partie, .m, —|, employée à mouvoir la masse ,u^,, constitue

l'effort tranchant, 2n«^r — ^, appliqué à la plaque sur toute

une circonférence d'un très petit rayon r. On aura donc la condition spéciale, analogue à (119) [p. 481) ,

(119 bis) (pour r = o) ^j -^ -^ 2 tt a^ »• -^ = V [t] ,

OU, vu les formules (116 te) et (118 ôîi') [p. 470 et 474], dans lesquelles at sera substitué à t ,

Celle-oi, multipliée par — , puis intégrée à partir de la

limite ^ = — 02 où les fonctions fel ^ s'annulent, devient

équation différentielle pareille à (146) et qni, de même, donnera

(147 ^wj fiai] = -^— Fr it) — Ç e^^— F'(9; dfi\.

S'il s'agit d'nn choc produit, à l'époque i=-o, par la masse ;a, animée de la vitesse V, la fonction ¥' [t] ne différera de zéro que pour les très petites valeurs positives de t; et l'on aura , comme dans les questions précédentes, F (<() = 0 pour ^<^ '0, F [t) = fAjV poxir t sensiblement supérieur à zéro. Il viendra donc, pareillement à fMS),

(pour i < oj / [at] = 0 , (pourO^) A'^'l = ^^-(l-

Telles sontles valeurs delà fonction/, où Ton remplacera

ai parfît — -^ et que l'on portera dans (116) [p. 470].

Les déplacements et les vitesses de la partie heurtée serontj pour ^ ^ 0, d'après (116 àis) [même p. 470] ,

On voit que leurs expressions ne diffèrent des expressions analogues (149) [p. 500], relatives au choc longitudinal

d'une barre , qu'en ce que — s'y trouve remplace par — ,

quantité égale, d'après une formule de la page 487, à — ^; .

H-i V 3 Contrairement à ce qui arrinait dam le cfwc transversal

. d'wm barre ÏTidéfinie , le déplacement du point heurté, ou la jUche produite par le choc, ne croît pas indéfinimené , mais tend vers la limite -^ , d^autant plus rapidement qu'est

plus faible la masse heurtante et plus forte l'épaisseur 2 h de la plaque, il était très naturel qu'une plaque se comportât, à cet égard, tout autremeat qu'une barre; caria partie heurtée, retenue sur tout son contour, et non pas seulement de deux côtés opposés comme il arrive dans une barre, se trouve beaucoup moins libre d'obéir à l'impulsion qui la sollicite.

11 suit , en outre , d'une loi démontrée vers la fin . du numéro précédent (p. 480), que Us anneaux, concentriques

ranger autour de lui, dam un même plan parallèle à leur plan primitif, au bout de temps proportionnels aux carrés

Je terminerai en observant que , d'après une remarque déjà faite un peu après la formule (128) [p. 487], les lois démontrées ici pour les chocs opérés sur des barres ou des plaques de longueur infinie s'étendent au cas de barres et de plaques d'une longueur ou d'une surface quelconques et même assez restreintes, à condition de ne les y appliquer que pour cette première période du phénomène où les ébranlements ne sont pas encore parvenus en quantité sensible aux extrémités non heurtées. Elles permettent de prévoir que la rupture, si elle a lieu dans cette première période, se fera nettement à l'endroit du choc et quelle que soit la masse heurtante, pourvu que sa vitesse dépasse une -certaine limite. C'est évident d'après les formules (128), (128 hù) et (144) [p. 486, 489 et 499], si l'on se borne du moins aux barres et aux plaques formées d'une matière dure, qui se cassent dès que leur limite d'élasticité est dépassée, et si, bien entendu, le corps heurtant a une masse, une consistance et des dimensions suffisantes pour imprimer son mouvement à toute la section heurtée de la barre ou à

tontes les couches de la plaque à l'endroit heurté , c'està-dire, dans les deux cas, à tout un tronçon, comme on l'admet implicitement par le fait même qu'on se sert , dans la question , des formules classiques du mouvement des tiges ou corps allongés et des plaques ou corps aplatis.

23. — Comment il faut m,odifier ces lois du choc , dans le cas de barres dont la longueur est finie.

Dans cette première période, où la barre, par exemple, eùt-e)le ses deux extrémités fixes , ne résiste eucore au corps heurtant que par son inertie, c'est-à-dire à cause de l'impossibilité où sont ses diverses parties de le suivre instantanément, il est to'ut naturel que la rupture ne se produise pas plutôt, à vitesses égales, sous la pression d'une masse heurtante très considérable que sous celle d'une autre Incomparablement plus faible. Mais en admettant, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'une barre appuyée aux deux bouts et heurtée perpendiculairemeat en son miheu, il n'en seraplusde même si l'on considèrela période ultérieure, pendant laquelle la réaction des points d'appui donnera naissance à des ondes réfléchies multiples qui feront du mouvement, comme on sait, la résultante d'une infinité de systèmes distincts de vibrations pendulaires synchrones. Il est clair, en effet, qu'une barre de dimensions modérées, ne pouvant en aucun cas retenir un corps heurtant d'une très grande masse , animé de vitesses même médiocres, devra finir par se rompre, si on ia met dans l'impossibilité de le suivre.

Ainsi, pour la barre donnée, ayant ses extrémités appuyées, et que vient heurter transversalement au milieu, avec une vitesse connue V, un corps dont la masse a un certain rapport ;/ à la sienne, il existe une valeur limite de ce rapport ;/', au-dessus de laquelle les plus grandes déformations se produisent certainement, non à l'instant même

du choc, mais plus tard, après le rebond qui a lieu à partir des extrémités. Ces déformations dépendent alors , tout à la fois , de la vitesse initiale et de la masse du corps heurtant, à la différence des déformations maxima produites dans la première période , qui dépendent seulement de la vitesse. Au contraire, pour les valeurs moindres du rapport |i' de la masse heurtante à celle de la barre , valeurs possibles seulement si la limite de ^', dont il s'agit, est supérieure à zéro , ce sont les déformations maxima initiales , fonction uniquement de la vitesse , qui l'emportent sur toutes celles qui surviennent plus tard ; et la rupture ou les altérations de contesture s'y trouvent évitées définitivement pourvu qu'elles le soient au début.

M. de Saint^Venant a effectué de nombreux calculs , en partie numériques et en partie graphiques, sur cettepériode ultérieure compliquée; et il a reconnu, en effet, que les plus grandes dilatations qui s'y produisent dépendent à la fois de la vitesse V du corps heurtant et du rapport |j.' de sou poids à celui de la barre entière. Pour ce problème de choc transversal , qu'on n'avait pas abordé avant lui (si ce n'est dans l'hypothèse simple d'une barre n'ayant qu'une masse et des inerties négligeables) , il a trouvé que les plus grandes dilatations S s'exprimaient par une formule revenant, après quelques transformations et avec nos notations actuelles, à

où œ désigne un coefficient numérique, fonction de t^.', dont il a obtenu les trois valeurs suivantes :

(*) Voir, par exemple, la page 560 de l'édition françaLse de la Théorie de l'élasticité de Glebsch , publiée en i881 , avec des notes de M. de Saint-Venant , ches M, Dunod (qaai des Grands-Augustin s, 49, à Paris).

La théorie élémentaire , où Fon néglige les inerties de la barre, et qai, par conséquent, n'est acceptable , en principe, que pour les grandes valeurs de •/ ^ donnerait, dans tous les cas, a = \^3 = 1,732 , nombre paraissant , comme on voit, assez peu éloigné des véritables (*).

En admettant donc , à défaut de données plus certaines, qu'on ait généralement « =V3, il viendra a Vj/'= 1 pour

(■*) Résumons cette théorie élémentaire. Si ia bai'i'e s'étend de a: = ~ Ik -x^^l et que , ses inerties étant négligeables , l'équation (121) y soit rédiietible à sa

forme du cas de l'équilibre — -^ ^o, cette équation indéfinie, jointe aus conditions

évidentes — ^ = o (pour ce = o), w = o et — I =^ o (pour (e=: [), donnera , en

appelant ç„ le déplacement du point heurté a; =; o et observant par suite que ,

pour i > ; , la condition (li9) se réduit à — ^ (pour x nui) :

AîwSftï dp

i(pour i > s et œ > o) __ //i» ^'' Il ^^ *M ^f /■' rfiy„ It . ^\ * ~ 3PS.SAS ~dB' [ ~ ai" "^ W) ' d^ ~ ftiliîftî d& [ TJ ' ha seconde de ces formules montre que la plus grande courbure de l'axe a lieu constamment au point heurté a; := o et vaut -—■■-■ — f- ; d ou il suit que la plus grande dilatation linéaire S , produit de cette courbure par la demi-hauteur A des

^ !■■' ^9« sections, est, au même endroit , en valeur absolue , 3^ — — — - — t"-

Quant à la première foi'mule, spécifiée pour 3; =^ 0, elle devient

équation dont l'intégrale , déterminée par les conditions qu'on ait initialement

d-jf.

(c est-à-dire pour ( ^ j ou, à fort peu prés , pour < = o) y, = 0 et — î- =: V, est

V WJl . Ikr^h v'â \ (pour O 0) ie„ = sin - — -—t .

La plus grande flèche ff„ et la plus grande courbure de l'axe se produisent

donc à l'instant oii ( ^ — ■ = ; et la dilatation dangereuse correspondante

1* — ^- : ce qui rendrait alors l'espression (150) de D, ou de la plus grande dilatation se produisant après le rebond contre les extrémités, sensiblement la même quecelle, (128) [p. 486], delà plus grande dilatation produite au moment du choc. Ainsi , tant que la masse du corps heurtant sera inférieure à une fracUon de celle de la barre qui ne paraît pas différer beaucoup de \ , la rupture ou les altérations de contexiure, si elles doivent se produire, auront lieu dès le début et nedépendront que de la vitesse du choc. Au contraire , quand la masse du corps heurtant dépassera le tiers environ de celle de la barre , les dilatations les plus dangereuses ne surviendront qu'après le rebond de la barre conti'e ses appuis, et elles seront le produit de celles qu'exprime la formule (128) par le facteur a.Vu.'. Elles continueront d'ailleurs à se présenter au milieu, non aux extrémités, simplement appuyées par hypothèse, et où il ne se produit aucune courbure sensible de l'axe. On voit donc que la rupture , lorsqu'elle surviendra dans ces cas et avec les plus petites vitesses capables de l'amener, n'aura pas lieu à l'instant même du choc, mais un peu après.

Le cas du choc longitudinal , pour une barre d'une longueur finie , / , heurtée à son extrémité a;= o et fixée ou libre à son autre bout x= l, exige beaucoup moins de calculs , parce que les intégrations peuvent s'y effectuer sous forme finie ('). En prenant pour l'intégrale générale de l'équation indéfinie de son mouvement

<f= [^t — x)-^ fili^t-^X — ^l),

(") Ce problème constitue une des questions de résistance vive les plus importantes de la mécanique appliquée. Aussi les démonstrations ci-après relatives au cas usuel de la barre fixée à son second bout ont-eUes été insérées dans le second fascicule de la théorie de V élasticité Ae Glebsch (Note du § 60, p. 480aà4S033), par M. de Saint- Venant , qui . en outre , avec la collaboration de M. l'Ingénieur en chef des ponts et chaussées Flamant , en a fait l'objet , dans les Comptes- Rendus de l'Académie des Sciences (16 juillet, 23 juillet , 30 juillet et 6 août 1883; t. XCVII, p. 127, 214, 281 et 353), d'un grand nombre de calculs et de dessins propres à en exposer et à en peindre les résultats principaui.

la condition relative a cc=l, et qui sera tp — o pour la barre

fixée

cas,

et , dans le second ,

ce qui, devant avoir lieu pour toutes ies valeurs tant négatives que positives de ? ou , par suite , de la variable de la fonction /, obligera de poser soit f,~ — /, dans le premier cas, soit, dans le second, f'= f et, par suite, fi = f,k une constante près dont il sera même permis défaire abstraction si , pour ne pas changer y , on en suppose la moitié jointe implicitement à /et, par conséquent, l'autre moitié retrancliée de f,. Il vient donc, en convenant de prendre les signes supérieurs quand la barre est fixée à son bout w — L et les signes inférieurs quand elle y est libre ,

On a enfin, pour déterminer /, la condition spéciale à l'extrémité a? = 0 , condition qui est, comme on a déjà vu (p. 499),

du moins depuis l'époque t = — oo jusqu'au moment oii se termine le choc , c'est-à-dire où , le corps étranger ,u cessant de presser la partie qu'il avait heurtée, la dilatation

-3- pour ic = o comniencerail à n avoir plus son signe primitif. A partir de ce moment , et supposé que la masse ja ne se soit pas collée à la barre, le bout x^o devient libre.

puisque le corps ne pourrait lui rester plus longtemps uni sans exercer sur les points qu'il touche des tractions dont il est incapable ; et la condition relative à a; = o est désormais (tant que la barre ef la masse u sont séparées) y- ~ o, c'est-à-dire, d'après [a] ,

Donc, on a dès lors f [bit] = + /" (w# — 21); ce qui rend périodiques la fonction f et, par suite, l'état de ia barre, tant que continue à s'opérer cette sorte de détente libre. On remarquera d'ailleurs que la fonction /" ne présente aucune discontinuité au passage d'un état à l'autre, de sorte qu'il n'y a pas lieu de se préoccuper de conditions de raccordement pour les valeurs des déplacements 'f et des vitesses

-~- relatives à ces deux parties successives du phénomène.

Ce raccordement résultera naturellement du fait que les deux fonctions /'et f ne cesseront pas d'être continues.

