours -^= \ et que l'on s'arrâte provisoirement à une limite supérieure finie Ç, devient

Isin — j Çc^l ==1 — cos — , soit I (^s— 1 Idt — sïn —.

On voit que ses éléments se suivent par groupes, alternativement positifs et négatifs , qui n'augmentent pas en valeur absolue quand on passe d'un groupe à l'autre , mais qui ne diminuent pas non plus ; car chaque groupe, si l'on excepte le premier de la seconde intégrale , égal à 1 seulement, s'obtient en faisant varier — entre deux multiples

valeur totale ±. 2. Ainsi , quand la limite supérieure croît indéfiniment, les deux intégrales oscillent sans fin soit entre zéro et 2, soit entre — 1 et 1 ; et on no pourrait leur attribuer une somme égale à la moyenne correspondante, 1 ou zéro , de ces valeurs extrêmes , que si l'on avait d'ailleurs quelque raison de supposer les groupes dont il s'agit, au-delà d'une certaine valeur de S, graduellement décroissants jusqu'à zéro, quoique d'une manière infiniment lente, cas où la somme totale de ceux dont chacun aurait sensiblement la même valeur absolue que le suivant se réduirait, comme on sait, à la moitié du premier d'entr'eux, c'est-à-dire, ici, à j: 1 ["). En l'absence d'une pareille raison générale ("), et vu le défaut, tout à la fois, d'une convergence

(*) Soit, en effet, S une aommû , a — b + c — d + e — f+g—...., dû termes il signes alternant, et tfès graduellement décroissants de l'un k l'autre, en valeur absolue, jusqu'à la limite zéro. Par raison de continuité, les différences, toutes de même signe, a — 6, 6 — o, c — d, d — e^e — f,j — g , ... ne différeront relativement que fort peu chacune de la suivante; en sorte que la somme,, S = # — h + c — rf H- e — f -t- ..., de celles de rang impair , sera à la somme , b — 0 -\- d — e -i- f — g -t- ... = a — S , de celles de rang pair, prises en mêrae nombre, dans un rapport extrêmement voisin del. On aura donc, à fort peu près,

(*') On on aurait une, s'il était possible d'attribuer à l'espace plan indéfini, autour du centre (œj , yt) , une forme convexe non circulaire , quelle qu'elle fût d'ailleurs , celle , par exemple , d'un caiTé , ou d'une ellipse , etc. ; car les zones 2^rdr comprises entre les deux circonférences inscrite et circonsciite à ce carré ou h cette ellipse se trouveraient évidemment réduites , danis Tintégrale, k une fi'action de leur surface de plus en plus faible à mesure que leur rayon r gi'andirait.

et d'une divergence bien caractérisée -dans la somme

I frdr relative aune seule solution simple (113), on

conçoit que, lorsqu'on superposera une infinité de telles solutions , correspondant aux divers éléments dsi, d'une région finie donnée ra, ^ l'expression totale » ainsi obtenue, parfaitement déterminée d'ailleurs , pourra , suivant la îbrme de cette région et suivant la fonction /"(aîi, î/j) des

coordonnées de djSi qui représentera le rapport fini -j— ,

se réduire , pour #= o , à une quantité proportionnelle à ce rapport même /(iC, y), ou dépendre au contraire d'une manière plus ou moins complexe, pour chaque point {x, y), des valeurs de /'f«i, iji) en plusieurs endroits delarégioncï,. Ainsi une discussion spéciale et difficile, appropriée aux diverses formes des fonctions arbitraires F («, y) exprimant l'état initial , sera nécessaire pour décider , dans chaque ■ cas, quelles valeurs de £ = /{^i,ï/,) (^rai on devra adopler. Nous n'entreprendrons pas cette discussion.

Heureusement, la même difficulté n'existe plus quand la variable indépendante principale est r et non plus t, ou qu'il y a lieu de superposer des solutions (113) en faisant varier, de l'une à l'autre, non pas l'origine des distances r-, mais celle des tempe i, de manière à obtenir les intégrales (31 Ms). Ce cas se présente lorsque on étudie le mouvement transversal communiqué à la plaque par une infinité d'ébranlements successifs produits à l'origine des •coordonnées, comme, par exemple, quand la plaque y est soudée à une mince lige perpendiculaire , qu'on fait mouvoir suivant sa longueur et qui lui transmet, sur une circonférence 2TTr d'un rayon infiniment petit, certains efforts tranchants totatix F'(?^, exprimés, en fonction des déplacements simultanés tp, par la formule 2^ "' *' ' tant dont nous pourrons faire abstraction).

On a doncalors, pour résoudre le problème, les intégrales (31 his) [p. 380] , prises avec les signes supérieurs — . Elles reviennent, d'ailleurs, tostes les deux au même , quant aux valeurs de tp qu'elles expriment : on le reconnaît en remplaçant e^ par r^e~-'' (d'oîi (?p= — d'{], ce qui donne à chacune d'elles la forme de l'autre. Mais elles ne sont pourtant pas également avantageuses , car la première , où r^, sous le signe ^ qui désigne ici un sinus ou un cosinus, est multiplié

par le facteur ~e~^ indéliniment croissant avec — p, doit à

cette circonstance de ne pouvoir être différentiée enr, icou^. Cette première formule (31 his) de cp contient, en effet, une infinité d'éléments correspondant aux grandes valeurs négatives de p et dont les changements en fonction de *' sont infiniment rapides , leur dérivée par rapport à r étant

l'expression /■(^ — \q^)^' [~e~'^\Tè~^d^, laquelle se trouve

relativement de l'ordre de q—P. Les éléments en question , tout en ne donnant qu'une somme insensible dans y, où ils ne grandissent pas avec — p et changent de plus en plus souvent de signe , ne restent plus négligeables dans la dérivée de ^ en r, quoique ils continuent à changer aussi souvent de signe, parce qu'ils y augmentent en valeur absolue à mesure qae — ji grandit: leur somme n'y converge vers aucune limite. En d'autres termes , la première formule (31 Us), quand ijjy désigne, comme ici, un cosinus ou un sinus , affecte , par sa forme même, la fonction qu'on lui fait représenter, d'une infinité d'ondulations infiniment petites et infiniment courtes , qui l'empêchent de varier graduellement ou d'avoir une dérivée. Ces ondulations sont évidemment de pures fictions d'analyse , sans correspondance avec la réalité;car tout ce qui est, dans la nature, y est déterminé ou fini. D'ailleurs , des affections infiniment petites , ne se révélant qu'à la difTérentiation et seulement comme obstacle à la variation graduelle des quantités, ne sauraient être admises dans une question physique où il

faut invoquer la continuité comme la suprême loi des phénomènes.

La seconde formule {SI bis) ne présentera pas cet inconvénient ; car le facteur par lequel elle dépendra

de r, fit ô"'^~'j' ^^^* infiniment petit, sinon même tout

à fait nul , ainsi que ses dérivées en r, pour les grandes valeurs négatives do sa variable et, par conséquent, pour celles de p : on évitera donc la difficulté relative à ces grandes valeurs négatives de p grâce à la nature arbitraire de la fonction /■, qui ne sera pas, comme i}j, un sinus ou un cosinus. Quant aux éléments correspondant aux très grandes valeurs positives de p, ils se réduiront sensiblement à f{t)^{'^eP)d^ et ne donneront qu'une somme infiniment petite , car ils changeront à tout instant et de plus en plus souvent de signe sans grandir avec p.

