SI

équation indéfinie à laquelle continueront à s'adjoindre les deux conditions d'état initial (171),

d^f (231 dis) [pour i = o) f = o et --I = o.

On y satisfait en posant, pareillement à (173), {'') Mémoires de l'AcaiMmie des Sciences, t, 1™, p. 141.

et en dispot^ant convenablement de la fonction f. Pour

abr(iger , appelons p la variable -^-^ , dont dépend celle-ci,

et f, f" les deux premières dérivées de / par rapport à |3.

Comme -y^ et A^ ^ se déduiront de a , respectivement , en

substituant, sous le signe /, /^', '\" à /", -Jj et A^ fh f, il suffira de déterminer/, en fonction de {i, par l'équation aux dérix^ées partielles

(2331 riso„i|; = 4,/-,

pour que A^ ^ s'exprime au moyen des f" conmie il arrivait dans le cas d'une seule coordonnée borizontale x et pour que, par suite , (232) soit , de même , une solution de (231), vériiiant encore les deux conditions d'état initial (231 Ms). Il viendra d'ailleurs

expression qui, à la limite t --- o, se réduit, d'après (178 Us) [p. 595], au produit de— ^ par la fonction /(o, it;, ^, ..,z),

restée arbitraire. Et l'on déterminera enfin celle-ci, comme on a fait dans le cas d'une seule coordonnée horizontale x , par des équations pareilles à (172) [p. 592], dont la première s'écrira actuellement

(235) -^ + Aj ? ^ o

et dont la deuxième aura pour second membre Y [x,y, ...] au lieu de F [x], en y joignant les conditions f ou /"= o pour x,y,...,z infinis. Par exemple, si les coordonnées horizon-

taies sont x et y, l'emploi d'an potentiel ordinaire donnera

r ia ^ , n'exprime pas une propagation du mouvement ai

Ainsi , toute la difficulté sera de trouver une intégrale de (233) où'/' se réduise, pourP = o, à cette fonction (235 te). Or l'équation (233) a précisémeut la forme de celle du son ; et Poisson en a donné , comme on sait , pour le cas de trois coordonnées x, y, ..., l'intégrale générale , qui se démontre très facilement par la considération de potentiels sphériques , ainsi qu'on l'a vu dans la première note complémentaire (p. 335) : p y joue actuellement le rôle du rayon *■ dos couches sphériques (*).

(*) Je pi-ofite de l'occasion pour observer que, dana le cas d'un espace plan, à deux dimensions, o'est-à-dire dans le cas de deux coordonnées as, y, où les masses figurant par leurs potentiels sphériqiies au second membi-e de la formule (ç) [p. 335j ont leur densité indépendante de s et se composent ainsi do filets rectilignes homogènes de longueur infinie perpendiculaires an plan des aiy, l'éqiiation

d son ^

intégrale, ou aussi exempte de dissémination, que dans le cas d'un milieu à trois dimensions, traité à cet endroit (p. 336) , ou dans celui, plus élémentaire , d'un milieu à une seule dimension.

En effet , l'un quelconque , supposé unique , des filets considérés de matière , parallèles ans x , défini en positioa par ses coordonnées 'J:^ , j/i dans le plan des (ey , est coupé par toutes les sphères décrites , autour d'uh centre donné (x, y) , avec des nij'ons r supérieurs h la distance D ^l'[a'— a;j)2 -*-{¥— z/iP du point (iC, y'^B.a filet dont il s'agit, bien que la section soit incomparablement plus grande pour celles d'entre ces sphères qui intersectent le filet presque taiigentieJlement, ou dont les "rayons r dépassent il peine la distance D, que pour toutes les autres. Ainsi, le potentiel sphérique coiTespondant [proportionnel au quotient parc de cette section] , nul tant que !e rayon r ' n'atteint pas la valeur D, croît ti'ès vite dès qu'il la dépasse, pour décroître bientôt, très rapidement d'abord et de presque toute sa valeur maxima, mais sans jamais s'annuler complètement, quand r continue à grandir.

La propagation du mouvement dans le plan des xy, à partir du centre (a;j, ^i) d'ébranlement, s'effectue donc, vers tous les autres points ia:,y) du plan, avec la célérité constante prise pour unité de longueur et, par conséquent, sans dissémination en avant, mais avec une faible dissémination en arrière; de sorte que le repos ne se rétablit, après le passage d!une onde circulaire, gu'asymptottguement, c'est-à-dire au iowt d'un temps r ou t infini.