Mais, occupons-nous d'abord, naturellement, des valeurs de t antérieures à la fm du choc et même de celles qui le sont à son commencement ^=o. Alors, comme le repos n'est pas encore troublé, ona, en tous les points de la barre, (p= 0, ou bien, vu (a),

c'est-à-dire que la fonction /'reste égale à i^fi^ùt — co), quand, sa variable wif — x étant négative mais ayant une certaine valeur absolue quelconque, on ajoute à cette valeur absolue la quantité 2 (/ — x) , croissante de zéro à 2 l depuis l'extrémité ;3; = l jusqu'à l'extrémité a; = o. Donc la fonction /se réduit à une constante c pour les valeurs négatives de sa variable et. devant égaler ± /((ù^ — x), c'est-à-dire ^ c, elle est forcément nulle dans le cas de la barre libre, où l'on prend les signes inférieurs. Quant à l'autre cas,

de la barre fixée, où l'expression (a) de f égale la différence de deux valeurs de f, la constante c s'en élimine d'ellemême , et on peut y prendre encore zéro pour la valeur initiale de /. Ainsi , en résumé , la fonction f est nulle pour toutes les valeurs négatives de sa variable,

Passons donc aiix valeurs positives de celle-ci. A cet

effet, après avoir porté dans (6) les expressions de -^ et de

grons, en partant de l'époque é=o où les fonctions f, f n'ont pas cessé encore de s'annuler, tout comme l'impulsion F [t). Il viendra par la transposition de deux termes', si 6 désigne, pour abréger , le produit <^t,

r\ r (6) + 1 /* (ej = — F (-] ± /■' {6 - 2 /) + - / [B - 2 ^ ,

équation' différentielle qui , en y regardant le second membre comme connu, est linéaire du premier ordre et a pour intégrale, à partir de la valeur 9 = o qui annule encore

t. [pour e> o)

Or on peut bien, en effet, supposer le second membre de (y) donné ; car il suffira de ne pas faire croître 9 de plus de 2Ï à chaque opération , pour que les fonctions /^ (9 — %) et /■(9 — %) continuent indéfiniment à être connues, comme elles le sont déjà pour 6 < %l. On obtiendra donc /(S), successivement, entre les limites zéro et %, 21 et 4/, 4? et 6^, etc.,jusqu'àce que s'annule l'expression, /'(S) :l:/'{9 — 2i),

de — -j- pour x = o, moment à partir duquel on aura

d'une manière continue Z' (6) ± Z' fS — 2/) = o , c'est-à-dire

Appelons encore e le très petit intervalle de temps, inappréciable, dnrant lequel se produit, à partir de ^= o, l'impulsion totale i^V; en sorte que la fonction F (— ) , nulle

pour 9 — 0 mais, aussitôt après, très rapidement variable toujours dans un même sens, atteigne et conserve désormais la valeur uV quand 6 égale et dépasse la valeur ue, que nous

appellerons , pour abréger, t. Alors cette fonction F [ — j ,

sous le signe / de (c) , pourra être réduite à fxV, sauf dans quelques éléments négligeables voisins de la limite inférieure , et la formule {ç) deviendra , en y effectuant l'intégration correspondante,

( (pour 6 ^ o)

(O \ Luv/ ^ » r^ ^ r 1 1

j m = !^ Ji -.-,-J ± e-- j e- \r\^-n — A;o-2/)J^e.

Pour fixer les idées, nous supposerons la vitesse initiale^ du corps heurtant positive, ou le choc produit par compression ; mais il suffira, pour passer de ce cas à celui d'un choc par extension, de changer de signe F, V et, en vertu de (J') et de (ffl) , /'et a , ainsi que, par suite, les dérivées

de to, savoir -7- et -^ , exprimant les dilatations et les vi-

tesses des divers tronçons de la barre. Donc on aura traité au fond les deux cas et même , d'après une réflexion faite plus haut (p. 501), celui , qui les réunit tous les deux, d'une barre de longueur 21, ayant ses 4eux bouts à la fois fixes ou à la fois libres, heurtée longitudinalement, avec la vitesse V, en son milieu muni d'un renflement, par une masse annulaire 2 i>- , dont ime moitié pourra être censée agir seule sur une moitié de la barre pour l'étendre et, l'autre, sur l'autre moitié pour la comprimer.

Gel-aposé, observons que , entre les limites S=o, 6=2^, les fonctions f {} — 2'), /(9 — 2/), ayant leur variable négative , sont nulles. La formule ic') y devient donc, comme dans le cas d'une barre de longueur infinie ,

/'(*!)=— 1 — ^~~\- Seulement, à cause de l'évaluation

inexacte, ainsi effectuée, des premiers éléments de l'intégrale paraissant dans ((;}, l'expression de /"(&) qui s'en

va déduit,— e--~, n'est pas applicable pour les valeurs de 0,

moindres que t , qui la réduisent à — ; et il faut , si l'on veut connaître f (6) entre & = o et 0 = /, recourir à la formule (6') , qui y donne a fort peu près f (Û) — — F \ — \ . Ainsi l'on aura :

[d'où (deS=/àO = 2^ f'm-^—e~~;

et l'on voit que la fonction /'f')) varie partout graduellement, mais non sa dérivée (' (0), qui prend, de 0 = o à 0 = e',

lesvaleurs — F [— jtrès rapidement croissantes jusqu'à —,

après quoi, de â = e' à 0 = 2/ , elle décroit d'une manière bien continue sans arriver jusqu'à zéro.

Ces expressions [d) de /'(O) et f (6) , si on y retranche 11 de 6 et qu'on les porte ensuite dans (c'}, permettront d'obtenir /"(S) entre les limites %l et 4^, sauf à y négliger ou plutôt à y évaluer par les formules [d] les éléments insignifiants de l'intégrale , compris entre & = 2^ et 9 = 2? -i- s', pour lesquels la fonction/' (6 — 2/) n'est pas donnée par {d). 11 ne faudra pas oublier , d'ailleurs , que les termes exprimant ainsi /(O — 2^) et /'(G — 2^) n'existent qu'après 0=2^ et doivent, tant que fi n'a pas atteint 2?, être remplacés par

zéro; ce ffuî permet de donaer aux intégrations, pour limite inférienre, 2/ au lieu de zéro. Et il vient de la sorte, en se bornant, pour la dérivée /' (S) , aux valeurs de 8 plus grandes que2/-i-E',- à cause de l'influence que les éléments inexactement évalués dont il vient d'être question ont, de 6 = 2^ à Û = 2^ -f- e', sur cette dérivée,

( (de 0 = 2? à 9=4^1

On voil que les fonctions /'(fi) et /"(S) ont conservé les termes qu'elles avaient avant 6 = 2/, mais que, passé cette limite, elles se sont accrues des nouveaux termes à double signe en 6 — 21. Remplaçons, dans (d'), 8 par 6 — 2/ et nous aurons des valeurs de /'{S — %î) et de f {^ — ■ 21) qui permettront, quand 6 sera compris entre 4/ et 6^, d'effectuer les intégrations indiquées par (c') et d'obtenir ainsi /'(Û) dans un nouvel intervalle 21. Les intégrations se feront d'ailleurs aisément, si l'on observe que les fonctions /■(fl — 21) et f (^ — 2^) peuvent être censées avoir toujours leurs expressions déduites des dernières obtenues, c'est-ùdire, ici, de (d'), mais avec cette restriction, que leurs premiers termes, en 0 — 21, ne commencent à y figurer que pour B ^ 21, les termes suivants à double signe, en 9 — 4/, que pour 9 ^ 4/, et ainsi de suite ; ce qui donne pour la vraie limite inférieure des intégrations, 21, s'il s'agit des premiers , 41, s'il s'agit des suivants , etc. , alors que la limite supérieure est 9 pour tous. Il y aura encore, si 9 est compris entre 41 et 4/ -t- s', des éléments des intégrales , non évaluables au moyen des formules {d') et qui , insignifiants dans /■(&), ne le seront pas dans f (9) ; en sorte que l'espres-

sion de /" (9) formée de cette manière ne conviendra que pour 0 > 4? -(- 1. Et l'on trouvera ainsi :

(defl expression [d') ■

in !

d'où (de e = 4/ -1- e' à 0 = 6/) /■'lO) ^ son expression [d^] H —

En continuant de même, il viendra, pour Tintervalle '21 suivant, auquel nous nous arrêterons :

!(de e = 6/ à 6 = 8/) , „ |iV r , -— ('i ^ '^— 6^ n (0— 6/jî ^ (fl— 6/}î V /•[O) = sonespr. r)±— — 1+^ —1+2— 2^ ~-^-f , ' d'où (de 6 = 6/+/ à 8 = 8/) r [0^. = son expr. £/" ± — tf . 1—6 ■ +6 ^ -— ^ A A— ^

\' ^ ' '^ * ' f^ -^ V lA n^ ■" [iS ^

et ainsi de suite.

On connaît de la sorte , pour toute la durée du choc, c'est-à-dire jusqu'à la plus petite valeur de Q qui fasse changer l'expression f \^]1zf' [^ — 2^) de signe, la fonction graduellement variable /'(9) , et même sa dérivée f (9) partout oîi elle varie , elle aussi , graduellement , c'est-à-dire partout ailleurs que dans de très petits intervalles e' venant aussitôt après les valeurs de S qui sont multiples de 21. Du reste , maintenant que l'expression de f{^) est trouvée, tout l'ensemble des valeurs de f (0) sera donné par la formule {b'), qui, pour 6^/ et, par consé'quent, pour F f — ]=[>lV, peut s'écrire "

Gomme le second membre de {é} n'a que son premier terme, '^f'{'> — 2?) j auquel il arrive de varier rapidement, les changements brusques de f (^i) . à l'instant où Q dépassera une valeur multiple de 21, ne seront, du moins en valeur absolue, que la répétition de ceux relatifs à la valeur de 0. multiple de 21, immédiatement inférieure , et, par conséquent, ils ne différeront tout au plus que par le signe

de ceux, — F (— ), croissants de zéro à —, qui s'étaient pro-

duits entre Q = o et 6 = e'. Ainsi, chaque fois que 9 dépasse un multiple de 21 et pendant qu'il croît de s', la fonction f (9) effectae un saul, positif ou négatif, mais toujours de

même forme et égal en tout à —, après quoi elle varie

graduellement.

Observons à ce propos que, d'après {é}, la différeace ou

la somme f {^}'^f i^ — ^^^ expression de— y- pour x= o, n'éprouve jamais, après la période de début e du choc et avant qu'il soit fini, de variation brusque. En d'autres termes', l'extrémité w = o n'a que des vitesses graduellement variables, tant que ces vitesses lui sont communes avec la masse étrangère f^, laquelle lui sert en quelque sorte de lest

Le choc se termine comme il a été dit, pour la plus petite valeurde 9 qui annule et tend à faire changer de signe

la compression — -— ,ouf {<i)±f (^ — 2^),produiteaupoint

heurté a; = 0. Ensuite, on a, comme il a été dit aussi, f i^) = ':^f (9 — 2^), relation qui donne évidemment, d'intervalle 21 en intervalle 21, les valeurs ultérieures de f (9) et, par conséquent, au moyen de quadratures immédiates , celles de la fonction, toujours bien- continue; / (9). Donc , en résumé, les fonctions /'et /^ se trouveront déterminées pour toutes les valeurs de leur variable, et l'expression [a) des déplacemenLs o sera entièrement connue.

Après ces considérations générales , examinons , l'un après l'antre , les deux cas de la barre libre et de la barre fis.ée à son bout ce — l, en vue surtout de voir comment la condition de résistance donnée par Th. Young, et toujours vraie pour la période initiale du choc, se trouvera modifiée dans la suite par le fait de la longueur finie de la barre.

Le cas de la barre libre étant le plus simple, c'est par celui-là qu'il convient de commencer. 11 avait été , du resie, étudié déjà, en 1868, par M. de St-Venant {Compies- Hendus deV A-cadémie des Sciences, 30 mars 1868, p. 650), comme cas limite du choc longitudinal de deux barres libres, dont l'une, devenant infiniment courte ou infiniment raide, ne serait autre que la masse \>. : point de vue qui conduit à une méthode moins simple que la nôtre , mais parfaitement d'accord avec elle, et qui a élé aisément étendue , par son auteur, au cas de la barre fixée" à son second boutip— ^.

Prenons donc les formules précédentes avec leurs signes inférieurs. Pour S < 21, l'expression, /^ (6)—/' (9—20, ^e la compression — --^ au point ir=o, est évidemment positive ; car elle se trouve réduite au terme /^ (9), qui, de 0 = oà S=£', vaut,d'après(&'), — F (— ] et grandit de zéro k — , pour égaler ensuite, d'après le/), quandO croit de s' à 2/,

— c~~ et diminuer ainsi de — à — e — ; . Mais , en vertu

de (e), dès que 9 dépasse '21, f (9) décroît rapidement et devient à fort peu près , tant que 9 n'est pas plus grand

supposé, bien entendu, que le choc ne se termine pas plus tôt. Donc, la différonce/'(î) — /'(S— 2i), exprimée, dans cet intervalle compris entre B=2< et 9 =2i+t',par^r~—2/°'(8— 20,

y varierait de — «~ à [2 — e-—] , si le corps ja adhérait

au point heurté ; et elle s'annule effectivement , en tendant à changer de signe, au moment où 8 — 21 atteint la valeur e" , intermédiaire entre zéro et e' , qui donne f (s") = — e — . Ainsi, le choc se termine pourfl — 21^ e", c'est-à-dire à

un instant, t =~ = 2 — i -, qui suit de très près celui où

le premier ébranlement reçu par la barre , ayant parcouru deux fois sa longueur, revient à son point de départ cc=o. D'ailleurs, de 6=oà 6=2ÏH-e", la fonction /'(9) a, en premier lieu, crû très rapidement de zéro à — , puis décru, d'abord graduellement et , à la fin, très vite, de —jusqu'à ia valeur /" (O = T" ^ ~ V ' ^'^^ ^'^ celles qu'elle avait prises à son début. Et comme , pour S égal ou supérieur à 21 ^- e", on aura f (0) = f (0 — 2/} , la fonction f (e), à partir de 9 = e", varie périodiquement entre les deux limites V ai V — -e— — et —, croissant d'abord très vite, dans chaque

période 21, de la première de ces limites à la seconde, pour décroître ensuite, soit d'une manière bien continue, soit, à la un de la période, très rapidement, de la seconde jusqu'à la première. En résumé, la dérivée f (8) ne cesse pas d'être supérieure à zéro, et la plus grande différence existant entre deux de ses valeurs est la variation positive,—, qu'elle éprouve à son début , tandis que sa plus

" Y 21 Y grande variation négative, -— g-— , n est autre que

f ¥' ) — A(0 ^^ s® reproduit, pour 9 y s", dans tout intervalle 21.

Les vitesses des différents points , qu'on peut écrire, d'après (a),

yGoosle

sont donc constamment positives, comme f\ de plus, après le choc, l'état de la barre, défini par ces vitesses et

par les contractions -—-, également dépendantes des valeurs de f , redevient le même quand t croît de deux fois le temps, — , employé parle son àparcourir la barre d'un bout à l'autre. "Cela- posé, il est aisé de voir d'abord que , à partir du moment où- 6 = 2^ -^ s", l'extrémité i^ = o de la barre s'éloigne sans cesse du corps heurtant ;/ , de sorte que le choc est bien définitivement terminé. En effet, comme on a, dés cet instant, f ^} —2/) =/'(6), la vitesse du point heurté, qui égale, d'après [f], ^ (f (0) -^f (S — 2?)], devient 2'^/! (9); elle est proportionnelle à f (8) et se trouve avoir, au début

de la détente libre, sa plus petite valeur %-\f {^") = ^e~. pour augmenter ensuite très vite jusqu'à la plus grande 2m/'(e')=2V, puis revenir , quand 6 aura crû en tout de 2?,

à2w/'(e"), et recommencer indétiniment. La vitesse, Ve~7, gardée par la masse ;/ , est ainsi la moindre de toutes, et le corps heurtant reste en arrière de la barre, qui s'en éloigne même de plus en plus.

