Lois d'équilibre
11 est facile d'étendre â un solide isotrope que l'on a modérément déformé d'une manière permanente par des tensions ou des compression? inégales suivant les divers sens, mais qui est resté homogène, toutes les solutions de problèmes d'équilibre données dans le Mémoire principal ci-dessus (p. 15 à 318) Les formules des forces élasticiues d'un tel corps hétérotrope ont été découvertes, en 1863, par M. de Saint- Venant, et j'en ai donné une démonstration très simple dans un mémoire du tome XIll (année 1868) du Journal de Mathématiques pures et appliquées ('*). En
(*) Insérée après l'iiupreasion du mémoire principal (p. 15 à 318).
(**) Mémoire swr les ondes dans les milieua: isotropes déformés. Si , dans les formules {6] du § I" de ce mémoire. Von pose K i=o, pour espiimer que le solide isotrope proposé était d'aboi-d à l'état naturel , et p ^ o , pour exprimer l'annulation finale , après que leui's effets sur la contexture sont produits , des ti'ois tractions (ou pressions) défbrmati-ices principales A , B , G , proportionnelles à ti-ois petits nombres a, 6, c de l'ordre des dilatations ou contractions persistantes subies par le coi'ps suivant leurs sens reapectits (qui sont ceux des œ, y, s), ces formules (6) deviennent, identiquement, en tenant compte de la relation (7) qui les suit ,
,/ ,du ,dv ■ dw\ du „ idv du>\
(a) Ni = ;s'U' — + '' 1-/ — H-ldmi2 Ti = w^v( H — l.etc. ,
^ ' \ dx dj/ ' ds/ dx Vdï dyl
oii /, m désignent les deux coefficients d'élasticité [J, /i de Lamé) du solide isotrope primitif et a, f', y, î', '/, ■/' les six coefficients numériques suivants, dont les excédents sur l'unité ont leurs caiTés et pi'oduits négligeables ,
accentuant, pour éviter toute confusion, les expressions, x, y, z, u, z>, w, des coordonnées (d'état naturel) et des dépla-
l', l", m', w," étant enfin, comme i et m , des constantes spécifiques relatives au solide iaoti'ope primitif, ( Toutefois , pour rendre les formules plus symétriques , j'ai modifié légèrement les notations du mémoire cité , dans lequel V et l' remplacent ce qui est appelé ici — V et i'-i-i"). Or on remarquera que ces expressions de -'. p, /, i', '/, ■/' donnent la proportion
et il serait peu naturel que les différences respectives survenues entre a', p', / (d'abord égaux à 1) fussent constamment entr'elies comme les différences analogues de 1, '/, ■/, sans que -/, ;/, / fussent eus-nièmes entr'eux comme a, p, ■/.
af f/ ■/ On est donc porté à supposer égaux les trois rappoi'ts — , —, —, dont les
valeurs sont
et, par conséquent, à supposer les deux coelScients constants l", m" proportionnels a l , m dans tous les solides isotropes réels. Alors , en remplaçant m par ;/. et appelant ). le produit de l par
rèsj , qu'a
Les considérations suivantes portent à penser que m" et ("sont positifs comme m et l. Admettons qu'on ait a < o, t^=o, c=; o, (d'oii7 = ;^, ■/■=.•/), ou que les actions déformatrices aient consisté en une simple pression normale exercée suivant l'axe des x. Alors les éléments plans normaux aux œ ont été rapprochés les uns des autres et, les éléments normaux aux y ou aux s, écai-tés les uns des autres, mais dans une proportion moindre; ce qui doit vraisemblablement, toutes choses égales d'ailleurs, rendre les actions élastiques ultérieures, soit normales, soit tangentielles, exercées sur les éléments plans pei-pendiculaires aux X , plus grandes que celles , de nature analogue, qui le sont sui- les éléments [ilans peipendiculaires aux y ou aux z, et qui résultent de déplacements parallèles au plan des yt ou effectués sans que varient les distances des couches normales aux X. Donc les coefficients, f «'jî', (*'*-*- 2m »*, de l'expression de Ni, seront respectivement plus grands que ceux-ci, t^'\ i ,'/* -t- 2 m ^*, des expressions de Nî oude Ns.et le coefRcient, Wjî, des formules de TîOudeTs, sera plus fort que celui, m^î, de la formule de Tj. Il viendra ainsi j'^,î', '^h "u, d'après les formules (S), l" 'yo, m"^ o.
céments des divers points, ainsi que celles des composantes Nj T de pressions exercées jiar unité d'aire et celles des
Les formules (i) du teïte ont été obtenues directement par M. de Saint-Venant (sous la condition i = y), en supposant non seulement que l'action de deux molécules intégrantes du solide est une simple fonction de la distance de leurs centres de gravité, mais aussi qu'elle reste telle et conserve la même expression quand il survient de petites altérations persistantes de la contexture, c'est-à-dire un nouvel étal ttaturel. Peut-être cependant est-il difficile de concevoir «ne altération de la contesture autrement que comme on changement, dans le groupement des molécules chimiques en molécules intégrantes , suffisant pour modiSer tout au moins la forme de celles-ci et leurs actions mutuelles ; car, sans cela, de petites défoN mations quelconques exigeraient , pour subsister , la pei-sistance indéfinie des pressions qui les auraient faif naître , et l'annulation finale des forces déformaùices A, B, C entraînerait par conséquent le retour ii l'état primitif.
Ainsi , l'hypothèse de la conservation des molécules intégrante^ dit solide et , par suite , de la continuation de leurs actions mutuelles , ne se concilie guère avec la donnée expérimentale (que M. de Saint* Venant accepte et utilise sans discussion) de la peraistance de déformations qu'aucune pression n'accompt^ne plus; et il convient de s'en tenir h la démonstration , approuvée du reste par M. de Saint- Venant , que j'ai donnée des formules (n) et (6) ci-dessus. J'y admets simplement , comme point de départ , que les coeflicients d'élasticité du cOFps , resté symétrique par rapport aux plans sur lesquels se sont excereées les actions déformatrices principales A, B, C, ontacquis de petites parties fonctions linéaires de A , B , G ou de a,b,c. Et il suffit , pour arriver à ces formules (o) et (6) -, d'obseiTer en outre : 1", que Nj et Ti restent les mêmes quand on permute j( et a, t) et w, & et c ; 2°, que Nj et Tî, Ns et Ta se déduisent de Ni et Ti par une ou par deux permutations circulaires effectuées 6 la fois sur x, y et », a, v et «j, 0,6 et (;;3°, enfin, que, dans le cas A = B ou a=; 6, le corps ne cesse pas d'être isotrope autour de l'axe des s , en sorte qu'une rotation infiniment petite Xr des axes autour de celui des ï ne modifie pas les expressions des forces élastiques.
La démonstration devient même plus brève en se contentant d'exprimer que ces diverses transtbi-mations ne changent rien à la formule du potentiel d'élasticité *, fonction homogène du second degré des sis déformations
^"^ dï rfj/'^'^ dx ds'^"'^ dy lie'
et dont les dérivées respectives par rapport à ces six déformations expriment , comme on sait, les forces élastiques Ni, Nî, Ng, Ti, Tj, T3. Et d'aboi-d, comme les changements soit de ic eu — œ et de « en — m, soit de ^ en — y et de « en — v, soit de î en — « et de w en — «i , qi;i Ij'ansforment respectivement g^^, et g^^ , g^g et g^j, gj,j et gjj. en leurs contraires , ne doivent rien changer à la formule de ih, celle-ci ne contiendra g„j. g^j,, g^^ que par leurs carrés. Ainsi, l'expression de ^|^ comprendra seulement : 1", trois termes en 3*, 3J, &*; 2°, trois termes en 2 S^ Ô^. 2 3, t):,, 2 3^ 9j,; 3\ trois termes en gj^, g^^,, g^^. Il est
composantes X, Y, Z de la force extérieure appliquée eu {x\y\z') à l'unité de volume, ces formules sont
clair d'ailleurs que les tootlicients, linéaires en a, 6, e, des trois lernies du premier groupe , seront de la forme
Car le premier, par exemple, affectant J*, doit évidemment se trouver symétrique par rapport à 6 et c. De même , dans les trois termes du deuxième groupe , 2 ôj, t)s> 2 ôjSa:, 2 ()j3y auront les trois coefficienis respectifs
i + r („ ^ 6 4- c) + r' (a, 6, c) ec , dans le dernier gi'oupe, les coelficienta de g^^, gj^, g^^ seront
Enfin, si b, égalant o, on effectue une rotation élémentaire »• de l'ensemble des axes des a;, y, s autour de l'axe des a, dans le sens des ai vers les y, les formules classiques de la transformation des coordonnées montrent que w, u et mi seront
remplacés par m
(% rfy
et-^; &^- 9^, 5î,gïî,g,ietg^part)^-tg^, ^>^^-ï'gJ,J,, S^, g^s+^g^, ëî^—'^Syîi Bij -t-2t (5^— 3j^), et, on conséquence, S* -H 3j , ^\, (Iy9î + 3î9s' Sa;^!,' gvs"^8L' g^^ ! l'espectiveraent, par
i ^'-^-()?-2tg^^(3^-a^), ô^, a,ô,-^t),a^,
Les nouveaux termes survenus de la sorte dans l'expression de 2 't seront donc en tout, à part le facteur commun 2 1 gai, (t)j, — ()j). - [n + «'(2 a + c) H- n"o] ^- [; ^ r(2 a H- c) 4- r.^] + 2 |m + m'{2a -4- c) -H »«"c]
(»+/-H2m)-H(-«'-Hr+;"-H2m'-4-2ni")(2a + t)-(«"H-2/"-i-4m")o; et, comme leur ensemble doit se réduire à Kcro pour toutes les très petites valeurs tant de c que de a, l'on aura
m=iH-2m, «'=('-(- J"-H a (m' +»("), »"= — 2{i"-t- 2 m").