Bornons-nous à l'hypothèse . seule utile ici , de deux coordonnées horizontales 3),y, et (autant pour fixer les idées que pour simplifier les résultats) aux points de la surface, où^=o et où , par suite , f{o,w,y, o) devient

'F[x,y). Alors j en prenant, afin de réduire à un seul

les deux termes f de la valeur (232) de f , une expression de f qui soit paire par rapport à p , nous n'aurons (ju'à appliquer la formule (f,) du n" ,3 de la note précédente

(p. 337), avec c {x, y^z)~o et o, («, y, z] = - — F [x , y). Enfin , si nous tenons compte de l'observation (4**) qui termine ce n" 3 , il viendra

'■ dp

■ I ^)5cosH.'/i'. f ''Fte-(-3cosij,co3(l,y-(-(3cosii;sirie)i/û.

surface libre, en appelant maintenant ;3 le rapport -

\Ar=. . i yi-Tr] da— I j5c0S|i(('|A I Fji»-(-j5cOS,aCOs9,

y-i-]9co3|j.sin(i)

On voit que le temps t n'y entre que par l'intermédiaire de ;3. Or, si nous obsen'ons que , de la relation ^ —-^y on tire

dt ~ a^ dp dp '^ t dt^

la substitution de -^ à fl sous les signes / fera prendre

aisément à cette valeur de h la forme

( /. = >5^ fit, r%, n,

(2381 ,'l<(lJo ■ J. J,

Remplaçons enfin la variable d'intégration a par unft antre,

r, égale à --- ■- et donnant , par snite , f?a = — dr^

entre les limites t = (x> . r = o : il viendra

( F (fl! -H î- uos 0 , ,^ H- r sin 6) (/r.

Il suffirait actuellement de substituer à r et 9, considérées comme des coordonnées polaires autour du pôle {ce, y), d'autres variables ? = a;4-r cos 6, ti = ^-(- r sin 6, coordonnées rectangles, et de remplacerj en conséquence, rdMr

par d^dr,, ou d^dr par — '-, puis d'intégrer par rapport à

? et ïi entre les limites ^ ce , pour avoir une valeur de k dont l'identité à celle que Gauchy a donnée (') se reconnaîtrait assez facilement en mettant pour i' (y) son expression (193) démontrée plus haut [p. 607] (").

(*) A la page 236 de son mémoiee (Savants étrangers , t.. I*'', formule 1^, ou à la page 24i du tome I'' des Œuvres de Cauchy, éditées chez M. Gau{hiei'A''illai's.

(**) La seule partie un peu délicate de cette identification de la formule (239) ft la formule citée (i48), beaucoup plus complexe , de Cauchy, concernerait l'intégi'ale quadi'uple qu'introduit dans le second membre de (239) le dernier terme de l'expression (193) de ■/ (■/). 11 faudrait y prendre pour variable d'int^ation , au lieu de celle que j'appelle m, sa racine carrée, en posant m = /j, et puis observer que, l'on aurait , sous le sig'ne / coirespondant , une expression de la forme (sin v)d(—e -*'">'), qu'une intégration par parties, entre les limites v = o, v=;«j, changerait en e -*'''■' cos ■> di.

Quand la dépression primitive se réduit à un smxl de ses éléments , F (S, ïi) d^, d-n = dg, situé à la distance r du point {iC,2/), il vient la solution simple naturelle

4dq d ri t ,,

Cette expression de h se développe aisément suivant les puissances impaires de ^. Remplaçons-y, en effet, 4^' 'ï) par la série (189 bis) [p. 605], qui donne

' "^ '"" 4L 1 1.3.5 ■'■- 1.3.5... (4îj^-l)"^ "'J'

puis substituons ti 2 y la valeur -- cos [j- , et observons que

2 2.4.6... (2 « -H 2)' Nous aurons finalement, après avoir différentié par rapport

-(2. 4.6.. .2») ;2«H-3) [2»-f-5)... (4«-Hi:i-^ '"J '

formule identique à celle que Poisson a obtenue par une tout autre voie (p. 153 de son mémoire).