A part des instants infiniment courts , la dérivée f (6) reprend périodiquement , dans chaque intervalle compris entre deux multiples consécutifs de 2^, G —Inl et

V e 6=2(»-i-l)?, les valeurs, —e-—, qu'elle avait euesde9=e'

à ô = 2^ ; et la fonction /"(S) grandit par suite, durant une

période, de ( f \^)d%= — ( I — é" )■ L accroissement

qu'éprouve après le choc , pendant une période %^ le déplacement 'f =/'(8 — X) 4- /(a -^x — 2/). donné par (fl), d'un tronçon quelconque de la barre , vaut le double de cette

quantité, ou 2 — [l — ^'t); ^^ 1^ vitesse constante prise

par le centre de gravité de la barre, rapport de l'accroisse-

ment dont il sîagit au temps 2— employé à l'acquérir, est

V-f 1 — e~— ): d'où il résulte que la barre, de masse l, possède la demi-force vive translatoire K -^ -r 1 — ^""T • L'excès de l'énergie primitive, —^ . du corps heurtant , sur

V^ il

la somme de cette demi-force vive et de celle, ;j. -^e—7,

fraction ou part proportionnelle d'énergie qu'absorbe ie mouvement vibratoire de la barre, à l'état de force vive ou à l'état de tension , et qui se trouva perdue pour les mouvements d'ensemble. On, voit que cette fraction est

tuDg hyp

expression qui, sous sa dernière forme, a ses deux facteurs, croissants de zéro à 1 quand— grandit de zéro à l'infini. Le mouvement vibratoire, qui ne prend donc, comme il était évident , qu'une fraction insignifiante de Fénergic du corps heurtant quand la masse, l, de la barre est néghgeable en comparaison de celle, fA, de ce corps, l'absorbe, au contraire, presque tout entière quand c'est la masse du corps heurtant qui est très petite par rapport à celle de la barre.

Il est intéressant de comparer cette énergie vibratoire de la barre, qu'exprime proportionnellement {g), à son e translation , qui , divisée de même par -'-— , est

1 — 6~T - On trouve ainsi la formule simple

^ énerg'ie vibratoire de In bar

énergie tronslatoire de la barre . .

expression qui grandit de zéroàl'inftniquandlerapport, —,

du poids de la barre à celui du corps heurtant grandit hiimême de zéro à l'infini.

Il n'y a donc qu'un seul cas où la barre se retrouve à l'état natu 'el aussitôt après le choc et n'ait pris delà sorte qu'un mouvement d'ensemble : c'est celui où sa masse est comme tiuxle par rapport à celle du corps. Et comme rien ne sera changé aux mouvements relatifs si l'on suppose la vitesse — V imprimée à tout le système j ce qui réduira la masse i*. au repos, on voit que ce cas revient à celui du choc d'une barre contre un solide infiniment massif, équivalant à un obstacle fixe. Ainsi, dans ce cas, où la réaction de l'obstacle ne produit aucun travail et où, par conséquent, la barre conserve toute son énergie , l'état naturel s'y trouve rétabli après la réflexion contre l'obstacle et il n'y a de changé que le signe de sa vitesse primitive. Enfin, ce cas revient encore à celui du choc de deux barres de même longueur, de même élasticité et de même masse, animées de vitesses égales et contraires, vu que , par raison de symétrie, les deux, de leurs quatre extrémités qui arrivent au contact ne peuvent pas plus aller au-delà que si elles étaient arrêtées par un obstacle fixe. Donc, dans un tei choc, et, par suite, dans tout choc longitudinal de deux pareilles barres ( car une translation commune , choisie convenablement, peut toujours rendre leurs vitesses égales et contraires) , les barres sont à l'état naturel après comme avant . et il n'y a aucune perte de force vive translatoire : résultat qui elait, du reste, connu.

Enfin, l'expression des contractions est, d'après

[a), la différence, f (H— a;)~f {^ ^x—2l) , des deux valeurs que prend la fonction f quand sa variable , supposée d'abord égale à 9 -4- a; — 21, devient 6 — ^ ou grandit de la quantité 2 (l—x), comprise entre zéro et2;. D'après ce qu'on vient devoir[p.518] touchant les variations de /^ la

yGoosle

plus grande contraction sera celle de la période de début,

/"(e)= — , produite pour ù — ic = £', Q ^ x — 2^<o,

c'est-à-dire, aux divers points c

l'extrémité non heurtée, pour t ou

sera/^ (2^ -i- ^" ) — f {s') ou constituera la

— 1 — --e — 7 , qui se produit pour 8 — x = %l-i-e et 6 4- a; — "il = t jOU pour x = ——r — et 9 — 2^ -i- — ^ — ■ , c'est-à-dire tout près de l'extrémité heurtée et vers le corn-mencement de la détente libre. D'ailleurs , cette dilatation maxîma se représenterait ensuite périodiquement, au même' endroit, sans l'affaiblissement graduel qu'entraînent toujours la résistance de l'air et l'imparfaite élasticité de la barre.

On voit que la plus forte déformation est celle de débui , — Ô =— ; en sorte que la condition de résistance formulée

par Young s'applique à une harre de longumir finie dont l'extrémité non heurtée est libre. Toutefois , comme , à égalité de valeur absolue, une dilatation estplus dangereuse cfu'une contraction , la rupture ou l'énervoment pourraient se produire aussi, vers le début de la détente libre et tout près de l'extrémité heurtée, par l'effet de la dilatation maxima — [1 — -^ ^~j] j qu'on peut écrire encore

— 1 — -^-s"^) , si P et Q désignent respectivement Je

poids de la barre et celui du corps heurtant.

Passons maintenant au cas de la barre dont l'extrémité x~l est fixe et prenons, en conséquence, avec leurs signes supérieurs, les formules générales ci-dessus. On a vu que la fin du choc n'arrive alors qu'au moment où la somme f ^)^f (^ — 2(1 commencerait à changer de signe ou à être négative ; d'où il résulte que la fonction graduellement variable /(9j -4- /(B — 2^, nulle pour 9 = o , a sa dérivée pO-

sîtive, et augmente sans cesse, tant que dure le choc. Par

sxate, l'expression 1-LJ__?l___i i qui, pour S y e,

égale , d'après (e) , la différence /' (6) — f (9 — 2^) , va sans

cesse en diminuant, après avoir valu d'abord — . Ainsi, dès

que 9 a dépassé s' et jusqu'à ce que le choc soit fini , la dérivée f (9) diminue continuellement dans tout intervalle où f (^ — 21} n'augmente pas ; ce qui fait que, de û = e' à 9 = 2; [intervalle où/" (6 — 2^=0], la dérivée /"(S) décroit, ' et qu'il en est, dès iors, de même depuis 9 = 2? -t-e' jusqu'à 6 = 4^, depuis 6 = 4/ -i- e' jusqu'à 8 = 6?; et ainsi de suite , tant que le choc dure ou tant que /" (9) -h /" (8 — 21} reste positif. Donc, durant tout ce temps, cemmençant à 9 = e'

y ou à û = s, la fonction f (9) , d'abord égale à —, diminue

constamment, excepté dans les très petits intervalles e, comptés à partir des valeurs de 8 qui sont multiples de 2L où, d'après ce qu'onavuaprèsla formule (e), elieeffectue

desèom/^positifs, égauxà — ; de manière à présenter les

maxima et les minima alternatifs f (e'), f (21}, f [21 -h e'), f (4?), /^ (4Z -H e'), f {Ql}, etc. On peut même observer que

le premier de ces maxima, f {/'} = — , et le premier de ces

V ai "

minima, / {2l}= —ë^'i, amsi que, par suite, le premier

maximum suivant, ^(2? -+-0=~(^^7"^ M) existent dans

tous les cas; car, de 9=/ à 9=2?, la somme/" (9) -h-/" (8 — 2lj

V e se réduit au terme positif— g- — et ne peut s'annuler.

Il est d'ailleurs aisé de comprendre que la fin du choc se produise inévitablement. Comme /'(9) + /'(9 — 2?) grandit tant qu'elle n'arrive pas, la, différence

is") Z' (0) - A (6 - 2 ;] = ^ '- '- .

yGoosle

gv.i existe, -d'un intervalle 21 à l'autre, entre les valeurs de f (9), décroUsans cesse, et elle finit par être, non seulement négative, mais très au-dessous de zéro : ce qui ne peut manquer d'amener l'annulation des valeurs , positives Jusque là, de /^ (9). A ce moment, la somme f(^)-t-f{^ — 21), réduite à f (9 — 21) , n'est pas encore négative : mais elle le serait avant que 8 eût crû de 21 , si le corps y. ne se séparait pas auparavant de la barre; car la somme /'(S)-'-r(^— 2/} devenue alors f {^^2t)-^r{^), se réduirait à /'(fl -+-2^) , quantité négative, va que/' (9) aurait continué à décroître pour une augmentation 21 donnée à sa variable. Donc la valeur de S pour laquelle arrive la fin du cboc tombe dans un intervalle 21 compté à partir de la première qui annule /^ (9). Et l'on peut remarquer qu'elle n'est jamais comprise dans la petite portion s' de cet intervalle contiguë à la valeur de 9 , multiple de 21 , qui s'y trouve ; puisque la somme f {^) -^ f i^ — 2/), supposée positive

jusque là, y croît rapidement de — dans chacun de ses deux

termes et s'y éloigne par conséquent de zéro au lieu de s'en rapprocher.

On voit aussi que les maxima successifs de./" (8) , savoir /"(/). f (2^^-E'), f{^l-\-t]^ etc., forment une série qui commence par grandir, mais qui ensuite décroît, et de plus en plus jusqu'à la fin du choc. La vitesse du point heurté a; = o, valant, d'après {a), w[/'(8) — f [h — 2l)\ est positive dans la période d'accroissement, négative dans celle de décroissement; de sorte que la première marque le temps de la compression grandissante de la barre et, la seconde, celui de sa détente contre le corps ji, en attendant ladétentelibre, ou plutôt le mouvement périodique, qui suivra la séparation de celui-ci. Ainsi, le momentoùla détente commence, c'est-à-dire où le corps heurtant cesse d'avoir des vitesses positives , est donné par l'équation Z' (9) = /^ (9 — 21) . En outre , le plus fort des ma xima de /", de la forme f ^nl -•- s") ? ^^ reconnait à ce simple caractère

qu'il est le premier qui dépasse le maximum suivant, ou le premier qui donne f '^nl-v- e') — /'[2(»-f-l)?-t-e']>o.

D'ailleurs, une fois que l'extrémité a;= o sera libre, il viendra /'(B) = — f ^ — 2^), du moins si la barre, eu se détendant, ne rattrape pas le corps (i, ou tant qu'elle ne l'aura pas atteint, et les valeurs de /" (0) réalisées dans le

dernier laps de temps 2 — qu'aura duré le choc se

représenteront périodiquement, changées à chaque fois de signe; ce qui donnera aux diverses parties de la barre un

mouvement vibratoire de période 4 — , offrant les mêmes

circonstances, renversées, chaque fois que 9 ou wï croîtra 2^. La vitesse dei'extrémitBiî;=oy serau[/'(e) — fi^ — 2^)], c'est-à-dire — %^iifi^ — 2^), valeur qui est d'abord négative [puisqu'il a été observé que la fonction f^ — 2^) était encore positive au moment où le choc s'est terminé] , mais qui grandit jusqu'à ce que 9 — %l égale un multiple exact de % \ car, tant que dure le choc, la fonction /^(Û) décroît quand sa variable grandit entre un multiple de %l , accru de e', et le multiple suivant. Ainsi , la vitesse constante prise par le corps ij., identique à celle de l'extrémité ;r=o au début de la détente libre, est moindre, dans le sens des œ positifs, que celles que prend ensuite cette extrémité ; et la séparation de la barre d'avec le corps va s'accentaant. Mais dès que 6 — Il a atteint une valeur multiple de 2/, f {0 — 2Q reçoit très

rapidement l'augmentation — , et la vitesse, — 2w/' (5 — 2/),

de l'extrémité x~o diminue brusquement de 2 V ; ce qui, si la séparation s'est faite peu avant, et, par conséquent, sans qu'elle ait pu s'augmenter beaucoup, ni sans qu'il soit survenu depuis un accroissement sensible de la vitesse possédée par l'extrémité iz;=o, rendra cette vitesse beaucoup plus forte, dans le sens des x négatifs, que la vitesse même du corps et fera rattraper presque aussitôt la masse i* par la barre, en donnant ainsi naissance à un nouveau choc.

Mais ce sera seulement après que f (0) aura reçu la dernière valeur maxima changée de signe, — f {^ — %) , qu'avait prise, antérieurement à la tin du choc, la fonction f^ pour une valeur de sa variable dépassant de. e' un multiple de 2/; et il se pourra parfois, comme on verra bientôt, que cette valeur de f (9) réalisée pendant le phénomène de la détente libre entraine des déformations non pas plus grandes, mais plus dangereuses , que les plus fortes produites pendant le choc ou correspondant du moins à des valeurs de f (8} antérieures à sa fin.

Mais occupons-nous justement de la condition de résistance. Comme on aura, d'après {a),

la déformation ^ sera d'autant plus forte, que les deux

valeurs de la fonction f qui la composent, et qui se rapportent à des valeurs de la variable inférieures à w^ de a; au moins, différeront davantage de zéro, dans le même sens toutes les deux; de sorte que la plus grande compression produite pendant toute la durée du 'choc, et

pendant le temps — après, s'obtiendra en prenant, pour

chacune de ces deux valeurs de /", le plus considérabie des maximums /" [e'), /^ (2^ -H e'), /"(4/-i-£'), ...survenus avant que le corps se soit séparé de la barre ; et que la plus grande dilatation produite après ce temps, pendant la première période 2 — qui suivra, s'obtiendra de même en mettant pour /" le minimum qu'on y observe , égal en valeur absolue, comme on vient de voir, au dernier maximum, de la forme f (2 ni -+- s') , réalisé pendant le choc. Les deux fonctions /"(«if — x) et fii^t-hx — 2Ï] se trouvant, de la sorte , quand le second membre de [h) est aussi grand ou aussi petit que possible , égales à une même valeur de f, qui ne se présente en général qu'une fois ( du moins dans

les intervalles étudiés), la différence 2 {l — x) de leurs variables , comprise entre zéro et 21 , ne peut alors qu'être nulle ; et l'on a. x = L C'est donc à l'eccùrémitè fixe ^= l que se produisent les déformations les plus dangereuses (')■

Entrons maintenant dans le détail des divers cas où le choc se termine, soit entre 9 = 2^ -h s' et 9 = 4ï , soit entre ô t= 4? -^- s' et 9 = 6^, etc., et de ceux où la plus forte compression est soit Hf {21 -+-£'}, soit 2/"(4/-(-e'), etc. La compression, /" (9) -H /" (9 — 21) , produite au point heurté a;=o tant que le choc ne sera pas fini, vaudra, d'après (d), id'), (d") et {d'"), en faisant abstraction du facteur essentielle-

V fl ment positif ~ e ~ ~ ,

(de H

(de e

■Hj

[de 0 =

(de 6 =

l'expr.précéd.-f- 2

ai {i)-&ij^'

La première de ces expressions ne saurait être annulée ; mais la seconde , sans cesse décroissante quand & grandit, égalera zéro avant que 9 n'atteigne 41, à la condition nécessaire et suffisante d'être négative à cette limite, où eUe

devient 1-k2(1 )^T- Or on trouve que cela a lieu

pour toutes les valeurs de — supérieures à 0,579 environ.