Prenons, par conséquent,

(114) ,^f'f{,-!L,~,),{iLy,.

En procédant comme il est indiqué aussitôt après la formule f28) [p. 377] , nous en déduirons pour Aj-f une expression de même forme, mais avec — f, i/ au lieu de f, 4", et ensuite , pour Aj A^ cp, une expression encore analogue, mais avec /"'au lieu de /"et tp" = — ij* au lieu de 4*; de sorte que cette expression de A3 i^f, changée de signe, égalera identiquement la dérivée seconde -j^ .Ainsi, l'équation indéfinie (112) sera bien vérifiée.

D'antre part, la dérivée deAjtpparrapport à r, multipliée par T. sera

expression qui, en posant ei^ = K, peut s'écrire aussi

Une intégration par parties donne donc , vu la condition

,U5! ..i^ ^ ,,>,r(,)-.jr"[rB-/-(.-i^)] r (i)«.

L'intégrale du second membre, oùY' = — t ' ^^f- rendue parfaitement finie et déterminée, malgré sa limite supérieure infinie , par le facteur f {û} — f (û — — J , évanouissant quand la variable C y devient de plus en plus grande.

A la limite r = o, il vient simplement, en multipliant par 2 T! j

On voit que cette expression égalera, comme on le désire, la fonction donnée F' [i] , si l'on prend -p (y) = sin y et

(115H A'W = ^^i''!0; d'où /■(()== -^ J" F' (il «fi- ^.

On ne peut pas d'ailleurs, à lasolution (1 14) ainsi obtenue, en superposer une autre , dans laquelle on prendrait

^ (y)"= cos y et qui, donnant r -;r^= o à la limite r=o, n'y

modifierait pas l'effort tranchant; car elle entraînerait, pour r nul. un déplacement f infini , les valeurs négatives très grandes de 3 y rédui'^ant à fort p^^u près, dans (114), la quantité sous le signe/à /■[^--Çe-'^) 4- (o)r/p=^/'(?^-^e-J^)f:??,

yGoosle

expression qui , pour r ~o, devient f {f\d^j et donne , à partir de p = — co , une intégrale infinie.

On voit par là, et je l'observe en passant, que la solution (114) prise avec ^ [y] = ces y ne pourrait être utilisée que dans des cas où il n'y aurait pas à poser r — o, c'est-à-dire où la plaque, cessant d'être continue, serait percée d'un trou à l'origine des coordonnées. Ces cas me paraissent peu intéressants et je ne m'en occuperai pas.

Donc, en résumé, il faut, dans(114), poser ^ {y) = sin y et déterminer la fonction /■par la relation (115 Jw). En introduisant alors la même variable d'intégration, !; = ei^, que dans (115), l'expression de f prend la forme^ un peu plus simple ,

On remarquera qu'elle est parfaitement définie; car, d'une part , la fonction sous le signe / n'y devient jamais infinie et , d'autre part , pour les très grandes Valeurs de K, ses éléments ressemblent à ceux de l'intégrale classique

amX°"

point, î- = o, d'où partent les ébranlements, cUè se réduit même à celle-ci, et Ton a simplement

[116 iis] (pour )■ = o) ? = ^ /■(').

De plus, cette expression (116) de -o vérifie les conditions que comporte évidemment le problème pour i= — x et pour rinfini, conditions consistant en ce que y doit s'annuler à ces deux limites. Il suffit, en effet, qu'on ait F ( — x<)= o, .comme il est implicitement convenu, et, par suite, /■( — cD) = o,pour que la formule (116) donne immédiatement <B = 0 soit pour t= — GO , soit pour r=cc .

Il reste à voir si une dernière condition, spéciale à r = o et

achevant, avec celle des efforts tranchants déjà satisfaite pour la même valeur de r, de déterminer le problème, est également vériâée. Elle consiste à exprimer que l'on a

à cause du raccordement obligé de toutes les sections normales ou méridiennes faites dans la plaque autour du centre des ébranlements.

Pour calculer la dérivée -V-, nous dlfférentierons ]e

dr

second membre de (116) sous le signe /; ce qui , par l'introduction d'un nouveau dénominateur Ç, fournira des éléments ayant leur somme encore plus convergente, à la limite supérieure iC = co , qu'il n'arrive pour ceux de (116). et ce ([ui sera cependant sans inconvénient à la limite inférieure (^ = 0, à cause du facteur f, qui y devient /( — x) ) et s'y annule. EfFectivement, le résultat,

est une intégrale déterminée malgré le facteur infini qu'elle a sous le signe /pour Ç= o ; car les éléments correspondant aux valeurs de Ç moindres qu'un très petit nombre fixé s y donnent un total inférieur (en valeur absolue) ou au plus comparable à

quantité finie, qui tend vers zéro en même temps que^.

Prouvons maintenant que cette dérivée (117) s'annule à la hmite ?- = o. Et, d'abord, quand r y est infiniment petit, on peut n'y faire varier \ que depuis une très petite limite £=:Nr% où N désigne un nombre très grand, jus-

qu'à l'infmi , puisqu'on n'ôte de la sorte à L'intégrale , d'après ce qu'on vient de voir, qu'une partie comparable à

^/■('— ^) = — N.r/"U--— ~.| = sensiblement — N ?■/((),

expression évanouissante en. même temps que r. Il ne reste ainsi à considérer que les valeurs de — inférienres à^ = ^,

pour lesquelles f [t — -~J ne diffère plus sensiblement de f [i); en sorte que la partie correspondante de l'intégrale (117) peut s'écrire — f'{t)'>* f sin —--^. Or il est clair que,

dans / sin-^-^, les soûls éléments fournissant un total considérable sont ceux pour lesquels i^ est très petit , ou pour lesquels sin— e vaut, à fort peu près

cette quantité, oïl t^ peut être censé constant alors que î- y

décroît jusqu'à zéro, n'est que de l'ordre de — logr, et son produit par r s'annulera , comme On sait, pour r = o. Donc la dérivée (117) tend vers zéro à cette limite.

Ainsi , les conditions du problème sont bien satisfaites par l'expression (116) de f.

Du reste, une fois la solution (116) obtenue, il est aisé de constater qu'elle vérifie toutes ces conditions sans avoir à remonter jusqu'à la forme (114) et à ses propriétés générales. Complétons cette vérification, déjà faite pour les trois relations spéciales 9 = 0 (pour t = — cd ) , f= 0 (pour r infini).

