c'est-à-dire, d'aprèsl'équationmèroe, (A), du mou

vement, -=—- 1 — — ] —^^J, valeur dans laquelle il n'y a

plus qu'à remplacer le dernier facteur par son expression {%") . On voit que le terme T sera le seul , de cette expression,

non divisible par (1 — ^j , et donnant un quotient infini

pour x = l. Un fait analogue a Heu soit pour la plus grande

SD. y-T- [1 — y-j, produite, à chaque instant,

à l'endroit où se trouve la charge, soit pour la flèche de la barre , mesurée ou au milieu , ou au point où elle est le plus grande, et, dans les deux cas, assez sensiblement proportionnelle à la plus grande courbure (*). Quand /"V' est < ^f , et supposé que la charge, sur le point d'arriver à la seconde extrémité (£ = l, exécutât les oscillations de plus en plus brèves dont il vient d'être parlé , ces oscillations , même imperceptibles, en produiraient d'énormes, de plus en plus rapides, de la barre entière, au-dessus et audessous de sa situation d'état naturel.

(*) La discussion de la première des trois espressioiis de iu données à la note de la page 562 montre en effet, d'une part , que la flèche , mesurée au milieu , ou

poui X =: 0 , est le pi oduit de f — ( 1 — ^ par le facteur 1 ^ ; t=-, lequel

décroît seulement de 1 à 0,75 ou -^ quand x^ ci-oît de zéro à i* ; d'auli-e part , que

la flèche maximum a heu pour la valeur de -- , comprise entre zéro et— - , dont

la grandeur ahsoîue est — 1 -t- y (l -i- J(i ryl , et que cette flèche

égale le produit de/— fi — — ) par lp facteur y 11 -t- 1 11 ^1 ,

4 Va décroissant seulement de 1 à — — = 0,7693 quand a:^ gi'andit de 0 à iî.

Donc, toutes les fois que la charge Q a une masse suffisante pour pouvoir imprimer presque instantanément à la barre des vitesses qui ne soient pas très grandes, elle exerce sur elle les plus fortes pressions au moment d'atteindre sa seconde extrémité , à moins qu'elle n'ait, d'un bond, quitté auparavant la barre : et les pressions dont il s'agit croîtraient même indéfiniment, si les diverses parties de la barre continuaient s n'opposer que des inerties insensibles. Mais, plus leur masse est faible, et plus sont grandes les vitesses qu'elles prennent à ce moment pour acquérir les énormes courbures qu'elles ont à subir ; de sorte que leurs inerties , négligées par la théorie précédente, entrent nécessairement en jeu et restreignent les flexions.

En résumé , contrairement à ce qui a lieu dans un cboc soit longitudinal, soit transversal, où l'élasticité de la barre suffit à elle seule pour limiter les déformations, sa masse est ici indispensable (au moins quand la charge arrive jusqu'à la seconde extrémité sans sauter par dessus) pour amortir les vitesses qu'elle reçoit: et il importe, par conséquent, que cette masse ne soit pas trop faible.

l/hypothèse, faite ici, d'une inertie de la barre négligeable , ne paraît donc pas très pratique ; et c'est pourquoi je me dispenserai d'examiner plus complètement le cas, d'ailleurs usuel, où la vitesse donnée V de la charge roulante se trouve inférieure à ^V y, et où par suite, l'ordonnée y s'annulant une première fois pour w plus ou moins voisin de l, la charge Q est lancée à ce moment au-dessus de la barre, laissant celle-ci (vu sa faible masse) à peu près en repos dans sa situation d'état naturel. La vitesse ascendante - = — V -i^ de la charge Q à ce moment , com-

binée avec sa vitesse horizontale V, déterminerait ]a portée de sa trajectoire dans l'espace libre, c'est-à-dire, en d'autres termes , le point où elle retomberait soit sur la barre , soit

au-delà de l'extrémité j?=: r II y aurait lieu, dans le premier cas, d'étudier les nouvelles flexions que prendraitia barre, sous le choo de la charge Q tombant ainsi sur elle en un point déterminé , et avec une vitesse descendante égale à sa vitesse ascendante de tout à l'heure, en outre de sa vitesse horizontale persistante V. Cette sorte de choc serait évidemment régie encore par i'éqnation différentielle {h) ou ih"), dont l'intégrale se formerait en ajoutant au second membre de [h'") les termes A cos k- + B sin ^ t ; et l'on déterminerait eniîn les constantes arbitraires A et B par les

nouvelles conditions d'état initial y = o et -J- ou V -7- = la

vitesse descendante obtenue (pour x égal à l'a"bscisse du point où se produirait le choc).

J IV. — APPLICATION A LA THEORIE DES ONDES LIQUIDES PAR BMERSION ET PAR IMPULSION

24. — Équations aux dérwées partielles gui dt^/întssent le problème.

On sait que les petits mouvements d'un liquide pesant contenu dans un bassin découvfert sont régis , quand le fluide a été d'abord en repos, par les deux équations indéfinies

f désignant l'excès de la pression exercée à l'endroit {œ.y,z) et à l'époque t sur celle de l'atmosphère aux points de la surface libre où. on la suppose invariable, et ip une fonction primitivement constante et même nulle, dont les dérivées premières en x, y, z égalent les trois composantes, m, f , w, de la vitesse, suivant deux axes horizontaux rectangulaires ox,oy , pris à la surface libre primitive, et suivant un axe vertical o z, dirigé vers le bas.

J'appellerai h îa petite ordonnée z, à l'époque t et sur la verticale [x, y), de la surface supérieure du fluide, et <û^, fonction, comme k, àù œ , y &i t, la valeur que la fonction œ y reçoit. Cette surface, dans toute son étendue, sera supposée libre et à la pression constante prise pour zéro, excepté durant un très petit intervalle de temps e au début du phénomène, de ^= — £.at=-o, où une de ses parties, fort restreinte (an moins dans le sens des x) , se trouvera soit en contact avec un solide légèrement immergé, d'abord en repos, qu'on enlèvera tout a coup, soit, seulement, soumise à des pressions variables , comme il s'en exerce à l'endroit de la surface d"un bassin où éclate un coup de vent.