Ainsi , la fin du choc arrive avant 0 =; 4^, ou avant que le

(") Quand II est jMsfe tel, que deus maxirauins consécutifs de f, les plus grands , soient égaujt , on peut évidemment poser encore , dans le calcul Je la plus forte compression, 2 (i-a:}=:= 2.1, ou »:= o, et l'extrémité heurtée x =0 devient unsecond 'point dangereux.

■premier ébranlement ait parcouru quatre fois la longueur de la harre, quand le rapport, — , du poids P de la barre à celui, Q, du corps heurtant , dépasse %519 , ou quand le rapport inverse—est inférieur (i— ^= 1,73.

Dans ce cas, les formules simples (d) et Id'} sont les scnles qu'on ait à employer, et toutes les circonstances du clioc se calculent aisément. Par exemple, l'instant du plus grand raccourcissement de la barre , donné par l'équation r{(i]—f'{ii~%l) = o, est

t ou — r=2 1- — — e „ ,

et ce plus grand raccourcissement a pour valeur

quantité croissant avec l, quand y. est fixe, et qui, pour un peu grand, ou —e—^ petit, devient sensiblement — (1— ^~t)) 6t — pour l infini (') . I/instant où le choc

(*) 11 ast évident que le plus grand raccoupoissement est encore exprimé par la même formule , à double exponentielle , aisée à calculer , toutes les fois qu'il se produit avant que 6 dépasse la valeur 4 1 , c'est-à-dire toutes les fois que l'expi'easion f (fi) — f' (e - 20, d'abord positive , s'annule pour fl <^ 4 Z ou , autrement dit, se trouveêtre devenue négative quand e^4i. Or l'inégalité /^(40—/^(2i)<'o, oa/'(2i) — f'(il)y 0, revient évidemment à /"'(2i -H !')—/'(4a-t:i')j> o,et l'on verra ci-après (p. 532) qu'elle est vérifiée toutes les fois que le rapport -|- ou -f! ne dépasse pas 5,686. Le plus grand raccourcissement admet donc l'expression simple considérée, à condition qu'on ait -^ <^ 5,686, ou ^ ^ — ]|> 0,11587.

On reconnaîtrait de même , en général , que le plus grand raccouiïàssement se produit dans l'intervalle compris entre fl= 2n( et fl=;2 {n-\-i)l, quand f l^nl-i--/) est le plus grand des maximums de /*('') , on quand il est le premier qui dépasse le suivant. Mais ré<îuation qui donnerait l'instant t auquel a lieu ce plus grand raccourcissement ne serait plus du premier degré : elle serait, d'après les formules (d'), {d"), {d^'Oi --t du second degré pour 0 compris entre 4( et 6i, du troisième pour 6 compris entre 61 et 8 i, et«. Or on veri'a (p. 541) que, dans ces cas oii le rapport ^ est supéiieur à 5,686, le plus grand raceourciasement et l'instant oii il se produit peuvent se calculer d'une manière bien plus simple, avec une approximation pratiquement très si "

se termine , obtenu en annuhnit la seconde expression [h'), est séparé do celui de la plus forte compression par l'intervalle-^, qui constitue, par conséquent, la durée de la détente au contact dii corps :et la vitessefinale, wf/'lO) — f (^ — 2/)], de celui-ci, égale, sauf le signe, 2Ve~ ^'■"^i^ ^..j, quantité qui grandit avec —, en tendant vers ■ — = f0.7358)V. La perte relative de force vive translatoire, causée par le choc, est donc aussi petite que possible pour— infini, cas

où. elle égale cependant encore 1 ^ -0.4587, soit près de

la moitié.

Supposons maintenant — moindre que 0.579 , ou —

moindre que 1, 157 , cas où il y a lieu de considérer la

troisième expression [h'). Le dernier terme complexe de

cette expression, affecté de

décroit , comme le précédent , à mesure que le rapport

positif y grandit : car la dérivée de ce trinf)iDe

1 — Sw-i-M^est — 3 4- 2m et reste négative tant que «,

c'est-à-dire , ne dépasse pas -^ ; or c'est ce qui a lieu

dans tout l'intervalle considéré,vu que, même à ia limite 0=6^, le rapport ■ égale — et est moindre ici que 1,157 ou, à

plus forte raison, que -5-. Donc, la troisième expre.ssion [h') décroît à mesure que 6 grandit et elle s'annulera avant 6 = 6/ à la condition, encore nécessaire et suffisante, d'être négative pour 9 — 6?, cas où elle devient

yGoosle

Or cette fonction (A") de — a sa dérivée par rapport à composée de deux termes complexes, correspondant aax deus parties de [h") qui ont en facteur, l'une, e--, l'autre, g—; et un examen immédiat montre, d'une part, que le premier de ces termes est essentiellement négatif (pour — ^o) , d'autre part , que le second est négatif aussi pour

— <'l--t- Vl,5, ce qui a lieu dans le cas étudié, où — est < 1,157). Positive pour — = d , la fonction ik") ne

passe donc qu'une fois par zéro entre— =o et— = 0,579,

Il [1 ' '

et n'y devient négative qu'après s'être annulée. On trouve pour cette racine qui l'annule —=0,241 environ. Ainsi, le choc se termine dans l'mtervalle compris de^ — ^là% = &l, ou entre t~4:~et t=G—, gucmd le rapport, — , du poids P de la barre au poids Q du corps heurtant est compris entre 0,579 et 0,241 , ou quand Je rapport inverse -— l'est entre l,73eM,15.

Supposons mîiintenanL — moindre que 0,241. Alors il

faut recourir, à la quatrième expression (A'J, dont chaque terme complexe diminue quand 6 y croît de Ql à 8^, comme le montre luio discussion analogue aux précédentes , en y

tenant compte de ce que — est actuellement plus petit que ^.

Donc, la fin du choc aura lieu entre S = 6^ ot 0 ^8/, si cette expression est négative pour 9 = 8/, valeur de S qui la réduit à

Or cette fonction \t^") de—, positivepoiir — =o , diminue sans cesse, dans chacun de ses trois termes complexes, lorsque — y croilde zéro à 0,241, ce que montre aisément l'étude de leurs dérivées premières. Comme elle s'annule pour — = 0 , 136 environ, on voit que U choc se termine entre 9=6/

e/û =8/. quand le rap'/iorl —est comprù entre 0,241 e^0,136,

ou le rapport inverse, — , entre 4,15 et 7,35.

Lorsque le poids du corps heurtant dépasse 7,35 fols celui de la barre , la tin du choc n'arrive qu'après S = Ql, c'est-à-dire après que le premier ébranlement a parcouru 8 fois la longueur l de la barre , et on ne pourrait en déterminer l'instant qu'en cherchant les formules qui conviennent pour les périodes 21 ultérieures.

Le calcul de la plus forte compression — 5 , produite au point dangereux x—-l, est moins compliqué que celui du moment où ie corps '^ abandonne la barre.

En effet, si, d'abord, on a — <^ Ij'^'S» ^^^ qie le choc se

termine entre 9 = 2^ et fl = 4/, la plus grande valeur de la fonction /" est , sans hésitation possible , d'après ce qu'on a vu [p.524j, f {2l^s% etlaformule(>^) donne— 3=2/'C2^^-s'), où f (2^+e'i se calculera par la seconde fonnule {d'') [p. 514] prise avec le signe supérieur. De plus, comme on a alors, dans {k],

t — m— t~l-2l^t' ou (^1^^

on voit que cotte plus forte compression se produit très peu après que le premier ébranlement a parcouru trois fois la longueur de la barre et, par conséquent, à un moment où, pour

les plus petites valeurs du rapport — , le ohoca déjà pris fin.

Il survient d'ailleurs , vers le commencement de la détente libre, comme on a vu aussi [p. 526], une dilatation maxi'ma égale au double du dernier maximum qu'ait présenté f (6) durant le choc, c'est-à-dire au double de f {21 + e') dans les

cas, dont il s' agit ici, où — est <^ 1,73; et il est bon d'observer

que cette dilatation, bien que ne dépassant pas la plus forte compression précédente, sera plus dangereuse fvu la moindre résistance des prismes à l'extension qu'à l'écrasement), à moins que l'énergie de la détente libre ne se dissipe assez rapidement (par l'effet de l'incomplète fixité du bout w — l, ou de l'imperfection de l'élasticité de la barre, etc.), pour que même cette première dilatation maximum en soit beaucoup réduite.

Supposons actuellement que le rapport — dépasse 1,73 et

que , par conséquent , la fin du choc n'arrive qu'après ^ = 4:1 -h s. AJors il y aura à considérer, outre le maximum

/■' (21 + t"), le suivant, f (4/ -he') , et même /" (6^ + s') si -^

dépasse 4,15, f (8^-i-e') si —dépasse 7,35, etc. Mais le maximum f (21 -t- e') sera le plus grand , comme il a été démontré (p. 524), tant qu'il dépassera f {il -ne'). Or, d'après les secondes formules {d') et [d") . l'excès de f {21 -+- s') sur

/" (4/-hê'), abstraction faite du facteur positif —e—~, est !.l 2 — «7-1,

quantité supérieure à zéro pour — > 0,35174, t: =~ >. 0,17587, ou pourp< 5,686. Donc, la plus for le co m est exprimée far 2 f {21^ t) , toutes les fois que le

rapport du poids Q du corps heurtant à celui P d.e la barre m 5,686.

qu'après 9 = 6/+ e' et il y a à considérer les maximums r(2/-+-E'), f (4^^e'), f (6^ + 0) et même le suivant, f [SI -<- s) , dès qiie-p escède 7,35. Or le maximum /' {H-h s)

y est plus fort que /'(2^-i-e'), et il suffira qu'il dépasse f {Ql-t-e'} pour être le plus grand datons. Les secondes, fonnules {d") et {d'") donnent comme excès de /" (4/ -+- s')

V ei sur /" (dl -h e'j , à part le facteur positif —e~—,

Cette expression , pour — < 0,35174, grandit visiblement, dans chacun de ses deux termes variables, en même temps que — et. égale à — 1 pour — =0, elle devient positive dès que ^ dépasse 0.14476. c'est-à-dire dès que — =-r

dopasse 0,07238 ou dès que— est moindre que 13,82. Ainsi, la pliis forte compression est 2 /^ (4 ^ + e') quand le rapport — se trouve compris entre 5,686 et 13,82.

Enfin, si — dépasse même 13,82 , cas où /" (6 / + s') dépasse f'i^l-^t') et où d'ailleurs le choc ne se termine qu'après 9 = 8/, le maximum /^ (6/ -+- e') est le plus grand de tous pourvu qu'il surpasse /' (8?-*- e'). Or la seconde formule id'"] donne f{Ql + s'),f (8 1) et même , par suite,

f {8l->- e*), qui égale, comme on sait, /" (8 1)+- ■ On peut

donc en déduire la différence /" (6/ -^ s') — /" {8/ + s.']-, et l'on

yGoosle

Irouve que- sauf le facteur positif — e — -, elle a pour expression

ji \ ji 3 iiV 11 \ |i / l'-

Or celle-ci, négative pour — = o, mais croissante, (dans .chacun de ses trois termes variables) avec — , pour les petites valeurs de ~ dont on a à s'occuper (ou moindres que 0,14476). devient positive dès que — = o, 07949 environ , ou dès que j^ — j est au-dessous de 25.16, Ainsi, la plus

forte compression a pour formule 2 /" (6/ -^- s'j, lorsque — est com'prh entre 13,82 et 25,16.

Quand le rapport —est très petit, ou le rapport inverse

— très grand, et quand, par suite , le choc ne se termine

qu'après un nombre considérable de fois le temps 2 —

employé par le son pour aller et revenir le long de la barre, la fonction f (9) présente beaucoup de minima et de maxiraa successifs, ayant respectivement les deux formes f {2nï), f (^l + ê'), et tels, que

f (2«/-f- /)—/■' [2 «;, = — , avant d'atteindre son maximum le plus élevé, par rapport

auquel sera fort petite l'oscillation, de l'ordre de— , qu'elle effectue dans chaque intervalle 2^ Et comme, d'ailleurs,

ses plus grandes valeurs sont supposées finies , sans quoi, d'après la formule (A) [p. 526] , les déformations correspondantes dépasseraient toute limite d'élasticité admissible, il en résulte que les variations éprouvées par f (0) quand 6 croit au plus de % peuvent être négligées. Donc,

la relation (A) montre que les contractions — -j- sont sensiblement les mêmes d'un bout à l'autre de la barre, et égaies environ h'2f {9) ; ce qui justifie, pour ce cas de —

très grand , la théorie élémentaire dans laquelle on suppose les contractions uniformes d'un bout à l'autre de la barre ou , ce qui revient au même, l'inertie des divers tronçons négligeable.

Mais déduisons de notre analyse cette théorie élémentaire. La fonction /(O) varie à fort peu près linéairement dans tout intervalle égal à 21 , puisque sa dérivée, généralement finie ou non insensible , peut y être censée constante; et, si l'on considère la moyenne de toutes les valeurs que prend /'(S) dans un pareil intervafie, celte moyenne ne différera qu'extrêmement peu de la demisomme de la première et de la dernière des valeurs dont il s'agit. Or il suit immédiatement de là que l'équation (e) ou (/') [p- 523], qui est, au fond, une équation aux différences mêlées , du premier ordre par rapport aux différences finies et du premier ordre par rapport aux différentielles (puisqu'elle contient f et sa dérivée pour deux valeurs de la variable distantes de -21} , peut se changer en une équation simplement différentielle du second ordre. En effet, introduisons au lien de /"(Q) , pour nous débarrasser des inégalités que présenterait la dérivée seconde de cette fonction, sa valeur moyenne dans toute l'étendue comprise entre les valeurs 8 — 2Z et Q de la variable, ou posons

00 qai montre, d'une part, que /' (9) — /'{O— 2/J = 2/ f (9) et, d'autre part, que ^'(9), valeur moyenne de f [^) dans l'intervalle compris de Q — 2/ à Û, ne s'écartera jamais d'une manière notable de /^{9). La différence /'(S)— /^(0—2Q vaudra donc 2^4'"(^); tandis que la somme /"(Q) -i-/'(S — 2^) égalera sensiblement, d'après ce qu'on vient de dire, 2-1^(9). Et l'équation (^"} ou (c), divisée par 2/, pouvant alors s'écrire

[h] ,,pouT e > /; r !6) ^ 77 [m^! ^ "1^]= " '

donnera immédiatement, si A et C sont deux constantes arbitraires,

( -^ (6) = i^ -1- A. cos -^ + B siii -^ ,

/ ■/! |9j = -— - sm -4- --—- cos .