~ = 0 (pour î' = o), et qui. en nous faisant retomber sur la valeur déjà connue de

r dr\

nous fera connaître une formule simple, utilisée plus loin à la limite ;■ = o, pour l'expression analogue r -^ [— -^j . lit d'abord, la di ff ère ntia Lion de (117) donne identiquement

T dr ^;o

Intégrons par parties, et observons que le facteur i f U — — ) s'annule à la limite Ç — o, tandis que l'autre

facteur — sin -^, égala un à cette limite et puis décroissant, s'annule à son tour pour î; = qo . Il viendra successivement, en tenant finalement compte de (117) :

C'est le second membre de cette formule (117 bis) qui institue lexpression de —ri- 7- = r-r — r- dont ai

'■ dr^ r dr dr\rdr/ ■*

larié. Il acquiert sa valeur la plus simple à la limite r = 0,

où il devient — f [t) [— sin -^j = f [() ; de sorte qu'on peut poser

dr^ r dr dr \r drj

En ajoutant — ^^ au premier et au dernier membre de

(117 bis) , on aura

intégrale déterminée (et finie jioar r ^ o) à cause du dénominateur i^ , qui permet d'y porter la limite supérieure jus-

qu'àl'in(ini,etàcause du facteur /' (t — — | , nul pour Ç=o,

qui permet d'y faire partir Ç de zéro. Sa dérivée en r, calculée encore parla différent iation sous le signe /, sera,

ou, identiquement,

Multiplions par r et intégrons par parties , en obser\ant que le facteur intégré, f [t — -^,-j — f [t), s'y annule pour s = X et se réduit à — f {t) pour î = o. Nous aurons

Or c'est justement la formule (115). Nous en avons déduit

l'expression (115 Ô!^) de/"(^, parla condition que l'effort

Iranchant total 2y^r — ^, exercé sur une section cvlin-

dr ' "

drique de rayon r décrite autour de l'origine, se réduise à F'(^) pour r = 0.

Enfin, l'équation indéfinie -—= — i^ i^ tp est bien satisfaite par notre solution (116); caria formule (118 èïs) donne de suite

:('^)=X^K)"if.

ce qui est la valeur de -7^ déduite immédiatement de (116).

Les calculs précédents, non moins que les difficullés attachées à l'emploi de la première formule (31 Ms) et surtout des solutions simples (113), montrent combien sont délicates à manier les intégrales qui, comme (116) ou(118), expriment des séries à peine convergentes, et devant en partie cette faible convergence indispensable à l'ordre dans lequel se succèdent leurs termes de signes variés. Mais, on le voit, toutes ces difficultés peuvent être surmontées assez facilement dans le problème des mouvements que font naître des impulsions normales s'eserçant sur ia plaque à l'origine des coordonnées. Et la solution obtenue (116) est bien la vraie ; car le problème se trouve entièrement déterminé par les conditions admises, comprenant :

1" L'équation indéfinie -r-^ -i- A^ ij 'j> = 0 ;

2° Les relations spéciales <p = o (pour t= — œ),f = o (pour î* infini), -3- = 0 (pourr = 0) et 2 m r — T^=F'(^(pour r = o), conditions dont les trois dernières entraînent, la première, que, pour r ou logr infinis, onait „ '- our-^=o,

--, ^ • ou T — -— =^ o("}, la deuxième, giie w reste fini (ïlogr é- ^ " j -i I

àla Iimite?'= 0, enfin, la troisième, que A, ©', ayant à la

même limite r = o sa différentielle en r comparable à celle

de log r , y devienne seulement de l'ordre de grandeur de

log r et y ait son produit par r nul.

Il suffit, pour reconnaître qu'elles n'admettent, en effet,

qu'une solution, d'y procéder comme dans la question

analogue relative aux barres (p. 438). En remplaçant f par

f -K f j il vient , avec l'équation indéfinie -j-^ -t- ij As ^ = o,

les conditions spéciales »' = o (pour t = — oo), &' = o

auxquelles on peut joindre que les expressions ip' , r A, f' restent finies à la limite r = o et que r -—- ,

rfA,(s' ?" -—77- s'annulent pour r infini. Multiplions l'équation

-^-1- — y ( î'— r^-l ^ 0 par Zr—j-dr, et puis ]ntegrons

d,ér = oixr = a:>, après avoir substitué à 2 — ;- -r l*" — PA

' ^ dt ar\ dr j

(p. 471 et 474), que leurs produits par r, exprimés par les deux intégi'ales

tendent bien yei's zéro quand r grandit indéfiniment. Gai- , d'une part , poulies valeurs de ; inférieures à tout nombi-e donné ti-éa gi'and /i , les fticteura

/ y~T'A 'ri' r (' — r;—i placés sous le signe/, sont supposés devenir infiniment petits & mesure que r croît ; et , d'autre part , pour les valeui's de ; supérieures h. !'-, les éléments de ces intégrales sont tout au plus de l'oivire de sin ' -—

ou cos T — et ont leurs sommes comparables à I sin , f

'est-à-dire insensibles.

l'expression équivalente

^ *L^('---.rj- '■*^''' J * ''' ('■') 7*('- ïsj'

dont le dernier terme n'est autre que

Les relations spéciales ày = oetàr = oo, relations qu'on peutj au besoin, dilférentier par rapporta t, feront disparaître les termes aux limites, et il viendra simplement

nr\^

Ainsi, l'intégrale définie ( "7"] "*" '^^^'j^ *' '^''' ^'^^ invariable et, par suite, nulle à toute époque comme pour t= — 00 . On a donc constamment — = o ; ce qui exprin:e que / ne peut s'écarter à aucun instant de sa valeur initiale zéro. Par conséquent, la solution obtenue (116) est bien la seule possible.

Je me contenterai , au sujet des lois qu'impliquent les formules trouvées, de faire les quatre remarques suivantes :

1" D'après (116 Us] et (115 Us), la vitesse, -j- — ~^ f (^) -, fT^e par la petite partie directement ébranlée de la plaque, ne cesse à aucun instant d'être proportionnelle à la force extérieure F'(^J. Par suite, le déplacement total » de cette partie est constamment proportionnel aussi à l'impulsion totale F (^ ewercée jusqu'à V instant dont il s'agit; en sorte qu'il revient , pour ainsi dire , au même de se donner cette impulsion totale ou le déplacement du point qui la supporte.

2° D'après (117 ter), la mèms vitesse de la partie directement ébranlée est encore proportionnelle à la différence, pour r infiniment petit,' dés deux courbures principales.

-j^, -7-77, de la plaque. Kn effet, — exprime évidemment, en cliaque point, la petite courbure prise par le méridien qui y passe; et — ^ est l'autre courbure principale, inverse de la normale menée à la surface jusqu'à la rencontre de l'axe de révolution oz , car cette normale, projetée sous

l'angle -^ — -j-, donne la distance r du point considéré {x,y)

à l'origine. La différence des denx courbures principales tendant ainsi vers une valeur autre que zéro , quand on approche de l'axe de révolution où la surface a un ombilic et où leur rapport vaut l'unité , i! est inévitable que , sur l'axe môme, elles soient infinies, comme le montre, du reste, la formuJe (118) de A^ ?> qni exprime leur somme, et qui devient infinie pour î' = o. Or on sait que les dilatations dangereuses en chaque endroit , ou dilatations subies par les fibres de la plaque qui y éprouvent les plus grands allongements, sont proportionnelles aux courbures de sections normales de mêmes sens faites dans la plaque. Elles deviendraient donc infinies sur l'axe, s'il était possible de réduire à un point ou, du moins, à une ligne mathématique la partie directement ébranlée; ce qui reviendrait à annuler le rayon , r, de la circonférence on du cylindre par lequel sont transmis à la plaque les efforts tranchants F' [fj. Et il devait bien en être ainsi; car de pareils efforts, destinés à produire des effets sensibles sur d'autres circonférences concentriques de dimensions finies, ne pouxraient avoir une aussi petite région d'application sans y faire naître des déformations infinies, physiquement irréalisables.