Dans le premier cas , le mouvement sera dû à l'enlèvement brusque du solide : aussi appellerons-nous les ondes produites des o^es^ farjniersion. Pendant le court instant e que durera l'enlèvement du solide, les ordonnées de la surface ne changeront pas d'une manière appréciable ; . nulles bors de la région que louchait le solide , elles seront , dans cette région, égales à celles môme de la surface qui limitait inférieùremcnt ce corps, et on devra les supposer données en fonction de a; et de y. De plus, la pression exercée à la surface, et qui, pour l <C — e, se trouvait égale, d'après la première (152), à pffz = pgh , y variera de ;-ffh à zéro durant le Itfmême temps s : la première formelle (152) montre donc que la dérivée de » par rapport à t, comparable à ffh seulement j ne pourra y faire prendre à la fonction f>, initialement nulle, que des valeurs de l'ordre de gks, négligeables dans des calculs où paraîtront au premier degré h ou ses dérivées partielles. Ainsi, les données iniiMes caractéristiques des ondes par émersion , ou qui expriment l'état du fluide à la fin, t—- 0, de la période préparatoire durant laquelles'engeudrent ces ondes, consisteront à poser

(1531 Ipour ( = o': a, = 0 et /; ■= F 'x ,ij,,

F («,^} désignant les petites ordonnées primitives, connues, de la surface.

Dans le second cas , au contraire , les ondes qu'on obser vera proviendront des pressions variables exercées à la surface libre durant un instant très court, de ^ — eà;!=o, et nous les appellerons des onde^. par mtpulsion. Pendant cet instant e, l'ordonnée z = h de la surface, sur chaque verticale {x, y) , restera insensible , comme étant de l'ordre du produit de s par la petite vitesse engendrée et, par conséquent, négligeable à côté de celle-ci, qui sera seulement de l'ordre de s. Si donc ^„ désigne les excès de pression produits à la surface , sur la verticale dont il s'agit, la première équation (152) y donnera

1 = ( Podt.

Gomme on peut imaginer que , sur chaque verticale {x, y) , la pression Pf, , cause des phénomènes étudiés , soit donnée en fonction de t pendant tout le temps e où elle agit,

l'intégrale I P^dt, prise jusqu'à la limite supérieure t=o^

deviendra une certaine fonction de a: et de j/ , esprimant Timpulsion totale exercée sur l'unité d'aire de la surface jusqu'au moment où la pression y retrouvera sa valeur

primitive ^0 = 0. Donc, au facteur constant priis , la

fonction ç^ égalera, à la fin ^=o de la période préparatoire du phénomène , l'impulsion totale qu'aura subie l'unité d'aire de la surface au point considéré [x, y), et, si Fi [x, y) désigne une fonction connue, l'on aura, en définitive, comme condilions initiales caractérisant les ondes par

(155) [pour ï = o) ?o = Fi ip, y], l = o.

Voyons maintenant quelles seront , dans tous les cas , pendant l'évolution des phénomènes, c'est-à-dire de ^=.0 à t=<X) , les conditions spéciales à la surface lihre. Comme on y aura^ = o &lz—h, la première (152) y deviendra

gh — ^= o; ce qui exprime que l'ordonnée h de la surface libre égalera le produit de — par la valeur que prend la dé-

ment, au pied {x, y) de cette petite ordonnée h sur le plan 2 = 0 delà surface libre primitive.f Ainsi, l'on aura

Cette relation , différentiée par rapport à t , montre que

la vitesse d'abaissement —r- de la surface sera constamment dt

1 dH égale à la valeur de — -^ pour z—o. D'ailleurs, la vitesse

d'abaissement de la surface ne diffère pas , à des termes près du second ordre de petitesse et négligeables , de la composante verticale de la vitesse des molécules' fluides

superficielles, composante exprimée par la dérivée -j-, <ïii

est, elle aussi , quand on y prend, z = h, h fort peu près la même que lorsqu'on y fait 2 = 0. La fonction y devra donc satisfaire, pour toutes les valeurs positives de t, à la relation

(157) [pour. = o) -l—--^=o.

Or, on démontre qu'en joignant à la seconde équation indéfinie (152) cette condition spéciale (157) et celle qui exprime la nullité de la composante normale de la vitesse (ou de la dérivée de <a suivant le sens normal) contre les parois, supposées fixes, du bassin , la fonction '-^ sera complètement déterminée , si l'on peut connaître , pour 2 = 0, les valeurs initiales de » et de sa dérivée par rapport à t ('). Et, comme les relations (153) ou (155) donneront justement

ces valeurs initiales de cp et de -~ pour s = 0 , vu que y„ se

confond, sauf erreur négligeable , avec la valeur de » pour

(*) Voir, pour cette démon sti'ation, mon Essai sur la théorie des eau» courantes, au Seoueil des savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris, t. XXIII, p. 327, et t, XXIV, p. 16. Dans le cas-, étudié" ci-après , où l'on se donne 9 = 0 (à l'infini) au lieu de la condition spéciale aux parois ; il suffit , après avoir l'emplacé » pal' (p -+- cj/, de raisonner sur -f comme il est fait aux pages suivantes 583 à 586 sur la tcinction t , en observant que , pouv 3 = 0, le produit de tp' par la dérivée de <f en î sera, d'âpre (157) , de même signe que celui de ç' par la dérivée seconde de <f en f , produit essentiellement positif aux moments oii la fonction <d' et sa dérivée première en t , nulles initialement, viendraient à s'écarter de ïéro. L'inégalité (1G3) subsistei'ait donc, avec ses conséquences , en y substituant '<f^ à T. Et la même démonstration , un peu plus simple que celle du tome XXIII cité, s'étend d'ailleurs, d'ellc-Tncmo, au cas d'une masse liquide limitée en tous sens , quand on y prend pour l'espace 5Î tout celui qu'occupe

^ :^ 0 et que h, d'après (156) , exprime , au facteur constant

près — , la dérivée -^ à la même limite 0=0, la fonction 9

se trouvera bien , de la sorte, parfaitement définie. D'ailleurs, une partie de la démonstration citée prouve que les dérivées en x, y, z de y sont nulles partout aux instants où, pour ^ — 0 j y = 0 quels que soient w &i y; de sorte que la première condition d'étatinitial (153) peut être remplacée, au besoin , par ? = 0, et qu'on a

[158) (pour t = a) tf -;. 0 (dans les ondes par émersion).

