I -^=—. Par conséquent j la fonction F [^ -1-211 -i

dont la variable dépassera toujours notablement \ pour les valeurs modérées de -i, sera négligeable dans (184) et pourra en être supprimée. Si, alors , on remplace la variable d'intégration a. par une autre 'k, telle, que l'on ait

-- = %■ d'où «=\A2te-| + ^r,)et//«= ^

et si l'on observe, d'une part , que le facteur -■ ~ de

l'expression de (/a ne différera jamais dans un rapport sensible de — oa de , d'autre part, que les deux

v-^ Mi'

valeurs extrêmes % = x-^z^, ? = — oo comprendront toutes celles de S pour lesquelles F [k] différera de zéro et que, par conséquent, les deux limites d'intégration par rapport à \ pourront être remplacées par j: co , il viendra

Rappelons en outre que, r désignant la distance du poini considére(a:,^)du fluide au sillon élémentaire primitif (/^=F(^)(^^

dontil s'agit, nous supposons ici le rapport— fini et, par suite, très peu différent de-—; -. Le facteur 4*

reviendra donc sensiblement à -}' [-r ■ Fnfln, les intégrales

( b\çjd'ç, j 7—^^ se réduiront respectivement à (^(? et à '^. On aura donc

(201) (pour ~ très petit) 7 = ^ ^ (|^)-

Cette formule approchée de f , ne se trouvant étabJie que pour les valeurs de z négligeables en comparaison, de r, n'est pas propre à être différentiée par rapport à z; car elle ne s'applique pas sur des longueurs z suffisantes pour manifester les variations de <f en fonction de z comme elle manifeste celles qui se produisent en fonction àer ou, ce qui revient au même, de w (vu que, ici, r seréduit sensiblement

à ar — ^). Mais -j- se calculera par la formule (159) [p. 5831, c'est-à-dire en différentiant deux fois par rapport à ^ la valeur (201) de f. Et, si on la joint à celle de -j- , qui n'est autre que u, donnée par (201), il viendra

InTrj-Tr

Ces expressions sont de l'ordre de petitesse de ■ — — aux

grandes distances r, pourvu que le rapport -j- ne soit pas

très petit : ainsi , elles décroissent relativement moins vite qu'elles ne faisaient dans la première période , alors qu'elles étaieat inverses de r". On reconnaît du reste , en supposant

le rapport ■-- très petit , de manière à pouvoir réduire le développement (189) de ^ {'[) à son premier terme, et en uégli ■

géant dans les résultais les puissances de i supérieures à la première, que les formules (202) compreanent bien celles, (198), de la première période, spécifiées pour 9 sensiblement égal à 90".

Enfin , l'ordonnée h de la surface , égale à la dérivée -jpour z = Q, sera, d'après (201),

Posons , pour abréger ,

et le troisième membre de (203) deviendra — - -{^i '[''(y)- Eiî

dh le différentiant par rapport a 7% on aura pour la dérivée -j

une expression qui, jointe à la première (203] de A. donnera aisément

'2 fl^tf r 1 , ,1 dh 2rf-ï (^ r a ,, ,1

7rr l i dr Tir^ dy l J

Ces valeurs de h et de -j-, comme celles, (201) et (202), de

cp et des vitesses u, td, sont les produits de facteurs constants par les inverses de certaines puissances de r et par des fonctions ne dépendant que du seul rapport y. Les formules (189) et (189 iis) [p. 605J donneront d'ailleurs, immédiatement, les développements en série de toutes ces fonctions de f; et l'on peut même remarquer que, pour les deux formules (205) , les développements ne contiendront que des puissances entières de 2 y. On aura, par exemple,

Les diverses ondes sillonnant le fluide à l'époque ^ou, du moins, ce que l'on entend d'ordinaire par ce mot, seront constituées par les parties en relief de la surface, convexités dont chacune , supposée comprise entre deux fonds de sillon consécutifs lieux de points à altitude minimum , aura pour ligne de faîte le lieu intermédiaire des points où l'aKitude, — h, se trouvera au contraire maximum. Donc on obtiendra les abscisses , is ou ^ *-r, des creux et des sommets successifs délimitant des moitiés d'onde ou , encore , marquant le milieu de ce qu'on peut appeler les ondes creuses et les ondes en relief , si l'on égale à zéro la dérivée de A par rapport à r. D'après la deuxième (205) , cela revient à annuler le second membre de (206). Abstraction faite de la solution Y=o qui correspond àr = Go etàÀ = o, Poisson a trouve pour la plus petite racine positive de cette équation , et pour les expressions correspondantes de r et de h données par les formules (204) et (205) :

i(Pr«mière onde creuse; (27)^=: 9,4482; d'où ■/ = h = (2,7583) -'^1 = (0,4486) ^.

La seconde racine correspond au sommet de la première onde convexe, de celle qu'on sera, par conséquent, le moins exposé à confondre avec aucune autre. Sa valeur et les expressions corrélatives de cr> et de A sont , d'après Cauuhy,

(Première onde en relief) = 4,18, r= (0,120)-^, ^ = — (17,76)^ = — (1,066)^.