Donc, pareillement à ce qui arrive dans toutes les autres questions de la théorie des plaques où l'on considère des forces dites isolées , c'est-à-dire censées appliquées à un seul point de la surface ou de l'intérieur de ces corps , les formules obtenues seront suffisantes pour calculer les déplacements et les inclinaisons du feuillet moyen , que celte

hypothèse simphficatrice n.'altère que très peu , même sur l'axe, puisqu'elle leur laisse à cet endroit des valeurs finies, presque les mêmes, comme il le faut, qu'aux petites distances r où il n'y a aucune difficulté ; mais elles ne Je seront pas pour l'évaluation des courbures et des déformations, quantités que la même supposition rend infinies sur l'axe r = 0 et qu'elle y change par conséquent du tout au tout. Ainsi, la formule (118) ne pourra nullement servir à cet effet. Mais la relation (117 ter) fera connaître, à fort peu près , la véritable différence .des deux courbures prises par la plaque sur le bord d'une petite région donnée d'ébranlement. Kn général, toutes les quantités qui , pour î* = 0 , ne sont pas rendues infinies par l'hypothèse simplificatrice en question, évidemment légitime tant qu'il s'agit d'étudier uniquement l'état produit à des endroits un peu éloignés de l'axe oz^ resteront presque les mêmes, vu la continuité de leurs expressions obtenues , quand v y variera depuis zéro jusqu'aux petites valeurs sensibles pour lesquelles elles sont déjà convenablement évaluées ; et l'on aura ainsi, ù fort peu près, leurs valeurs effectives aux petites distances r, en faisant r = o dans les formules trouvées.

3" Les seules valeurs de la fonction f qui entrent pour une proportion sensible dans l'expression (116) de » sont celles où!; n'est ni très petit ni très grand, et où, par suite,

la variable t — — se trouve comprise entre deux certames limites, inférieures à ^ de quantités proportionnelles à r\ La plus petite de ces limites étant, par exemple, t — N î*^ imaginons que, à partir d'une certaine époque ^^i^,, la fonction /(#) devienne à peu près constante: il est clair

qu'on poiirra alors, dans (116), réduire ([t — -^j à/f^,) dès l'instaut où la différence ^ ~- N r' égalera U , et qu'on aura

à peu près disparu, le centre des éhranlemenis , ou point de la plaque directement sollicité, est redevenu immobile, les anneaux concentriques qui l'entourent, et dont se compose la- plaque, viennent se 7-econsUtuer, en quelque sorte, 4 côté de lui, dans leur forme plane et leur disposition relative naturelles, au bout de temps proportionnels aux carrés de

4» -Gomme la solution (116) donne, à la limite r = o, le

déplacement f et l'effort tranchant 2^ r —~ sous les formes

simples ^f{t), ^r^fit), on pourra encore y déterminer la

fonction f par l'intégration d'une simple équation différentielle, quand on connaîtra en fonction de t, toujours pour r = Oj non plus, directement, l'effort tranchant ou le déplacement y, mais une expression linéaire quelconque dépendant de o, ou des dérivées de ^ par rapport à t, et de l'effort tranchant. On verra au n" suivant comment cette remarque permet de traiter le problème du choc d'une plaque par un corps qui la heurte normalement à sa surface.

22. — Problème de ta résistance 0.ynamique des barres el des plaques , notamment de leur résistance au choc , traite par les mêmes procédés : extension d'u/ne loi de Young au cas du choc transversal.

Pour terminer cette série d'applications de notre méthode d'intégration au mouvement transversal des barres et des plaques, abordons encore une question importante dans la pratique, celle du choc de ces corps par un solide qui vient les heurter perpendiculairement. Dans ce but, et nous bornant d'abord aux barres , revenons au cas général d'une tige prismatique de longueur infinie , d'abord en repos , sollicitée à fléchir, dans un'plan normal à un des axes principaux d'inertie de ses sections , par une suite d'impulsions transversales ou d'impulsions de rotation exercées au point de la barre pris pour origine.

Les deux conditions , spéciales à ^ = o , qui devront être vérifiées en ce point , deviendront parfois plus complexes que celles môme (80 bis) [p. 437], qui nous ont servi à exprimer la transmission de pareilles impulsions à la barre au moyen d'un ressort ou d'un encastrement élastique. On peut concevoir, par exemple, qu'un corps solide y soit uni à la barre, tout en ne la toucbant que sur une petite étendue. Alors cette masse étrangère, dont j'appellerai f* le rapport à la masse de l'unité de longueur de la barre , sera obligée de partager les déplacements œ , et elle absorbera

par suite, à chaque instant , une portion, {^-77, de la force

impulsive exercée du dehors à l'époque t. Si l'on représente par F' {() , comme dans les n"^ précédents , cette force , ou

par F ii) ^ f F' (^) dt la vitesse totale qu'elle aurait fait

naître, jusqu'à l'époque t, si on l'avait appliquée à l'uniié de masse choisie qui est la masse d'une unité de longueur de la barre , on voit que l'autre partie seulement ,

barre et constituera l'effort tranchant. Celui-ci est d'ailleurs représenté par la dérivée -jy quand , avec l'unité de masse adoptée, on prend l'unité de temps qui réduit l'équation indéfinie du problème à la forme -^ -+- -jj = 0 ; mais

son expression devient a^--Y , lorsque l'unité de temps reste

quelconque et que l'équation mdéfime est-jj-H a^-^j— 0.

Donc, la condition définie correspondante, relative aux efforts tranchants pour x=o, sera

yGoosle

au lieu, de a^ ^4- = F' (^) (fu'on aurait sans la masse étrangère entraînée [/. Et si la force impulsive [j.—Y-t-a^-~

était, non pas appliquée directement à la barre ou à la masse y. , mais transmise par l'intermédiaire d'un ressort dont l'extrémité libre éprouverait des déplacements connus F [t), cette force ,. proportionnelle à l'allongement V fi) — » du ressort, serait de la forme K [F [f) — »] ; de sorte que la condition définie considérée deviendrait, au lieu de la première (80 bis) [p. 437],

F {^) désignant ici, bien entendu, un déplacement, et non une force , comme F' (t) dans (119).

La démonstration donnée à la fin du n" 15, pour prouver la complète détermination du problème , s'étend d'ailleurs immédiatement à ces deux cas et à tous les cas analogues.