(240) , entre les limites de l'intégrale , excepté près de la limite supérieure, où la fonction sous le signe /cesse d'être considérable et finit même par s'annuler comme cos \>.. Ces éléments voisins de jj: = -|- ~ > ^'ù y n'est pas grand, sont donc négligeables, eu égard surtout à la forte valeur de l'intégrale.

Quant aux autres, le facteur Y (ï) ; exprimé par la dérivée du troisième membre de (177) [p. 594], y change de signe à chaque instant, et de plus en'plus souvent à mesure que j^ grandit ou que cos ^ varie plus vite : ces éléments forment donc une série de termes alternativement positifs et négatifs, diminuant très graduellement de l'un à l'autre, en valeur absolue, dès que [j. devient sensible, et dont les derniers (surtout à cause du facteur décroissant yl) sont absolument négligeables devant les premiers. On peut donc se borner à ceux-ci , c'est-à-dire aux éléments correspondant aux petites valeurs de |i, qui font varier cos 1^ et 4'' (y) avec une rapidité bien moindre que les autres.

Or, ces valeurs rendent y sensiblement égal à -j- [1 s-);

ou môme à — ; et 4'' [i], d'après (177), y est réductible à

cos \~

Par suite, vu que. des valeurs tant soit peu sensibles de y. font très grand le rapport -^ , l'intégrale paraissant dans (240) devient, à fort peu près ,

~— cos -, I . cos ——■ (ï[i-(- sin . I sin — — rfjt ,

OU bien, par l'emploi des deux dernières formules (() [p. 403], dans lesquelles on fera n --= o, m = — ^ ,

yGoosle

La dérivée de cette expression par rapport à t est sensiblenieni.à cause delà très jurande valeur de -r-, — '■ — — cos- — .

Donc, en définitive, la solution simple (240) peut se réduire à

'242: pour — assez ffraiid h = -— cos - — ,

Klle est bien d'accord avec celle qxie Caucliy a obtenue f) , et dont il a déduit, par voie de superposition ("), les lois des ondes d'émersion' circulaires , ou autres à profil horizontal également courbe, pour diverses formes du solide immergé, et, en particulier, pour celle d'un paraboloïde elliptique ayant son axe vertical, qu'avait déjà considérée Poisson.

L'analogie de la solution simple (241) ou (242) avec celle qui se déduit de la formule (201) [p. 615], pour le cas d'une seule coordonnée horizontale x, et qui est. d'après (203), (189 Us) et (177) [p. 616, 605 et 594] ,

ou, quand -- devient très grand,

suffit d'ailleurs pour reconnaître que ces ondes présentent

{*) Formules 175 et 179 de son mémoire , p. 242 fit 243 , ou Œuvres , t. F', p. 247 et 248.

(**) P, 243 à 279 du mémo mémoive, ou Œuvres, t. 1"', p. 249 à 285.

les mêmes caractères généraux que les ondes rectilignes ou cylindriques d'émersion propagées le long d'un canal , et, notamment, qu'elles sont uniformément accélérées comme celles-ci. Mais elles diminuent plus rapidement de hauteur

à mesure que leur parcours r augmente, car, pour —

constant, les formules (243) et (243 Us) font varier A en raison inverse de la distance r, tandis que les formules (241) et (242) donnent h inversement proportionnel au carré r^ de cette distance.

SI. — Des oncles par impulsion.

Les lois des ondes produites, par impulsion superficielle, dans le liquide en repos d'un canal ou d'un bassin quelconque, se déduisent immédiatement de celles des ondes (|u'y ferait naître l'enlèvement brusque d'un solide, supposé immergé préalablement à l'endroit môme où s'exercent les impulsions proposées et jusqu'à des profondeurs h égales numériquement, sur chaque verticale, à l'impulsion effective éprouvée par l'unité d'aire. Il n'y aura qu'à prendre la dérivée, par rapport au temps ^ , de la fonction f relative à de telles ondes d'émersion, pour avoir l'expression de f convenant aux ondes par impulsion considérées. En effet, la

dérivée -^ vérifiera évidemment , comme « . la deuxième

équation indéfinie (152) [p. 578] , i, ^ = o , ainsi que la

relation (157) [p. 581], ->- -tj- = o, spéciale à la surface

vitesses à la normale dn de la surface limite, qui concerne le fond ou les parois. Donc, il suffira, pour que cette dérivée soit la fonction ^ cherchée , relative aux ondes par impul-

sioii, qu'elle satisfasse aux conditions d'état initial, qui seront, d'après (155) et (156) [p. 580J,

(244) (pour ï et d nuls) if = P,(a!,y), — = o.

