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ce qui revient à poser

[192] 'Kï)=.-iV'^(sm-/-cosv]+jr'".-2'»^'cos»j^rfm.

Ainsi , la différence existant entre '^ (y) et son expression approchée simple, (177) [p; 594], relative aux grandes valeurs de y, est représentée par l'intégrale définie

1 e~"^"* ^*'' cos m^ dm , que l'exponentielle décroissante

g— awVïfgj^^ tendre rapidement vers zéro dès que f dépasse un assez petit nombre d'unités.

La dérivée de (192) sera, si l'on tient compte de (191),

(193) / (y) =~Vl (cos y + «n y) - jf ^ " ' *" ""^ ^'^^ ^^ ^rn-

Eu remplaçant y par "k- et portant cette valeur de -l* t-^j

dans (185) , puis appliquant la relation (185) aux points situés , du côté des x positifs , au-delà de toute la partie primitivement déprimée ou soulevée de la surface, de sorte

qu'on ait F (s; -h- -^ ) = o , il viendra , comme équation de

la surface libre en ces points.

^hr

formule que l'on identifierait aisément à celle que Caucliy a obtenue pour le même objet (*). Il en a déduit, plus complètement à certains égards que n'avait fait Poisson (mais en accord avec lui) , les lois qui régissent la surface des ondes par émersion , une fois parvenues , le long d'an canal, assez loin de l'endroit où elles avaient pris naissance. Ce n'est, en effet, qu'après un parcours contenant ua certain nombre de fois la longueur de la partie primitivement déformée , que les ondes se régularisent assez pour qu'on puisse se représenter bien nettement, au moyen des intégrales (184) et (185), les circonstances concernant soit leur forme, soit le mouvement des particules fluides. Toutefois , nous verrons au n" 29 que, du moins dans le cas de ce que j'appelle une solution simple naturelle, où la fonction F ,{^) est censée n'avoir sa valeur effective donnée que dans un intervalle élémentaire dx et s'annuler au dehors, il n'est pas impossible de se figurer, assez simplement même, les mouvements produits au lieu d'émersion et dans le voisinage.

^. — Lois des ondes par émersion produites les premières.

J'appellerai 21 la longueur de la section longitudinale immergée , ayant l'équation ^ ou A = F (ic) , du solide dont l'enlèvement donne naissance aux ondes, et je supposerai qu'on ait pris l'origine des coordonnées au milieu de cette longueur , en sorte que la fonclion F {x) s'annule hors de

(*) Recueil des Savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris, t. l", p. 186 , formule (/) — ou t. 1", p. 188, de la nouvelle édition des œuvres de Cauchy, publiée chez M. Gauthier-Villars.

l'intervalle compris entre x—- — l elx~l. J'admettrai de plus, pour fixer les idées, que les points où Ton veut étudier le mouvement soient du côté des x positifs, et je me bornerai, tant dans ce n" que dans le suivant, à ceux dont la distance x s l'origine est très grande en comparaison de la demi-longueur immergée l. Enfin, je rappellerai que nous avons pris pour unité de longueur, en vue de simplifier les formules , l'accélération ff = 9",809 due à la pesanteur.

Il y a d'abord, comme l'a reconnu Poisson , des lois extrêmement simples et, par conséquent, dignes d'intérêt, pour une courte période initiale, correspondant aux très

petites valeurs du rapport —, qui dure tant que le temps

écoulé i est encore trop petit pour qu'un corps tombant en cliute libre pendant ce temps eût parcouru un espace , -^i^, comparable à la longueur 21 du volume immergé. Alors les seules valeurs de « qu'il y ait à considérer dans l'expression (184) de f [p. 603] sont celles de l'ordre de petitesse de t.,

ou pour lesquelles -^ est très petit en comparaison de

l'intervalle 21 d'oii pourra ne pas sortir la variable des fonctions F.

En effet , d'une part , pour ces petites valeurs de a , dont nous appellerons e la plus grande, égale à un nombre considérable de fois i, la somme des deux fonctions E, dans (184), est sensiblement égale èi 2F {w -t- z-n) et se comporte , sous le signe d'intégration par rapport à « , comme un facteur constant ; de sorte que l'intégration dont il s'agit donne

Or, cette somme, en posant

i tdp

ou, sensiblement,

et comme il résulte d'une intégration par parties , effectuée en observant que, d'après (189) [p. 605], ^ f^j -r s'annule pourp— 0,

c'est-à-dire , en vertu de (178 bis) [p. 595] ,

on voit que la sommation par rapport à a, dans (184), auio pour résultat

en s'en tenant aux valeurs de a. moindres que t. D'autre part , les valeurs de « supérieures à e rendent le

rapport -r-^ extrêmement petit et le facteur 'î' [■^] sensible-

1 i' ment égal au premier terme , — ^ -- , du développement

3 V2 " que fournit (189) ; en sorte que la somme des éléments correspondants de l'intégrale en a considérée est de l'ordre de

OU comparable au produit de la précédente, ^-- , par

le carré du très petit rapport — et, par conséquent, négligeable.