Une fois qu'on aura obtenu la fonction œ, sa différentiation par rapport diX,y ,z,t fera cormaîtrej non seulement les

trois composantes u =-^ , w=-r^,»=-^dela vitesse, m dy dz

mais aussi, d'après la première (152) et d'après (156), les

pressions exercées f et les petites ordonnées h de Ja surface

libre.

Mais proposons-nous d'étudier seulement des ondes assez courtes pour ne produire qu'une agitation en quelque sorte superficielle, ou dont il n'arrive jusqu'au fond qu'une proportion négligeable , et admettons même que le bassin ait des dimensions borizontales suffisantes pour que les ondes dont il s'agit, nées près du centre dans une étendue restreinte (au moins suivant le sens des x), n'apportent aux bords ou aux extrémités que des mouvements insensibles. Il est clair alors que les conditions pbysiques du phénomène ne seront pas cbangées d'unemanière appréciable si l'on admet que le fluide s'étende sans fin en longueur et profondeur, ou même en largeur, et qu'on satisfera, par suite, à la relation spéciale aux parois, ainsi reculées fictivement jusqu'à l'infini , en s'imposant la condition d'annuler » pour tous les points infiniment distants de l'origine des coordonnées (au moins dans les sens des x et des ^). On exprimera, de la sorte '-« plus simplement possible, révanouissement

asymptotique du mouvement, et de toutes les quantités qui s'y rattachent, à d'assez grandes distances de la région où on l'a fait naître.

Or l'annulation, à l'infini, de la fonction »,, ou seulement de ses dérivées, combinée avec la seconde équation (152) et avec la relation (157), permet de changer cette relation, spéciale à ^ = o, eu une équation indéfinie. Autrement dit, elle entraîne, pour tous les points du fluide^ l'équation

Posons en effet, pour abréger,

La seconde équation (152) donnera évidemment

dM^ d^-~ d^-z ' ' 1^ "^ ~^ "" ~d^ ~ " '

et la relation (157) s'écrira simplement

[pour. = o) T=.o,

tandis que l'aanulation asymptotique des dérivées de y aux distances infinies de l'origine entraînera la condition

[à l'infini) ^ ^ o.

Or multiphons l'équation (161) par 2-. et par un élément, dzi — dxdydz, du volume in d'une demi-sphère décrite , du côté des 2 positifs, autour de l'origine comme centre et avec un rayon donné x. ; puis intégrons dans toute l'étendue de la demi-sphère, après avoir substitué au produit

l'expression équivalente

, dx^ "^ ~df^ ^' "d^j ~ [~d^ ^ dy^

Les termes exactement intégrablos une ibis donneront, par une méthode bien connue , des intégrales prises sur toute la surface-limite de la demi-sphère ; et , si l'on appelle t la surface convese 2nï'* de la demi-sphère ïb, 5-, l'aire du cercle -^t^ qui la limite sur le plan des a^y , d^ et d^i deux

éléments de ces surfaces , -j- une dérivée prise le long du prolongement d'un rayon t ou d'une normale à drr, et enfin / f f des intégrales s'étendant à la totalité des éléments respectifs de ïs, ^ ou t;-,, il viendra, en faisant passer dans le second membre les termes non inlégrables,

L/î5 \ dx^ dy^ dz^

Le second membre ayant tous ses éléments positifs, le premier est positif également, et l'on voit que, si la fonction -> a sa dérivée par rapport à z nulle sur toute la surface f^,,

c'est-à-dire si l'on a t-^ — o (pour i^ = o) , comme il arrive

justement ici où -: = o pour 2 = 0, il viendra

rd.-^^ rd.-i^

s'alloiige sur-

Mais on peut imaginer que , lorsque le rayon t s'alli de dï:, l'élément, correspondant à (iw, de la nouvelle surface demi-sphérique décrite avec le rayon -ù ^éc soit limité latéralement par les mêmes rayons, prolongés, que d,'s \

de sorte que le rapport — soit ie même sur toiites les demisphères consécutives. Alors, le facteur — ne dépendant pas de t , l'expression -^ — ne différera pas de — l 'P- — | . Par suite, la seconde inégalité (163) pourra s'écrire

et, comme / ■^' ~- est la valeur moyenne du carré •:'■' sur

toute l'étendue de la demi-sphère, cette inégalité exprimera que la valeur moyenne en question , si elle n'est pas nulle, croit forcément avec le rayon t. Donc, l'annulation de t pour ï. infini oblige de poser partout t'^ = o ou t ~ o ; ce qu'il fallait démontrer (').

Si les fonctions p, h, », t ne dépendaient que de deux coordonnées, a; et ^ par exemple, ou , autrement dit , si les mouvements s'opéraient dans des plans parallèles à celui des œz et de la même manière dans tous , comme il arrive pour les ondes que fait naître au sein de l'eau en repos d'un canal rectiligne, à bords verticaux et de largeur constante,

(*) Cette démonstration me paraît la plus simple qu'on puisse donner da ce fait analytique, qu'Mîie fonction continuer, astreinte à avoir, sur tbute l'étendue d'un plan , la dérivée , suivant le sens . normal , de son carré égale à zéro, et à avoir de plus son paramètre différentiel Aj nul dans tout l'espace situé d'un côté déterminé du même plan , sera nécessairement nulle dans tout cet eifpace si elle doit le devenir à l'infini. Elle est préféraUe à celle dont je me suis servi au n" i99 (p. 540) de l'Essai sur la théorie des eaux courantes , dans la ipieetion de l'écoulement par un orifice ; car il lui suffit que i s'annule pour ï. infini , sans qu'on ait à supposer cette fonction iniiniment moindre , pour t très grand , que rinïorse de v'ï-

D'ailleurs , en étendant les intégrations indiquées par f et Wf/^ à toute la sphère de rayon x, , sans s'inquiéter de la surface n , on verrait que la même démonstration s'applique sans changement au cas où la fonction t , supposée finie et continue partout ainsi que ses dérivées premières , doit Être considérée dans tout l'espace et non pins seulement (î'un côté du plan des a^.