Pour les racines suivantes, on peut,-]' étant déjà assez grand, réduire dans (193) [p. 607] l'expression de ^ (y) aux

deux premiers termes, c'est-à-dire à —^ cos (y^ — ^|. On

l'équation tang (y — ^1=--, laquelle se résout aisément

par approximations successives, dès que son second membre

approche de zéro ou que , par suite , ■( — — approche d'un

multiple exact de t^. On voit que les racines, en nombre infini , de cette équation , deviennent bientôt sensiblement équidistantes entre elles, de «. En outre, ces racines tendent

de plus en plus à rendre 4*' (y) "^gal simplement à ■^ -—- et à

rendre par suite, d'après (205), la hauteur h égale à

— \/ -^-^=-'- — ^ ■ ■■ quantité croissante, en un même

endroit , d'une onde à celle qui suit.

En résumé , d'après les formules (203} à (208) , tout se passe, à quelque distance de la région d'ébranlement , destà-dire du lieu de la dépression initiale, comme si la surface s'était couverte instantanément, dans cette région , d'une infinité d'ondes ou de rides, dont les fonds ainsi gue les sommets et même tous hs points prendraient, le long du canal, lors de l'émersion- du solide, des mouvements apparents de transport uniformément- accélérés, avec vitesse initiale nulle, mais avec des accélérations -—=-— variant

de l'infini à zéro pour ces diverses parties < d'ondes; d'ailleurs, d'après les formules (203) et (202), chacune de ces parties décroit en hauteur , à mesure qu'elle progresse, inversement à la distance parcourue ou au carré du temps écoulé, et apporte aux couches fluides superficielles des vitesses, tant horizontales que verticales, inversement proportionnelles au cube du même temps t. Les relations (208) montrent, en outre : 1" que l'onde convexe la plus rapide ou la première progresse environ huit fois plus lentement qu'un corps tombant en chute libre, puisque son

accélération égale les 12 cenlièraes de la gravité g (prise ici pourunité de longueur), et, 2", que la hauteur, -^, de son sommet au-dessus du niveau d'équilibre ne dépasse que très peu le rapport du volume de la dépression cylindrique primitive dq (par unité de largeur du canal) à la distance déjà parcourue?'.

Remarquons enfin que toutes ces lois, démontrées pour le cas d'une dépression primitive dq = ¥ [1)^,1 infiniment étroite, s'étendent sans difficulté au cas d'une dépression ayant une demi-largeur l quelconque , pourvu que les distances r auxquelles on observe le mouvement produit soient beaucoup plus grandes que cette demi-largeur l. En effet, pour un même instant et un même point te, z) du

fluide , les valeurs de — et de y se rapportant aux divers éléments dq de la dépression seront alors sensiblement pareilles; de sorte que la superposition des effets dusà tous ces éléments dq se fera, dans les formules ci-dessus, en remplaçant simplement dq^-àx Jdq ou q.

28. — Lois des ondes venant à la suite d'un certain nombre d'autres , ou après que le mouvement s'est , pour ainsi dire , régularisé : ces ondes se comportent- comme si elles appartenaient à des houles dont la longueur croîtrait graduellemsnt et dont la hauteur décroîtrait peu à peu suivant des lots plus ou moins complexes.

Pour déduire de la formule (200) toutes celles qui suivent, nouï avons dû admettre, non seulement que la profondeur z, au-dessous de la surface, des molécules fluides considérées était très petite en comparaison de la distance r= Vz^-i'{x—^'f de ces molécules à la dépression élémentaire initiale dq,

mais aussi que le rapport y =^ n'atteignait pas des valeurs extrêmement grandes. Les lois précédentes ne s'appliquent donc qu'aux ondes qui ne sont pas précédées

d'un nombre considérable d'aatres , ou dont la propagation est encore assez comparable , pour la rapidité , au mouvement des corps tombant en chute libre, de façon que l'espace total parcouru r y soit du même ordre de grandeur que le produit gf ou ff'. Voyons actuellement ce qui arrivera si, au contraire, le rapport y est extrêmement grand. Alors,

dans la formule (200), la variable -r-r — rdont A dépend

^ " 4((J! — Çh-îT|) ' ^

sera très considérable, et de minimes changements de \ — Sh la feront varier, ainsi quetî^, d'une manière sensible. Il sera donc nécessaire, même quand il ne s'agira d'intégrer par rapport à \ que dans un intervalle extrêmement petit et, pour ainsi dire, élémentaire, de décomposer cet intervalle en une infinité d'autres , tels, que ■{' ne varie qu'insensiblement de chacun au smvant. C'est , d'ailleurs, ce que nous avons dû faire déjà au n" 19 (p. 451), dans une question analogue , celle du mouvement transversal d'une barre.

Ayant donc ici, de toute manière, à intégrer par rapport à \ , nous chercherons à effectuer complètement le calcul

de f pour tout le volume ^= ( F {^) rii de la dépression

— / primitive , sans nous borner au cas d'un seul élément dq=F (^)d'i. Seulement, nous admettrons que l et, par suite , i soient , comme z , très petits en comparaison de ic, ou que les molécules fluides considérées se trouvent à une distance de la région des ébranlements trè::i grande par rapport à la demi-longueur l de cette région elle-même.