Quelles que soient les deux relations , spéciales k œ = o, que l'on adopte, pourvu qu'elles se trouvent, comme toutes les précédentes (80), (80 bis), (1 19), (120), linéaires et à coefficients constants, par rapport a œ, à ses dérivées et aux fonctions données dutemps,F(/), F'(ï), etc., exprimant des déplacements , des directions , des forces ou des couples, les quatre solutions particulières (84) et (85) [p. 439J permettront, -par leur superposition, d'y satisfaire explicitement et sans difficulté, toutes les fois qu'il s'agira , par exemple, de mouvements émanés de l'origine w^o, c'est-à-dire tels, que l'on ait 3' = o pour ^ = — coet ^=o pour ic infini. Alors, en effet, un raisonnement répété déjà plusieurs fois obligera de ne prendre ces intégrales (84) ou (85) qu'avec leurs signes supérieurs, — , et d'y supposer même/(— ao)=:o. L'expression la plus générale admissible de f , formée avec ces solutions particulières , contiendra donc quatre fonctions arbitraires/, et nous savons d'ailleurs que, àlalimite«=o,

toutes ses dérivées en :c ou ^ ne comprendront, comme ellemême, que deux sortes de termes, ayant, les uns, la forme finie f (t), les autres la forme de l'intégrale définie

I fit — ~]d<x.. Chacune des conditions spéciales à ^=0

se dédoublera donc si on y égale séparé]jient les termes de chacune des deux formes, comme il a été expliqué à la fin du n** 3 (p. 368), et l'on aura quatre équations distinctes pour déterminer les quatre fonctions arbitraires inconnues /.

tjne loi générale très simple , concernant la résistance des barres ainsi ébranlées en un de leurs points , ou exprimant la condition nécessaire et suffisante pour que leur limite d'élasticité n'y soit pas dépassée, se dégage immédiatement de ces calculs , toutes les fois que l'une des deux

conditions spéciales à a; = 0 est. soit -^ =o, soit -^f = o.

^ ' (la; ' rf»3

Le premier cas se présente quand la barre s'étend indéfiniment dans les deux sens et est mue par des impulsions qui lui sont normales , le second, quand la barre , pouvant ne s'étendre que dea: = oàic = Go, supporte , à l'origine , des couples de flexion qui tendent uniquement à y changer. la direction de son axe , sams aucun mélange d'impulsions translatoires ou d'efforts tranchants.

Pour trouver et énoncer cette loi sous une forme immédiatement applicable , laissons les unités de temps et de longueur quelconques, et, par conséquent, prenons l'équation indéfinie du problème sous la forme,

Cela reviendra , comme on a vu au commencement du n" 15 (p. 435) , à mettre at au lieu de t dans les intégrales (84) et (85). Si nous nous bornons au cas d'une barre ayant sa section normale symétrique par rapport à son axe

d'inertie principal perpendiculaire à la direction des mouvements, le coefficient a, que la théorie classique des barres apprend à évaluer , égalera le produit de la vitesse de propagation, w, du son , ou des ébranlements longitudinaux, le long de la barre, par la demi-épaisseur, À, de celle-ci (demi-hauteur des sections) et par un nombre , k ,

ou à section elliptique, — si elle est rectangulaire, et qui

\^^ sera toujours plus petit que l'unité, tout en pouvant approcher indéfiniment de cette limite pour certaines sections très évidées ('). Ainsi l'on aura

L'intégrale générale à adopter pour (121) sera donc , en appelant /^, f^^ /^, /i quatre fonctions arbitraires ,

^ /'^ „( cos — + /-Jai - -- Uin ^ U«.

Il est clair que la substitution de a/ à # ne change rien au calcul des dérivées successives de ^ en x^ et qu'elle introduit simplement un facteur constant a chaque fois qu'on différentie par rapport à t. On reconnaît, par suite, aisé-

(*) L'e>:presaïoi) générale de h est

c désignant l'aire do la section , s une ordonnée , élevée perpendiculairement sur son axe de symétrie , e'est-à-dii'e dans le sens de la derai-liauteur h, , jusqu'à un élément quelconque di de la section , et / une intégrale embrassant tous les élémente de s; A* désigne donc le carré moyen des ordonnées 3 des divers éléments d'une section, rapportées à leur plus grande valeur absolue A.

(124) (pour m^ o)

ment, que l'équation indéfinie (121) est bien satisfaite et que , en outre , si l'on fait œ = o dans les expressions de y et de ses trois premières dérivées en œ, il vient

dm Kit /"'" / t,5\

1 ^ = Tj-[A'H+/'.'Ml-J/."(.--^)i..

Cela posé , toutes les fois qu'on aura -5- = o pour 3; = 0,

la seconde de ces formules (124) donnera, en se dédoublant, f^ — f^ = 0 et fi~ 0. Or il revient au même, ici, d'annuler une des fonctions /ou seulement quelqu'une de ses dérivées; car, toutes ces fonctions devant se réduire à zéro quand leur variable devient infinie négative , on a , par

exemple, /^{6}= ( /^'(0)c^9, en sorte que l'égalité f'Â — o

équivaut à ^3=0; et il serait, de même, indifférent d'égaler entr'elles deux des fonctions fou seulement leurs dérivées d'un ordre donné quelconque. Donc , ia condition définie considérée entraîne les deux relations

Or, on les aurait précisément obtenues, vu les formules (124) , si l'on s'était proposé de vérifier, pour a;= 0, la condition spéciale -— = — a ■—. On peut donc regarder celle-ci

comme équivalente h-^=o.

De même, d'après (124), la condition -7y=o (pour a; = o) obligerait de poser ^=o, f^= — /^ , c'est-à-dire précisément les mêmes relations que la condition -^= o, — .

dt dx^'

En résumé, ia condition complexe ,126, !po™. = o) ||i = o

entraîne celle-ci

et mce-versâ. Or f-^j représente, dans cette formule (127),

le carré de la vitesse absolue p animant, à l'époque t, la partie de la barre où sont appliquées les forces qui la font

fléchir, et {--r^] exprime le carré de la courbure qu'y a

prise son axe , courbure égale , comme on sait , au quotient de la dilatation dangereuse 9, mesurant l'allongement de l'unité de longueur des fibres les plus étendues, par la demiépaisseur h de la barre. Et comme enfin a a sa valeur donnée par (122) , l'équation (126) revient , d'après (127) , à poser

(128) V = ^toS ou a z=: -!-.

Rappelons que la contexture de la barre s'altère dès que la dilatation dangereuse S atteint la valeur dite limite d'élasticité des extensions, et la formule (128) nous permettra d'énoncer îa loi générale que nous voulions établir :

Quand on exerce sur une barre soit des impulsions transversales appliquées en un de ses points et la faisant fléchir syméMquement de fart et d'autre , soit de telles impulsions

perpendiculaires, mais appliquées à une extrémité et acconv- "5 couples qui y maintiennent l'axe dam sa direction , soit m/in des couples tendant simplement à faire tourner la barre, et quand, d'ailleurs, celle-ci est assez longue pour que ses extrémités non sollicitées directement restent à fort peu p7~ès en repos , la plus grande vitesse qu'elle puisse prendre, sans altération de sa contexture, dans la région directement ébranlée, égale le produit de la ■vitesse de propagation dit son (ou des vibrations longitudinales) le long de la barre , par la limite d'élasticité des extensions de sa matière, et par la fraction numérique k, dépendant de la forme de sa section.

Cette loi s'appliquera même à une barre d'uue longueur médiocre, dans l'étude des phénomènes , tels que le choc, dont la cause n'agit que pendant un instant très court, pourvu qu'il soit question de considérer uniquement cette première période où les ébranlements ne sont pas encore parvenus, en proportion sensible, jusqu'aux extrémités non sollicitées et où, par suite, Ton peut, sans modifier le problème physique, allonger fictivement la barre autant qu'on le voudra.