l'émersion d'un cylindre solide plongé en travers et tenant toute la largeur , l'évanouissement asymptotique des phénomènes se produirait seulement dans les sens des x et des z , non dans celui des y; et il y aurait lieu de modifier un "peu la démonstration précédente, en se bornant à considérer, à la place de la demi-sphère ro, un demi-cercle décrit dans le plan desiC^, autour de l'origine comme centre, avec le rayoni.. Alors, sfsï se réduisant à dœdz, ou S5 à l'aire de ce demi-cercle , s et ^i deviendraient respectivement la partie courbe et la partie droite de son contour; mais rien ne serait changé d'ailleurs à la démonstration précédente , et la condition t = o (pour t infini) conduirait toujours à poser •; = o en tous les points du fluide. Donc, la relation définie (157) n'en deviendrait pas moins l'équation indéfinie (159)-.

On obtient encore celle-ci, dans le cas d'un bassin limité latéralement mais toujours de profondeur infinie, pourvu que ses bords soient verticaux en tous leurs points où le fluide possédera des mouvements sensibles. Car, si l'on

appelle -^ la dérivée de <f prise , en un de ces points , dans

le sens d'une coordonnée n perpendiculaire à toute la bande verticale contiguë du bord, la condition spéciale aux parois

y donne -^ = o et, par suite, îa coordonnée n étant la même "^ an- ' ^ - '

(en grandeur et en direction) à toutes les profondeurs z et

à toutes les époques t,

Vu l'expression (160) de t, on a donc

- — - = 0 sur les bordsi.

Or cette condition, jointe à -^ -= o pour z = o et à l'équation

indéfinie (161) , donne, en multipliant toujours (161) par 2'Trfîn et procédant comme on l'a fait pour obtenir la formule (163) , mais en prenant ici pour l'étendue S5 celle que comprend le bassin depuis le niveau 2^= o jusqu'à ub niveau quelconque z,

où a de'signe la section horizontale faite dans le bassin à ce niveau considéré z, et c^t ses divers éléments, qui, pour les mêmes valeurs de « et y , se correspondent d'une section à l'autre et ont^ quel que soit z, une grandeur invariable. L'inégalité ci-dessus devient donc

et on en conclut immédiatement que la fonction - , si elle doit s'annuler pour^ = oo , sera nécessairemenl nulle partout; ce qu'il fallait démontrer.

Mais , pour pouvoir appliquer à la question les procédés d'intégration exposés dans ce mémoire, nous aurons à remplacer l'équation indéfinie (159), - = o. par une autre qui

contienne, au lieu de --7^ , la dérivée seconde de » par rapdz ' ■ A ±

port àz, dérivée qui s'en éliminera au moyen de la deuxième

(152) et ne laissera paraître, à la place, que les dérivées de v

prises par rapport aux coordonnées horizontales x et. y.

A cet effet, nous observerons que la relation -7== 0 entraîne

celle-ci

' ' iz S lit' '

qui , en y remplaçant t par son expression (160) , devient

I d 1 J'\ I J 1 iM J'f I li'f

Si donc on substitue à -7^ sa valeur tirée de la seconde (152), on aura, après avoir multiplié par — (f^

' ■ dt^ '^ ^ \dx^'^ df j °'

Telle est l'équation cherchée. Mais, comme elle se trouve évidemment plus générale que (159), il reste à voir quelles conditions accessoires nous devrons lui adjoindre pour en faire dans la question l'équivalent exact de (159) et n'avoir plus à nous occuper de celle-ci. Dans ce but, multiplions (165) par 2r(^^ et intégrons de ?= 0 à ^= une valeur positive constante, très grande, t. Si nous appliquons au second terme le procédé de l'intégration par parties , il viendra évidemment

dzjo g \ dtj,^,, g Jo \dtl

Il suffira, en faisant croître ^indéfiniment, d'avoirT=:o aux deux limites ^=0, t=-<x^ , pour que, si -^ n'est pas identiquement nul , le second membre se réduise à son dernier terme et soit essentiellement positif- Donc , le

premier membre, dérivée de i ^^t/^ par rapport à 2, sera

positif aussi ; et, comme la condition ç = o (pour 2 = 00) entraîne évidemment que ■: = o (pour2 = co), la fonction

positive et non décroissante i ■? dt^ nulle. pour z infini,

devra l'être identiquement. Ainsi, l'équation (159), ':=o, résulte de la nouvelle équation indéfinie, (166) ou (165), jointe aux trois conditions spéciales

■c =1 o (pour i =r 0} , T r= o (pour ! = co ), t ^ 0 [pOiir î := od ) ;

et, puisqu'il est entendu que y doit s'annuler pour z infini.

ce qui entraîne la relation t = o (pour z = go ) , il n'y aura lieu de joindre à (166) que les deux nouvelles conditions

T = o (pour ( ;= 0 et pour ï ^ ao j.

Mais notre intention étant de nous borner au cas d'un bassin horizontalement indéfini et à des ondes , par émersion ou par impulsion , dont la cause ne se fait sentir que sur une région restreinte (au moins dans le sens des a;) et durant un instant très court, de ^ — — s'a t=o, il est clair que le mouvement, non entretenu, s'affaiblira de plus en plus à mesure qu'il se disséminera. L'évanouissement asymptotique des phénomènes aura donc lieu , non seulement dans l'espace, mais aussi dans le temps. C'est ce qu'on exprimera le plus simplement possible , si l'on s'impose la condition a — o pour ^ = co ; et, alors, la fonction ■: s'annulera d'elle-même pour ^ = qo, de sorte qu'il suffira, en ce qui la concerne spécialement, de joindre à l'équation (165), ou (166), la condition t = o (pour i— o).