Alors le facteur — - pourra être remplacé , dans (200),,par — , et , de plus , on aura

Nous supposerons le rapporl — assez grand pour que son produit par la très petite fraclioD — ^ soit fini , mais

pas assez pour que son produit par le carré de la même fraction devienne comparable à l'unité. Le dernier membre de (209) se réduira donc aux deux premiers termes , et , la formuîe (177) [p. 594] étant d'ailleurs applicable, il viendra

(2io; '■

Portons cette valeur dans (200) et dédoublons encore en deux produits le cosinus et le sinus de la différence

— — -j-^; ce qui permettra de décomposer l'intégrale

double en produits d'intégrales simples. Si nous observons

alors que 1 expression I sm — — - tp — - s'annnie, comme

ayant ses éléments deux à deux égaux et de signes contraires (car la fonction sous le signe / y est impaire par rapport à ■']), et si de plus, afin d'abréger, nous posons

OÙ K et M désignent deux certaines fonctions de -, — dont la première sera toujours positive, nous trouverons

""'"' ^"'Js-lS-ï*")-/'

Ofj le dernier facteur du second membre de (211 iis), en

y appelant a l'expression positive -jy) n'est autre chose

que l'inlégrale classique / - — -d-r,, égale à'ne— <». C'est,

du reste , ce qu'on reconnaît en considérant d'abord l'intégrale définie

(2121 A=: r^p^^fl,

prise depuis v) = o jusqu'à une limite supérieure très grande

r, =— ,' où î désigne un nombre entier positif. Deux dif t'éren-

tiations consécutives par rapport à a donneront , pour ses deux dérivées première et seconde,

^-JT-— X'

Or, si l'on suppose i de plus en plus grand, les intégrales paraissant dans (219) et (213) n'en restent pas moins des fonctions de a finies et parfaitement déterminées , à cause

de la présence, sous le signe /, des facteurs y — ï : ï — "s infiniment petits à la limite supérieure ; et les trois formules (212), (213), (214) deviennent, en posant finalement, dans la seconde , «ti ~ H d'oii dr\ = — j ,

1 da

La dernière est une équation différentielle linéaire dont toutes les intégrales sont données par la formule A= ce"" i-Cifi". Déterminons-y les deux constantes c, c^ de manière que l'on ait, conformément aux premières (215),

( (pour a infiniment petit positifj

Il faudra, pour cela, prendre c, = o, c = — ; et il viendra

X'fB ''• = 2 -''■ I'tB ''=2 '"■■

On remarquera que la seconde de ces intégrales présente, pour a — o., la même discontinuité que l'intégrale plus

résinas!

simple I dw.

Mais il nous suffit ici de considérer la première (216) , et de la doubler en la prenant entre les limites :l:ao . Sa valeur deviendra bien r^e"" et , par conséquent, le dernier

facteur de (211 Ms) vaudra Jte~ÎS. Nous aurons, en conséquence, pour l'expression définitive de 9 ,

On remarquera que cette expression de f , où z entre par une exponentielle à exposant négatif, déoroît, à mesure que 2^ grandit , avec une rapidité incomparablement plus

grande qu'il n'arrivait pour les premières ondes , et qu'elle s'évanouit même, sensiblement, à des profondeurs 2: minimes par rapport à x^ quand le rapport de f à a; est assez grand. Donc, k mouvement, avant de se dissiper tout à fait, se confine dans les couches liquides superficielles, où sa propagation suivant le sens horizontal est encore appréciable longtemps après que s'est terminée toute p-opagation sensible dans le sens vertical. On peut induire de ià que ces ondes , ne perdant, pour ainsi dire , point d'énergie par le bas, décroîtront en hauteur , dans leur marche, beaucoup moins vite que les premières, et môme ne décroîtront pas, en moyenne, tant que leur mouvement ne se communiquera pas aux couches inférieures. C'est, en effet, ce que nous reconnaîtrons bientôt.

Appelons k^ le rapport, iini par hypothèse, -—j, ou posons

ce rapport k^ , à cause des valeurs relativement considérables de X et t, ne changera pas sensiblement, non plus

que le facteur — ::^ , pendant que wel t varieront de quan-

tités ^x et A^ comparables respectivement à l'intervalle de deux ondes et au temps employé par chacune d'elles à le parcourir. Donc, comme K et M, définis par (211), ne dépendent que de A, et comme on a, de plus,

l'expression (217) de f, si l'on y fait croître a: et ^ de ia; et M, deviendra, en y regardant x et t comme des valeurs de repère fixes,

(219) <;=: --^e~''^^ ain{k àl — k^^x-\-coastani.e}.

yfr.x

yGoosle

Elle est (le la forme Ce*"*^" sin {kt — IC-X+ const.), où x, t et, z seraient les variables ; et elle représente une hovÀe.^ c'est-à-dire un système, aussi simple que possible , d'ondes courantes, dans lequel le mouvement du fluide est périodique, le profil de la surface, exprimé par l'équation

sensiblement sinusoïdal, hi longueur d'onde (largeur de vague}, -T^ , la durée de la période, -^ , et, Ja vitesse de propagation , Y , c'est-à-dire, d'après (218), le double du rapport

— . Les molécules y décrivent, d'un mouvement uniforme

et continu, des orbites circulaires, dont le rayon, proportionnel à la demi-hauteur totale i. C des ondes , décroit comme l'exponentielle e— ^^^ quand la profondeur z augmente (').