On peut donc élirtiiner », »', m", et l'expression générale de 2 ^" (dans le cas de a, h, c inégaux) devient aisément, vu les valeurs (6) de s, ,3 , y, ■'■', ?', •/,
Enfin , les dérivées de la ruoitié de cette expression par rapport aux six déforiiialions ;), g donnent les foonules cherchées (a) des N, T.
■\ âd ^ dy' ' d/ I du' dv dt^
\ dd ^ d^ ' d/
l du' dp' dtif
r ~d^^^i^'^''ii
„ , idv' dw'
^ du"\
où (JL désigne , par exemple , le coefficient de l'élasticité de glissement dn solide isotrope primitifj X un autre coefficient d'élasticité et a, p, y trois coefficients numériques assez peu différents de l'unité. On a d'ailleurs, comme équations indéfinies de l'équilibre
dS,' W
dî'
Or, si l'on imagine , à côté du solide hétérotrope proposé, un solide isotrope dont les coefficients d'élasticité soient À, ;-k, et dont les divers points {X;y, z) correspondent aux siens {x', y\ /) ayant les coordonnées
ir' = aV^ /=ïV^,
si , de plus j ce solide isotrope éprouve les déplacements u, V, m définis par les formules
les composantes X, Y, Z de la force extérieure que supportera en [x, y, z) l'unité de son volume seront celles résultant des relations , analogues à ('3),
[5) X'^XVT^ X'=Y\iJ, Z' = Z\f^,
et, de plus, ses éléments plans normaux aux x, y, z éprouveront des pressions N, T régies par les formules simples
C'est ce que l'on reconnaît en transportant dans (1) les valeurs (4) de u\ v', w', puis remplaçant, tant dans (1) que , ,^ d d d Ididld^-^^.
dans (2), -r-.-, -r?-, "T7 P^r ^"T; ^t-j ^=-t- ^t substi
tuant enfin, dans (2), à X', Y', Z' les valeurs (5}. Alors, vu les expressions classiques (198ôî's) [p. 308] des forces élastiques N, T du solide isotrope, les formules (1) deviennent précisément les formules (6), et les équations |2), d'où c, P, Y disparaissent de suite en même temps que tous les accents, se transforment dans les équations indéfinies de l'équilibre du corps isotrope.
Si donc la surface-limite du solide isotrope est la transformée, / («Va, ^V^, ^V'y) = 0, de la surface-limite /" (a:', y', /) = 0 du solide liétérotrope donné (comme est, par exemple , le plan ^ = o des iîî^ quand le solide proposé se trouve limité par le plan ^— o, des x' y'), et si les condi-
lions spéciales à chacun des points de cette surface du solide hétérotrope reviennent à s'y donner, soit, en fonction de x', y", /, trois composantes N', T' de pression [comme, par exemple , celles , p^f — — T/, Py, = — T/, p^ = — Na' de !a pression extérieure aux divers points du pian desi^'y'), soit , à leur défaut , trois composantes correspondantes u', tf', m' des déplacements ou , pour les points du solide situés à l'infini, l'ordre de petitesse des vf, ^', m', les composantes analogues N , T, ou les déplacements analogues u, v, w seront définis , en fonction de x, y , ^ , par les formules (6) et (4) , prises avec (3) , aux divers points de la surface-limite f (x V^a, p V'^, z V^y) = o du solide isotrope correspondant ; et les formules (4) exprimeront de môme l'ordre de petitesse des déplacements m , w , ra de ce solide , aux points très éloignés.
Ainsi, le problème proposé d'équilibre du corps bétérotrope se trouvera transformé complètement en un problème tout pareil concernant un corps isotrope. Donc la solution de celui-ci, donnée dans le mémoire pour le cas d'un solide limité par un plan et pour celui d'un solide indéfini dans tous les sens, s'étend d'elle-même pour ces deux cas, par l'emploi dos formules de transformation (3)-; (4), (5j et (6), à un solide isotrope déformé.
M. de Saint- Venant avait comme pressenti la possibilité de cette extension dans une note du 29 novembre 1869 ( Comptes-RpMdus , t. LXIX) , oii il avait remarqué que le changement (3) des variables indépendantes permet d'étendre aux -solides isotropes déformés les équations i, ij (m, «,«?) =0, vérifiées dans un solide isotrope en équilibre dont l'unité de volume ne supporte aucune action extérieure, et même l'équation corrélative ^^58 = 0,
pourvu qu'on y prenne S = V a — — -+- V p — -1- V y -7- et non
dïc'
■ dx àj
yGoosle
2- — Lois de mouvement. — Théorie de la dèli-milation latérale des rayons sonores ou lumineux.
Si le solide hétérotrope proposé , de densité p , au lieu d'être en équilibre, exécutait de petits mouvements quelconques, on sait qu'il faxidrait remplacer, dans(2),X', Y', Z'
Pa^ — ? "^^ — ? -^' — ? ^^ ; ce qui , d'après (4) et (5), donnerait , dans les équations indéfinies d'éfiuilibre du solide isotrope correspondant .
X=Jli^ Y:=--^— z=^^LËZ ',. dp ' p dt^^ -j dt^ '
Ces équations d'équilibre ne deviendraient donc pas précisément celles de mouvement du solide isotrope, mais plutôt ce que seraient ces équations de mouvouient du solide isotrope si sa matière éprouvait, à se mouvoir suivant les trois ases des x, y, z, des facilités inégales , proportionnelles à M, P, y. ou si elle se comportait comme ayant les trois
densités respectives —, —, —pour les mouvements exécutés
suivant les aï, les y et les 2, à la manière de l'éther lumineux dans les cristaux non cubiques dont un axe est normal au plan des autres (*). Ainsi , la transformation qui réduit les équations d'équilibre d'un solide isotrope déformé à celles d'un simple solide isotrope n'atteint plus le même but quand il s'agit de ses équations de mouvement, quoiqu'elle les simplifie beaucoup et mérite d'être effectuée (ce q ae nous supposerons fait dans toutes les formules suivantes). L'intégration de ces équations de mouvement ne
C) Voii', par exemple, au Jowmal de Mathématiques pitres et appliquées, de 1873 (t. XVIIl , p. 361 à 383), ou aux Annales de Chimie et de Physique de la même année (décembre 1873 , t. XXX , p, 539 à 565) , mon Exposé synthétique desprincipies d'une théorie nouvelle des ondes htmineuses.
se réduit donc pas à une simple application des potentiels spliériques considérés dans le Mémoire des p. 319 à 356 ci-dessus. Peut-être deviendrait-elle effectuable, avec moins de complication qu'elle ne l'a été jusqu'ici par la méthode de Blanchet ou par celle de Cauchy basée sur le calcul des résidus (') , si l'on pouvait généraliser d'une manière convenable la notion de ces potentiels sphériques.
