ADDITIONS A LA NOTE II
Addition au n" 5 (p, 375}. — Démonstration plus simple des propriétés de l'intégrale dè/înie considérée dans ce numéro 5.
La fonction
où p désigne un exposant constant quelconque, peut se déduire de l'intégrale définie plus simple (5) [p. 360J, Il suffit , pour cela , de poser, dans celle-ci , .f = r'^ ou ^ = rj, et d'observer que, -^ et -^ pouvant s'écrire respectivement
27-g)}sl2|-(^)l,les deu. fonction. A g), 'i (|î) paraissant dans l'intégrale définie (5) deviennent deux autres fonctions /J (~\ eti{'i (-^-j) [non moins arbitraires que les précédentes f et à'] des deux nouvelles variables
D'ailleurs, la formule (6) [p. 361] ne se transforme pas moins simplement. D'une part, la relation existant entre s et r y donne
éf p 1 — 3 da
d'autre part, la dérivée do l'ancienne variable 2p'"Y^J' par rapport à la nouvelle variable — , étant 2"? ou — a ^ on a
Ainsi les deux formules (5) et (6) [p. 360 et 361] , où l'on pourra finalement effacer les indices de /i et i^i , deviennent, l'une, la nouvelle formule [a), l'autre, en supprimant de
ses deux membres le facteur commun |-, la relation
-sr'Q^ii'-'--
Pour donner à celle-ci sa forme définitive, appelons q un nombre lié hp par l'équation
[Cl i-^i-^1, ou p~l^^, q~\=t,
V î if
de sorte qu'on ait
a""- d^ nu -^ d.^-^ = -^ d. ;
et posons
\d) «f = ,3 ou «P=p^.
yGoosle
La quantité sous le signe /, dans (Ô), se transformera en celle-ci ,
De plus , p variera , comme a , de zéro à l'iiifini , et dans
verse si ce rapport est négatif. Il viendra donc , dans les deux cas, au lieu de la formule (ô), en représentant par
y —^ la valeur absolue de — et multipliant les deux
membres de (b) par cette valeur absolue ,
Telle est la relation , évidemment identique à (30} [p. 378] , et se réduisant à la formule (6) dans le cas particuîier^ = §'— 2, qui exprime la propriété caractéristique de l'intégrale définie {a). On voit, en y remplaçant p par a. et en comparant le second membre de(e) à celui de (a),
que la fonction \/ ~ r'~p -z- est de la même forme que a,
sauf la substitution de ^' à {j et le remplacement de p par q ,
al r^
suivi de l'échange des rôles des deux variables — et — . Par
suite, en traitant le second membre de (e) comme on a fait pour celui de [a), il viendra
ou bien , par î'effectuation des calculs ou premier membre , et vu la relation (c),
r Or Jo
C'est justement la formule {a) de la page 396. D'ailleurs le premier membre représente, comme on sait, le paramètre ia <f , quand r'^ exprime la somme x^ -*- p^-+- ... et que
l'on prend 1 = m^l ou ?> = -—, m désignant le
nombre des variables x, y. .... Ainsi, dans ce cas , le paramètre différentiel A3 de la fonction cp s'obtient bien en remplaçant simplement, sous le signe /de la formule («), chacune des deux fonctions /, 4' par sa dérivée.
Addition ad n" 22 (p. 499}. — Extension de la loi de Thomas Young , sur l'effet de début d'un choc longitudinal, au cas où la barre n'est pas cylindrique , mais en forme de tronc de cône, et autres lois d'un tel choc , pour rnie barre de longueur indéfinie heurtée à son petit bout.
Quand la barre, qu'on peut supposer, comme on a vu , s'étendre dex=oax = o:} lorsqu'il s'agit d'étudier uniquement la période de début du choc, n'est pas cylindrique , mais en forme de tronc de cône , du moins aux environs de son extrémité heurtée , la loi de Thomas
Young — 9 = — s'y applique encore. Elle y régit même,
non seulement les déformations de début qu'éprouve l'extrémité heurtée, mais celles qui se produisent, à des distances xde plus en plus grandes de cette extrémité, aux moments où s'y propage l'ébranlement du choc, à la condition, toutefois, d'appeler v les vitesses effectives qu'on observe alors à ces endroits, vitesses inversement proportionnelles à la racine carrée des sections ainsi atteintes successivement.
Pour le démontrer, admettons (comme il est évidemment permis de le faire, toujours pour la période de début où le mouvement n'a pas encore franchi des distances
notables) que la barre soit conique de x=^o à ^ = ûo, sauf, dans le cas où les sections iraient en diminuant, à se continuer au-delà du sommet par un cône opposé, compris entre les génératrices du premier prolongées. Mon intention n'est pas, d'ailleurs , d'examiner en détail les circonstances propres à ce cas. Appelons — c l'abscisse , négative ou positive, du sommet du cône, de sorte que la barre ait ses sections normales i proportionnelles à {w-i-cf: sa niasse par unité de longueur [en continuant à prendre pour unité la masse de l'unité de longueur du tronçon keurté] et sa tension sur ses diverses sections ^ seront , en conséquence , les deux produits respectifs d'un même
facteur constant par {x -+■ cf et par w^ {x -i- cf -j-.