(, \V^ V>^i Vv-l \lv-i

Mais on voit par les formules [j] et {]') que les deux fonctions, graduellement variables, i/ (S), ^' (6) sont très sensi-

aV

blement nulles an début 0=e'. Donc B=o, A= — -^ et, en observant que \x = l—=^l-—. il vient

Or, d'après [a) et (^■') [où 8 = w^], le déplacement f du point

heurté .«=0, à l'époque ^, est exprimé par 3/ Yi^)} c'est-à-dire d'après (A"), en négligeant /, par?— \/ pSin [ ^-r-y—j;

et sa vitesse par 21 Y' (9) w = V cos hj\/ -ttJ : cela revient bien aux formules de la théorie élémentaire que j'ai rappelée. Oq en déduit : 1" raccourcissement maximum, l — V^, de la barre, et la contraction correspondante' ou maxima — i) = — V^î ^° ^^ durée totale, tt— \/ —, du choc; 3" la symétrie ou parité approximative des deux phénomènes de la compression et de la détente, et, par suite, la vitesse finale, — V, du corps, qui reprend ainsi, à fort peu

près, toute soa énergie primitive —(j^ V*. Et, en effet, la

détente libre de la barre est insignifiante, vu que, à son début, les divers tronçons ont retrouvé à fort peu près leurs situations naturelles et ne possèdent que des vitesses

comparablesà — Y = w3\/' -■-, c'est-à-dire très petites à côté

de celles, de l'ordre de wô, qui seraient susceptibles d'amener des déformations sensibles ô dans la barre vibrant

seule. On a vu que, lorsque, an contraire, le rapport —n'est

pas très grand, la détente libre amène des déformations comparables à celles qui s'étaient produites durant le cboc, et que la barre détient, par conséquent, une fraction plus ou moins sensible de l'énergie primitive du corps heurtant, fraction perdue pour le mouvement ultérieur de ce corps (à moins d'un nouveau choc).

Mais il est facile de rendre rig-aireuses les formules {k) et (k") par l'adjonction de termes complémentaires, et, en évaluant à fort peu près ces termes, d'obtenir pour ^ (9) ou, par suite , pour le déplacement 21 <['' (S) de l'extrémité mo-

bile (\e la barre ainsi que pour la plus forte déformation — i, des expressions beaucoup plus exactes que les précédentes, de première approximation. Considérons, en effet, la différence, que nous négligions tout à l'heure,

2 ^^-'"•' 2 Js-u'^'2r

On peut l'écrire comme il suit :

expressions dont la seconde se déduit de la première en intégrant / (Q — l-\-'Q^dX^ par parties, et dont la troisième se déduit de la seconde en mettant en évidence le signe de Ç dans les éléments d'intégrale où ? est négatif. Or, sous sa dernière forme, c'est une fonction de 9 qui a sa valeur moyenne , prise pour un intervalle % dont une valeur considérée de 8 occuperait le milieu , évidemment calculable en .remplaçant , sous le signe/, les deux fonctions f i^ — l + t) et /" (9 — l — Ç) par leurs valeurs moyennes

correspondantes j f {^lnX — ^^Çi)"57 5 égales, d'après

— / (/), à '[''(9+Çj et à ^' ^ — E;). Cette fonction moyenne, qu'on peut regarder , en quelque sorte, comme la différence (/) régularisée ou débarrassée de ses inégalités de longueur 2^, est donc

-fi» -Ci t:'

Or, dans un intervalle moindre que 2/, la fonction graduellement variable 1' a sa dérivée 'J'" sensiblement

constante , et 1 on peut remplacer -^—^ par

Y' (9), sauf erreur relative négligeable. La différen<;e {l)

C'est dire que, si l'on retranche de l'expression [l) la fonction —Y' (6) , le reste sera une certaine fonction, / (9), sans doute comparable à -- \" (9), mais ayant sa valeur moyenne,

dans tout intervalle '21, incomparablement moindre. On aura donc

Par suite, l'équation {g") [p. 523], où /" (ej — /" (9 — 2^ légale d'ailleurs % 4-" (9), devient, en la divisant, après réduction,

par 2/(1-1- — j et appelant •/, pour abréger, l'expression \i. ^~ l ou w { 1 -I- — - ) ,

Son intégrale, déterminée de manière que, pour 9 =:; s', il* (' et Y {^) s'annulent, est

Vr-'l En effet , deux différentiations successives donnent

Or les valeurs (m) et {m') de ^, Y et Y' vérifient bien, tout à la fois, l'équation {l'"] et les conditions d'état initial

Gela posé, considérons en particulier le dernier terme de l'expression {m') de Y{^)- CommeS — s' est compris, pendant toute la durée du choc, entre zéro et tc V f/'/ environ, le cosinus qui y paraît sous le signe /ne change de signe qu'une fois au plus ; mais le facteur / (tj) en change un grand nombre de

l^ „ fois, car, bien qu'il soit comparable à l'expression -5- 4* (i"i),

il a sa valeur moyenne dans Lout intervalle % beaucoup plus petite que cette expression. On peut, en conséquence, le remplacer, dans l'intégrale , par une fonotiou graduellement variable, bien moindre que ses valeurs individuelles,

P et néghgeable vis-à-vis de -^ ^" (ï|), c'est-à-dire vis-à-vis

de " , d'après la valeur {m') comparable à --' -; ■ de la

dérivée seconde Y' (9). Par suite, le dernier terme de

l'expression (w'} de il*' (9) sera beaucoup plus petit

1 ril\ -, v(e— s'j ^v. /7

que-;; I -~d-t\=- ' ■,- , ou que-r-V — ; et on pourra

le négliger devant celui qui précède,

même quand, dans le coefficient de celui-ci ,

on comptera le second terme, très petit, du développement

do 11 -*-— '^ par la formule du binôme. Ainsi le dernier

terme de l'expression {m') de ^ {^) est négligeable; et la formule de deuxième approximation des déplacements 21 Y (9) du point heurté se réduit, en faisant e'=o, 9 = f^t,

à — V -; sin '" . ou à ce que donne celle de première

ap'proximation quand, la quaMité de mouvement .wV d% choc restant la même, on attribue fictivement au corps heurtant une masse, ■/ = ^-^ \ l, plus grande que la sienne du tiers de celle de la barre.

Cette règle, suggérée par un raisonnement presque élémentaire, il y a longtemps déjà, à M. de Saint-Venant, puis reconnue par lui s'étendre (avec d'autres coefficients numériques que | ) à tous les cas de barres heurtées par des corps massifs , et dont j'ai enftu démontré la généralité pour de tels clioos de systèmes élastiques quelconques ayant certains points fixes, s'applique môme, avec xme

exactitude suffisante, sans que le rapport ~f=-^ ait besoin

d'être grand, mais pourvu qu'il atteigne ou dépasse runité("j.

(*) Voir, par exemple , la Théorie de l'élasticité des corps solides , de Clebsch . édition française , avec des notes étendues de M. de Saint-Venant , 11° fascicule , p. 480 S! et p. 595.

La loi générale approchée dont il s'agit consiste en ce que, ai l'on aonsidère les déplacements des diverses parties dP du système élastique heurté, tels qu'ils sont quand sa masse est négligeable , et si , comparant ces déplacements à ceux qu'éprouve en même temps aa partie touchée par le coi-pa heurtant Q , on appelle f le rapport, indépendant du temps, cette partie directement heurtée se déplacera effectivement, dans le cas où la masse du système élastique sera sensible, comme dans celui où eUe ne le serait pas, mais oii le corps heui'tant Q , n'ayant que sa

QV quantité initiale donnée de mouvement — , deviendi'ait pîus lourd qu'il n'est de

P r rfP //^d P, c'est^-dire dans le rapport de 1 à 1 "*" 7: W*~5"-

Par exemple , pour une plaque cireulaire homogène de rayon n, encastrée ou simplement appuyée sur tout son contour, et heurtée normalement en son centre, il résultera des secondes formules (g) et {q') [p. 136 et 137] , prises avec R =^ o , l'expression suivante de f, pour les éléments dP de la plaque situés ù une distance ï. du centre ;

oii k désigne un nombre constant , qui a la valeur 1 dans le cas de la plaque

l-i-2vi encastrée , et la valeur ~ ■ ■ , comprise entre ^ et -^ , dans le cas de la plaque

Le maximum de Y {^) ^^c trouve donc exprimé sensiblement par (m"), ou, pour les petites valeurs du rapport

7"""^' P^^l^lV' |— ^V|)-'^^><^'^P^^^ (/)' la fonction graduellement variable 'J'' (9) est la moyeiiBe des valeurs que reçoit f quand sa variable croît de 9 — 3/ à 0. Cette fonction Y {^) cloit , par suite . dans le voisinage du plus grand des minimums f (2nl} et du plus grand des maximums f{2nl-i-s'), être à peu près équidistaiite de deux autres, graduellement variables comme elle, mais dont l'une fournirait ou comprendrait tous les minima /" (2nl) et , l'autre ,

tous les maxima f (2»? -f- e') , plus grands , de — , que les

appuyée. Et comme d'aiileurs le poids de toute izne couronne clcmentaire 2t; de la plaque est — - (27ii;iiï.) = Pii — , il yiendra, si l'on pose — =: w,

f"T-jy-

En développant {1 — u -t- Au log «)* di*, observons que le terme affecté de

log« sera ftlogud («2 — ^1^) et, le terme affecté de (log u)S, — (log ujïd.w*.

Une intégration par parties, suivie d'une autre analogue pour le devnier de ces termes , donnera d'ahord rintégi'ale indéfinie cherchée ,

et, finalement, enti'e les limites zéro et 1 ,

Dans le cas, par exemple, delà plaque encastrée, fti=l; et il vient / P ~p"^Ri'

valeur à peine supérieure k —, mais qui croîtrait juequ a — -, ou environ — ,

si k pouvait décroîti'e jusqu'à — - ou -i diminuer jusqu'à zéro, dans une plaque simplement appuyée.

Ainsi, la masse heurtante devra être fictivement augmentée de la fraction

— jl^— ft-i-— -Èïjde celle de la plaque , pour tenir à peu près compte de l'inertie de celle-ci dans le calcul des déplacements w de son centre. Appelons Q'

minima f (2nl) {'). Ainsi , cette dernière fonction, donnant

tous les maxiina quand on fera 0 = 2nl -k e', égale '^' (9) -i

dans le voisinage du plus grand maximum, avec bien plus d'approximation qu'elle n'égale Y {^)- D'ailleurs, les maxima f (e') , f {21^ e') , f(il-i- s') , etc. , ne croissent ,

le poids, ainsi accru, du corps heurtant , et, d'une part , les yaleui-s initiales de

dw ■ VQ

K>, —- seront respectivement o, -— , dauti'e part, les formules (p), (p') [p. 136]

de f — w, oii l'on fera R i= o, P ^ — — , h ^ l'épatsseoi' de la plaque, et

Pu, .a; oii l'on pourra remplacer 2 (1 -t- ^) .« pai- p «t^ r^ — — - , oii désignant encore la

vitesse de propagation (définie à la page 488) des sons longitudinaux dans la plaque et p la densité de sa matière, deviendi'ont

3 I a'^ YQ' d'^w

Il viendra donc pai" rintégTation de cotte équation différentielle, vu les conditions initiales spécifiées,

^ ~ 2^ V T PQ' ^° \' ""iS" V ~â Q'/ ' expression très simple, où Q' désigne, comme on a dit, la somme

et, A, l'épaisseur de la plaque.

(*) En effet , la différence entre un maximum et le suivant est une fraction de — de plus eu plus faible à mesure qu'on approche du plus grand d'entr'eux f (2nl -\- i") , puisqu'elle devient négative au-delà. On peut donc , sauf erreur négligeable en comparaison de — , regarder ce plus grand maximum et celui qui le précède comme étant égaux, ou la fonction f'{$) comme décroissant de — dans l'intervalle 2t — s' compris entre le maximum f i^nl ~2l-^ •/) et le plus grand minimum ^{2 ni), intervalle où il faut calculer sa valeur moyenne pour obtenu", à fort peu près , ^' (2nl -H s^. Or la fonction f (9) y varie presque Ûnéairement, car elle y a d'un bout à l'autre, d'après des formules comme ((f")i (''"')' ^t"' '" même forme analytique , somme de produits , variant longtemps dans le même sens, d'exponentielles par des polynômes en e ; et elle n'y est piise que dans une étendue, 21 environ, fort petite par rapport à la valeur finale, 2h(, de sa variable. Par conséquent , ^' (3 « i -H ;') vaut , sauf une très petite fraction de ~ , la moyenne arithmétique , f (2nl -h i') — — , du maximum et du a

de chacun au suivant, que d'une fraction de —, et, par

raison de continuité , cette fraction cesse même d'être sensible quand on approche du plus grand maximum , vu qu'elle est alors sar le point de devenir négative. Donc la fonction, graduellement variable, exprimant tous les maximums , n'éprouve que des variations négligeables par

rapport à —entre les deux ou trois plus grands d'entr'eux,

intervalle oii elle vaut ^ (6) -+- -- et où se produit évidemment le propre maximum de Y (6), -^ (\, -^ — -^V rr}»

réductible à — \/ — sauf erreur également beaucoup plus

petite que — . C'est dire que le plus fort des maximums,

/^ (2ï^?-(- s'), égale -^ [V" ^^--'-l) , bien plus exactement que

— - V ^ • Et ia plus grande déformation — 3 , qu'on s;iit en être le double, sera exprimée par la formule

-— très grand) — 5 = — (V r-- -

En résumé , la compression la plus dangereuse , représentée soit par 2/^(2^-h£''j, soit par2/'(4^-i-e'), soit par

2 f (6/ -I- ë') quand le rapport — est inférieur à 25,16, doit

tendre vers la forme — ( V "^ +■ M qiiand ce rapport grandit indéfiniment. D'ailleurs, les secondes relations {d'), {d") et [d"') [p. 514 et 515J font connaître f {21 ^t), f {^l + s'), f (6/ -t- e') ; et l'on trouve , par exemple , que, pour le cas

1=25 ou i=-^=0,04, — l = (6,011) ^. La formule-

yGoosle

limite {m'") aarait donné — ?-= 6 — , résultat en erreur,

par défantj ce qu'on pouvait prévoir, car. pour ^ = 0, l'ex-

pression (w'") se réduit à — ot n'est que la moitié de la

vraie valeur correspondante — ^=2— . Mais dès que —

grandit, les vraies valeurs de — 7> tendent assez rapidement vers celles que donne la formule {m"'), et ceMe-ci commence à être suffisamment approchée pour les besoins de la pratique, dès que— = 5 , surtout si , entre les limites — = 5 et ~ = 20, on remplace, dans la parenthèse, le terme 1 par

1,1. C'est ce qu'a reconnu, à Taide de calculs détaillés,

M. Flamant, ingénieur en chef des ponts et chaussées ('),

Si l'on veut plus d'exactitude et que l'on tire de

{(f), (d") et (Oies expressions de 2 T (2^ ^ ^\ 2 /' (4?+/},

2 f (6? "I- 1"). en y remplaçant — par^r , on aura, en définitive, les formules pratiques suivantes de la plus grande grande compression — il :

i /.nup ^ < 5,686) ;> = 2 - (l -4- e-^-^J ,

ij-^>5,686el<13,82)-Û = 2-ri-'-[l-4^)e-4-^^"*5],

-'-'-AH'-'ii^'w^*['-%y

(•) Voir l'article du 6 août i833 cité ci-dessus, p. 508.

D'après cesformnles , lorsque un corps massif heurte longitudinalement à un bout une barre de longueur finie dont l'autre bout es( fixe, la plus grande déformation qui en

résulte vaut le produit de celle de début. — , par un nombre

dépendant du rapport— 4u poids Q du corps à celui P de la

barre, et qui, égal à 2 quand ce rapport est nul, grandit indéfiniment avec lui, en tendant vers sa racine carrée augmentée de 1 .