Par conséquent , si Von considère, parmi les ondes dues à Vémersion du solide, celles qui viennent à la suite d'un assez grand iioinbre d'autres, et si on les suppose aro-ivées à des distances de la région d'èmersion beaucoup plus grandes gtce la demir-longueur l de cette Hgiùn, elles se comporteront sensiblement, sur des étendîtes comprenant plusieurs longueurs d'onde et pendant des durées de plusieurs périodes d'oscillation, comme de simples houles ou systèmes de vagues quasisinusoïdales courantes (à orbites moléculaires circulaires),

animées de vitesses de propagation doubles du quotient —

et ayant des longueurs d'onde et des périodes en rapport avec cette vitesse. Quant à leur hauteur atc-dessus ou attdessous du niveau d'équilibre, elle se trouve exprimée par

(*) Je renvermi, pour ta démonsti'atioii de eos lois d'une houle, à mon Essai sur la théorie des eainr, courantes (p. 335).

-^- A G ■ -H —z=z , et elle est, d'une part, en, raison inverse de

la racine carrée du cftemin parcouru x, d'autre part , m,

raison directe du facteur AK = -^ K, dépendant d'une

manière plus ou moins complexe , d'après les formules (21 1),

du rapport — ainsi que des dimensions et de la forme de la

dépression produite initialement à la surface du fluide ('}.

Avant de cherclier à nous rendre compte des changements de cette hauteur, soit pour une même onde qu'on suivrait dans sa translation apparente, soit aux divers endroits de la surface liquide considérée à nn même moment quelconque ;f, donnons une forme plus sensible aux lois précédentes, en imaginant une infinité d'observateurs, qui seraient tous partis, à l'instant de l'émersibn, du lieu où elle s'est produite , et qu'animerait le long du canal une certaine vitesse, constante pour chacun, mais variable", de l'un à l'antre, entre les limites zéro et l'infini; concevons en outre que chaque observateur examine à côté de lui les ondes qui s'y succèdent, en embrassant du regard une étendue qui en comprenne quelques-unes et en les suivant des yeux pendant quelques périodes. Il est clair que, après avoir laissé passer les premières ondes auxquelles la formule (219) ne s'applique pas, celui d'entr'eux dont la vitesse

(*) Poisson a désigné sous le nom d'onde dentelée l'ensemble des ondes , sans cesse changeantes , qui sont comprises à un moment donné entre deux points cflnséciiiife de la surface où K =; o , points qu'il appelle nœuds , parce que les oscillations de la surfïice s'y annulent , et qui sont évidemment animés , chacun ,

d'un mouvement uniforme (puisque K ne vai'ie qu'en fonction du rapport — j. 11

a déterminé, pour le cas d'une forme parabolique du second degré, à ase verfcal, de la dépression primitive , les circonstances que présentent ces ondes dentelées ou dentées (car il appelle les ondes effectives ou individuelles leurs dents) , dont le mouvement est uniforme , et dont la longueur est uniformément croissante ( à cause de l'inégalité do vitesse des nœuds). Gauchy a , de même , calculé leurs situations et leurs dimensions pour un certain nombre d'autres formes de la dépression primitive {Savants étrangers, t. l^', p. 184 à 234, ou (Euvres de Cauchy , t. P^ p. 191 à 239).

il vient d'être question , qui a pour célérité j et une hauteur

inversement proportionnelle à Vw. Ainsi, toui observateur parti de l'endroit de l'émersion au moment où elle a eu Heu, et parcourant le canal d'un mouvement uniforme, se trouve sans cesse dépassé par des ondes gui, sauf les premières , se meuvent deux fois plus vite gue lui, ont une longueur constante, égale au produit de 2« par le carré de leur célérité double de la sienne , et se succèdent à côté de lui avec des hauteurs graduellement décroissantes, inversement propo7'tionneUes à la racine carrée de la distance au point de départ ou à celle du temps écoulé.

Les divers observateurs voyant de la sorte , au même instant, des houles d'autant plus longues qu'ils sont plus loin du lieu d'éraersion , l'ensemble du canal est coiivert de boules de toutes les longueurs, mais de hauteurs très différentes. L'on a donc, dans ce phénomène, un exemple relativement simple, probablement le plus simple possible, de la production de houles non entretenues, ou qui s'éteignent graduellement, considérées dès l'époque même de leur formation, et non après qu'elles ont été profondément remaniées et simplifiées par les résistances passives comme sont celles qui s'observent en mer, très loin du lieu où une série de coups de vent les a fait naître , ou comme sont les ondes persistantes dues à des chocs périodiques s'exerçant quelque part sur un liquide , considérées à une certaine distance de là.