Laformule (184) deviendra donc

■ ""■ O^ " 1 + '.^ ~ - J^ ^VGi-^

On y serait arrivé directement, en rappelant que la valeur

initiale de -^ doit se réduire à F [x) pour ^ = o , à zéro pour

X ou ^ infinis, et avoir son paramètre différentiel nul partout pour 2^0. Par suite, son expression ne peut différer

que par le facteur ponstant — — -de celle, (182), delà fonction f{œ, 2), et son produit par t égale sensiblement, si t est assez petit, la valeur môme de f , nulle au début (').

La solution simple naturelle de la question, pour cette première période, s'obtiendra en supposant la fonction arbitraire F (i) nulle en deliors d'un très petit intervalle d%, ou en réduisant le volume fluide déprimé initialement (par unité de largeur du canal) /F (£) dX, à un seul de ses éléments, celui, par exemple, qui est compris entre les deux abscisses Ç, S -H dl. Appelons dq = F (i) d'i cet élément (rapporté toujours à l'unité de largeur du canal), r la droite, Vd^-^{x — S)^, mesurant sa distance au point quelconque {x, z) pour lequel on veut prendre la valeur de cp , enfm, 0 , l'angle que fait cette droite avec l'axe vertical des z, angle tel, que

(*) Les mêmes considérations donneraient, dans le cas plus général oii l'exprès sion iiiitiala de h aarait F (œ, y) ,

2, i.JJ -,

j; — i=r sln 9, ^=r cos 6; et la solution simple dont il s'agit sera

On en déduit aisément, pour ses deux dérivées premières en ^ et 3 ,

t dq t dq (198) [pour nrès pelil; % =-- isiii20, j« -= |cos2e.

Ainsi, chaque molécule fluide prend tout d'abord un mouvement uniformément accéléré, dont l'accélération, inverse

du carré de la distance r, a la grandeur — j et la direction

opposée de celle qui fait l'angle 29 avec la verticale. Si l'on conçoit menés , par la génératrice immergée a; = ? du solide dont l'enlèvement donne naissance aux ondes, les deux plans rectangulaires qui sont inclinés sous l'horizon de 45" , le fluide compris au dessoxis ou dans l'angle de ces plans se soulèvera pour combler le creux initial, tandis que le fluide qui leur est extérieur ou supérieur s'abaissera. Dans les deux cas, les molécules se rapprocheront du plan vertical bissecteur de l'angle des deux précédents, ou mené le long du sillon creux de îa surface. On voit encore : r (pie les vitesses produites au-dessous du même sillon décroissent sensiblement, pour des couches de plus en plqs profondes, comme l'inverse du carré de la profondeur ; 2° que la tête de l'onde concave naissante est animée d'une célérité ou vitesse de propagation très grande. En effet, les ordonnées k de la surface, à la distance x — ^ = r, seront données par la

formule A := j wdt, qui, vu la seconde (198) prise avec

2 B — îc , devient

fldq )■ . ,' dq

{199} (pour ( très petilj /* ^ ~ , ou — t= Y-' ^— r :

or cette relaLion exprime que chaque ordonnée très petite k se transporte, le long du canal, avec une célérité constante, inverse de la racine carrée de sa hauteur h et, par conséquent, infinie pour la tète A = o (') . . Il suffirait d'ailleurs, évidemment, de remplacer F (^) dh=dq

par le volume immergé total | '^ f^ d\ = q (rapporté,

bien entendu , à l'unité de largeur du canal) , pour étendre les mêmes lois au cas réel d'un sillon creux initial ayant, dans le sens des x, une largeur finie donnée 2 L Seulement, on devra supposer alors la distance donnée r de ce creux aux points où Ton étudie le mouvement beaucoup plus

grande que/, afin qu'on puisse regarder — et 9 comme les mêmes pour tous les éléments dq.

Voyons maintenant, en nous bornant aux couches fluides dont la profondeur z au-dessous de la surface est très petite en comparaison de la distance t des points considérés au sillon élémentaire initial rf^= F (5) (?£, quelle sera la solution simple naturelle, pour toutes les époques # et toutes les ^ distances r= V'^^-f-fa; — Vf qui ne rendront pas très considérable le rapport -— . Nous supposerons que l'on ait , par

exemple, x — \ 'y o, ou que les points proposés [x^ z) soient du côté des X positifs par rapport au plan vertical mené suivant le sillon dq. Ainsi , l'abscisse x se trouvera, dans l'expression (184) de y, sensiblement supérieure à celle , S, hors du voisinage de laquelle la fonction F (£) s'annulera par hypothèse ; et, d'ailleurs, zt\ pourra y être censé rester

(*) Cette circonstance paradoxale résulte de l'hypothèse de l'incompressibilité (impliquant la supposition d'un coefBeient d'élasticité de volume infini ou d'une vitesse inânie de prapagation du son) , hypothèse inexacte si on la suit jusque dans tous les menus détails des phénomènes, mais très suffisamment approchée, au contiwe , pour l'étude des déplacements sensibles du liquide ; car chaque particule fluide n'éprouve, dans son volume, que des variations relatives absolument inappréciables en comparaison de ses déforniations linéaires.

de l'ordre dez, c'est-à-dire fort petit encoiijparaison de X — ?, car les éléments correspondant aux très grandes valeurs absolues devi n'y donneraient, à cause du dénominateur 1 -+- -1^, que des sommes négligeables de l'ordre de