On pourrait à la rigueur, comme ou vient de dire , ne garder, de toutes ces formules [n]^ que les deux qui sont très simples-, savoir, la première et la dernière , en appliquant la dernière dès que la première cesse de convenir.

2B bis. — Sur les deux problèmes d'un choc par compression faisant fléchir la barre heurtée , supposée très légère , et du Tnouvemenl rapide d'une charge roulante le long d'une telle barre horizontale , appuyée à ses deux bouts.

J'ai supposé implicitement , dans le cas d'un choc par

compression , la vitesse initiale V de la masse heurtante —

insuffisante pour exposer, la tige à fléchir suivant le sens de son épaisseur, c'est-à-dire dans le plan de ,1a plus petite dimension, que j'appellerai 2A, de ses sections normales tr. Pour nous faire une idée de la limite ainsi imposée à la vitesse V du choc et des déformations dangereuses qui surviendraient si cette limite était dépassée, raisonnons dans l'hypothèse

que la tige ait sa masse — heaucoup plus faible que —

et, par suite, ses inerties négligeables en comparaison de celles de la masse —, Nous pourrons donc regarder la tige, soit encore droite, soit déjà un peu fléchie dans le plan qui

contient les petites dimensions 2A de ses sections normales ff, comme étant, à chaque înstant, en équilibre, sous l'action de la pression actuelle, F, qu'exercera sur elle le corps heartant, et de la résistance de l'extrémité fixe. D'ailleurs, la pression F, due au mouvement de la masse heurtante, sera dirigée , par raison de symétrie, dans le sens de ce mouvement, du moins tant qu'elle ne fera que déplacer l'extrémité heurtée comme elle se déplace dès le premier moment, c'est-à-dire suivant la droite joignant les deux extrémités de l'axe de la tige : or c'est ce qui arrivera indéfiniment, pourvu que les flexions restent très faibles, et qu'il continue de la sorte à y avoir une normalité ou nue symétrie à peu près complète de la section heurtée par rapport à la directioji du choc.

J'appellerai l la longueur primitive de la tige, l' sa longueur à l'instant où sa fibre centrale, c'est-à-dire son axe, présentant une petite flèche quelconque f, aura chacune de ses molécules à une certaine distance, y, de la droite, prise pour axe des x, le long de laquelle il s'étendait dans l'état de repos, et d'oii ne sortiront ni l'extrémité fixe, ni même l'extrémité heurtée. Enfin, je compterai l'abscisse actuelle X du point quelconque de la fibre centrale dont y désigne l'ordonnée, à partir du pied de la flèche ou ordonnée maxima y = /■ (et positivement en allant vers l'extrémité heurtée); la petite fonction y &^ x aura donc sa dérivée y' nulle pour a; = o.

Cela posé, menons par le ^omX{œ,y) une section normale 0- et, considérant la partie de la tige comprise depuis cette section jusqu'à l'extrémité heurtée, écrivons qu'il y a équilibre , dans le plan des xy, entre les forces qui la sollicitent, savoir : V la pression, F, du corps heurtant, dont les composantes, suivant les x et suivant les y, ainsi que le moment par rapport au point {x^ y), sont respectivement — F, 0 , — Y.y; 2'* ia presnon normale , P, et Veffort tranchant ou tangentiel, T, exercés sur la section a- et appliqués au poiixt {x , y), forces dont les composantes

Suivant les x et les y, vu Ja petite inclinaison y' de la fibre centrale par rapport à l'axe des x, sont respectivement (sauf erreurs relatives de l'ordre de y'') P, Vy' et 'Vy', — T; 3" enfin, le couple de flexion, égal au produit de la courbure de l'axe, — y" (1 -i- y'^) "a, ou — y" à une première approximation, par le coefficient d'élasticité E des fibres longitudinales de la tige et par le moment d'inertie /V da de la section s, calculé en mettant pour r, la distance, comprise entre T h, de l'élément quelconque (^^7 de i à la ligne des fibres neuves, c'est-à-dire à la perpendiculaire menée en {x, y] au plan des wy. Je représenterai ce moment d'inertie, comme au n'^ 22 {p. 484) , par k^h^n ^ h désignant un nombre, évidemment inférieur à l'unité, qui dépend de la forme de la section et qui vaut \ quand elle est elliptique,— quand elle est rectangulaire, etc. Le couple de

flexion, égal et contraire au moment — Fj/ de la force comprimante F, s'écrira donc, à une première approximation,— (É'A^o-Ey", et, à une approximation plus élevée.

Ainsi, le théorème des moments donnera d'abord, en multipliant par ■ et posant, pour

:^i^-jf7>K = ,[(I./"i.-l] = |,/'+.

l'équation différentielle suivante de l'axe de ia tige,

Elle définit une courbe symétrique déforme par rapport à la flèclie / ou à l'axe des y ; car elle fait connaître de proche en proche, en fonction de l'ordonnée y, des courbures, m'' y, pareilles de part et d'autre de cet axe.

Le second membre de réquation [a') étant, à une première approximation, négligeable à côté du terme m^, il vient sensiblement, par l'intégration de cette équation, en observant que, pour x = o, p = f ei p' = o,

[a") y = /■ cos )n œ , / = — mfsmm^.

La tige flécMe al'fecte donc , à peu près , la^ forme d'un ar ceau de sinusoïde ; sa courbure , égale environ à — 3/" ou à w' y , atteint son maximum au sommet de l'arceau , .où elle devient m^ f, et la moitié de sa corde , valeur positive

de X qui correspond à j' = 0, est environ-5^. Enfin, l'excès

d'un élément ds de l'arc l', sur sa projection dx. ou sur la. partie correspondante de la corde , a pour expression le produit de dx par (1 -^y^)^ — 1, c'est-à-dire, sensiblement, par -|- y'* = -^TO^ /^ sin^^ma;,' facteur dont la valeur moyenne, tout le long de la corde , est \m^P; en sorte que, si c désigne la corde, on a

Pour passer à une seconde approximation , observons que l'expression (a) de K, d'après les valeurs [a") de y et y\ est environ | m^ f^ cos mx sin- mx. On peut donc la supposer connue en fonction Aq x\ et l'intégration de [a') donne alors, au lieu de la première {a").

iV) ij = fcosm

..J\co».*-o.„j;i.

Pour en déduire la valeur de x^ coi'respondant k y = 0 , qui exprime plus exactement que ne le fait ^la demi-corde -1- c, on peut, dans les termes en K, qui sont de deuxième appro-

ximation, poser x=-^, cosmx=Q, sîn mx= I. Observons d'ailleurs que la valeur moyenne de K coh ■mXy ou de

est le produit de \m^P par l'excédent de -i-, moyenne de sin^m^, sur-^f, moyenne de sm^mx', et il viendra simplement, en divisant {]/) par /après y avoir remplacé x par -^ c,

On en déduit, en remplaçant le petit sinus par l'arc, puis

multipliant par —,

et cette valeur de c , portée dans [h), donne, pour l\ la formule

Les deux relations [h") et ij/"} sont insuflisantes pour déterminer, en fonction de la force comprimante F ou du

rapport w:=— y ï^' les trois principales inconnues de la question, qui sont la longueur actuelle l' de la tige, sa corde c et sa flèche/". Et, en effet, l'équation différentielle [a') ne pouvait nous faire connaître la constante arbitraire , /'par exemple, qu'introduit son intégration. Mais il nous reste à exprimer qu'il y a équilibre ; suivant les x et suivant les y, entre les trois forces F, P et T, dont les composantes ont été données tout à l'heure. Nous obtiendrons ainsi les

deux nouvelles équations P-t- Ty'= F, T^Py', qui, réyolues par rapport à P et T, deviennent simplement , vu llnsigniâance dix carré y'^ à côté de l'unité,

La deuxième montre que l'effort tranchant T égale la dérivée en a; du couple Fy de flexion, résultat bien connu au moins dans le cas d'une tige purement fléchie. Quant à la première P — F, où la tension — P égale , comme on sait, le produit de E» par la dilatation linéaire de l'axe, elle exprime que cette tension est très sensiblement constante d'un bout à l'autre et égale à — F; d'où il suit que la dilatation linéaire de l'axe est, elle-même , à fort peu près

constante ou égale à — - — . On a donc, pour joindre à {}>"]

et (ï*'"), la troisième équation cherchée

Celle-ci est même plus générale que les précédentes {h ') et (6"'), car elle sera, comme (è), vérifiée même avant qu'il y ait aucune flexion de la tige, ou pour /=o et c=r, tandis que les équations (&") et W") , obtenues après suppression d'un facteur /", supposent cefacteur essentiellement différent de zéro et ne commencent à être vérifiées que lorsque F atteint une assez grande valeur. En effet, les équations (J")

et (ô'") montrent que la quantité —, comprise entre c et T,

est , par suite , peu inférieure à ?', ou que m , c'est-à-dire

— y^ — , dépasse , mais fort peu , pendant tout le temps

que la tige éprouve les petites flexions considérées ici, la

fraction y , très peu supérieure elle-même à la quantité

Ainsi , et on le savait du reste depuis le mémoire d'Euler pur la Force des colonnes cliargées debout, la tige ne commence à fléchir que lorsque sa contraction par l'effet de la

pression F dépasse un peu la limite — — {~\ , comparable.

au carré du rapport de son épaisseur 2 ^ à sa hauteur l ; et cette contraction, ainsi que la force comprimante F, ne varie dès lors presque plus à mesure que la flèche f de flexion grandit, du moins tant (fue celle-ci reste très petite à côté de la longueur l de la tige (').

C) II y a une loi analogue pour un manchon cylindrique ou , plutflt , pom- un anneau mince , de rayon R , à section rectangriiaire , supportant aui' sa surface eitêrieui-e une pression normale et constante p pai' unité de longueur de son aie S ji R ; ce qui implique Tesistence , sur ses sections noi'males ^ , d'une pression totale F = p R , comme on le voit en exprimant que les forces ,2F, exercées sur les deus sections estrèmes d'une moitié d'anneau , tiennent en équilibi* les pressions esté]deures , ayant pour résultante 2Rp , appliquées à toute sa surfiice convexe, La pression p la plus faible qui puisse le feire fléchir , c'est-à-dire lui

3 E ft2 AS ï faii'e perdre la forme circulaire , est - ■ ; d'oii il suit que la contraction

F pR correspondante , ■=- = =- , de l'unité de longueur de sa fibre centrale , a

pour valeur 3 It* f -:g- ] , c'est-à-dii* 1 — 1 ou Ze carré du rapport de la demiépaisseur h du manchon à son rayon R , car , la section ^ étant rectangulaire , ona3Aî=:i.

Pour démontrer que , si la pression p croît graduellement à partir de zéro , des flexions ne pourront commencer à se produii* que lorsquep aura atteint la Yslour

3fcïftSB=' . . . . - . a-, .>

— , imaginons que nous soyons au moment ou sui-viennent , en eflet , de

légères déformations de l'axe passant par les milieux des sections : et, 2 a R étant censé représenter alors sa longueur, soit, en coordonnées polaires , r ^= R (1 + 0 son équation , oii s désigne une petite fonction de l'angle polaire fl , compté autour rî-f-2r^— ir"

d'un pôle voisin du centre. L'expression classique — — — — - de sa courbure

(rï -t- r^)i

— sera simplement - ■ ■ „ •- i ^-^ négligeant les carrés et produits de j, ;', •-" :

Il est aisé , toutefois , de voir que F grandit (quoique fort peu) en même temps que la flèche f, quand la distance c des deux extrémités, d'abord égale à T et déjà moindre que^, continue à décroître en devenant inférieure à l'. A partir de ce moment où commence à se produire une flexion , l' ne varie presque plus, tandis que c diminue encore d'une manière sensible.

Pour reconnaître tous cesdétails, et pour exprimer aussi/' et c en fonction de F, comme le fait la formule [c') en ce qui concerne T, remplaçons d'abord m, dans les derniers termes , très petits, de [b") et {b'") par la valeur approchée y , et puis substituons à !a première , [h") , le résultat de son addition

et , par suite , dans ràypothèse que toute portion de l'anneau soit naturellement di'oite ou circulaire , autrement dit , que la formule du couple de flexion y soit

E A* AS 7 1 eonst. ) , l'expression de ce couple en un point ( 9 , r ) deviendra

e autre const. Or, si, concevant, pouv plus de simplicité , l'anneau réduit à son ase, l'on y considère la partie comprise depuis un de ses points. A, quelconque mais toujours le même, jusqu'au point variable (9, r), et si l'on exprime l'équilibre de rotation de toute cette partie autour de son extrémité (6 . r) > lemoment des pressions p qu'elle supporte s'évaluera de suite, en menant , autour du point (9 , r) comme centre , des circonférences , dont deux consécutives, de rayons « et h -H du, passeront respectivement parla deuïtième et par la première extrémité de chacun de ses éléments d i : la pression p exercée sui' cet élément aura évidemment, pour sa composante normale au rayon u, + p d «, et, poui- son moment , en grandeur et en signe , u (y du) ; ce qui donne , en intégrant depuis a ^ o , le produit de ^ p par le carré de la distance du point (S, r) au point A. Ajoutons k ce moment total ceux de la foree et du couple appliqués en A, dont la somme est une fonction linéaire de la distance du point (6, r) à cette iorce , et il viendra évidemment pour la valeur du couple de flexion en (9, r) , comme l'a trouvé M., Maurice Levy dans un article du 24 septembre 1883 {Comptes-Rendus , t. XGVII , p. 68) , une expression composée d'un terme constant et du produit de |- p par le carré de la distance du point {H, r) à un cei-tain point fixe du plan (savoir , Ji un point situé sur la perpendiculaire menée en A à la force, et à une distance de A exprimée par le rapport de la foi'ce àp). Or, dans la question posée, oii le rayon de courbure p et, par suite, le couple de flexion sont peu variables , ce point fixe doit être voisin du centre , sans quoi il ne serait pas presque équidistant de toutes les parties de l'anneau. Nous pouvons donc admettre qu'on l'ait pris comme pôle, ou que sa distance à (S, r)soit r = R (l-Hs) ;

dou résultera, pour le couple de flexion — __ — ^-h __j -^- const.. une

à trois fois la seconde , [h'"). Nous aurons, en divisant par l et transposant,

Les deux inconnues -j et [ j^y) dépendent donc linéairement des deus rapports -^ = -^y -^ei —=^\ — =--, dont

les dérivées respectives en F sont à fort peu près, vu la valeur approchée [c") de F qu'on substituera finalement

dans la première , — ^^^^ f—rr ) et — i^-. Or le rapport de la

seconde de ces dérivées à la première est la fraction très

valem" n'ayant pas d'autre pai-tie variable que ^ jj Rî (1 -i- i)î , ou même , par la suppression d'un terme en lï, que p Rï i. L'équation différentielle de l'axe de l'anneau fléchi sera donc , en égalant ces deux expressions , transposant et

E ftî! ftS = 'divisant pai" — ,

Or, la constante du second membre est nulle, pai' suite de ce fait que, la longueur totale de la courbe ,

j \/'rs~+T^ d 9 = R j {l-t-0<ie = 27!R-(-R j idn,

doit se réduire à 2 x R , et , en conséquence , la valeur moyenne de ; égaler zéro ; d'oii il résulte que, ~z ayant déjà zéro pour valeur moyenne à cause de la périodicité évidente de ;, le second membre constant de l'équation a, comme le premier, sa valeur moyenne nulle , et se réduit à zéro. Ainsi l'ase légèrement fléchi a pour équation différentielle

^ / pR3 \

dflî "^ i "^ Ek^hi-:} ' — "' et pour équation finie, en iiitégi'ant à partir d'une origine convenable des azimuts S,

oii c désigne !a constante arbitraire introduite par l'intégration. La courbe étant feimée , et les valeurs de : devant redevenir les mêmes quand 8 croît de 2 :r , on

petite 2 (-r-j , exprimant sensiblement le douWe de la

l—V contraction — — au moment où la tige commence à fléchir.