Observons qu'une même onde, animée à chaque instant d'une vitesse -j- sensiblement double de --, dépasse sans cesse le lieu , lui-même changeant , oii règne une certaine houle et où le rapport— est constant, pour venir faire partie

de houles de plus en plus longues. Comme l'équation différentielle -- = 2 - revient à prendre

dt t '-

/ (pour une même onde)

(221) \ r- , „ ' 'il 2?

i — = une const. y, A ou — - ^ — =^ — , ( ^^ 2^ ^l t

la propagation des ondes dont il s'agit est wniformément accélérée comme celle des premières. Par suite, leur longueur, ou la distance de deux consécutives , va , de même , en augmentant comme le carré du temps écoulé t ou comme l'espace parcouru x. Mais leur demi-hauteur totale .

(222) M™de.-.= ll-=0I.il^K

ne varie plus aussi simplement , c'est-à-dire en raison inverse de l'espace parcouru a: ou du carré du temps t, parce que le facteur K y est fonction du rapport indéfinimenl

décroissant è = — = — .

Pour comprendre comment l'expression de K atténue en moyenne , ainsi qu'il a été dit , la diminution de hauteur d'une même onde à mesure qu'elle progresse, et, aussi, comment le mouvement finit par s'éteindre aux petites distances du lieu d'émersion , là où sont les houles les plus courtes, cherchons cette expression de K et celle de 9 pour ce que nous appelons une solution simple naturelle, c'est-àdire pour le cas fictif où la dépression primitive se réduirait à un simple sillon, dq, d'une largeur infiniment petite 2e et d'une profondeur sensiblement constante, égale, par suite,

à ~ . Il faudra donc , dans les formules (211), en supposant

l'origine des œ prise au milieu de la largeur du sillon.

réduire ^ à £ et poser F [^) = ---. On voit d'abord que la

seconde intégrale (211) s'annulera, comme ayant sous le signe /une fonction impaire de S, et qu'il en serait de même dans tous les cas oil F ( — 5) = F (5), c'est-à-dire où le profil de la dépression primitive se trouverait symétrique par rapport à son ordonnée verticale moyenne. Donc, pour tous ces cas, où la première intégrale (211) a, d'ailleurs, sous le signe / une fonction paire de i, la formule (217) devient

Qt, si nous faisons ici / = £ , F (^J =-- -^- , une intégration immédiate donnera

Cette formule , comparée à (217) , montre que le coefficient —^J sin i-TTjdQ,

et que ,* par suite , le second membre de (222), où ^ = — , devient

Avant de discuter cette formule, comparons l'expression (224) de ç à la solution simple (201) [p. 615] , relative aux

premières ondes , où r remplace a; et où 4" (■77) ne diffère pas, pour r un peu grande de -^ sm i-j -jj ; on voit

--T^e *^^, qu'elle a en plus. Or, ce facteur, égal à 1 tant

que lû'z et A'e Sont infiniment petits , ou tant que le rapport de 4^ à ^^ comprend un grand nombre de fois ceux àe zkx et de e à ic, décroît ensuite graduellement jusqu'à zéro , en effectuant une infinité d'oscillations de part et d'autre de

cette valeur, quand le même rapport — diminue jusqu'à

zéro, c'est-à-dire quand on considère des ondes de plus en plus arriérées ou précédées d'un plus grand nombre d'autres. Ainsi, les deux formes distinctes (201} et (224) que présente la solution simple naturelle, pour les premières ondes et pour celles d'un ordre élevé, sont concordantes pour les ondes intermédiaires, de sorte qu'il n'y a pas de discontinuité au passage de l'une à l'autre.

La formule (225) permet actuellement de voir comment varie la hauteur des ondes : 1", à un même moment t, dans les diverses parties du canal; 2", en un même endroit, considéré aux instants successifs ; 3° enfin, pour une même onde, qu'on. suivrait dans sa marche apparente. Si, dans les trois cas, on considère d'abord ce qu'on peut appeler les deux hauteurs maxima posHUes des ondes soit au-dessous , soit au-dessus du niveau d'équilibre, c'est-à-dire ce que sont les maxima et les minima de h quand le facteur oscil-

lant sin— — atteint ses valeurs extrêmes ■<" 1 , la formule

(225) montrera de suite : 1" qu'à un même moment t les deux hauteurs maxima possibles , tant positive que négative , des ondes, croissent , aux diverses distances œ du lieu del'émersion, comme la racine carrée de ces distances, les ondes les plus fortes étant ainsi en avant et l'éqvÀUhre se trouvant déjà presque rétabli à l'arrière , prés du lieu de l'émersion ; 2" que, en un môme point « = const. , mais aux

divers instants successifs t^ les deux hauteurs maxima possibles des ondes sont inversement proportionnelles au temps (f écoulé depuis l'émersion du solide ; 3°, et que, pour une même onde suivie dans son mouvement, c'est-à-dire quand le rapport de x à f' est invariable , les deux hauteurs maxima possibles restent également invariables. En outre, dans les trois cas , les deux hauteurs limites dont il s'agit

sont proportionnelles à la profondeur, -^, de la dépression

élémentaire primitive dont on étudie les effets, et indépendantes de sa largeur 2 e suivant le sens des x.