Or c'est justement ce qui aura lieu; car, par hypothèse, la fonction f proposée, relative aux ondes par émersion,

vérifie, pour ^ et ^ nuls, les deux conditions k ou -j=^i {^iV)^

w ou — =0, dont la seconde revient à -^=--o d'après la di ' dt^

relation spéciale à la surface libre. Ainsi , la dérivée de f par rapport à t est bien une fonction ayant, pour z = o, sa dérivée en t nulle initialement et sa propre valeur initiale exprimée par Fi [x, y].

On n'aura donc, s'il s'agit, par exemple, d'ondes cylin^ driques superficielles par impulsion, propagées le long d'un canal, qu'à changer F en Fi eidq, ou ¥{i)âX, en (?^i=Fi(^)(?£, dans les relations (184), (185), (197), (198), (200), (201), (203), etc., puis à remplacer tous les seconds membres parleurs dérivées par rapport à t , pour avoir les formules des vitesses, des hauteurs, etc. Il est clair, vu la quasi-périodicité de la fonction -î-lr) et, par suite, l'analogie de cotte fonction avec ses dérivées, que tousjes traits généraux seront les mêmes; notamment, que les ondes soit saillantes, soit creuses, se trouveront encore uniformément accélérées ; qu'elles correspondront encore , du moins dans le cas d'une solulion simple naturelle, à des valeurs du

rapport ^sensiblement distantes de ■^\ qu'elles ne tarderont pas à constituer une infinité de houles régies par les formules (217) ou (224) , à cela près qu'il y paraîtra un cosinus au lieu d'un sinus et qu'il y aura de plus, en coefficient, le facteur -x- ou A; etc. Mais il est bon de remarquer <[ue Ifls ondes y décroîtront beaucoup plus rapidement , du

moins nus grandes distances ; car la difrérentiation par rapport à t introduira partout en plus , toutes choses égales

d'ailleurs, ce facteur ■^= (^] — , qui sera, pour chaque

onde en particulier , inversement proportionnel au temps ou à la racine carrée de la distance parcourue. Par exemple, les premières ondes , dont la hauteur décroissait en raison inverse du carré du temps écoulé t quand elles avaient été produites par émersion , s'abaisseront ou s'aplatiront maintenant en raison inverse de son cube ou de la puissance f de l'espace x parcouru.

Par contre , quand un certain temps se sera écoulé , les ondes qui continuent à se former au lieu d'impulsion s'effaceront moins vite lorsqu'on approchera de ce lieu, et moins vite aussi à mesure que le temps grandira. Bn effet, leur hauteur maxima possible (|ui, d'après ce qu'on a vu à la fin

du n" 28 (p. 633), aurait été de l'ordre de — — sans l'introduction du nouveau facteur — - . se trouvera, en réalité,

comparable à — ^-, expression qui tend vers zéro , mais

moins vite que la précédente , soit quand la distance positive X décroît , soit quand t grandit. Il est même digne de remarque que , si l'on pouvait supposer l'impulsion primitive par unité d'aire, F, (S), brusquement variable d'un point de la surface à l'autre et, par exemple, finie aux limites x = -^l hors desquelles elle est nulle, les hauteurs maxima possibles auraient en moins, comme on a vu au même endroit [p. 632] , un facteur de l'ordre de — ; d'où il suit que ces hauteurs possibles seraient comparables à —i. Elles res-

feraient donc les mêmes à toute époque et très grandes aux petites distances «, jusqu'à ce que les ondes observées,

devenant, à cause des facteurs sin |- ^) ou cosf-; -\.

de plus en plus courtes , et de plus en plus lentes dans leur propagation , à mesure qu'on les considérerait en des points de moins en moins éloignés de l'origine ou après des temps t de plus en plus grands , fussent trop aiguës pour se soutenir; et déferlassent.

Ce fait ^nalyti([ue permet de comprendre comment il arrive que la surface de l'eau d'an bassin se couvre, aussitôt après un coup de vent, à l'endroit même oîi il a soufflé, d'un nombre considérable de rides très rapprochées-, assez persistantes et presque immobiles.