Mais, avant d'aller plus loin, passons au cas d'une plaque, latéralement indéfinie, qui exécute des mouvements transversaux par l'effet d'impulsions normales quelconques exercées à l'origine des coordonnées , en vue de chercher s'il ne s'y présenterait pas quelque relation analogue à (128). Pareillement à ce que nous avons fait ici pour le cas de la barre, prenons l'équation du mouvement de la plaque sous la forme

il' ' -'

où a aura , d'après la théorie des plaques , l'expression , semblable à (122),

h désignant encore la demi-épaisseur et w, la vitesse de propagation, dans la plaque, des variations qu'éprouverait sa densité par unité d'aire, si elle vibrait parallèlement à son propre plan et , en quelque sorte , longitudinalement , c'est-à-dire avec condensations ou dilatations de sa surface : cette quantité Ui est donc la vitesse de propagation des dUOf iatiom superficielles 6 de la plaque vibrant ainsi fangeniîsUement, dilatations que régit une équation de la forme

— - = w,* Aa 6, et dont l'expression est 8 = 3 -i- 9 , si 5 et 5

désignent les allongements éprouvés, au point (-», y), par l'unité de longueur des deux fibres , rectangulaires entr'elles , qui y sont les plus allongées ou les moins allongées de toutes.

La réintroduction du coefficient a revenant simplement à changer l'unité de temps, on en tiendra compte en remplaçant t par at dans la formule (116) du n" précédent (p. 470) ; et celle-ci exprimera alors, évidemment, les déplacements de tous les points de la plaque dès qu'on

connaîtra ceux, f = -^ f[<it) , du point central directement

ébranlé. La vitesse -j- de ce point seradonc représentée à

chaque instant par Y (k/^(s^^, expression où la formule (117 £er) permettra de remplacer /^ (ai^ par la valeur de —X relative à r ^ o. 11 vient ainsi

(127 èis] (pour r infiniment petit) —~ = -—- (-— ^ — ^

au lieu de -j- = —a-^ (pour iC = o) qu'on avait dans le

cas d'une barre indéfinie. Or les deux dilatations principales ti, S'en chaque endroit, pour le feuillet superficiel de la plaque fléchie qui s'y trouve le plus exposé à se rompre,

sont, par raison de symétrie, le.s dilatations des deux fibres dirigées suivant le sens du méridien et suivant le sens normal; et elles égalent les produits des courbures

correspondantes -jy, ~T"' P^^ 1^ demi-épaisseur, ±A,

prise avec un signe tel , que celle des deux dilatations D, y ainsi obtenues qui s'éloigne le plus de zéro soit positive. Par conséquent , la difiërence algébrique des deux

courbures équivaut, en valeur absolup, à —r—. Enl'égalant,

d'après (127 bis), à ^ — -y-, ou à ± ■ — si v désigne la vitesse absolue de la partie de la plaque directement ébranlée , et en remplaçant a par sa valeur -^ , il vient enfin

C'est la formule cberchée, assez analogue à (128). Malheureusement, elle est loin de pouvoir représenter , aussi bien que celle-ci (128), la condition de résistance. En effet, ce qu'il faut limiter dans une plaque fléchie, pour qu'il n'y ait pas de rupture ou, du moins, d'altération de la contexture, c'est , 3 et 9' désignant les deux dilatations principales , en un endroit quelconque, du feuillet superficiel qui s'y trouve le plus étendu , une certaine fonction de h et 3' tout autre que leur différence algébrique , mais qui serait plutôt leur somme algébrique : car, lorsque ces dilatations sont positives toutes les deux , le danger de rupture dû à la plus grande est accru par l'existence de l'autre, tandis que, lorsque l'une d'elles est négative, elle atténue celui que peut présenter alors la dilatation positive , sans toutefois ie supprimer si celle-ci est trop grande. Lors du second cas, on ne peut donc pas se dispenser de faire entrer séparément dans

la condition de résistance celle des deux dilatations principales qui est positive. Au contraire, dans le premier cas, qui a toujours lieu près du point heurté d'une plaque, où la surface devient concave et a ses deux courbures de même sens , on pourrait , à la rigueur , se contenter de limiter la somme t) -i-i', exprimée par 'i^h^if, ce qui impliquerait l'impossibilité, pour 9 et ii' séparément, de dépasser une certaine valeur. Mais on voit que, en aucun cas, ce n'est la différences — 3' qu'il s!(//ïr(ï de maintenir au-dessous d'une limite désignée pour sauvegarder la contesture.

Tout ce que la formule (128 bis) peut apprendre touchant la résistance à la rupture , c'est que , si le rapport de la vitesse transversale, v, prise far la partie directement ébranlée de laplaqtte, à la vitesse de projMgation , dans cette plaque, des sons longitudinattcc accompagnés de dilatations terûcie. ait

— ^ = 0,9069 par la plus grande dilatation

comporte la matière de cette plaque, ses limites d'élasticité seront nécessairement dépassées sur le bord de la partie considérée. En effet, d'après (128 bis) , la plus grande des dilatations principales , en cet endroit où elles sont évidemment positives toutes les deux, dépasse alors l'autre d'une quantité au moins égale à la valeur la plus élevée que cette dilatation maxima tout entière pût atteindre, dans lés circonstances dont il s'agit , sans mettre en danger la contesture.

Revenons maintenant au cas d'une tige et , en vue d'y traiter le problème du choc transversal, achevons de fornie^' l'expression des déplacements tp pour une barre indéfinie dans les deux sens, sur laquelle on exerce, en un point où elle porte une certaine masse étrangère, des impulsions perpendicalaires données. Si l'on prend l'origine des x sur la section partageant en deux parties égales ia masse étrangère , chaque moitié de la barre , celle , par exemple , qui sera du côté des œ positifs , se comportera comme si , étant

seule j mais ayant son premier élément astreint à garder la direction de l'axe des ic, elle subissait, à chaque instant, la moitié des efforts exercés et n'entraînait qu'une moitié de la masse étrangère. En apj;)o]ant u. cette dernière moitié, rapportée à la masse de l'unité de longueur de la barre , et F' {i} la moitié 'de l'effort donné, évaluée de même par l'accélération qu'elle imprimerait à la masse de l'unité de longueur de la barre, les deux conditions spéciales à ic=o seront

évidemment (119) [p. 481] et — = 0- D'une part, celle-ci équivaut à poser, d'après (125), /^ = o, ^ = y^ ; d'autre part, et vu les formules (124) , la condition (119) se dédouble de même en deux, qui seront, l'une, /j= — i>.fi, l'autre,

- après y avoir tait /g = o, /a= /, ~ / et

Multiplions cette relation par adi^ puis intégrons à partir de ^ = — GO , en observant que la fonction /" s'annule , avec ses dérivées , pour la valeur — co de sa variable, et que F (^

désigne la somme, / W {^) dd , des impulsions exercées

jusqu'à l'époque L 11 vient l'équation différentielle du premier ordre

(129) /' (at) - — /■ {atl = F ((].