Heureusement j les seuls résultats concrets qu'on ait pu déduire des intégrations difficiles effectuées par Blanchet et par Cauchy, résultats relatifs à la propagation du" mouvement autour d'une région d'ébranlement infiniment petite prise pour origine des coordonnées x, y, z^ peuvent , à peu près tous, se démontrer directement. IL suffit d'admettre, ù cet effet : 1" que les déplacements «, v, w et les vitesses
, rapidement variables près de l'origine (en fonction
dt
de a;, y^ z) dans l'état initial, continuent à varier de même rapidement à toute époque aux endroits où ils sont alors sensibles, comme dans le cas d'un corps isotrope ordinaire; et, 2", que la graduelle variation du phénomène subsiste néanmoins dans le sens où elle est encore possible , savoir, dans ce sens que, aux distances finies de l'origine, chaque succession rapide de déplacements î(, «, w observée en un point [ic, y, $) s'observe également en tous les points voisins, ou que u, v, w s'expriment à fort peu près, dans tout petit espace et pendant le temps assez court qu'y dure une série de mouvements, par trois mêmes fonctions d'une seule variable i — 4, 4 désignant l'époque, fonction graduelle de X, y, z nulle à l'origine des coordonnées, où la molécule {x, y, z), immobile l'instant d'avant, commence à effectuer cette série de déplacements. Et l'on conçoit bien qu'il en soit ainsi ; car tons les points du petit espace quelconque
(*) Pour juger de la complieation de ces sortes d'intégrations, on peut voii', par exemple, le livre 1'', chapitre III {p. i3 à 40) , îles Essais sur la Théorie mathématique de la Lumière (1864), par M. Briot.
considéré se trouvent sensiblement à la même distance
r = Va;*-i- j'^-H^^ de la région d'ébranlement et dans la même direction par rapport à celle-ci. Donc, les trois dérivées — — ~ pourront être regardées comme trois cons-
tantes, dans une étendue où u, v, w présenteront ù un moment donné toute la suite rapide des variations dont il s'agit.
Si l'on appelle, pour abréger, /, m, n ces trois .dérivées premières de 4; et u%v',w', u'\i)'\w" les dérivées premières et secondes de m, y, w par rapport au temps ^, il est clair que %, ■D,w,à une première approanmation, auront pour leurs dérivées premières en a;, ^, z les produits de %', v , w' par — Z, — m, — îî, et, pour leurs dérivées secondes d^ d^ d^ d^ d^ d^ , , .^ ,., ,
TU-, -n; , TT, -î-Ti -T^, T-r^ les produ]ts respectifs de tfe^ ' ûj^ ' (fâ^ ' aytfâ' dzdis' dadi/' * '■
u", v", m" par ?, m^, #, mn, ni, lin.
Dans ces conditions , les équations de mouvement, divisées par la densité p ,
ii?îl = JF»H Sii>-4-(î)»
(*) On reconnaît assez facilement que ces équations (7) comprennent eomrao cas ti-èsparticuliei', même après qu'on y a fait a:=:j3=zy=l, les équations des petits mouvements de tous les solides élastiques et homogènes possihles, dans lesquels les pressions intérieures , pouvant pi-ésenter avant les déplacements u, e, w des parties constantes de l'ordi'e des coefficients d'élasticité , admettent an potentiel fonction entière , à termes du premier et du second degré , des sis déformations élémentaires 5, g représentées à fort peu près pai" du dv dw dv dw diu du du dv cto' %' da' dx d&' dx ds' % da: On peut voir dans un Mémoire du t. XX du Recueil des Savants étrangers I Théorie dés ondes liquides périodiques , note 3 , formules (r) ], quelles espres-
où ce, S), Q, (D, 8, 3- sont, pour plus de généralité, six expressions symboliques de la forme
ih'^ iy'- dz^ dydz dzfh dxdtj
à coefficients a, b, o, d, e, f constants mais quelconques, deviennent évidemment, toujours à une première approximation, en appelant A, li, C, D, E, F les polynômes homogènes du second degré en /, m, % obtenus par la substitu-
tion do r, »r, w-. mn, ni, Im a -rr, -rr, tti t-Tî i-r-, ~,-~r ' ' ' éx^' dy^ dr' dydz doux dxdy
dans et, 9,, e, (0, %, ^:
Et ces trois équations, multipliées deux fois successivement par dtf puis intégrées chaque fois, sans faire varier x, y. z, à partir de l'instant t=t„ oùs'annulaient w', î)',«j'etî/,w, h;, conduisent à des formules, en ti^v^w, absolument pareilles, sauf la substitution de u, v,w k u", v", ro".
sions (à 27 coefficients) des forces N, T, il faut poi'tei' aloi-.i dans les équations approchées de mouvement
^ —Lf^ ill -fil ] ilfi p \ ilm dy ds I
Daas le cas, spécialement considéré ici, d'un milieu isotrope (coiTeapondaitt & un milieu isotrope déformé), les expressioJis de cL, ro, (?, CD, b, <)' sont
1 (a,ffl,e) = Aii — 'i — + ^(J!^+Ji+-:!L).
1 \ ' ' I r. (dft-î, dy^, dz^) p \ dxt di/ï dz^ I
^ "■ I ;- (dydz, d^dx, da;dy]
Par conséquent, tes équations (8), dont le déterminant égalé à zéro donnera une relation nécessaire entre /, m, n, font connaître , en fonction des rapports mutuels de
(/, m, n) = — — ^ — -, c'est-à-dire pour chaque point d'une sur-
face d'onde t^ = const. où la direction de la normale est donnée, les trois rapports analogues des fonctions u, -v, w. Ceux-ci, àla première approximation considérée, se trouvent ainsi être les mêmes pendant toute la succession rapide de déplacements que l'on considère et en tous les points oii les diverses surfaces d'onde ont leurs plans tangents parallèles. Si l'on appelle w l'inverse de V'^^^ -+-m^-t- n^, les trois produits /u, ww, na seront les trois cosinus directeurs de la normale menée, en ces points, aux surfaces 4~ const.,
vers le dehors , c'est-à-dire du côté où t^ augmente ; et — .
paramètre différentiel du premier ordre de la fonction 4,, sera la dérivée de l„ le long d'un élément i^N" de cette nor-
maie, ou w le rapport -r— , c'est-à-dire la vitesse de propagation du mouvement, à partir du point (aï, y, z), suivant la normale (?N à la surface d'onde 4 = const. qui y passe. D'ailleurs , l'équation en l,m,n, si l'on y substitue à
l, m, n les produits de — par les trois cosinus directeurs
de la normale, devient une équation du troisième degré on u". Cette équation, résolue, donne généralement trois racines w positives. Gliacune est donc constante pour tous les plans tangents parallèles considérés, dont le premier appartient presque à la surface t„=o confondue avec l'origine. Par suite, deux consécutifs étant distants de wdla, la distance de l'un quelconque d'entr'eux à l'origine vaut w^„, et ils ont pour équation
Chaque surface d'onde 4= const. est donc l'enveloppe de
yGoosle
ces plans, où l, m, n sont trois paramètres liés entr'eux par une relation donnée.
Appelons l',m';n' les cosinus directeurs d'un déplacement f ayant ses composantes u, v, m régies par les équations (8), ou posons, dans les formules (8),
Ces équations (8) prendront la forme
En les résolvant j l',m',n' deviennent des fonctions explicites de l, m, n, puisque A, B, C, D, E, 1'' sont six polynômes homogènes du second degré en l, m, n. La relation existant entre dl, dm, dn peut d'ailleurs s'obtenir sans différentier l'équation en l, m, n. Comme celle-ci, en effet, est impliquée dans le système (9) , il suffit de différentier complètement en l, m, n, et l', m', n les relations (9). Si l'on ajoute ensuite les tfois résultats, multipliés respectivement par r. w', m', les termes en dX , dm\ dn' disparaissent à cause même des équations (9), et il vient
(10) ;'Vâ-t-i»'*(^B-*-ffl'MG-H2MK'rfD-.-2«'/VE-i-2rffl'^F = o.
11 n'y a plus qu'ù remplacer, dans celle-ci, t/A, rfB, rfC, . . . par --r- dl ^ -T- dm -^ -r- an, etc. , puis a poser
■^ dl dm an
pour avoir la relation chercliée
(12j lidl +- ntidiK -t- a, dn. = o.
Or, à partir d'un point quelconque {x, y, z) d'une surface d'onde 4 = const., on a identiquement
dt^ = Idx ■+- mdy -+- %dt , et aussi, à cause de t„ = lx^ m/y -t- nz^
dt,^ = Idx -H Bî(^y *- ndz -+- xdl -i- ijdm +- zdn ; d'où
3>dl -t- ^dta -+- idn =: 0.