]f Ainsi, les variations ultérieures de j seront insignifiantes

en comparaison de celles de -^ , et l'on peut, dans [d], remplacer—par sa valeur se rapportant au moment où la flèche est encore nulle mais cesse de l'être, valeur qui est à fort peu près, d'après la dernière {c"), 1 — (~7~) • Dans ces conditions, les formules {d), dont chacune n"a plus à son second

devra évidemment avoii', si l'on appelle i l'un des nombres entiers 1, 2, 3, 4,

On ne peut pas faii'e i = 1 ; cai* alors . qu'il n'y a pas de flexion. La plus petite valeur ,

puisse recevon- le rapport — — —

légèrement elliptique prise par l'ai

3 E ftî ft2 , p , la valeur ■■ ; ce qu'il fallait démontrer.

On voit, en faisant 3 ftï = l et 5= 2ft XI, que la condition à s'imposer, dans la pratique , pour qu'un manchon de rayon R et d'épaisseur 2 A , soumis extérieurement à une pvession p par unité d'aire, ne puisse pas fléchir et s'enfoncer, est PR3 ., . E /2A\3

Pareillement à ce qui ai-rive dans le cas de la pièce chargée debout, oii la flèche / varie très vite en fonction de la forée comprimante F et ne peut se calculer qu'à une deuxième approximation, de même, ici, la constante c, qui mesure l'amplitude proportionnelle des flexions , reçoit toutes les' petites valeure possihlea sans que la pression p change presque ; et il faudrait , pour l'évaluer en fonction de p , reprendre les calculs précédents en ne négligeant plus les termes de l'ordre de i*. Cette nécessité d'une deuxième approximation , pour obtenir ainsi les petites variations de F en fonction de f on celles de la pression fléchissante p en fonction des petites flexions produites 2Re, pouvait aisément se prévoir, d'après le principe même de Fermât sur la quasi-invariahilité des fonctions, dans le voisinage d'un minimum comme celui que F et P présentent à l'instant où s'annulent /" et c, variables de part et d'autre de zéro.

e valeur , con'élative à ui

ce qui exprime ne flexion., que

respond donc à i — 2 , 0

u à une forme

. et elle ég-ale 3; d'où résulte bien , pour

que, si m ou F grandissent, jdiminuera, tandis que [-^j]

ira en augmentant. La plus petite valeur de F qui commence à prodidre la flexion s'obtient en posant f= o dans la seconde (d), et elle est

car elle correspond à

Un °" i ''■' T ~ y ~ "~ \ l ] '

Laformule (è), si l'on substitue à w, dans son petit terme

-- ■— , la valeur approchée -r , donne une relation très utile

pour exprimer la flèche f en fonction du déplacement total l — c, que j'appellerai S, de l'extrémité mobile, et de la force comprimante F. Divisée par l, cette relation devient en effet, vu la formule (c'),

mX - ^— " J^ 1 ^ .

d'où

f expression de — applicable même quand aucune flexion

n'existe encore, puisque on a alors -y = -~ ■ = — et — = o.

Occupons-nous maintenant des dilatations éprouvées par les fibres longitudinales de la tige, d'abord seulement com-

primée, puis comprimée et fléchie tout à la fois , sous Taction de la force croissante F. Pour la fibre centrale et pour celles qui ont même projection qu'elle sur le plan des xy^

cette dilatation est simplement -^ — — p-. Mais pour les

fibres qui, vues eu projection sur le plan des x y , sont à une certaine distance tj des précédentes , distance comptée positivement du côté de leur convexité , négativement du côté de leur concavité , cette dilatation est, en observant que m^y exprime à fort peu près la courbure de la fibre

étant TA, et la plus grande valeur de nû-y égalant mYou,

d'après {a) , [c") et {d'), ^ =7- V 7— f; ? **^ ™^* *I^^ ^^ contraction et la dilatation dangereuses se. produisent sur la section moyenne de la tige et ont pour valeurs

Cette formule s'applique même avant que la flexion se produise, c'est-à-dire alors que f= 0, cas où ^3 se réduit bien

partout à ±—. Le radical du troisième membre est nul,

certaine valeur, égale sensiblement à

rapport garde à fort peu près cette valeur , taudis que le déplacement S de l'extrémité libre continue à grandir, et la formule (e) peut alors s'écrire

Connaissant ainsi l'état d'équilibre de la tige à chaque

instant, sous la pression actuelle F de la masse heurtante, et la double relation approcliée ,

■KkhV

qui relie F aux déplacements successifs 3 =1 — c éprouvés

par cette masse — , il est aisé de voir quelle sera la loi du

mouvement retardé de celle-ci. Kn effet, la réaction de la tige sur le corps heurtant vaudra — F, et l'on aura, comme équation du mouvement de ce corps ,

Donc le mouvement du corps heurtant sera d'abord retardé comme il l'est dans un pendule qui vient de dépasser sa position d'équilibre; mais, si le déplacement total 5 atteint

ainsi la valeur l (-— — j avant que la vitesse se soit annulée,

le mouvement devient dès lors et reste ensuite uniformément retardé jusqu'à complète annulation de la vitesse, pourvu du moins que cette annulation se produise sans que la flèche de flexion cesse d'être beaucoup plus petite que la longueur même de la tige. Et le mouvement repasse ensuite, mais en sens inverse, par les mêmes phases. I.a flèche maxima et les plus fortes déformations ont lieu

au moment où toute la demi-force vive primitive-^— du corps

heurtant a été absorbée par le travail — ï F c^ S de la

réaction de la tige , travail qui, d'après les formules (/) , égale , en valeur absolue ,

tant que F reste plus petit que la limite F^ — E ^ {~T~) '^^ S plus petit que -^ , et, sensiblement,

quand S dépasse la valeur ^r^= ^ f~7~)- -^^ égalant l'une OU l'autre de ces expressions à -5— , remplaçant Fi par Eff[-j— ] et introduisant, au lieu du produit E^j la vitesse de propagation du son le long de la barre, w=V' — =V^^ |d'oiiEa=— T-), on tirera

,V./Q / Vi/Q . lr.-kh\^\ ^^ 1 2 LW / U ^ P ^khl J

Enfin , cette valeur de 0 , portée dans [d') et {é} en même temps que la valeur approchée, y ou [-^J, ^^î^' donne les expressions suivantes de la flèche maximum et des dé-

formations dangereuses pour les deux mêmes cas respectifs de-V p <»»>(— )••

^m'^fV'lrVt-m'

Je me contenterai d'observer, entre autres conséquences de ces formules, qu'il n'y aura pas de flexion possible, mais simple compression longitudinale, quand l'expression

^vl

sera inférieure à

Ce problème . d'un choc par compression entraînant flexion de la barre heurtée, serait, il me semble, peu abordable , si on voulait y tenir compte de l'inertie de la barre. Il a cela de commun avec une autre question, d'un haut intérêt pratique, que M. WiUis a posée et que M. Stokes a résolue ['), en 1849, mais dans la même hypothèse restrictive d'une infinie légèreté de la barre , permettant de lui attribuer à chaque instant sa forme d'équilibre pour les pressions extérieures qu'elle supporte : je veux parler du problème de la charge roulante ou du poids voyageur. Il consiste à étudier le mouvement d'une charge Q, animée d'une vitesse horizontale très grande V, qui arrive en roulant , pour la parcourir tout entière , sur une barre prismatique d'une longueur donnée 3 l , appuyée à ses deux bouts et également horizontale. Depuis, d'importantes recherches de M. Phillips et de M. de Saint-Venant, en vue de tenir

C) Transactions philosophiques de Cambridge, t. VIII, 18^9.

rationnellement compte de la masse de la barre , ont porté sur le cas usuel où la vitesse V est assez peu forte pour qu'on puisse, à une première approximation , ne pas distinguer la forme de la barre à un moment quelconque de ce qu'elle serait dans l'état de repos si le corps cessait désormais d'y avancer. Mais la solution résultant de ces recherches implique, comme condition d'état initial, que les diverses parties de ia barre aient acquis pendant un instant très court, au moment où la charge l'a atteinte, des vitesses sensiblement égales à celles qu'elles prennent, en effet, à ce moment quand leur inertie est négligeable. Il n'a donc pas encore été réellement possible de s'affranchir , dans ce beau mais difficile problème , de l'hypothèse restrictive d'une inertie de la barre négligeable, et c'est pourquoi , la solution de M. Stokes conservant tout son intérêt, l'on me pardonnera d'y revenir ici, pour y simplifier considérablement l'intégration de l'équation différentielle et en présenter le résultat sous une forme intuitive.

Je prendrai comme origine des abscisses horizontales x le milieu de la longueur 2 l [') de la barre dans son état naturel, et j'appellerai : 1°, y, l'ordonnée verticale, au-dessous de ce niveau, du bas de la charge roulante Q, à l'époque t où

son. abscisse est a^^V^; 2", F = Q ~., la pression

(normale) qu'elle exerce, tant par son poids que par son inertie , sur la barre. D'après une formule connue de la flexion d'une barre par une charge agissant à des distances inégales de ses extrémités appuyées (formule facile, du reste, à déduire de principes posés au commencement de ce n°} , et vu d'ailleurs l'hypothèse que la forme actuelle de la barre soit celle de son équilibre sous l'action de la pression F, l'ordonnée y du point d'application de celte force F égalera le produit de la flèche statique,/', que produirait la charge Q posée au milieu de la barre , par l'expression

(') Le îecteur remarquera que ( désigne, ici, la demi-longiieur seulement de la iai'i'e, et non sa longueui' totale comme dans la question précédente.

■^il — j^j ('). Ainsi, à cause de da;= \ di, l'équation différentielle de la trajectoire du poids Q sera

V2 rfïy\

Pour l'intégrer , introduisons, d'une part, la nouvelle variable indépendante

(*) La valeur de la flèche dont il s'agit ost /"= = ■- . En général ,

6 cj 1 b Cl rt* ft*T sous l'action de la pression F s'exerçant au point d'abscisse x , le déplacement transversal w du tronçon de la barre qui a pour abscisse X ae compose do deux termes, dont l'un, voriliant, outre l'équation indéfinie, les quati-e conditions spéciales au point X = a; , est toujours

12ËI \ l j \

■s conditions dans lesquelles se trouvent les deus

quand elles sont appuyées ; 2" ,

quand elles sont encastrées ; 3° ,

96EI l l^ I \ ~ P I C \" ' il quand l'une, ce ^ — l, est simplement appuyée et l'autre, a: = / , encastrée. On remarquera que ces ti'ois expressions de to sont symétriques par rapport à a; et k X ; de sorte que , si deua; charges égales sont déposées en deux points différents'{a! et X) delà barre, chacune d'elles éprouve par l'effet de l'autre le mente abaissement. C'est une extension assez curieuse de la loi de réciprocité démontrée au n° 31 du mémoire principal ci-dessus (p. 128) pour une plaque circulaire. Dans le premier cas, oii les extrémités sont simplement appuyées, elle s'applique môme aux couples de flexion, ou aux courbures prises pai- l'axe, dont l'expression est alors

d'S?'~ 2Ei[ l a j'

dont — est la tangente hyperbolique, et qni croît de — oo

à GO quand x grandit de — ? à -i- /, d'autre pari, la ipuyello fonction, t, , obtenue en posant

2V^ cos hjp-r

La formule de transformation étant il cosliyp^i; d-

on trouvera successivemeni.

lin hjp T j ,

et. vu la formule 1 — ^ — 1 — tg livp ^" = — \ , si l'on

appelle 1: A* (avec h positifj la différences^ — 1, l'équation (A) deviendra

Or, celle-ci , linéaire à coefficients constants , s'intègre par la méthode classique ,'et , en tenant compte des conditions

d'état initial y = o, "T^*^ 'çoa^^ x= — l ou t= — x , elle donne

tp (a) désignant, pour abréger, ia fonction sin (k~. — y.)

quand on prend les signes supérieiu's . ou que — jr est <^ 1,

et la foHctiou sin hyp {k- — k%) quand , au contraire , ou

prend les signes inférieurs, ou que —j^ est > 1 (cas où il est

bon d'observer que le nombre h n'atteint jamais l'unité). En effet, d'une part, deux différentiations immédiates montrent que l'expression [h"') de -i vérifie bien l'équation différentielle {h") ; d'autre part , en faisant , dans [h'") , t et a très grands négativement (ce qui donne à fort peu près DOS hyp a — ■l"^-"); et puis posant t — a = P, il vient

et l'expression [h') de -f-, comme celle, ~ — ^^——

= -^T|e'^, de y, s'annulent" bien pour -= — go. Si, au contraire, ajoutant au second membre de {k'") deux termes

de la forme

AoosJ..

H- Biin J,,

ou de la forme

" (avec * < 1)

on prenait tonte autre intégrale particulière de [h"), il viendrait bien y = o , mais non -— = o , à la limite -z — — co , pour peu que l'une des constantes A ou B différât de zéro.