Quant à la hauteur effective des ondes considérées , soit concaves, soit convexes vers le haut, elle oscille entre les deux hauteurs maxima possibles, l'une positive, l'autre

négative, tant que l'arc -j-^ est supérieur ou , du moins ,

comparable à -^. Et quand , au contraire, cet arc devient

très-voisin de, zéro, ce qui arrive, dans le premier cas. aux distances assez grandes a;, dans le second, pour les temps t assez petits et , dans le troisième , après un assez long parcours de l'onde, on trouve, en remplaçant le sinus par l'arc,

une hauteur des ondes égale, d'après (225) , à z. =^,

expression déjà obtenue plus haut, après les formules (208). Or cette expression^ contenant t en numérateur et x en dénominateur contrairement à ce qui arrive pour les deux hauteurs maxima possibles , renverse dans chaque cas le sens des variations moyennes de la hauteur effective dès qu'elle devient applicable, c'est-à-dire dès que la hauteur vraie cesse d'osciller entre zéro et la hauteur maxima possible.

Ainsi, les ondes les plus hautes , soit à un instant donm, soit à leur passage par un point doïmé , ne sont, ni les pT&miÈres produites , ni les dernières, et, pour chaque onde en particulier, stipposée du moins ne venir qu'après tm très

grand nombre d'mUres ou correspondre à une valeur très grande du rapport -^= — ^ la hauteur oscille, un certain nombre de fois entre les deux limites constantes t. — r -v" V'' ~5 =:^—-^m , pour prendre finalement l'ewpression évanouis-

sante'^ ^ =± V — — ■■ 0^"? ^ cette période finale, le

coefficient— de — z dans l'exponentielle de la formule (224)

devient incomparablement moindre qu'il n'était jusque-là, et le mouvement gagne les couches fluides inférieures. Ainsi , conformément à ce qui a été dit plus haut (p. 624), le mouvement ondulatoire, après qu'il s'est confiné, aux distances modérées du Heu d'émersion , dans les couches fluides superficielles, reste longtemps sensible dans chaque onde en particulier , et il ne s'y éteint finalement qu'en se communiquant aux couches profondes; ce qui lui arrive quand l'onde a beaucoup augmenté de longueur.

Tous ces résultats ne sont donnés que pour une solution simple, c'est-à-dire pour le cas où la dépression primitive

Ç = I F {^}d'z se réduit à un seul élément , de largeur

d^ = % dans le sens des x. On en obtiendrait d'analogues dans le cas général où <f aurait l'expression (217) [p. 623], au lieu de (224), et où K égalerait la racine carrée de la somme des carrés des premiers membres de (211) [p. 621].

Toutefois , pour les grandes valeurs du rapport -j-j , K

serait, en général, non plus seulement de l'ordre de petitesse

de --J-, mais d'un ordre supérieur, d'auta/nt plus élevé, que

le profil, h = ¥ ix) , de la dépression initiale se raccorderait mieux , aux deux limites x = ^l , avec le reste de la. surface libre, c'est-à-dire avec le plan des a)y.

En effet , une intégration par parties donne

F (S) cos ^^ ^ï = — [f (ï) sln ^ -J F'

K si"! 1

Prise entre les limites x=-^l, lïntégralo est donc de l'ordre

de — ^ quand le terme tout intégré ne s'évanouit pas ;

mais comme noua avons admis, pour la continuité de^ oa de ses dérivées (et, aussi, implicitement, pour l'applicabilité des éguations de l'hydrodynamique ratiomielle) , que l'ordonnée h variait partout graduellement, F (S) s'annulera aux deux limites ^ = 1; ? ; de sorte qu'on aura simplement

Or la nouvelle intégrale, où paraît P' (5J, pourra être traitée comme la proposée , pourvu du moins que les pentes F' (S) du profil primitif ne soient pas excessives ; et , supposé qu'elles aient des valeurs sensibles près des limites ^ = ^ £ , ou que F' {%) puisse être censé ne pas s'y annuler,

elle sera, comme on voit, de l'ordre du rapport — ^ . Donc,

la proposée se trouvera comparable au carré de ce rapport. Et il en serait évidemment de même pour l'autre intégrale,

F (?) sln -j-^ rfS. Ainsi, l'expression des hauteurs absolues

possibles des ondes dont il s'agit , ou gui vienrb&nt un certain nombre d'autres, comprmdra m plm un

l'ordre de —\ ce qui la rend comparable à

^—^ — , ou beaucoîip plus rapidenwnt décroissante pour les

petites valeurs de x et pour les gra/ndes valeurs de t. Rien ne sera d'ailleurs changé à l'expression de h concernant

les grandes valeurs de x ou les petites valeurs de l\ car elles correspondent aux premières ondes, et, celles-ci, à une certaine distance x ^ sont, comme on a vu, indépendantes de la forme de la dépression primitive , mais proportionnelles seulement à son volume par unité de largeur du canal.