Le rapport de dl à dm étant arbitraire, la comparaison de cette dernière relation , divisée par zdn , à la précédente
(12) divisée par n.idn, montre que a)y y, z sont proportionnels à k, m,, n, ; et comme , en outre , Ix -+■ my -^'m=i„, il vient, pour fixer en grandeur et en direction les rayoïis T='\x}-'r^f+^ correspondant aux plans tangents considérés, la quadruple proportion
Enfin, l'équation de la surface d'onde i^ = const. s'obtient
(*) Les formules (11) donneraient d'ailleurs, en obsei-vant que A, B, G, D, E, F sont des fonctions homogènes du second degi'é , dont les dérivées partielles premières, multipliées par les variables con-espondantes et ajoutées, ont pour somme le double de la fonction,
Bt -+- mmi -»- nn, = 2 (A ;'ïi -H B m^ -1- G n'î! -H 2 D m'n' -i- 3 E M.'/' + 2 F i'w') . i** m'a »'* Or la parenthèse du second niembivî vaut — ■+- — ■+- — , d'après les équations (9) respectivement multipliées elles-mêmes par l', m', n' et ajoutées- Donc, en remarquant, d'autre part, queHi + nwni-i-imi est le produit de-'/(i*+^ni*+"'H' par le cosinus de l'angle que fait le rayon r avec la normale îi l'onde , ou est le quotient de ïii*-i-niiï-(-«|a par la vitesse de propagation V du mouvement dans la direction ((i, mi, »\) du rayon r prolongé, on aura
iT^;;^:^T^t = 2N ( — + -^+— ).
en tirant des trois premières de ces proportions (13) l, m, n
en fonction de —, ~, ■ — et portant leurs valeurs dans
l'équation en l, m, n. Pour chaque système de racines positives u , il vient ainsi une famille de surfaces fermées, liomothétiques par rapport à l'origine, et aux divers points desquelles, dès que ^= #„ ou dès que l'onde correspondante les atteint, les molécules du milieu se déplacent pendant un court instant, suivant la direction {V, m', n'). La vitesse de propagation du mouvement, le long d'un même rayon r
émajié de la région d'ébranlement, est— ou-^p^ ^ —.
On sait que, si les seconds membres dés équations (7) ont, comme dans celles ('-) de la page 352, la forme simple
gne le rapport des deux coefficients d'élasticité À, pi, et si , de plus, «, j3, y sont voisins de l'unité comme il arrive toujours, deux des valeurs de w différeront peu de a et correspondront à des vibrations quasi-transversales , ou presque parallèles aux surfaces des ondes , tandis que la troisième différera peu de a V^2 +/" et correspondra à des vibrations quasHongiéudiTMles, ou presque perpendiculaires aux surfaces des ondes; etc.
Voyons maintenant ce qu'indiquent les équations (7) du mouvement à une approximation plus élevée, où l'on tiendra compte de ce double fait : 1" que m, v, w comprennent, en outre des projections, Ttp, m'y, n'f , de la composante m, suivant la direction {l', m\ n'), des déplacements réels à chaque époque t, certains termes correctifs inconnus i, r,, !;, exprimant un petit écart normal à cette direction, ou satisfaisant à la condition l'I -+■ m'i\ -h m'Ç = o ; 2" que, tu étant, pour chacune des trois séries possibles de déplacements, la fonction de x^ y, z parfaitement définie
ci-dessus, ;, i-, , ^ sont , de même que », des fonctions rapidement variables de t — 1„, mais qui changent en outre lentement ou graduellement avec w^y,z quand t — 4 reste le même. En effet, sous ce rapport, il eu est de 5, ti, Ç comme de 9; car \, ri, 'C, ne se trouvent, comme j, relativement sensibles en chaque point [x, y, z) qu'aux courts instants où l'ime des trois ondes y passe , et leurs dérivées par rapport à t sont, par suite, aussi fortes (toute proportion gardée) que celles de ».
Eu différentiant par rapport à x, i/y^z les expressions des déplacements
on pourra donc , sauf erreur relative négligeable , regarder les termes correctifs \, ti, Ç comme des fonctions de ^ — ^
seulement, et y supposer même —. — "—., ou l,m,n, cons-
tants dans la petite étendue à considérer : je désignerai par des accents, comme pour tp, les dérivées de ?, -/i, Ç par rapport à ^ — t^on à L Au contraire , il y aura lieu , pour les termes principaux l'f, m'<f, n'<^ , de tenir compte , en différentiant par rapport h x,y,z , des dérivées obtenues sans faire varier t — t^, dérivées que je désignerai par les symboles -r-- T-) ^i- ■ f*e plus , à une seconde différentiation, on pourra effacer les termes affectés du facteur » ou de ses dérivées -r— , -r— , :;— , à côté de ceux ou sera sa dérivée prin-
cipale 'f', rendue très grande par la rapidité de variation de tp en fonction de i — 4- Par exemple, la dérivée en x d'un
tenue en supposant ce terme fonction seulement de ^et vaudra
On aura aiasi, successivement,
= Pro"
-t-cr
-Ir,
ISj dt:]
i dlE^
pour ia symétrie, j'ai remplacé le terme — (^V v P^^
9 ^ l V "^ V j ' '^^'^^^ permise , car
Par suite, il vient aisémentcommevaleursdes expressions du, 9"w, êî», paraissant au second membre de la première équation (7) du ii^ouveraent :
[ ^ dk ^ dk. dk
\ dl 3iB <;!«! ^3( (?« ?î
r (/F rfF d¥
, „ „ m' If' I dl dm dn
/ i/F 3 wV -^F 3 MïV (^F 3 ct'< \ (^^ 3^ dm 3,y ''^'* 3a
iE
dl
liE 3
iB
iB 3»'ç'
ii ~
ÏS
~3îr
Ea ajoutant à leur somme l'expression, (^V"^Oî ^^
1 dH premier membre — ---^changé de signe, le tout devra être
égal à zéro. Gomme le coefficient total de f" sera nul en vertu de la première équation (9), on aura ainsi une relation linéaire entre i", ^i", K" et »' ou ses dérivées r-;— ^ .
Les deux autres équations (7) en donneront évidemment deux autres analogues : ce qui fera bien trois équations indéfinies entre y et, par exemple, les deux petites fonctions i, T,, dont Ç se déduit au moyen de la formule
Une relation contenant seulement o' et ses dérivées 3?'
7 s'obtient en ajoutant ces trois équations, respecti-
vement multipliées par — l', — m', — n'. En effet, dans la somme , les coefficients de — T', — '',", — Z" sont les premiers membres, nuls, des équations (9): et, si l'on a soin
de dédoubler, dans les dernières parenthèses de (15), ~-, . . .
en /' ^->-f'Y~ ! ^^''■5 P"^^^ ^^ grouper convenablement, dans les seconds membres de (15), ou des autres analogues, mul-
donne,eu tout, vu les formules (11), — - [~ -h ~ -h -— ^) ' " 2 \03) oy tis 11
Remplaçons-y ?|,W|,î^i parieurs valeurs -■-— Vli^+mi
'-+-Kr
tirées de (13), valeurs dont les trois dérivées respectives en X, y,ii sont
{'.tl.'
■â+ÎJ.Î* -+-■
servons ,
une part .
que
r as
exprime la dérivée -r- d'une fonction le long du prolongement du rayon r, dérivée obtenue en suivant une onde dans sa propagation ou, plus exactement, sans que i — t„ change, d'autre part, que ^i, Wi, îï, no varient pas le long du rayon r
ou que ^ VT^TwI^Tm^ = o. Nous aurons, en multipliant finalement par — ^=::=r=rr:^ ■,
(*) ]1 est curieux d'obsei'ver que, si l'on uc faisait pas attentiui^ à l'invaiiabilité du facteur Vii^ -H ia^ -i- nj* le long du rayon r, l'équation (16) , multipliée par 2 rS »' et traitée d'ailleurs de même, deviendrait
— [i)'2 rî \'/,ï-t-miî-(-»i^ I = 0,
ou bien, en remplaçant f* par la section noi-male proportionnelle '. d'un cti'oit faisceau de rayons r et Vii* -i- mjî h- «i^ par sa valeur donnée à la fin de la note précédente (p. 678),
Or îV représente, proportionnellement , la masRe de la partie du faisceau qui est en mouvement à l'époque /, masse dont la section est espiiniée par i et la longueui- par VA( , si Ai dés^ne le temps (indépendant de r au moins dans les mouvements périodiques) que dure en chaque endroit le passage d'une onde. Cette inasse, réduite dans le rapport des facilités s, ^, ■/ existant pour los mouvements
L'équation (16) exprime donc que. le lomj d^wn, même rayon, ckagvs vitesse f et, par suite , chaque déplacement
CE = I tp' 3 [t — 4) t sa propagent en s'' affaiblissant comme
l'inverse de la distance r au centre d'ébranlement.
Le déplacement ç devient ainsi le produit de — par une
fonction -f, de la nature de l,m, n, c'est-à-dire par une
dant en outre de t — t^', et i! a, le long d'un même rayon r,
ses dérivées t— , r— , ^r- inversement proportionnelles à r', Sa: ' 3y ' 3!! ^ ^ '
tandis que celles de l, ?n, n ou de leurs fonctions le sont , 1 a — .