II reste à évaluer Fin Légrale définie que contient le second

membre de {h'"). Dans ce tut, je considérerai , en générai, l'intégrale

OÙ w est un nombre positif quelconque et où f (ce) désigne encore soit l'expression sin {k-. — ka)^ soit l'expression sin hyp (*èt — ha) mais avec k alors inférieur à n. Elle est reliée à celle de même forme I^^.^ par la formule

qui , évidemment vraie pour a = — co [car tous ses termes s'annulent dans ce cas], se démontre, pour les autres valeurs de «j en observant que les dérivées en a, de ses deux membres deviennent identiques par les substitu tïons , à sin hyp** a , de cos hyp* a. — 1 , et de T ^^ '^ (a) à 9" (a) ; de sorte que cette formule subsisterait quand bien même ■f (a) serait un cosinus, ordinaire ou hyperbolique, d'un arc fonction linéaire de « , au lieu d'en être , comme ici , le sinus. Je m'en servirai pour ramener I, à I3 , puisàlg, à ï„ etc., et obtenir ainsi une expression de Ii, en série, dont le terme complémentaire R sera proportionnel à une intégrale, Ip, d'un indice^ très grand. Or celle-ci, où, sous le signe /, paraît le dénominateur cos hyp'' a d'une croissance extrêmement rapide dès que a diffère un peu de zéro, a ses principaux éléments pour les très petites valeurs absolues de a. Evaluons-la, en supposant d'abord que sa limite supérieure dépasse sensiblement zéro , ou que les éléments dont il s'agit s'y trouvent bien. Occupons-nous , en premier lieu , des valeurs de a telles,

que «^ soit inférieur au très petit nombre 2 — - . Leur cosinus

hyperbolique !-+-■-■ -(-—-*-... égalerexponentielle (^'2 is"*"*' .

comme on le voit en développant celle-ci. Par suite, les éléments correspondants de Ip valent, sauf erreur relative

et ils sont même réductibles à w {o) e~i'"^ d a. ^ car la plus grande valeur à considérer de l'exposant^ i^ — ...| ou,

a fort peu près, de gi)^ , ''^^J>[-^) =j[-^) '

nombre aussi petit qu'on veut si p est assez grand. Ainsi , les éléments dont il s'agit auront pour somme, saut erreur relative négligeable, l'intégrale f (0) /e~^^'^ dx, prise entre les deux limites, de signes contraires , qui rendent l'exposant — ■jP'x^ égal à — log^ et pour lesquelles, par conséquent , la fonction sous le signe / n'a plus que la valeur

insensible — . C'est dire que la somme en question , si l'on y pose — pa? =z^^^ da.= \/ ~ dp, peut s'écrire

elle égale donc, d'après une formule de Poisson, <f (o)V' — ■ Passons maintenant aux valeurs de a pour lesquelles a} est compris entre 2 - et la valeur particulière, 9^=o,4805 environ, qui donne -^-e^ = 1 . Le facteur cos hyp"" « y est au plus égal à la dernière, — , de ses valeurs précédentes ; et, comme l'intervalle des limites s'y trouve seulement com-

parable à l'unité, ia. somme de tous les éléments corres-

9(9) pondants de l'intégrale 1, sera seulement de l'ordre de -^-^ ,

ou Inslgniilante par rapport à la somme dos précédents,

qui était de l'ordre de -—-.

V~p Enfin, les éléments correspondant à «^ plus grand que 9^ sont loin d'égaler, pour la valeur absolue, ceux qu'on obtient en remplaçant, dans le dénominateur, cos hyp a

par la fonction plus petite-^e '^, et en mettant, pour le

numérateur tp («), \°, quand <f (a) est un sinus ou un cosinus ordinaire, la valeur absolue plus grande 1, 2", quand f{x) est un sinus ou un cosinus hyperbolique, la quantité, généralement du même ordre, » (0) e'^'^'" . Par suite, la somme de tous les éléments en question, tant pour a négatif que pour a positif, est au plus comparable , dans le premier cas, à

dans le second, à

/-«- 2^-+-* :i '0; 2*-*œ fol

Or ces quantités sont encore de l'ordre de ~ et négligeables comme la précédente.

Donc, pour^ très grand , l'intégrale Ip égale à fort peu

près y — œ{o) quand sa limite supérieure est positive, et

elle n'a que des valeurs incomparablement plus voisines de zéro quand sa limite supérieure est négative.

La série déduite de ii) pour exprimer I, aura ainsi son

terme complémentaire, c'est-à-dire celui qui est proportionnel à Ip, déterminé avec une erreur relative d'autant moindre qu'on aura pris plus de termes avant'lui. Finalement , choisissons t pour limite supérieure des intégrations et, rappelant que <{)(«) égale soit sin (^t — ièa), soit sin hyp {k~. — ^«), observons, d'une part, dans les divers termes de la série, que cette définition de ^ (a) donne If (t) = 0 et »' (t) = — 'k, d'autre part, dans le terme complémentaire R , que tp (o) = sin k: ou siti hyp h , que le produit 2.4... [p — 1} peut être remplacé, d'après la formule

deWallis, par 3.5... [f — 3)V ■?-, et que Il viendra

Il =R-

(lift^jcosiijpt 1+A^ :;9^:ftî')cosiiyp3-

{,') J liê> 9^4' (25±4î)coshjp'T "■'

ijsin^r ousinhjpitj ou, pour, <o, R = o .1, pour,> o, R= -— -^;; —

Icoshjp-^ ouooa-^j

De cette valeur de Ii, en faisant,, dans (i), n = \ et a=7, on

déduira —r- = —-r— h — ; ■ ■ ■ ; ce qui , d après [h ), sera

l'expression de la fonction inconnue ■/,. Enfin , on trouvera pour l'équation de la trajectoire de la charge roulante, en appelant ici T le terme complémentaire et introduisant, au

lieu de Ti et T , l'ordonnée y = i^ ■ — ^ — et V liée à T par la relation ' — ^ log :

yi!'^ 9i4«r l'I 9i*«25±*H I liL-?!*- i2m— 1)(2..) /^ «'■

{*") ^où , pour ar < 0 , T =: 0 et , pour J^ > o ,

(siu ou sinhyp) -^ log -j

1±*' l--^" -" "■"■'Va - ,-,; . - j

C'est quand on prend les signes supérieurs , ou quand ~ est < 1, que l'expression de T contient un sinus ordinaire et un cosinus hyperbolique , tandis que , lorsqu'on prend les signes inférieurs, ou que — ^ est >1, elle contient un sinus hyperbolique et un cosinus ordinaire. Rappelons d'ailleurs que :!: A' désigne la différence -7^ — 1.

Le second xoembre de {/') se réduit à une forme finie dans ■les deux cas extrêmes où V est , soit infiniment petit , soit infini. Dans le premier cas, où l'on doit prendre les signes supérieurs avec & très grand, T devient infiniment moindre que les autres termes, à cause du cosinus hyperbolique qu'il contient en dénominateur, et, de plus, la série se réduit à son premier terme, simplifié même par la suppression, dans son dénominateur, de ce qui s'y trouve à côté de A* ou,

il vient donc sim-

plutôt, à côté àe k^-t-1 (qui égale j=^]

clément ■pouT y la valeur statique f (l — ^j. Dans le second caSj où l'on doit prendre les signes inférieurs avec k presque égal à l'nnité , le terme T, pour ic > 0, se réduit à 4 —, et les autres termes du second membre de {£") constituent, en y

puissances de y, de 2(1 — Vl— y) — !=(! — Vl — yf = (1 — V -7^); en sorte que,' soit pour ;» < 0, soit poar a; > 0, le second membre de {/') se réduit à 1 1 + -^J : la

charge Q décrit, le long de la barre , la même trajectoire que si elle tombait en chute libre.

On voit sur cet exemple que, sans le terme T, les deux parties de la trajectoire situées de part et d'autre de la verticale moyenne cc—f) seraient , non seulement symétriques et, d'ailleurs, constamment descendantes à partir de leur élément, horizontal dans cette hypothèse, situé à l'extrémité contiguë x = ^l, mais, aussi, inclinées par rapport à l'horizon au point où elles se joindraient, et qu'elles y formeraient, par conséquent. Tune avec l'autre , un certain angle. Or, avec la valeur {h'") de ^i, l'expression

[h') de — ne comporte évidemment , pour a; = 0 ou t = 0 ,

aucune discontinuité. Donc le terme T, en accroissant, au moins tant que x est assez petit, les ordonnées de la seconde partie, supprime cet angle et rejette vers la seconde extrémité x = l l'ordonnée maxima ou le point le plus bas de la courbe. La valeur initiale , ou correspondant à x

positif et infimment petit , de sa dérivée — . valeur qui est -, représente, d'après cela, le double

(coa hyp ou i

de la dérivée de — ^ y pour x = q ; en sorte que la pente y' de la trajectoire au milieu x = 0 de ta barre est-^ "^^^^^

(cos hj'p ou cob) .— - Distinguons maintenant les trois cas fy^=gf, AV-^^f, Dans le premier, correspondant à ^ = 0 et intermédiaire

entre ceux où la formule [i") doit être prise avec les signes inférieurs et ceux où elle doit l'être avec les signes supérieurs, le terme complémentaire T, où k tend vers zéro, se

réduit à -^ [log -r^-) V ^ — -» (pour a; > o) : il est toujours positif et, nul aux deux limites 3; = o, a; = i^, il devient maximum une fois seulement dans l'intervalle , car sa dérivée a le signe du facteur sans cesse décroissant

1 — ^ log - — -. Comme ses variations sont notablement

plus rapides que celles des autres termes (') du second membre de (/') , l'ordonnée y ne présente également qu'un maximum , qui peut s'obtenir avec une approximation très suffisante en gardant seulement les trois ou quatre premiers de ces autres termes. Sa valeur est (1,0544) f, et se produit pour X = (0,818) l, c'est-à-dire vers les 91 centièmes de la longueur totale 2 ^ de la barre. Au-delà, le terme T est presque le seul sensible , et sa dérivée , à cause du logarithme croissant que contient son numérateur, mais surtout

du radical décroissant V 1 — 75 qui constitue son dénominateur , augmente sans cesse en valeur absolue , pour devenir infinie quand a) atteint la valeur extrême l. Ainsi, la trajectoire du poids Q , borizontale au départ a; = — l, s'abaisse jusque tout près de la seconde extrémité x = l, pour se relever ensuite rapidement.

(*) Ces autres termes ensemble équivalent alors a l'expi'es

aisément en développant le logantlime en série par la

Ces caractèreH persistent , en s'esagérant , dans le deuxième cas , fV^ y 9^ , où. le second membre de {i") doit être pris avec les signes inférieurs et oiî k varie seulement de zéro à 1. On y reconnaît aisément les circonstances suivantes : P, pour une même valeur Ae ce, ce deuxiènie membre grandit , dans cliacun de ses Jtermes , en même

temps que -^ ou h [ce qui se voit, pour T, en remplaçant

le dénominateur cos -x- par (1 — ^"j (1 r- 1 — ~\ ... et

en observant aussi que le rapport d'un sinus hyperbolique à son arc grandit avec cet arc] ; 2'*, par suite, le maximum du deuxième membre grandit aussi avec k, savoir, depuis 2,109 environ , qui est sa valeur pour ^ = o , jusqu'à 4 , qui l'exprime pour k = \ , c'est-à-dire dans le cas limite où le

second membre en question se réduit à [l -i---l et devient

aussi grand que possible pour a; = ^; 3", la valeur de y à laquelle correspond ce maximum , et qui annule sensiblement la dérivée -j- [ou , par suite , le l'acteur

1 — y-, tang hyp [-\>

croissant avec k mais variable en sens inverse de (c] , grandit également avec k, qu'elle dépasse toujours. En

effet, pour ~- = h, le facteur 1 — — ; ^^"^ ^yp ("S" ^"S 1 )

exprime l'excès, essentiellement positif, de l'unité sur une tangente hyperbolique ; c'est donc une valeur supérieure

à h qu'il faut attribuer à y si l'on veut que ce facteur s'annule. Ainsi , l'ordonnée maxima s'y approche autant qu'on veut de la seconde extrémité x^l , lorsque h tend vers l'unité ou que /"V* augmente îndéEniment. La trajectoire

du poids Q continue d'ailleurs à présenter une forme simple, tout entière au-dessous de la position d'état naturel de la barre.

Au contraire, -pour fV^ <^ gP, cas où il faut prendre, dans {i"), les signes supérieurs , le point le plus bas, auquel correspond l'ordonnée maximum, se rapproche du milieu de la barre. Il l'atteindrait même pour k infini , soit parce que le sinus paraissant au numérateur de T aurait son premier maximum 1 (rendant T évidemment plus grand qu'il n'est par la suite) pour une valeur de x infiniment peu supérieure k zéro, soit aussi parce que le terme T s'effacerait alors (à cause du cosinus hyperbolique figurant à son dénominateur) devant les autres termes du second membre de ('if') , dont les plus grandes valeurs se produisent pour ar— 0. 11 importe surtoiit de remarquer, dans ce troisième

cas /T* <C ff^j 1'^^ ^3 présence du sinus de -^ log au

numérateur de T indique une infinité d'oscillations, de plus en plus rapprochées à mesure que x grandit, mais rendues

de plus en plus faibles par le facteur décroissant \/ 1 — — . Dans le voisinage de x = l, le terme T, qui s'y trouve seulement de l'ordre de petitesse de V 1 — — , l'emporte sur

tous les autres du second membre ; d'où il suit que ^ change de signe à peu près avec T, ou que les oscillations se font de part et d'autre de l'axe des x. Ainsi , le poids Q rebondit, une infinité de fois, plus haut que le niveau d'équilibre de la barre, supposé qu'il ne la quitte pas, et celle-ci est soulevée par moments au-dessus de ses appuis, dont elle tend à se détacher. Mais il faut admettre, pour cela , que le poids Q , maintenu en contact avec la barre , puisse exercer sur elle, de bas en haut, des tractions considérables; sans quoi, et c'est ce qui arrivera d'ordinaire comme l'a remarqué M. Stokes, il est simplement lancé plus ou moins loin et peut même ne retomber ensuite

qu'au-delà de la seconde extrémité w=i , effectuant ainsi, avant d'avoir parcouru toute la longueur 2 ^ de la barre , le bond qu'elle ne ferait qu'à l'extrémité même w-=l dans le cas des grandes vitesses ou de fY^ y- gF. Enfin, au moment de l'arrivée à cett6 seconde extrémité ^ = ^ , et toujours dans l'bypothèse que la barre ne puisse se débarrasser qu'alors de sa charge Q , les oscillations de celle-ci , infiniment petites et infiniment rapprocbées , sont presque verticales, comme l'était , dans le cas précédent, le dernier élément de la trajectoire : circonstance due encore au

dénominateur V 1 — j^ affectant la dérivée de T.

Dans le cas usuel où le rapport —jr- est très petit et où,

par suite, /i^-i- 1 =y^ est très grand, le terme T, sauf

pour les valeurs de a; très voisines de l, s'efface devant les autres, comme on a vu; et ces autres termes peuvent même être bornés à ceux dont l'ordre de petitesse en

T^ — r = — T^ n'est pas trop élevé , aux deux premiers , par

exemple, dans le plus important desquels l'inverse de 9-hk^

deviendra 7- — - [ 1 — 7- — -] , tandis qae, dans l'autre, l'in-

K*-Hi V « +-1/ verse du produit (9-hF) (25-hA^) sera réductible à celui de (A^-t-lf. Il en résulte, pour la valeur de g/, le produit de

fil — — ), c'est-à-dire de ce qu'elle serait à l'état statique

ou si l'abscisse x du poids Q ne cbangeait pas , par le fac-

teur, toujours positif, 1 -i-4:-^{ 1 — 3^|, dont le maximum

a lieu pour«=o et dont la valeur moyenne est l'unité. L'expression de y ainsi obtenue concorde avec celle que M. Phillips et M. de S-Venant ont trouvée, dans ce cas. par une méthode d'approximations successives, et elle est d'accord avec une expression de la flèche centrale {on de y pour x = o) donnée en 1849 par M. Stokes.

yGoosle

Occupons-nous, maintenant , non plus de la trajectoire de la charge roulante Q , mais de la pression F qu'elle exerce sur la barre, ainsi que des flèches et des plus grandes courbures qu'elle y produit. Le rapport de F à Q égale