29. — Étude du mouvement des ondes à l'endroit mèm,e où a eu lieu l'émersion et dans les régions wisines.

La formule (224)j où le facteur sin {- — ^] est seul rapidement variable en fonction de ic et de ^, montre, tout comme la formule i'201) relative aux premières ondes , que [ont se passe , là où ces formules sont applicables , c'est-àdire à des distances œ ou r du milieu d'une dépression primitive élémentaire dg beaucoup plus grandes que sa demilargeur e , comme si toutes les ondes en étaient parties à la fois, à l'instant même de l'émersion du solide qui l'occupait.

Eneffet, c'est en posant— 01^7-= certaines constantes Y, que

l'on obtient, dans les deux cas , les sommets des diverses ondes ; et , pour chacun d'eux , x on r s'annule en même temps que L Mais, les relations (224) et {201} ne se trouvant pas applicables pour r comparable à e^ cette simultanéité, physiquement impossible, de la production de toutes les ondes à l'endroit « = o , n'est qu'une fiction analytique , résultat des simplifications opérées, et il y a lieu de se demander, au moins dans le cas de la solution simple naturelle à laquelle conviennent déjà les formules (201) et (224), ce qui se passe , en réalité , aux points de la surface dont l'abscisse x est comparable à e. Nous l'apprendrons en partie, si nous y calculons, par l'équation (185) fp. 603], les hauteurs A du fluide.

Les fonctions F (.:?-+

ayant ici pour valeur -^ ou zéro

suivant que leur variable x -^ -^-^ est ou n'est pas comprise

entre ± £, les limites des intégrations pourront être resserrées, et, si l'on prend a; positif, il viendra aisément :

iii'fi

(pour iC <C, ê) a ^ ■ —

Posons , pour abréger ,

(227) ssW=^r(^)-f«,

sî (a) étant ainsi une intégrale que la formule (178 te) [p. 595]

ramènerait aisément à celles-ci, / (cos m^ ou sin 'nf) dm.

et chercbons-lui une valeur approchée simple dans le cas, que nous aurons spécialement à considérer , ofi a sera un nombre positif assez considérable. Une intégration par

parties, après qu'on aura substitué —d^ | donnera

<fa

Or le dernier terme de cette relation est évidemment négligeable , à côté du précédent , quand k atteint une certaine

grandeur ; car, sous le signe /, les valeurs de ■[- f ^ j , alors

aussi souvent et autant négatives que positives , cbangent

de signe pour des accroissements insignifiants de a , de sorte que cette intégrale est incomparablement moindre que ce qu'elle serait si on prenait positivement tous ses éléments, ou incomparablement moindre que j -^=— ,

quantité de l'ordre du terme précédent. Ainsi, mio expres- Hion approchée de ra («) sera, vu la formule (177) [p. 594],

1 /ï^\ V^ir

(228; (pour « a«se. gmnd) S5 («) = ^1 \=-l-

Donc, la fonction ra(x}, toujours finie d'après la formule (178 te), et égale à — ^ pour a = o , ondule ensuite , de

part et d'autre de zéro , une infinité de fois et de plus en plus rapidement, en tendant vers cette valeur zéro, qu'elle atteint pour z = x ,

Cela posé , les deux formules (226) , condensées en une seule à double signe, deviendront

' ' V < 1 ^^ Wïi^y ""' V±2(^-.}'

Chacun des deux termes de cette expression de h représente une quantité qui reste constante quand on fait varier proportionnefiement à ^ la distance, « -i- e ou :t (^ — ^)j àe& points considérés , d'abscisse œ , à l'un des bords, a; = — ë ou « = Ë , du creux primitif dq; et , de plus , cette quantité

1 , . i /2(fl;H-s)

s'annule quand le rapport — , c'est-à-dire y —^ — ou

\/il

, égale zéro.

Donc, les ondes produises peuvent être cernées résulter, dam toute l'étendue ■ du canal et même au lieu d'éTnsrsion , de la combinaison de deux systèmes égaux d'une infinité d'ondes

uniformément accélérées , nées toutes à la fois, sans célérité initiale, sur les deux bords du solide immergé, au moment ■préds de son mlèvement, et ayant des hauteurs invariables pendant toute leur pvpagation, mais infi:

celles dont l'accélération^ — — ^ '' ou = — - — . est infiniment petite éllCr^nêTne.