On déduit aisément de là que les trois équations en r', T|", Ç" d'où l'on esL parti et dont deux sont restées distinctes [la troisième ayant été remplacée par (17)], combinées avec la relation
qui entraîne celle-ci
effectués suivant les ti-ois axes, et multipliée par lea carrés des vitesses effectives correspondantes i'Y, fl>'o', n'if, donne ea tout ce qu'on peut appeler la force vive du faisceau de rayons ; et l'équatiou esprlme que cette force vive se îratisinet intégrtdement avec l'onde.
Il ne faut pas, du reste, attacher d'importance à la présence du feoteur V au numérateur plutôt qu'au dénominateur de l'espression indépendante de r obtenue en intégrant (16), puisque noti-e analyse suppose essentiellement V invaiiable le long d'un même rayon r. On conçoit très hien qu'une transmission intégi-ale, sans dissémination aucune, de la force vive et de l'énei^e , ne se réalise qu'à cette condition. Et c'est , en effet , ce qu'on pourrait déduire d'une note de mon Mémoire sur la Théorie des ondes liquides périodiques, inséré an tome XX du Uecueil des Savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris [ voir la fin du § ni] , oii j'arrive par l'hypothèse , il est vrai , d'oscillations à composantes exactement pendiilaires, dans un cas où la vitesse de propagation est variable, à
une formule comme — - — - — o, et non & celle-ci , — (9'^ = V) = o.
yGoosle
donneront k", -i", C en fonction linéaire dfi <e,' et de ses
dérivées -^r- 1 -^ i ^r- 1 c'est-à-dire en fonction de »<' et de la
manière dont varie f i' autour de l'origine : de plus, le long d'en même rayon r, ces valeurs de 5", Vj K" seront inverses de f*. Et, se trouvant d'ailleurs comparables à tp', ou beaucoup plus petites que la dérivée suivante tp"de <f (du moins tant que persistera la rapidité supposée de variation du déplacement) , elles exprimeront bien , comme on l'a admis, des corrections relativement très faibles apportées aux premières valeurs approchées ftp", «î'f", n\" des composantes de l'accélération.
Ainsi, quelle que soit la manière (continue toutefois) dont varie Vamplitude du mouDemmt à^un foint à Vaufi'e d''une même surface d^onde, pourvu que cette amplitude, tant qu'elle subsiste 'quelque part, y change assez vite, on pourra toujours, en choisissant convenablement, sur chaque rayon en particulim-, S"., ti", C et, par suite, les petits écarts ^, "i j "Q [qui ont les valeurs
5 {t — toj j {l", fi", K')'î^ {t — ?J], satisfaire aux
trois équations indéfinies du mouvement; et ces écarts Ç, i\, Ç se propageront, en même temps que le déplacement principal f, le long de chaque rayon , mais en décroissant inversement au carré r' de la distance et non, comme (p, inversement à la simple distance r. Ils seront généralement, aux distances finies, de l'ordre de
et, par conséquent, à cause de la faible durées — 4 du phénomène en chaque endroit, incomparablement plus petits que œ, sauf peut-être vers la fin du passage de l'onde, alors que « sera sur le point de s'annuler. La forme linéaire des équations en l", -t", K" montre
même que, si l'on nmltiplie deux fois successivement ces équations par î) [t — #„), et qu'on intègre chaque fois à partir de t =ta. ?, -r,, Ç s'exprimeront, en fonction
Jt—t ti <s> D it — t] et de ses dérivées en ^-^ r , exacte- • ^ "' ^ ^[!o,y,s]' ^
ment comme s'expriment T', V, 'C' en fonction de f' et de
ses dérivées analogues. Ces expressions de 5. -f,, C se
simplifieront beaucoup aux points très éloignés de l'origine,
là où l'on peut, sur des étendues notables, regarder l, m, n,
r, m'j n' comme constants, c'est-à-dire les ondes comme
planes; en sorte qu'il n'y subsiste, dans les derniers
et avant-derniers termes de (15), et dans les expressions
de i", i\" 1 \' , que les parties proporlionnelles aux trois
dérivées — de la fonction <^' . devenue même , en
3f's,y,î) ■vertu de (17), sensiblement invariable suivant la direction (/, . mj, »i) du rayon, mais susceptible de changer dans toutes les autres directions incomparablesnent plus vite que i, w, n. Ainsi, S, -/i, <î y sont trois simples fonctions linéaires
— T I V i' (^ — i^o) 1 s'annulant par conséquent ,
de
d'après le principe de Fermât, aux poinls de l'onde où l'amplitude des mouvements se trouve maximum ou minimum par rapport à ce qu'elle est dans le voisinage (*).
(*) Les écai'te ?, i;, :, supposés pris toujoui's de la même forme en fonction de
/ V 3 (( — ( ) ou de ses dérivées , resteraient encore très faibles en
comparaison de ç , s'il s'agissait de mouvemeata périodiques à brève période propagés autour de l'origine, et non d'une simple rapture momentanée de l'équilibre en ce point, ou si a désignait une fonction, d'ailleurs quelconque, de
( (i, , — -, , — , périodique en ; — (, et d'une valeur moyenne nulle, mais non astreinte à s'annuler elle-même pour/ =((,. En effet, la fonction I "j^îiC — 'o' deviendrait égale & zéro au bout de chaque très courte période, et ne eesseiTiit pas d'ôti'e, en général, extrêmement faible à côté de ?. Par suite, les expressions correspondantes
vérifieraient à fort peu près les équations indéfinies des petits mouvements.
En tenant compte de ces écarts, les trajectoires des molécules ne sont plus droites, même quand ^, -q, K conservent en chaque point les mêmes rapports à toute époque, parce que ces rapports ne peuvent, à cause de la relation H -^m'-n -^nX = o , être ceux de T, m', m', qui donnent la direction des déplacements au premier instant t=i„-hz du mouvement, alors que l,-fi,K, de l'ordre de
I °<fti {t — ?„), sont infiniment petits devant f .
D'ailleurs, la quantité cp,, ou r<s, peut bien, suivant les cas, recevoir toutes les formes possibles en fonction des
cosinus directeurs —— — , et même en fonction de f — t^
pour les petites valeurs positives de / — #„ (les seules qui ne l'annulent pas}, pourvu, du moins, que l'intégrale
/ Vit' (^ — ^o); dont dépendent 5,ti,î;, s'annule aussi pour t — 4 supérieur à ces très petites valeurs. En effet, quelle que soit la forme dont il s'agit, si l'on se donne comme état initial l'état même que représentent, pour une petite valeur positive du temps t légèrement plus grande que celles-là, les expressions àeu,v,m ainsi formées
et celles de — y l'-ii s'en déduisent, cet état consistera
en des vitesses et des déplacements confinés dans une très petite étendue autour de l'origine , et finis ou même nuls au centre {x = o, y = o, z~o) malgré le dénominateur r dans (p ou r^ dans Ç, -/i, i^ ; car, 4 s'annulant avec w, y, z,
¥i3 [t — 4) y seront pris pour la
valeur choisie, t, de t — 4, supérieure à la plus grande de celles qui ne les annulent pas, et ^ , ç, v,, (^ se réduiront ainsi à zéro tout autour dii centre. Donc, quelle que soit, dans
ces conditions, la fonction Çi, les intégrales considérées des équations indéfinies du mouvement expriment bien les effets d'une certaine rupture de l'équilibre dans une région très petite autour de l'origine ; ce qui est précisément l'objet du problème posé.
Dans le cas général où l'intégrale ( fl(t — 4) différerait de zéro pour les valeurs positives sensibles de t — 4; nos formules sembleraient indiquer a l'arrière de l'onde, là où fp se serait définitivement annulé, de petits déplacements persistants , dès lors invariables, u = \, v = r,, w = 'Q. Mais il est clair que ces formules deviennent alors insuffisantes, puisque la supposition, sur laquelle elles reposent, de déplacements u, îï, w beaucoup plus rapidement variables en fonction de t — /„ qu'en fonction A^ x,y ,z, cesse de se réaliser. Cette hypotbèse se trouve donc en défaut; et il faudrait un examen spécial pour reconnaître soit l'annulation de l, ï|, s en [x, y, z) dès que » s'y annule, quel qu'eût été l'état initial dans la région infiniment petite des ébranlements , soii la condition que doit vérifier, en conséquence, la fonction f, pour que cette annulation se produise en effet et, spécialement, pour que, une fois ç devenu nul à l'origine (a; = o, j/ — o, ^ ~ o) , Ç, -ri. 'Q soient, non pas infinis, mais bien nuls eux-mêmes, dans celte
région centrale {x = o, y — o, z = o) ovl la-direction (— , —, -J
est indéterminée et, l'inverse de r, infini.