L'équation indéfinie du mouvement,
dt^ dx \ clx j M \ dwj
devient donc , par une suite de transformations évidentes.
ou enfin, en divisant par x-*-c,
dt^ '" (&*
Ainsi , le produit {x -^ c) f est régi par ré(iuation de d'Alembert, comme l'avait remarqué M. de S*-Venant dans un article du 30 mars 1868 (') qui a donné l'idée de l'Addition actuelle; et il en résulte que son expression générale se compose de deux termes de la forme /'(w^^^a;).
(*) Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, t. LXVl, p. 650,
Mais les conditions y = o pour t — — x etf^o pour a; = oo obligent encore à annuler ie second de ces termes, celui dont la variable estw/-i-a;; et il vient au lieu de l'équation (143) [p. 498], avec une fonction arbitraire /",
[143 ^^s) {p-^c]<st = fU — (i).
On en déduit immédiatement , en différentiant soit par rapport à ^, soit par rapport à «,
:)-4-ou \^-k-è--,'B = '4'U>t — x],
(a, ^- c) -^ -H ? ou (a< + «) 3 ^- ^ ^ — Z' (*.i - a^;
et, par l'élimination de f {v>t — x), \\U:his) 5 = ^^^— ï— ou —3
Or, dans la période de début du mouvement sur une section quelconque, le déplacement y est encore insensible que déjà la vitesse v à reçu ses plus grandes valeurs, et l'on peut poser ï = o ; ce qui réduit bien la formule (144 lis) à la formule (144) [p. 499]. D'ailleurs , la formule (143 his) et la première (143 ter) montrent que , si l'on suit l'onde dans sa propagation effectuée avec la célérité constante w, les produits (a; + c) fp , [x^c)v restent constants , ou que les vitesses v et les déplacements •{> apportés sur chaque section sont en raison inverse de la racine carrée de celle-ci, comme il a été dit plus haut.
Occupons-nous maintenant de déterminer la fonction arbitraire /. Nous aurons encore, pour cela, la condition (145) [p. 499], spéciale à l'extrémité heurtée x = c, et où \i. désignera la masse du corps heurtant rapportée à celle de l'unité de longueur du tronçon heurté. Portons-y donc
l'expression — '- de y , et , en posant finalement al — 9,
puis divisant par , il viendra
(146 fe) r (fl) -^- r (fl) + — /(e) = -\ F' (-).
C'est une équation linéaire avec second membre, aisément intégrable, à laquelle il faudra joindre les deux conditions initiales f( — oo)=o, f{ — œ)=o, ou même /"(o) =o,
/'{o) = o, puisque l'impulsion par unité de temps, F' [— )
= F'(^, ne commence à différer de zéro qu'à partir de l'instant t = o.
Bornons-nous au cas d'un choc, où cette impulsion s'annule définitivement pour (! ^ e et où , durant l'instant très court compris de (=o àt=s, la dérivée seconde f" (S) est incomparablement plus grande que la dérivée première f (S) et, à plus forte raison, que la fonction /'(S) restée insensible. Alors la relation (146 bis), multipliée par dH = tùdt et intégrée de ^ = o à ^ = e, donne, à fort peu
près, /^(î) = — F(^)) "le sorte que, l'impulsion totale F (e)
du choc étant u.V, il vient sensiblement, comme conditions initiales par rapport à tout le temps ultérieur à l'époque
i^s, f[s) = o, f (s) = — . Pour tout ce temps, l'équation
(146 Ôî's) est sans second membre, et s'intègre de suite. Si, pour simplifier, l'on regarde, d'une part, s comme nul, que, d'autre part, on pose
k désignant ainsi la racine carrée positive de la valeur
^ (poiip.«<») /(») = «.
formule OÙ le sinus hyperbolique s'emploie quandle binôme
1 — —est positif et, le sinus ordinaire, quand ce binôme
est négatif. En remplaçant, dans (147 àts), 6 par au — w, puis divisant para: -h c, on aura l'expression générale des déplacements ». Ceux du point heurté a; = o seront
(pour ic = o et t'^ o] 2iiV __±/ . èo>t
Quand la barre est prismatique ou cylindrique , on a
c=—'^', d'où 1 ^= 1 = .+- ^^^ ^= 1 ; et la formule
(148 Ms) , en y remplaçant le sinus hyperbolique par Q (e^ — e"^}, se réduit bien à la seconde (148) [p. 500].