En résumé, l'ensemble des relations déterminant f se composeraj 1° des deux équations indéfinies

2" des trois relations spéciales

[ A 1 rfs^ ,

\ —^ — r— ^ 0 pour ( := 0 :

(168) j dz g di^ ''

[ o ^ o (pour », y ou 2 inSnis) , u =; o (pour ; ^= co 1 ;

3° et des conditions d'état initial propres à chaque espèce d'ondes, conditions qui, d'après (153), (155), (156) et (158),

!S par émersion) »^o, — (pouranul) ^= gY{p,y)]

(169) (pouri = o)(

f (ontles par impalsion) ipourî=^ o) (p = F, [x^y] et— ^ o.

L'annulation de rp pour t=^œ conduit à une interpré:; tqti^nintérjs^ante^deJ^uM^ Celle-ci, oùl'onpeut

regarder -rr-, sensiblement, comme la dérivée de ~r " dt^ lit

prise en suivant une même molécule, et où -^ = to est la

dérivée analogue de l'ordonnée z de la molécule , exprime

que la différence z ^, égale, d'après la première (152),

à —, se maintient constante pour 'une même molécule,

ou, comme l'avait remarqué Poisson, que la pression y reste invariable. Si donc on appelle Z l'ordonn^ie qu'aura la molécule dans sa position finale d'équilibre, la première (152)

donnera, pour l'époque ^ = co où ^ =^ o, — = Z ; et il vien-

1 i/p dra, pour toute autre époque, z — %=—— . Appelons X, le

petit abaissement actuel z — Z de la molécule au-dessous de son niveau final, et cette équation pourra s'écrire

lia formule (156) n'en est, comme on voit, quel' application spéciale à2: = oouàZ — o. Celle-ci, (170), complète donc l'interprétation physique des dérivées de la fonction tp , en montrant que, si les dérivées de fp par rapport h. x,y,z expriment les composantes de la vitesse de chaque molécule,

-j- représente sa (^^Mweto^o^actueile, au facteur constant

25. — r^ur intégration, pour le cas des ondes produites, à la surface de Veau en repos d'un canal, par Venter sion d'un cylindre solide plongé en travers dans ce canal.

On remarquera que , dans les deux équations indéfinies (167), les dérivées de y par rapport à ^ et à 2; ne sont pas mêlées ensemble, mais se trouvent séparément en rapport avec le paramètre différentiel A,», supposé avoir pour expression -~ -h- -7-^ , c'est-à-dire calculé en ne faisant varier

que les deux coordonnées ^ et g' ou sans sortir du- plan même de chaque couche fluide horizontale- Déplus, s'il s'agit d'oxides par émersion, les dérivées par rapport à 2: ne seront pas davantage mêlées à des dérivées par rapport à t dans les conditions spéciales (168) et (169); car la seule dérivée en z qui y paraisse se trouve dans la première (168), et elle y est prise pour l'époque ^ = 0 , où l'on a identiquement 'j-=o d'après la première (169). Donc, dans l'étude

des ondes par émersion, la forme qu'a la fonction » sur chaque plan horizontal en particulier, ou par rapport à w, y et tj est astreinte à vérifier une équation indéfinie et des conditions accessoires, tant définies que d'état initial, assez nombreuses pour la déterminer en grande partie, sans qu'on ait à faire variera.

C'est grâce à cette circonstance que nous pourrons employer la méthode d'intégration exposée ici, en nous hornant d'abord aux ondes produites , dans un canal rectangulaire, par l'émersion d'un cylindre solide dont les génératrices , horizontales , seront perpendiculaires à l'axe du canal. La fonction donnée F et, par suite, f n'y dépendront pas delà coordonnée transversale y; et tout se passera comme si le canal était un bassin indéfini en tous sens , mais dans lequel les déplacements et les pressions ne varieraient pas suivant le sens des y. Puis nous traiterons rapidement le cas

plus général d'un pareil bassin indéfini et d'un corps immergé de forme quelconque, cas où il faudra tenir compte des deux cpordonnées horizontales x et y. Nous verrons enfin que les lois des ondes par impulsion se déduisent, au moyen de simples différentiations par rapport à t, des formules concernant les ondes par émersioo. Nous espérons parvenir rapidement et sûrement, pour toutes ces questions intéressantes, à des résultats que Poisson et Cauchy , dans leurs mémoires respectifs sur les ondes liquides insérés aux tomes premiers des deux recueils de d'Académie des Sciences de Paris (*) , n'ont obtenus que par des procédés fort compliqués et très délicats, sinon même d'un emploi douteux; et nous espérons aussi y arriver à des interprétations plus complètes des faits.

Afin de nous débarrasser de la constante g ^ nous prendrons pour unité de longueur une droite égale à (7=9"' ,809, ce qui reviendra à remplacer x^y ^i z par gx^ gy et gz , ou à faire g=\, dans les formules (167) , (168) et (169). Alors les équations que devra vérifier co seront : 1" en tant que a dépendra de t et de x.

,:pour( = o;i .= 0 et =0,

(f :=: 0 (pour iB mflni) , (p = o (pour ( infini) ;

2" en tant que f dépendra de z .

il 72)

= F la], ''pour z ■=^ oo) f ^ o.

dt . ■> >f

(') Mémoires des Mcmbi'es de l'Acadéiaie et Mémoires des Savants étrangers.

La première (171) se déduit du type (1) [p. 357] en posant s = t, a = x, n = 2, A = 1 ; et comme, d'ailleurs, pour s ou t nuls, la fonction f et sa dérivée seconde en 5 ou ^ doivent s'annuler, ce sera, d'après les explications qui terminent le n" 4 , l'intégrale (20) [p. 372] que nous devrons choisir, parmi toutes celles de l'équation (1) que nous avons appris à former. Si donc nous observons que f dépend ici, non seulement do x et de û, mais encore de z, la formule (20) donnera, pour f. une expression de la forme

•j-^i'-T-jjnï;^,

où /"(a^, 2:) sera une fonction , d'ailleurs arbitraire, dont la dérivée première en x s'annulera pour x- T^co, et

où, en posant -^~y, la fonction '{'(y) devra se déterminer

par les conditions suivantes, conformément aux explications du n" 4 (p. 372) et à l'éqaation (19) , dans laquelle on pourra faire K = g- :

f y = o) ^ = o et -i^ :

Ces conditions donnent

f = sin -/ I cos w^ dm — 00a y i sm «^ dm ,

et, par suite,

y {;) = ( OOS

^= cos 7 1 cos i»^ (f«î -4- sin -/ |

valeurs qui s'annulent bien pour y = o. Enfin , la différentiation du second membre de (176) montre de même que. la

dérivée seconde de -1' est — r — '!'■ comme l'exige la

première (174).