Toutefois , une circonstance diminue beaucoup l'importance de cet examen et nous dispensera de le faire dans le cas général d'un milieu bétérotrope. Elle consiste en ce que
la valeur finale de l'intégrale I °cp 5 [t — Q peut toujours
être rendue nulle par le moyen de cbangements insignifiants au point de vue pbysique ; autrement dit , tous les cas se ramènent, sauf des différences négligeables, à celui auquel s'appliquent sans difficulté les formules précédentes.
Quelle que soit, en effet, depuis t — 4 = o jusqu'à t — 4 ■= une petite quantité positive e, la fonction y^ de t — 4;
—, —, —, prise complètement arbitraire entre ces limites
mais nulle au dehors , on peut lui donner une sorte de prolongement presque insensible , en lui attribuant , pour les valeurs de t — t^ supérieures à e ou plutôt , aux premières qui la rendent déjà relativement petite, une infinité de nouvelles valeurs , toutes faibles par rapport aux précédentes, mais s'étendant sur un assez grand intervalle t — 4 pour que, choisies convenablement, elles neutralisent ces valeurs précédentes plus grandes et annulent finalement
l'intégrale \ "çii) [t — 4)- Orleprolongement ainsiajouté
n'exprimera que des déplacements œ == — peu perceptibles
et variables beaucoup moins vite que les précédents , ou quelque chose comme cette faible agitation de l'eau qui subsiste un instant dans un canal après le passage d'une grosse intumescence. Ces déplacements, durant plus longtemps que les premiers , influent autant qu'eux sur la moyenne générale des valeurs successives de tp ou de tpi=rrp en un point donné {x, y, z) ; mais les vitesses qu'ils entraînent, inverses de leur durée plus grande, sont relativement bien m^olndres encore , savoir , dans un rapport comparable au carré du rapport réciproque de leurs durées respectives, et il en est de même des déformations correspondantes, qui se trouvent, dans toiis les phénomènes dynamiques , de l'ordre des vitesses engendrées.
Ainsi, tant les vitesses que les déformations corrélatives à ces modifications introduites dans la fonction y, ne changent d'une manière appréciable ni les valeurs sensibles, ni les valeurs moyennes des vitesses et des déformations produites successivement en un point quelconque [x, y, z). Et, à plus forte raison , seraient négligeables les énergies correspondantes , actuelle ou potentielle , comparables aux
carrés des vitesses ou des défonnations. Donc, quelles que soieurt, les vraies valeurs de la fonction, ^^ = tpî' , parmi lesquelles celles qui sont notables peuvent être supposées , comme on vient de voir, entièrement arbitraires , tous les mouvements sensibles produits seront exprimés par les formules précédentes ; et il n'y aura que des déplacements à la fois très lents et faibles, indiqués mais non évalués par les valeurs résiduelles ou persistantes de u,v,tv résultant de ces formules, (jui exigent une analyse plus complète.
Il est d'ailleurs facile de s'assurer , sur un exemple simple, qu'il existe, en effet, lorsqu'on tient compte de ces petites valeurs de u,v,'m, une certaine condition à laquelle doit satisfaire la fonction fi dans toute onde provenant d'un ébranlement initial;. de sorte qu'on ne peut plus alors se donner tout à fait arbitrairement les rapports
des valeurs de œ-dans les diverses directions —,—,— .
Considérons le cas d'un solide isotrope où l'on aurait — ■ ^- — 0, ~ = 1, a=p=Y^let, par suite ,
d"^ {m, «, ro)
en sorte qu'on puisse y prendre deux des déplacements u, v, m nuls et le troisième , cp , régi par l'équation
i,tp.
L'expression générale de 'f sera, sauf à y remplacer r par #, celle que donne la formule (i^) de la page 335, oii p {x, y, z) et pi («, y, 2) désigneront, respectivement, la vitesse initiale
~ et le déplacement initial f, nuls, par bypotbèse, hors
d'une région infiniment petite en tous sens entourant l'ori-
gine. Alors, pour un point quelconque [œ. y, z), les deux intégrales i ■^— et j ^^ ne s'étendent qu'à la section a
de cette région d'ébranlement par une sphère d'un rayon r=t décrite autour du point [x,y,z) comme centre; et, en ce fomi[a!,y,z). l'intégrale /tp 5 {i — Q, ou/ç&^=/cpar, étendue à toutes les valeurs de t ou r, peu différentes de t„-=\^^y^-'r-z^. pour lesquelles la sphère coupe la région d'ébranlement, se réduit à
U^'S^-éJJ''^
car l'autre terme de cette somme /rp^?r donne , aune constante près, comme intégrale indéfinie, -- j —, et celle-ci
doit être prise entre deux limites qui l'annulent. Or il est clair que dadr représente le volume d'un élément de la partie du corps initialement ébranlée, et que, par suite, ffy ch dr,
où p est la vitesse initiale -j- de cet élément, exprinie (si la
densité est supposée valoir 1) la quantité totale â de mouvement concentrée primitivement autour de l'origine, Il vient donc, en mettant actuellement r=V^a;^-(- y* -i-^* au lieu de 4) — au lieu de tp, et appelant M la plus grande des durées du mouvement aux divers points,
Cette formule, divisée par la constante M et par r, exprime que îe déplacement— reçoit successivement, en chaque mdroit
[œ, y, z), des valeurs dont la moyeime, égale à j~- , est la
même en tous les points d'une même surface d^ond.e t= const. (') On ¥oit donc que c'est feulement quand cette valeur moymne ne représente aucunement les rapports des déplacements effectifs, comme il arrive dans les mouvements
(*) Si , dana le solide isoti'ope proposé , la somme J -I- ^ n'était plus nulle et que, par conséquent, les ondes avec changements de densité y eussent une autre vitesse de propf^ation que les ondes non accompagnées de condensations ou de dilatations cubiques 6, la même loi.
continuerait évidemment Ji régir les déplacements y =: J- effectués suivant chaque axe aux divers points de ces dernières ondes, soumises toujours aux équat de mouvement — r =is(u,u,«i) [ou- — -—r = oî A^ (u, u, w) i
X divers points de ces dernières ondes, soumises toujours aux équatioi
— a- --"-.-.-' i™ si~
une. autre unité de longueur]. Et iî n'y aurait pas même, dans le calcul de la constante 3. coiTespondante , à défalquer de la quantité initiale totale donnée de mouvement, suivant l'axe que l'on considère, la partie repondant à l'onde accompagnée de changements de densité. En effet, cette partie est nulle; etl'on a d'ailleurs, dana l'onde en question qu'accompagnent des changements de densité,
onde régie par les équations de la page K3, i {a, ii, m) d! = o , comme s'il
s'agissait de mouvements vibratoires. Do plus il suffit, bien entendu, que l'ébi'anlement initial tout entier , tel qu'on le donne , soit confiné dans une très petite étendue autour de l'origine, pour qu'on en puisse dire autant de sa partie relative aux ondes plus simples qu'accompagnent des changements de densité et aussi, par suite, de son autre partie, répondant aux ondes qui se produisent au contraire sans condensations ni dilatations cubiques.
Pour reconnaître toutes ces circonstances, appelant a', ji', w' , *' les dérivées de M, V, «I, * par rapport à (, obsei-vons que les relations.
multipliées par rfSî = itBdj/fJa et intégrées, à l'époque (=:o , dana toute la région infiniment petite d'ébranlement auï limites de laquelle s'annulent u,v, w ,«', v'fio',
donnent ys dï3 = o, f — dC! = o. Par suite, les équations ('), (*") de la page
353, appliquées encore à l'état initial, en mettant, pour r, la distance ViK'-t-j'*+a* (supposée notable) du point quelconque (a;, ^, s) à la région (3! = o, j^o, a = o) des ébranlements, donnent à leur tour.
vibratoires où elle s'annule , que l'amplitude peut varier arbitrairement aux divers points d'une même onde.
Au reste , ce cas particulier de mouvements où chaque molécule oscille, de part et d'autre de sa situation d'équilibre, de telle manière que son déplacement moyen soit nul, est de beaucoup le plus intéressant; car la répétition de
) t — - — fe d^ = 0,
et, d'autre part, il i-ésulte des équations (*")i toujours dansl'état initial, e étendant les intégrales suivantes à tout l'espaco inflnimont petit qui entoufe l'or gÎEe, c'est-à-dire bien au-deik de la région d'ébranlement et jusqu'aux points o s'annulent asymptotiquement * et *',
(pour ( = o)
Cd{u,v,w) f d¥
dxdyd%~
Ainsi, dans l'onde accompagnée de changements de densité, les valeurs initiales de u, -— , par exemple, sont nulles aux distances finies r de l'origine ,
comme il s'agissait de le démontrer, et nulles même en moyenne aux distances infiniment petites; ce qui y donne bien, en particulier, i2=:o ; et comme, d'après la première relation (n') différentiée en x, ces déplacements partiels «■ se trouvent
régis par l'équation — := AMj u, analogue à la précédente — - = As tp , on en déduira de même , pour chaque point (a;, y, s), la relationy^uii/ = o.