Cette équation s'intègre sans difficulté et donne, en appelant cuneoonstante arbitraire, destinée à s'éliminer d'ellemême ultérieurement des résultats ,

[130) fiai)=. -^ÏFit,- r\

yGoosle

On remarquera que cette expression de fiai) s'annule bien à la limite t= — oo . Il faudra, après y avoir retranché soit

~, soit-^-Y, dea;^, laporter dans la formule (123), devenue

2aV

I,a partie qui, dans la valeur de f obtenue, se trouvera

I de la constante c , est le produit de c e ^i par l'expression

Or celle-ci s'évalue aisément au moyen des formules [âj du n" 8 (p. 403), en faisant, dans les deux premières,

m = — , n = —^ et, dans la dernière, n = — , m = \. On !^ v'2 ' [^ '

reconnaît de la sorte qu'elle est nulle ; et il le fallait bien ,

puisque, dans (130), le terme en c subsiste lorsque F (6) = o

ou quand la barre n'est pas tirée de son repos primitif.

On pourra donc supposer toujours c = o dans l'expression

(130) de f{at). Mais on pourrait aussi y prendre

afin que , le dernier terme de (130) se réduisant avec le précédent , on eût

(130J») /■(«!)= zWni+ /""«'"IST'Cii*'!,

expression où le nombre e est affecté d'un exposant négatif. Cet exposant devient même — o^ si l'on fait [x = o et , en

prenant en outre a=\ , il vient alors f{i)= — —P {f)- On

retombe donc, comme il le fallait, sur la formule (89) [p. 446]

spécifiée pour le cas où -r- = o à l'origine œ — o.

Supposons maintenant que les impulsions F' {t) dt, dues, par exemple, à l'explosion d'un gaz ou d'une poudre fulminante , ne soient exercées que pendant un instant très court £ entre les époquesjf=o, S = s, et qu'elles aient pour somme une certaine quantité Q de mouvement, exprimant ]a vitesse qu'elles communiqueraient à l'unité de masse choisie [c'est-à-dire à la masse d'une unité de longueur de la barre] supposée libre de leur obéir. Il faudra donc faire, dans (130) , F' (6) = o , excepté pour les valeurs de 9

comprises entre zéro el £ , et prendre F (^ , ou f F' (&) d^,

nul pour t négatif, égal à Q pour ^positif et supérieur à e. I,a variable 0 étant ainsi négligeable dans l'exponentielle

j il viendra

( (poop 1 < 0) / (Ȕ) =

En conséquence, les deux intégrales paraissant dans (131) seront nulles pour t <^ o , et elles pourront ^ pour ? > e, n'être prises respectivement qu'entre les limites «=0,

et = V2at et a = — :^ . K = 00 .

Bornons-nous aux déplacements successifs qu'éprouvera la partie ip = o et, par conséquent , la masse ^i, qui s'y trouve bée à la barre. Vu la seconde valeur (132) de f{aû}, la for-

mule (131) deviendra , en faisant x= o, tenant compte de la seconde (85 hù) [p. 440], puis posant, pour abréger,

et remplaçant la variable d'intégration a. par i^ x :

D'ailleurs , ~ y équivaut à ( e " "^ </ a , ce qui , en appelant, pour plus de simplicité, x W la fonction

(135) ;,(Ti= -j, f ,—'1,.,

permet aisément de réduire cette expression de f à la forme simple

(136} (pour^ = o) .^-|^|^2V'^+xW-x(o)]-

Étudions un instant l'intégrale définie -/ (y) , essentiellement positive, et dont la valeur pour •: = o est

jf"-"v.=i.

Si nous y prenons, sous le signe /, «^ — "^ = P po^ir variable d'intégration, et que nous posions, par suite, (^ a = — — ^ , elle devient

(m) -'^=kr

Sous celte forme, on voit qu'elle diminue sans cesse quand

T grandit et que , constamment inférieure à l'expression ~~ I e~^d^~~z:^, elle tend vers cette expression

pour T très grand. Donc, en résumé, la fonction x {'^) décroît, de l à zéro, quand sa variable t croit de zéro à l'infini.

On la développe facilement suivant les puissances positives de c, en la remplaçant par e

en substituant ensuite aux deux exponentielles e'', e' leurs valeurs en série. La seconde devient de la sorte

et il y a lieu d'évaluer en général l'intégrale

(138) I, -: / (^ — «ïj" d^.

Or, une intégration par parties donne

ou bien, en remplaçant (t — ^K^)""'a* par ■: {-. — a^)' et observant que le terme aux limites s'annule ,

et , en partant de I^, = v/- ,

En conséquence , l'expression de / (t) sera , après quelques réductions,

Cherchons actuellement la vitesse de la partie considérée, x= 0, de la barre et, par suite, de la masse étrangère c-. n n'y aura pour cela qu'à différentier la formule fl36); en observant que, d'après (135),

2 al

et que, d'ailleurs, t désignant la fraction —^ . la dérivée

— = — . Il viendra

df Q , Q /2at\

(141) (p..,. = .) i = yzri=-.(^).

Cette vitesse, ésale d'abord à —, diminue sans cesse,

d'autant moins vite que la niasse étrangère i^ est plus grande, et elle ne s'annule qu'asymptotiquement, pour t =aj. Quant à l'espace parcouru, ^, qui mesure la fèche prise par la barre, la formule fl36} montre que , nulpour/=o, il grandit sans limite.

Il nous sera aisé, maintenant, dé traiter le problème du choc transversal d'une barre homogène , de longueur infinie, par un corps qui "sdent, à l'époque t^o^ la heurter vers son mibou , sur une petite étendue , avec une certaine Vitesse perpendiculaire V, et assez centralement pour n'être pas dévié. En effet, si, vu la symétrie des phénomènes de part et d'autre du centre de la région heurtée pris pour origine desiK, nous considérons seulement ce qui se passe du côté des abscisses posilives. et que |j. désigne la moitié

de la masse du corps heurtant , sa quantité de mouvement [A V se communiquera à une partie de plus en plus longue de la barre et sera absorbée peu à peu ; en sorte que ce corps arrivera insensiblement au repos sans que sa vitesse s'annule dans l'intervalle et sans qu'il puisse , par conséquent , rebondir. II restera donc uni à la barre , ou jouera le rôle de la masse étrangère fi considérée tout à l'heure, et il suffira d'imaginer que sa quantité de mouvement ;i V lui ait été rapidement communiquée sur la barre même, pour que le problème actuel du choc rentre dans celui qu'on vient derésoudre, où ils'agissait de ce qu'on pourrait appeler un choc par explosion. En effet, la formule (141),

donnant V = — à l'époque i = o, montre que, pour f

infiniment petit, une masse [* unie à la barre à l'origine x=o détient presque la totalité de la quantité de mouvement qu'une impulsion brusque y a fait naître, tout comme si cette masse s'était trouvée isolée quand elle a subi l'impulsion ; et il doit être, par suite , à peu près indifférent que le corps heurtant ait reçu sa vitesse initiale V quand il était encore libre ou après s'être joint à la barre. Il n'y a, entre les deux cas, de différence, que dans la manière dont la vitesse V se communique, durant l'instant initial e, au tronçonheurté de la barre, manière plus conformeaux hypothèses ordinaires de là théorie de l'élasticité quand on suppose la masse ij. déjà en contact avec la barre dès l'instant t= o.