Je me contenterai d'étudier spécialement le cas où c se trouve positif, c'est-à-dire le cas où le bout heurté de la
barre est le petit bout. Alors l'expression :t A^ = 1 — — , quand elle a le signe plus, n'atteint pas l'unité , et ^ y est la tangente hyperbolique d'un certain arc positif y, croissant avec 0 qui y varie de 4['- à x . Lorsque , au contraire,
cette expression 1 = ± A^ est négative, owc compris
entre zéro et 4.u , k égale la tangente ordinaire d'un arc y variable en sens inverse de c et compris lui-même eïitre
(pour jC = 0 et ( ^ o] [149 iù) l 1 sinhyp '^^ '^^-'^-^ ,b ^^?^-
tgtypv tQDg'/
Différentions deux fois par rapport à ^ et , en substituant à taughypT ou à tangy un rapport de sinus à cosinus, puis appliquant, après chaque différentiation , la formule du sinus d'une différence ou d'une somme, il viendra :
Iponp » = 0 61 ( > »)
sinhjpÇ,— ||-lghjp7J !
}il ''' ':■
L siohjp.
sin 7
l 8inkvp(2r— l^tgljpjj
■•■."L sinlijp2r
ri»2,
3= -I fpouraî — o), montre, vu la seconde formule
oi' dp ■'
(149 ^er), que la compression — 3 (à l'extrémité heurtée)
tend à changer de signe, et que, par conséquent, le choc
se termine, au bout du temps
Ce temps est d'autant plus long que c est plus grand ; car, P, quand il y paraît une tangente hyperbolique, T croit avec y, alors variable dans le même sens que c, et, 2", quand il y parait une tangente ordinaire , T diminue , comme c, à mesure que y augmente.
Ainsi , la durée du choc , mpnie dans le cas de la barre prismatique sans f,n, cesse de l'êire dans celui d'une barre
conique tronqtiée , de longueur indéfinie , mais heurtée à son petit hout. D'après la première formule (149 ter), cette durée totale du choc se partage également entre ta période de
compression croissante , où la vitesse ~ est positive comme Vj et la période de détente , où la vitesse -^ est négative.
Mais cette détente est moindre que la compression; car, dans la formule (149 Us), le sinus hyperbolique est essentiellement positif et, le sinus ordinaire , positif aussi pendant toute la durée du choc, vu que la plus grande valeur de l'arc y est 2-[', quantité toujours inférieure à -^ quand il y a lieu de prendre ce sinus ordinaire. Le déplacement cp de l'extrémité heurtée ne revient donc pas à la valeur zéro , du moins pendant le choc.
Le plus grand déplacement du point heurté s'obtient en portant dans (149 bis) la valeur moyenne
correspondant à -~ = o. On trouve ainsi , en exprimant le
sinus hyperbolique ou ordinaire de l'arc y en fonction de sa tangente analogue et se rappelant que le carré J^ de
cette tangente vaut;;!: 1 -) ,
x^6) Déplacement max. ^: — \ xic e (tghypv
feîag^)-
A l'instant t — 'V où le choc se termine , la vitesse de la
masse heurtante est, d'après la première (149 to-), — Ve^a^
ou — V e (tg hyp ; aa tang ■/) ■ La perte de force vive qu'a éprouvée cette masse par l'effet du choc se trouve donc d'autant moindre que le choc à été plus court , ou mieux , d'autant
moindre que le rapport — , dont dépendent k eîf , est plus
petit : elle serait nulle, si l'on pouvait poser — ~ o (d'où k = tang y = GO ), c'est-à-dire si le bout heurfé se réduisait à une simple pointe.
Pendant la détente libre qui suit le chcîc, on a — 3 ou — —=0 [pour iC = o) j o'est-à-dire , d'après la formule (143 bi^) et la seconde (143 ter) [p. 657],
(pour (>T ou a>«T) '-LJ-v-/-(r„ij=o ou/" (6) -^ -/■(O) =o,
équation dont l'intégrale est, en observant que la valeur de /■(B) au début de cette nouvelle période égale la dernière, /■(wT), que donne la deuxième formule (147 bis),
(149 qmter] (pour 6 > t^T) f\fi) = /('^T) e ~.
Il en résulte pour f{^) et, par suite, pour la vitesse —t- de l'extrémité a; = o de la barre, des valeurs absolues décroissantes, dont la plus forte correspond au premier instant où Ton a eu ainsi — 5 = 0, c'est-à-dire à la tin du cboc , ou à la vitesse négative gardée par la masse heurtante. Donc l'extrémité heurtée ne rejoint jamais plus cette masse': la détente libre aune durée indéfinie, et la formule (149 jMtïfer} fait connaître toutes les valeurs de /(S) qui restaient à déterminer, savoir, depuis 9 = uT jusqu'à S = co .