Remarquons d'après cela que, dans toute onde sphérique propagée à partir d'un centre d'ébranlement et accompagnée ou non de changements de densité , chaque composante ts = w, ou ti, ou w, des déplacements , satisfait, en adoptant pour unité de longueur la célérité correspondante , à l'équation indéfinie
■^ = Aiff , complétée par ces deux comptions , que les valeurs initiales de ip et de ~ , savoir ^ ^^ pi (a;, y, s), ■-=- =r p {x, y, ») , s'annulent hors d'uiie très petite
région entourant l'origine. Ainsi , les valeurs successives de y seront, à part la sobstitution de r à (, celles qu'esprirae la formule (5) de )a p. 335, oii s désignera la section feite dans la très petite région d'ébranlement par une spMre d'un rayon
pareils mouvements donne les états vibratoires qui constituent soit le son, soit la lumière. Et l'on vérifie directement, ennore par la formule (Ç) [p. 335] , que le déplacement tp peut bien alors varier à volonté d'un point à l'autre d'une même onde, par exemple, ne recevoir de valeurs sensibles que dans le voisinage d'une certaine droite émanée de Pprigine.
Imaginons, en effet, que la petite région d'ébranlement ait à peu près la forme d'un disque plat normal à cette droite, composé de coucb.es ou de feuillets parallèles à ses bases , et que les fonctions o, pj , nulles m moyeime le long de toute perpendiculaire aux couchés , varient beaucoup plus leiitement d'un point à l'autre d'une mémo couche que d'une couche à l'autre. Il est alors évident que p et =, auront leurs valeurs moyennes à peu près nulles le long de
»■=:( décrite antoiir du point quelconque (a;, y, s), section sensiblement plane
pour les points (a;, y, i) non situés ti'ès près do l'origine. Oi' il est aisé d'en
déduire, pour ces points, la loi, trouvée plus haut (p. 684), de la proportionnalité
de ip à l'invei-ae de la dbtance icc^-^-y'^-t-s'^ le long d'un même rayon, quand on
suit l'onde dans sa mai^e ou , autrement dit , quand on fait varier la distance
précisément autant que t . de manière à avoir constamment à considérer les
mêmes sections planes a. Alors le premier terme du second membre de (ç) peut
, . 1 /pi*' s ecnre — , et il est évidemment inverse de r ■= f, c'est-à-dire de la distance.
Quant au deuxième teiTae, ( ■^-— , en y appelant t, ■>' deux sections paral-
4jc dr.i r lèles consécutives, distantes de s, faites dans la r^ion d'ébranlement, et pu p'i les valeurs de la fonction pi sur les éléments respectifs di, rfi' de ces sections, il peut évidemment s'écrire
Or, TU la petitesse de la région d'ébranlement, l'intégraleypidi varie, d'une section 5 à une autre parallèle , beaucoup plus vite que ne le fait la distance r du point donné (a;, y, s) à ces sections respectives. Autrement dit ,/r-i'do' diffère de/pirfi, relativement, beaucoup plus que r -1- s de r, et le terme considéré peut se réduire
- {fpi'd:
ce qui le rend bien
à la distance Va^-i-j/S-i-Bî.
toute droite coupant les couches sous un angle de grandeur perceptible et , par suite , aux divers points de la section œ sensiblement plane (lieu de pareilles droites parallèles entre elles), faite dans la région d'ébranlement par une sphère d'un rayon fini ayant son centre [x, y, z) partout ailleurs qu'auprès de la droite considérée normale au disque. Ainsi, pour tous les points un peu éloignés de cette droite j on
aura, dans la formule (Q [où le facteu — peut sortir du
signe/], /od^=o, /pid-j^o, et, par suite, y = o. Au contraire , pour les points voisins de la même droite ou situés, par rapport au disque , dans une direction sensiblement perpendiculaire à ses bases, les sections *, beaucoup plus grandes que tout à Theure et presque parallèles aux couches, ne rencontreront que quelqries-unes de celles-ci : donc les intégrales fpd-y, /pida s'y composeront , en général , non seulement de beaucoup plus d'éléments , mais aussi d'éléments tous de même signe , et seront ellesmêmes tantôt positives , tantôt négatives, ou n'auront de nul que la moyenne de leurs valeurs successives en chaque endroit. Par conséquent, les mouvements n'atteindront une amplitude sensible que dans la direction choisie.
On superposerait un nombre suffisant de pareils systèmes d'ondes , émanées simultanément du même centre, mais propageant le mouvement suivant divers rayons, pour obtenir un nouveau système, où les déplacements auraient suivant chaque direction telle amplitude qu'on voudrait.
Toujours dans l'hypothèse d'une région d'ébranlement très aplatie en forme de disque , mais avec des valeurs de 0 ou pi qui y seraient de même signe partout , les déplacements f produits , bien que cessant d'être aussi petits que précédemment aux points situés suivant les directions non perpendiculaires aux bases du disque, y seraient encore, néanmoins, beaucoup moindres qu'aux points voisins de la direction perpendiculaire, à cause des plus grandes valeurs
de T correspondant à ceux-ci; et ils n'y atteindraient pareille valeur moyenne que parce qu'ils persisteraient beaucoup plus longtemps , dans un rapport comme celui du diamètre du disque à son épaisseur. Par suite, les vitesses avec lesquelles ils se produiraient, étant inverses de leurs durées, se trouveraient encore, relativement, bien moindres qu'eux, dans un rapport de l'ordre du carré du précédent; et 11 en serait, à bien plus forte raison, de même des propres carrés de ces vitesses , ou des forces vives , qui sont surtout à considérer. La valeur moyenne de celles-ci continuerait donc à être, suivant la direction perpendiculaire choisie , incomparablement plus forte que suivant les autres. Ainsi, le mouvement se propage encore presque exclusivement dans le sens normal aux bases du disque (supposé assez plat) , quand les déplacements n'ont pas lieu de part et d'autre des situations d'équilibre et qu'il y en a même d'appréciables, mais produits avec une grande lenteur relative, le long de tous les rayons issus de l'origine ; ce qui confirme directement les considérations présentées un peu plus baut (p. 689).
On voit par là que le fait de rayons lumineux ou sonores latéralement délimités , c'est-à-dire d'ondes dans lesquelles l'amplitude n'est sensible que le long d'une droite donnée r émanée de l'origine , s'explique facilement , puisqu'il suffit d'y attribuer à la fonction (p^ des valeurs nulles , sauf pour les directions très voisines de celle du rayon choisi r. Mais il importe de remarquer, vu qu'on ne paraît pas l'avoir fait encore, que cette possibilité de disposer à volonté de l'amplitude au3S divers points d'une même surface abonde tient à l'exist&me des petits écarts \, -'ij^, ou à ce que les mouvements ne sont pas polarisés rigouremement , mais seulement à fort peu près. Et comme ils cessent dHtre rectiUgnes à, itned&uxîème approximation, il est clair que toute étude, fondée sur Vkypothèse d'une exacte rectilinéarité des trajectoires n'atteindra qu'un cas singulier, sans importance spé-
ciale, et condîdra, pour exprimer l'amplitude aux divers points d'une même onde, à des formules n'ayant rien de nécessaire, ou même jamais réalisées dans la nature. Ainsi, de pareilles formules n'auraient aucune valeur concrète (').