On voit de plus que ces expressions de ^ (y) et ^' (y), toujours inférieures en valeur absolue à la- somme des

deux intégrales définies classiques / cos m* dm ,

es classiques j

smmrdm, ne varient qu'entre des limites modérées

de part et d'autre de zéro. Quand la variable y est très grande, les intégrales définies en question deviennent, comme on sait, très sensiblement égales à leur valeur

limite commune-Tj- \/ — , et l'on peut poser alors, à fort peu .près,

(177) (pour7trèsgraiid' i|-(7; =-V' ^ («'" ï — COS7) = — ^ sinU — ^j,

formule d'où résultent immédiatement des expressions sim^ples et finies de toutes les dérivées successives de il* (y) pour les grandes valeurs de la variable.

Mais cberchons quelle sera l'expression de~- à la limite ^—0. La formule (22) [p. 373"| donnant alors

il y aura lieu d'intégrer l'expression Y [-y] '^°'- *-*'^' '^^ ^' d'après (176),

if' [l-J — cos ^. ( '^^ cos m^ dm -+- du '^ . j Va sin œ^ rfm

et, par suite,

Pour « = 00 , le second membre de [178 bis) se réduit à

. de Horte que la relation (178) devient

(179! (pour t = o) -^ = ■ ^ fl^, i

(*) Noua n'aurons pas besoin , dans ce qui suit , de considérer plus attentivement la solution (173) en tant qu'intégrale de l'équation aux dérivées partielles

— j = -. Présentons toutefois, ici, quelques remarques sur ses propriétés et

sur les analogies qu'elle ofTi-e avec d'autres solutions plus simples de la même équation. Si on l'écrit ainsi

sa valeur et celles de ses deux premières dérivées en ( deviennent respectivement . pour ( nul, O, f (ai); 0. Quant à sa dérivée troisième par l'apport à (,

La fonction [{w, z) exprimant ainsi, à un facteur constant près, les valeurs initiales de -J- , la première relation (172), différentiée par rapport à # et spécifiée pour f, = o . donne

elle s'annulôpait pour t infiniment petit , sans les valeurs infinies , Hflnsi blême tit égales, d'après la première (174) , à — -, que prend la fonctioci if" (— ) ijaand « est alors lie l'ordre de (. Mais ces valeurs infinies, en y posant

=â et, par suite, li" [— rf j ou •= ^,

rendent les éléments correspondants de rintégrale égaus à

et , comme , à ia limite ; =: o, ^ varia de co à zéro sans que = cesse d'être de grandeur insensible, on voit que la formule (6) devient

En résumé , si l'on considère , à la limite ( ^ o , u et ses dérivées s par rapport à (, quatre consécutives de ces fonctions sont toujoui's, deux, une autre, de la forme finie (ip), et, la quatrième, de la forme

vj'

'f(.-i-ia)-f(»-fl.

Or, quelque chose de pareil se produit pour les huit solutions , ayant les formes analogues , mais plus simples .

car, étant donné l'une d'elles et ses dérivées successives en (, quatre consécutives de ces fonctions sont toujottra, deux, nulles, une auti'e, finie, delà forme /■■(«:),

et, la dernière, de l'une des deux formes —3 I T (<"-■"—) i:/'(^ — r-j Y"-

Seulement , les deux dérivées nulles se suivent ou , du moins , comprennent entr'elles les deux autres , tandft qu'elles se présentaient de deux en deux diflë-

Or cette équation indéfinie en it; et « , jointe à la seconde relation (172), devenue

fl81) (pouf z = o) f =■ -y- F (^i ,

et aux deux conditions /'= o (pour « ou ^ infinis) , qui résultent évidemmonl des relations <p = o (pour xcmz lafinis)

rentiations dans la solution (o). Il résulte de Jii, par exemple, que, si l'on ajoute à

(o) les deux de ces solvttions (li) où, pour i = o, la dérivée — a'aniiule en même

temps que — ^ dans l'une et y dans l'autre . et en même temps aussi que f et

— - s'y réduisent vespectivement à la forme f (a;), on obtiendra une solution plus

générale dans laquelle, pooi- ( = o , y et ses deus premières dérivées par rapport à l égaleront ti^iis fonctions arbitraires données de a;. On peut aussi, en superposant deux des solutions (d), convenablement choisies,

former une intégrale qni, pour 2 = o, donne respectivement a -^ , ■— i-, — ^ , — ^

les mêmes valeurs que la solution (a), et qui, par conséquent , doit être identique à (n), bien qu'ayant une expression tout auti'e en apparence. Cette expression est

En effet , l'on reconnaît immédiatement que , pour ( =; o , cette valeur de tp s'snnule , tandis que , en même temps , ses deux dérivées première et seconde par rapport à ( égalent respectivement , l'une , ^ (j:) , l'autre , zéro , en vertu de if). Quant Ëi la dérivée suivante, il vient, en y substituant à /i sa valeur (e') ,

( ~rk'--t")*i"'K'-^)\''>-

Remplaçons, dans l'intégi-ale double, -j. et [j. considérées conmia des coordonnées

différentiées par rapport à #, détermine complètement la fonction f{x, z) ; et elle conduit à poser

En effet, d'une part, ces expressions de f{w,z) vérifient tontes les conditions énoncées : car, 1" chaque élément de l'intégrale qui paraît au second membre de (182) donne zéro

(/a (fa pour la somme de ses deux dérivées secondes — - , — — ;

rectangles , par les coordonnées polaii-es r ot fl que définissent les relations 3 ^ c cos S, 'fi^=T sin a. Le second membfe de (g) deviendra

ri ou, en posant — = f, et effectuant l'intégration par rapport à r entre les limites

if:h-'^-

Gomme il faudra faire, à la limite, p:=ixi, et que, p ai' hypothèse, f{a:î)-.= f(— co), les deux termes ± /"' (œ + f) pourront être supprimés sous le signe /. Et si l'on prend enfin

l'expression considérée deviendra

(») (po,tl = «){

3 qui se réduit bien à {c) , puisqu'il faut y poser p = co et que, égligaablo pour les très grandes valeurs de p.