D'après la formule (229), dont le dernier terme change de signe avec ce — s, ces deux systèmes d'ondes s'ajoutent ou se superposent pour les points situés entre les deux bords , là où ils marchent en sens contraire , et ils y produisent une sorte de clapotement , composé d'une succession de soulèvements et d'affaissements surplace; ils se retranchent, au contraire, hors du lieu d'émersion, là où les deux systèmes d'ondes vont dans le même sens, et ils y donnent lieu , par suite , à une certaine progression apparente de la surface. Sur la limite même de cette région et de la précédente, c'est-à-dire, par exemple, au bord a; = s du creux primitif, les deux systèmes se réduisent à celui qui a pour point de départ l'autre bord ; car, si petit que soit. !e temps écoulé t , les ondes nées sur la ligne a! = s l'ont déjà quittée, en laissant établi derrière elles le repos. Ce cas excepté , les deux systèmes d'ondes ne sont encore réductibles à un seul que sur la ligne a^ = o équidistante des deux bords, là où ils se trouvent en parfaite concordance et équivalent au double de l'un d'eux.

Dès que le temps t a pris des valeurs sensibles, les variables y.=- — , a= '- deviennent très grandes,

du moins pour les points, voisins du lieu d'émersion, que nous avons spécialement en vue , et la fonction la («) peut être remplacée par sa valeur approchée (228). Plusieurs conséquences importantes se montrent alors.

Par exemple , les deux hauteurs h les plus grandes en valeur absolue (l'une positive et l'autre négative), possibles

en chaque endroit et pour chaque instant, s'oMiendronL en donnant simultanément la valeur absolue 1 aux deux, sinus qu'introduira dans ("^9) la formule (228'!. EL Ton aura delà sorte, pour tous les cas,

(230) Val. maxim.de H-/J

Quand x est beaucoup plus grand que e, ce maximum devient, comme il le fallait, celui que nous avons trouvé dans

la dernière partie du numéro précédent (p. 632), — — y ■^■

On reconnaît aisément, par la considération de la dérivée,

que sa valeur générale (230), égale à — i- au milieu du

lieu d'émersion ou pour x=çi , décroît quand on approche

du bord de cette région, œ=z, où elle est ■ — — , et qu'elle

grandit ensuite indéfiniment avec a;:, conformément à ce qu'on a vu (p. 630). Si donc on fait abstraction d'une courte période initiale , les dénivellations observées sont bien plus faibles au lieu d'émersion ou dans le voisinage qu'à une certaine distance; et le repos s'y trouve, pour ainsi dire, rétabli depuis longtemps , que des ondes très sensibles sillonnent encore , plus loin , la surface.

La formule (230) montre que les dénivellations s'évanouissent partout quant f devient assez grand. On peut en déduire que les calculs effectués au n" précédent en négligeant, dans le dernier membre de (209) [p. 620], les termes qui suivent le second , sont suffisants ; car les plus grandes

valeurs que nous y ayons considérées du rapport -j- font

déjà insensibles, bien évidemment, les masima de ±, h calculés par la formule (230). Par suite, les valeurs, encore

plus grandes, de-^, qui rendraient appréciables les termes

négligés de (209) , ne correspondent qu'à de dernières tracas du mouvement, impossibles à distinguer expérimentalement du repos.

J'observerai enfin que, lorsque le rapport dexks devient considérable, ce qui permet de prendre, à l'ort peu près,

l'expression générale (229) des hauteurs à relatives à une solution simple naturelle redonne celles qui ae déduisaient des formules (201) et (224) obtenues plus haut. En effet, s'il s'agit d'abord de valeurs de û et x ne rendant pas très

grand le rapport -■■ ■■-, on a sensiblement

et, en observant que, d'après (227), ra' («)= — "J^'f-r.lj l'expression (229) de A se réduit bien à la dérivée par rapport à ^du second membre de (201} [p. 615], sauf le changement de es en r. S'il s'agit , au contraire , de grandes valeurs do

— ^, ce qui rend applicable la formule (228) où, même, Vas

le facteur — = — '' " est réductible à — -— , l'expression

(229) donne aisément la dérivée par rapport à # du second membre de (224) [p. 629] spécifié pour z=^o : il faut seulement, pour le voir, ne pas oublier que cette dérivée s'obtient

sans faire varier le facteur —r sin -t-t , dont les change-

ments sont comme infiniment lents par rapport à ceux de

l'autre facteur sin I- — - ----).

30. — Formules fondamentales de la théorie des ondes par émersion , dans le cas général d'un bassin indéjini et d'un corps immergé de forme quelconque.

Je me contenterai, pour ne pas allonger démesurément cette étude , de montrer comment le procédé d'intégration qui en fait l'objet permet d'attaquer le problème des ondes par émersion, dans le cas général où l'on doit tenir compte des deux coordonnées horizontales x et y.\\ y divise les difficultés de la manière la plus naturelle , en débrouillant et mettant , pour ainsi dire , à nu tous les éléments de cette question, que Poisson qualifie A' assez épineuse ('). Et la méthode s'étend même , au point de \:ue analytique , au cas d'un nombre quelconque de variables analogues à a; et à y, ou qui entreraient dans les équations comme y paraissent ces deux coordonnées horizontales.

Si nous représentons par Ag le paramètre différentiel

-nr -^ —TT ■*-■•., moms le larme —, — , ou obtenu sans laire (fe* dy^ ■ ' dz^ '

varier la coordonnée verticale z, nous aurons, d'après (167)

[p. 589] j pour remplacer la première (171) [p. 592] ,