On voit que. pendant la détente libre, ie déplacement pofU] sitîf, ~ — , de l'extrémité heurtée décroît graduellement
jusqu'à zéro. Ainsi, la barre revient asymptotiquoment, pour t—ixi , dans sa situation primitive , car il en est évidemment de même pour tous ses tronçons successifs. Le mouvement qu'elle a pris au corps heurtant se propage dans des parties de plus eu plus éloignées et de plus en plus grosses, où il cesse d'être sensible.
Cherchons enfin , toujours en supposant positive, pour fixer les idées, la vitesse V du choc, quelle est la plus
forte contraction — D produite durant tout le phénomène. La seconde formule (144 bis) donne, vu les valeurs de tf et « tirées de (143 Us) et (143 ter),
f [ut — ff)
Comme la fonction f{<ùt — œ) est sans cesse positive, cette expression de (iS-t-c)( — 9) diminue quand, \ùt — «ne changeant pas, X grandit. Ainsi le mouvement, en se propageant le long de la barre avec la célérité <s>, y produit des contractions — ») plus rapidement décroissantes que l'inverse de ip -I- c, c'est-à-dire encore plus que ne le sont les vitesses et les déplacements correspondants. C'est donc à l'extrémité heurtée a;= o, et d'ailleurs, évidemment, avant la détente libre, qu'a lieu la contraction la plus forte. Reste à savoir à quel moment elle s'y produit. A cet effet, rappelant qa'on a, poura;=^o, — 3 = — ^~^^
on cherchera la dérivée par rapport à # de ^ , en dîffé-
rentiant la seconde (149 ter) [p . 660] . On trouve ainsi que cette dérivée a le signe du facteur — sin hyp (3-|' — ^ tg hyp y] ou — sin [3i' — ^tangY). Or ce facteur ne cesse pas d'être
négatif de t—o à ^=Tj sauf dans le cas C'C^, où il est d'abord positif et ne devient négatif qu'à partir de
f^^JtJL — l:, vuque3r=3arctg\/ -^ — 1 dépasse alors tt.
Donc , quand la Tuasse heurtante \i. est inférieure à c , ou ait triple de celle du cône qu'il a fallu détacher de la barre {supposée avoir été d'abord parfaitement conique) pour en faire la baiye troncomqu.e donnée , la contraction — ô produite à l'extrémité x = o décroît pendant tout le choc, ou jusqvfà ce quelle y devienne et reste nulle ; et sa valeur la
plus forte est celle de début , — , que fait connaître la loi de Young. Au contraire, quand ;j dépasse o, la contraction la
plus forie , au point heurté x=0) a lieu potn' ^ = — ^ '^ ■ , et, d'après la seconde formule (149 ter), elle est
esypressmi où l'exponentielle, minima pour y égal environ à 74° 38'| ou 1,3027, c'est-à-dire pour V i^ = -^ = 1,887,
et valant alors 0,8101, descend assez peu, comme on voit, au-dessous de la limite supéHeure 1 qu'elle atteint soit pour Y z= -L TT OM jj. = c j soit pour y^-^v: ou {j- infini. On remarquera l'analogie de ces lois avec celles du choc transversal étudié au commencement du n" 23 (p. 505 à 508).
Si la barre n'était pas indéfinie, mais d'une longueur donnée ^ , une condition relative à sa seconde extrémité a; = l, condition qui serait, par exemple , =p = o dans le cas de fixité de cette seconde extrémité , entraînerait une réflexion du mouvement vers la première extrémité; et il faudrait , pour exprimer ce retour des ondes, ajouter au second membre de (143 te) un terme comme — f{<at-*-a; — 21), d'après les considérations exposées au n" 23 (p. 509). Alors la détermination de la fonction /se ferait par les procédés suivis à cet endroit du Mémoire pour une barre cylindrique; mais les résultats seraient plus compliqués, et c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas. Je remarquerai seulement que l'influence du nouveau terme, tel que — /"(w^ -^ x — 2^), ne se ferait sentir sur l'extrémité heurtée a; = o qu'au bout
d'un temps 2— après le commencement du choc ; en sorte
que les lois précédentes, établies dans l'hypothèse d'une longueur indéfinie, continueraient à s'appliquer, du moins à l'extrémité heurtée , durant un temps égal au double de celui qu'emploierait le son pour parcourir toute la longueur de la barre.
NOTE m {'). EXTENSIOK, AUX SOLIDES HÉTBBOTBOPES LES PLUS SIMPLES,
c'bst-a-birb aux solides isotropes déformés, DBS LOIS d'équilibre et
DES LOIS LES PLUS IMPORTANTES DE MOUVEMENT BBMONTBBES DANS CE'RB ÉTUDE POUR LES SOLIDES ISOTROPES.