2" ce second membre devient infiniment petit, au moins de l'ordre de l'inverse de 2^ ou de iï;, quand z on x croissent indéfmiment , vu que , par liypotlièse , F (5) n'a de valeurs différentes de zéro ou du moins sensibles que pour ï compris entre deux limites finies données ; 3° le troisième membre, déduit du second en posant ^=w-i-zri, se réduit bien, pour

D'autre part, on reconnaît que cette solution (182) est la seule possible, eii remplaçant f^parf-t-fi dans (180} et dans les conditions accessoires; ce qui, donnant

ij /■, = o [pour z'y Qj ,

avec/*! = o (pourî =; 0) ot/j =0 (pour* = ^co ou î = cc) ,

oblige à faire identiquement /|= o, d'après une démonstration du n'* précédent sur la functioii - [p. 5851.

Gomme la fonction f{w, z) et l'expression (173) do. tp se trouvent ainsi complètement fixées , il n'y a plus qu'à reconnaître si toutes les conditions du problème sont bien satisfaites, et, d'abord, si cette expression de -y constitue une fonction. parfaitement définie , ayant ses dérivées partielles successives déterminées aussi et calculables par le procédé de différentiation du n" 2 (p. 361). A cet effet, nous observerons que le facteur 4', toujours compris entre des limites restreintes, ne peut rendre l'intégrale définie (173) indéterminée si, abstraction faite de ce facteur, les éléments y ont une somme absolue finie. Or c'est ce qui a lieu; car, d'après (182) , les fonctions constamment finies /", qui y multiplient (^a, deviennent comparables, pour a très grand,

à l'inverse du rarré de la variable x T-jr, c'est-à-dire à

l'inverse de a', tandis qu'il leur suffirait, pour rendre l'intégrale parfaitement déterminée, d'être alors d'un ordre de

petitesse supérieur à celui de — . Il en serait évidemment

de même, si, à la place de la fonction "l*, l'intégrale définie (173) contenait sa dérivée ^', finie aussi pour toutes les valeurs de sa variable , ou encore , à plus forte raison , si l'on évaluait les dérivées successives en a; ou 2 de « , qui auraient des formes analogues à fl73) , mais avec des dérivées partielles de f au lieu de f, dérivées de plus en plus rapidement décroissantes, à mesure que leur ordre s'élève, pour les grandes valeurs découles grandes valeurs absolues

de^T -^. Ainsi, l'expression (173) de tp et ses dérivées

successives soit par rapport à ^, soit par rapport à z, sont bien définies.

Quant aux dérivées par rapport à t, obtenues en différentiant également l'intégrale (173) sous le signe /, elles seront, de même, finies et déterminées, bien qa'il paraisse, dans celles d'un ordre supérieur au second , une dérivée

de fjj', infinie pour la valeur zéro de sa variable - ou -^^ ;

car, il y entrera, par contre, en facteur, une dérivée de /"eu 3;, non moins élevée, et qui, se trouvant, au même instant,

prise pour « -H -5-^ ou x -•^■^ infini, deviendra incomparablement plus petite que l'autre ne sera grande, beaucoup plus même qu'il ne serait strictement nécessaire pour faire tendre le produit vers zéro , donner à l'intégrale une valeur finie bien déterminée et lui rendre parfaitement applicable le procédé de différentiation exposé au n" 2. A cette circonstance près (de la valeur infinie des fonctions ¥' ■> ¥'\ ■•■ quand leur variable s'annule), les dérivées d'ordre pair en t auront une forme analogue à (173), et on reconnaîtra, comme pour celle-ci, qu'elles sont finies et déterminées. Quant à celles d'ordre impair , où paraîtra un

facteur de la forme '^(p+i) f^J et où déjà, d'après ce qu'on

vient devoir, la limite « = o n'entraîne aucune difficulté, elles ne cesseront pas d'être finies et déterminées malgré la valeur singulière de leur autre limite k = co ; car . en abstrayant des facteurs finis et sensiblement constants pour les très grandes valeurs de a , l'intégrale considérée aura ses éléments, correspondant à a très grand, pareils à ceux

de l'intégrale I -Jj — It^a: or celle-ci est finie, vu

qu'une intégration par parties donne

;iS3j

(rt ^U / ^ff)

valeur évidemment limitée pour « ~> o et même aussi petite qu'on veut pour « suffisamment grand (').

Montrons maintenant que l'expression (173) de ^ , où la fonction f est donnée par (182), satisfait à toutes les conditions (171) et (172). Et, d'abord, la manière même dont on l'a obtenue prouve qu'elle vérifie les trois premières conditions (171) et la deuxième (172) ; de plus, comme on a pris

(■*] On peut observer que , pour p ^=i , le premier membre de (183) devient / ./' (^) d--, ou / 'p (— ) dot, en vertu de la première (174), équivalente à i" (v) = — ; — il {■/). Donc , les intégralea / et / il [— 1 dx ,

pHses entre deux mêmes limites dont la supérieure grandit indéfiniment, gardent entr'elles une différence qui reste finie, et la seconde ne peut manquer de devenir

infinie cemme le devient la première. Ainsi , l'intégrale j ■!, f—j d t. est infinie ,

bien différante, en cela, de / ^' ("ô") ''"■ H en est de même de i ■;.■ (-/)(!■;; car

fa première relation (17^) , multipliée par if ^t intégrée à partir de )• =; o , donne

1 J> (v) d ï := v'ï — ^'(ï). expression qui devient infinie en même temps que •/■

As /= 0, il est visible que l'intégrale définie (173) satisfait encore, élément par élément, à la première équation (172). Donc, il reste seulement à faire voir que, pour z,w ou t infinis, ^ et ses dérivées s'annulent. En effet :

1" Pour z très grand, la fonction /et ses dérivées ont , d'après (182), toutes leurs valeurs insensibles dans les intégrales définies considérées ;