Ainsi, on rendra les formules précédentes applicables au problème du choc transversal, en y appelant j^ le rapport de la demi-masse du corps heurtant à la masse de l'unité de longueur de la barre et en prenant Q = ^r^ Y. Les relations (136) et (141) deviendront

[142) {pour ,

yGoosle

Et comme , d'ailleurs , la partie heurtée est évidemment la plus exposée àla rupture, on voit parla formule (128} | p. 486] que la contexture ne sera pas altérée, si le rafpwt de la vitesse V du choc à la vitesse de propagation w du son le long de la barre n'atteint jms la fraction k de la limite, d'élasticité des extensions, c'est-à-dire de la limite qu'on doit imposer à la dilatation des fibres.

Jetons maintenant un coup d'œil, pour en faire la comparaison à ce qui précèdej sur le cas incomparablement plus simple d'impulsions longitudinales, ou d'un choc longitudinal, affectant l'extrémité de la même barre, que nous supposerons comprise de3; = oà^ = co et qui se sera trouvée, également, d'abord en repos. Ici encore, f étant le déplacement éprouvé à l'époque / par la section d'abscisse x, les conditions » = o pour t= — oo et y — o pour x^œ obligeront d'exclure celle des deux intégrales particulières, !f = f [mt '^ x) , de l'équation indéfinie du mouvement

— - = u^ -~ j ou parait le signe inférieur + ; en sorte qu'il

viendra simplement

La fonction /", astreinte déjà à s'annuler pour les valeurs infinies négatives de sa variable, aclièvera de se déterminer par la condition, spéciale au point x=o , qui exprimera de quelle manière le mouvement y sera produit. Mais, avant de s'occuper de cette condition, on peut observer que la valeur (143) dcf donne identiquement

ou bien, en appelant v la vitesse-j-et 5 la 'dilatation, -

coniinujie à toutes les fibres longitudinales sur la section dont l'abscisse est x.

(144) 4,:=„3, ou —5=--.

Cette relation, semblable à (128) [p. 486], montre que la plus grande vilesselongitudinale que la partie ébranlée puisse prendre, sans que sa contexture en soiiffre, égale la fraction de la mlesse du son {le long de la barre) qu'expinme la limite d'élasficiié relative aux contractions des fibres, si ce sont des raccourcissements que Von produit sur la barre, ou la limite d'élasticité des dilatations des fibres, si ce sont, au contraire, des extensions que l'on fait naître.

Cette belle loi, dontla démonstration est, comme on voit, des plus faciles, a été énoncée par Thomas Young vers le commencement de ce siècle. Il est digne de remarque qu'elle s'étende, d'après la formule (128) et à un facteur numérique près, au cas d'impulsions transversales : toutefois , elle n'y est applicable qu'à l'endroit où s'exercent les impulsions, tandis que la formule (144) régit les déformations produites en tous les points , quand il s'agit d'ébranlements longitudinaux.

Voyons maintenant ce que sera la fonction f, si l'extrémité a: = 0 de la barre porte une masse étrangère y. et que, par suite, l'on ait, pareillement à (119) [p. 481] et avec des notations analogues.

{145} (pour a; = o) 1^ "^ "

Celle-ci, vu l'expression (143) de f, deviendra

yGoosle

ou , on. multipliant par — et intégrant à partir àet = — co.

Enfin, cette équation difTérentielle donne aisément, si l'on î que /*{ — ao) = 0,

(147) no.il = ^-\f[1]~J~ e^

Dans le cas particulier d'un choc, opéréj entre les deux époques t=o, i=e, parla masse [i. elle-même et avec la ■vitesse V ou la quantité de mouvement Q = ;jV, il viendra, en raisonnant comme on l'a fait pour obtenir les formules (132),

( { pour ; < o ) / (u il = 0 ,

L'expression de a s^en déduit, d'après (143), en remplaçant, dans l'exposant de e, w? par W — x. Il vient en particulier, pour les déplacements et les vitesses successives de la partie heurtée ainsi que de la masse [i,

(1491 (pour^ = oetOO i ,

La vitesse de la masse ;j. , d'abord égale à V, diminue donc graduellement , comme dans le cas du choc transversal , mais suivant une loi beaucoup plus rapide : aussi

le chemin total parcouru^ au lieu de croître itidéfiniment ,

tend-il vers la limite — . Onconçoit, en effet, que la partie

lieurtée de la barre, supposée, par exemple, tirée en avant, soit beaucoup mieux retenue par ses voisines quand elles sont derrière elle, que lorsqu'elles sont. seulement à côté.

La formule (149) montre que le déplacement -j de l'extrémité x = o change simplement de signe quand V est rem-, placé par — V. Donc, deux barres pareilles, s'étendant, l'une, de x = o a x = œ , l'autre , de w—o h x^ — r/n , et portant, chacune, une masse jj. à leur extrémité contiguë ^ = 0 , ne cesseront pas , quoique indépendantes l'une de l'autre , de se toucher à cette extrémité, si l'on communique simultanément aux deux masses i* des vitesses égales et de même sens, de manière à faire étendre l'une des barres et contracter l'autre. Par conséquent., celles-ci satisferont d'elles-mêmes aux deux conditions de raccordement qu'où aurait, pour « — 0, si les deux barres ou plutôt les deux masses i>. étaient soudées ensemble ; car l'une de ces conditions consisterait précisément dans l'égalité constatée des déplacements f , et l'autre , dans l'équilibre, que nous trouvons réalisé séparément des deux côtés , entre les tensions exercées à chaque instant par les deux barres et les inerties delà masse interposée 2 (Ji. On pourra donc admettre que deux telles barres ne soient que les moitiés d'une barre unique, portant en son milieu une masse étrangère 2 ji à laquelle on aurait imprimé, à l'époque ^ = o, la vitesse donnée V. Et l'on aura traité de la sorte la question du choc longitudinal, tel qu'il se produit quand , par exemple , un petit bourrelet fixe, formant saillie au milieu d'une longue barre disposée verticalement,' arrête dans sa chute un poids annulaire enfilé à la moitié supérieure de la barre.

La comparaison des formules (128) et (144) prouve que la vitesse d'un choc transversal juste capable d'altér&r la eontexture d'une ban'e est plus petite que celle d'un choc longitudinal, produisant le même effet par extension, dans

le Tdjjpori qu'exprime la fraction h, c'est-à-Mre dans le rapport de \ (1% si la barre est ronde , de\ à^'è si elle est rectangulaire et heurtée perpendiculairement à une de ses faces,

Nous traiterons encore la question du choc d'une plaque indéfinie par un solide qui vient la heurter perpendiculairement, à l'origine des coordonnées. Pour cela, raisonnant comme dans le cas d'une barre , imaginons d'abord qu'on fixe à cette origine des coordonnées le corps heurtant, dont j'appellerai |j., la masse rapportée à celle de la plaque par unité d'aire, et qu'on exerce ensuite sur ce corps, dans le sens normal à la plaque, une série d'impulsions graduelles, capables d'imprimer à l'unité de masse choisie certaines accélérations F'{t).Les déplacements f serontreprésentés, comme nous savons, parla formule (1 16) [p. 470], dans laquelle nous remplacerons ici t par at , et où nous n'aurons plus-qu'â déterniiner la fonction arbitraire /en exprimant que l'excédent de la force extérieure totale F' [t] sur sa