2" Si :L iîî est très grand, ces mêmes fonctions , sensibles

seulement quand leurs deux variables a; + — et ^, ou iC+y^ et z, reçoivent des valeurs modérées, n'atteindront, sous le signe /, une grandeur appréciable, que pour des valeurs de -^ ou de -^-^ modérément éloignées àjà ~^x et, par conséquent, pour des valeurs de « comprises toutes, dans le voisinage de la valeur particulière ^~^^x ou — — — ,

à l'intérieur d'un intervalle d'autant plus étroit (tant en grandeur absolue que par rapport à cette valeur particulière) que i x sera plus grand , intervalle comparable au produit de V^itâiP ou de par

^j— , et qui s'annule pour j: a; = oo ;

3° Enfin , quand t est très grand , la fonction "Ij , ou la dérivée de ^ qui entre sous le signa / dans l'intégrale

valeurs de a qui rendent sensibles f ou les dérivées de /,

dont la première variable est isT — ou x'^-^--r, et, alors,

ces fonctions 41, i^' . Y', ■ ■ -, calculables par la formule (177) ou ses dérivées , changent de signe si peu que varie a ; de sorte que l'intégrale est une somme de termes très petits, alternativement positifs et négatifs , se décomposant en un nombre fini de groupes dans chacun desquels la valeur

absolue des termes va en croissant ou en décroissant, groupes qui , par suile , respectivement comparables à leur plus grand terme, donoent un total insensible.

Donc l'expression (173) de y , avec la valeur (182) de f, remplit bien toutes les conditions désirées ; et comme, d'après la démonstration rappelée dans la première partie du u" 24 [p. 581], la fonction tp capable de les vérifier est unique, elle fournit bien la solution demandée. En adoptant , par exemple , pour f le dernier 'membre de (182) , il vient:

( . 2V2 r- rfu r=°r^/ ^^ «M

Mais il est particulièrement important d'obtenir l'équation de la surface libre, c'est-à-dire, pour l'époque ^, les dénivellations A de cette surface au-dessous de son niveau tinal d'équilibre. La formule (156) [p. 580], où nous faisons (? = Ij montre qu'il suffit , pour cela , de poser , dans (173) ,

2 = 0, ou fix, z) = - — - F («), et de différentier ensuite par

rapport à t. Il vient

(ISb) /, :^ ^ll f'^l'^

expression qui se réduit bien, comme il le fallait, à A= F {x) pour t=o, vu l

pour t=o,YXx la valeur — ^ que la forinul6(178 où) donne i^2

S6. — Etude de la fonction ■f (7), qui entre dans les intégrales obtenues.

Avant d'examiner les oiTConstanoes physiques que représentent les formules (184) et (185) , il convient de cherclier une expression de la fonction 4' (y) dont le calcul soit plus facile que n'est celui de l'intégrale définie (175), suffisante seulement pour montrer que cette fonction ondule une infinité de fois entre certaines limites. La formule (177) , lorsqu'elle ae trouve applicable, remplit ce but avec toute la simplicité possible ; mais elle ne peut être employée que pour d'assez grandes valeurs de y, el elle n'est d'ailleurs qu'approchée. Il y a donc lieu d'en former une autre qui , tout en étant générale et exacte en principe , soit aisée à mettre en chiffres pour les valeurs petites-ou modérées de y.

On y parvient en observant que sin (y — m*) équivaut au développement

et que, par suite, l'intégrale j sin (y — m^) dm , ayant sa

différentielle toujours développable suivant les. puissances entières et positives de m , le sera elle-même et deviendra finalement, quand on y fera m = Vy, une série convergente procédant suivant les puissances de V'y.On aura d'abord

et, en prenant sous les signes /une nouvelle variable d'in-

tégratioii, jx, telle, que m= Vyi^ ou que dm= V^fd-^i., puis posant, afin d'abréger

(185 M h = f (l — \^^)'dii>

il viendra

Or, une intégration par parties, effectuée sur le second membre de (185 Us), donne

I, = |^(i|,Y^j^^2y jr'{i ix')'-*;.^</fx,

ou bien , en remarquant que le terme aux limites s'annule, substituant (1 — i'.^)'-' (^[a — (1 — ii^di^ à {l—i^y-' n' dy. et résolvant enfin par rapport à I^ ,

m ■' = 2~rr''-

Cette formule fera connaître successivement Ii, Ij, L, . . . , I^, à partir de lo = 1 ; et l'on aura

'1881 ^''TT'-2f:rV '**" 3.5.7. ..(4» + 3:,-

Par suite, l'expression (186) de ^ (y) deviendra aisément le développement cherché :

On en déduit immédiatement :

(189to) .(,(,) ^1^^^ TX? ■^■■■-1.3.5. ..(4,-^11—t

Une nouvelle différentiation . en donnant pour 4"" (y) la valeur - — - — ^ (y), montrerait que la série obtenue (189),

d'ailleurs nulle en même temps que y ainsi que sa dérivée première, constitue bien la solution des équations (174} [p. 593].

Mais on peut obtenir encore celte solution sous une troisième forme, qui a l'avantage de représenter par une intégrale définie assez simple la différence existant entre ^ (y) et son expression approchée (177) [p. 594] relative aux grandes valeurs de y. A cet effet, appelons, pour abréger, A, l'intégrale définie

Différentiée par rapport à y, elle donne , en intégrant finalement par parties,

(191! :::r=^ / «-''""''' d&ijim^ = — I e'

dh. — 1 /

Différentions encore et employons le même procédé d'intégration par parties. Il viendra

(191 to — - = A, ou ---- -^- A = — .

Ainsi, l'intégrale définie A est une solution de l'équation différentielle (191 6is} ; et elle se trouve forcément comprise dans le seul type de solutions que comporte cette équation, tyf^e qui est, avec deux constantes arbitraires M, N,

\ A =^ M coa 7 -f- N ain 7 -+- 1 fim.[y — ■m'^)dm

( =: M C03 y -H- N ain 7- -+- ./< (7).

Si donc nous déterminons M et N de manière que cette expression de A. et sa dérivée première reçoivent, pour y = o ,

les valeurs —\/— et — -^\/-K<i^^ prennent alors les derniers membres de (190) et (191), nous aurons

îîVy,