En résumé, dans les mouvements propagés autour de l'origine, les expressions de u, w, w sont sensiblement les produits respectifs de l'inverse— de la distance à cette origine par trois certaines fonctions T, m\ n' des cosinus directeurs — , -£.j — et par une fonction continue presque arbitraire, cp,, de ces mêmes cosinus ainsi que de la petite différence t — 1„, où t„ désigne le produit de r par une autre fonction déterminée des mêmes rapports — ^-^— . Et l'on voit enfin, sous cette forme analytique, que les lois précédentes, démontrées pour le milieu élastique dont les coordonnées sont ^, y, z et les déplacements m, v, w, s'étendront sans difficulté à l'autre milieu élastique dont il est le transformé, savoir à celui dont les coordonnées x', y', z', et les déplacements u', v' , nf , sont liés aux siens par les relations (3) et (4) [p. 669 et 670] . Car les formules approchées
(*) J'ai reconnu , on étudiant , non plus le cas d'une rupture momentanée de rêquilibre , mais celui de mouvements périodiques à courte péri.ode et à compoaantes sensiblement pendulaires , propagés dans un solide isotrope avec une célérité constante V suivant Vase des b, et d'amplitudes indépendantes de s, que l'hypothèse de déplacements a, »?, w de la forme
avec A et B fonctions de x et de y, continue à y êto'e admissible quand culle de l'exacte rectUinéarité des vibrations ne l'est plus , c'est-à-dire à cette deuxième approximation oii Ton tient compte des termes en î/, u', w' à côté de ceux en a", v", u/' {et les trajectoires y sont des ellipses ayant un ase parallèle à celui des ï) ; mais qu'eUe devient, à son tout', trop spéciale, quand on ne néglige plus les termes de l'ordre de «, «, w à cOté de ceux en «", u", w". Alors, en effet, elle conduit , pour les amplitudes A , B et pour les vitesses de propagation V, à des lois, d'ailleurs très curieuses, qui, dans les cas de graduelle variation en fonction de a; et de ^ (où les orbites deviennent ti'ès allongées ou très aplaties suivant les ï), ne s'observent plus pour peu que l'expression des déplacements s'écarte de cette forme dite pendulaire exacte, nullement obligatoire.
de u', p', w', qu'on en déduira par les substitutions, dans les expressions de — — '-— etdetpi, kr~Vx^-\-^^'i'Z^ età L^
de leurs valeurs tirées de (3) en fonction de r = \^a;'^+y^-t-/*
[/ / /) et de / ; seront encore , évidemment , les produits de
-; par certaines fonctions de — '■ ,' - et par la fonction tp,,
devenue, enx',^\z', de forme analogue à ce qu'elle était en 0, g/, z.
sus LES INTÉGRALES ASYMPTOTES DES ÉQUATIONS DIFFÉREN- TIELLES ,
Par m. J. Bûussine'sq (').
Parmi les intégrales d'une équation différentielle -7- = f[t, a;) , il y a lieu de considérer spécialement celles
que j'ai appelées asym'ptotes {") ou qui sont telles, que, pour une valeur donnée quelconque de t et pour toutes les valeurs, on plus grandes, ou plus petites, la fonction te y <i\{îèTG aussi peu qu'on veui de ce qu'elle est dans d'autres intégrales , fy'ès distinctes pourtant de celle-là , c'est-à-dire s'en écartant notablement pour les valeurs de t qui sont, au contraire, ou plus petites ou plus grandes que la valeur donnée. L'intégrale asymptote jalonne donc, sur tout son parcours , soit un lieu de réunion des intégrales particu-
(*) Cette note a été pi-ésontéô k V Académie des Sciences le 30 janvier 18K ; ■voir les Comptes-Rendus , t. XGIV, p. 208.
('*) Dans le mémoire intitulé Conciliation du véritable déterminisme mécor rtigwfl, etc., au Recueil de la Société des Sciences de Lille (t. VI, 1878, p. 50).
Je profiterai de l'occasion pour apporter ici un exemple ii l'appui d'une des notes complémentaires qui suivent ce ménioire (p. 151), relative aux fonctions continues sans dérivée. J'ai démontré , dans cette note , tju'on peut toujours , étant donnée une telle fonction /"(a;) , formev une fonction continue aussi peu différente qu'on veut de celle-là et pourvue cependant d'une dérivée ; qu'il suffit , à^cet effet , si F (o!) est la fonction primitive de f (ai) et s une constante très petite , de prendre
pour la nouvelle fonction le rapport ~ , extrêmement peu différent de /"(a:) par définition et qui admet la dérivée ~ -, C'est,
du reste, ce que l'on conçoit intuitivement; car, le rapport dont il s'agit exprimant /■(«) ■— des valeurs de [(je) dans une très petite étendue de
part et d'autre de la valenr considérée t» de la variahle, les inégalités d'amplitude insensible, mais k période infiniment courte , qui empêchent les très petites différences i /"(a;) de varier graduellement ou de posséder ce que j'appelle, aun" 1 de la même note (p. 152), la continuité relative , se trouveront infiniment atténuées ,
lières, qui viennent j les unes après les autres j converger dans son voisinage sous la forme d'un faisceau étroit , soit, au contraire, un lieu de bifurcation ou de séparation des intégrales particulières j qui en divergent successivement. Elle diffère de la solution singulière en ce que son raccordement avec les intégrales ordinaires ne se complète, en toute rigueur, que pour ^ = -t- oo ou — oo , non à des distances ou à des instants précis t; et elle se distingue des intégrales ordinaires en ce que, pour la valeur donnée de ^, elle présente des écarts inférieurs à toute qiiantité assignable avec des intégrales particulières qui s'en sont trouvées ou qui en seront sensiblement distantes , tandis que , pour la même valeur quelconque de t, l'écart de chaque intégrale non-asymptote d'avec toute autre solution qui en a été on
par neutralisation mutuelle, dans la moyenne, et la dérivée, expression de la con.tinuité relative ainsi acquise , ne poun'a manquer d'apparaître.
Appliquons cette idée à la fonction , continue et sans dérivée , mais d'ailleurs familière aux géomètres ,
oii (i( désigne des nomhres très rapidement croissants avec !, comme, par exemple, les produits 1.2.3. .,i, et où le signe de sommation N s'étend à toutes les valeurs entières de i depuis 1 jusqu'à co .
Gomme on aura , ici ,
X""^-^ , , du cos «f (iP — s) — cos nj (a; + 0 sin aj s . „. (., .) ™ = ^-^^ = ^-p m .,0,,
la fonction demandée, exti-èmement peu différente de (1) et pourvue d'une dérivée.
Le coetflcient , sensiblement égal à 1 pour autant de valeurs qu'on voudra
de a, à partir de la première, mais infiniment petit pour les valeurs infinies de o; . n'altérera qu'excessivement peu tous les termes de la série (i) entrant pour quelque chose d'appréciable dans la somme de cette série; et il anniiilera, pour ainsi dire, les termes à période infiniment courte, qui, tout insensibles qu'ils soient , ont des dérivées sensibles. Aussi , l'introduction de ce coefficient permettra-telle à la série ^) d'avoir la dérivée , parfaitement définie ,
11 est clair que, s'il se présentait , dans quelque application physique de l'analyse , une fonction continue sans dérivée , ou non graduellement variable , on aurait avantage à lui faire acquérir de même des dérivées ; ce à quoi l'on pourrait
qui en sera notablement distante ne descend pas au-dessous d'une certaine limite différente de zéro. Bref, la solution asymptote consiitue le no^au, ou mieux, l'a^ d'un faisceau d'intégrales , sa partie infiniment serrée , qui , comprenant les intégrales réunies depuis l'infini ou destinées à ne se séparer qu'à l'infini, est absolument sans largeur; au contraire les intégrales ordinaires voisines ne se rattachent au faisceau que d'une manière moins étroite, si ce n'est à l'infini , et elles ne le suivent de près que sur une partie de son parcours.
Soit, par exemple , l'équation
paiTenir soit par l'atténuation , comme on vient de voir, de ses ondulations infiniment courtes et d'une ampKtude infiniment petite , soit par un eliangement de variable qui réduirait, sinon la grandeui" de ces ondulations, du moins leur variabilité. J'ai fait usage (p. 535 de ce volume) du premier procédé, pour débarrasser de petites inégalités sensibles une fonction régie par une équation aus différences inèlées et, grâce à cette sorte d'uniformisation ou de régiilarisation, pour transformer l'équation dont il s'agit en une autre simplement différentielle. Quant an second procédé , une occasion de l'appliquer s'est offerte au n" 2i de la même Étude (p. 497 à 468) dans la question du mouvement transversal d'une plaque : il y a consisté à choisir la seconde des deux formes (31 bis] d'une certaine intégrale définie, fe, l'eselusion de la première, afin de s'en tenir à celle des deux où la variable r est éliminée du facteur 'J qui introduit dans l'int^rale des ondulations inllnimentcourtes.
Gomme on attribue naturellement aux fonctions non seulement la continuité , mais même une variabilité graduelle, toutes les fois que c'est possible , la logique ou, du moins, les principes d'unité et d'ordre qui guident l'esprit dans ses inductions exigeraient peut-être que l'on complétât toujours , implicitement , les fonc- Uons continues dites sans dérivée, par un terme inflninient petit de nature à leur donner une dérivée. Par exemple, il devrait être entendu qu'on ajouterait toujours aux n premiers termes d'une série convergente, pour obtenir la valeur de la série, on terme complémentaire R» , et que ce terme K,r , tout eu tendant vers zéro , varierait de plus en plus rapidement à mesure que n grandirait, si c'était nécessaire pour neutraliser des ondulations non moins rapides de la somme développée des n premiers termes. II est vrai qu'on n'aurait plus alors le droit de différentier une série en différentiant ses termes successife. Mais cette manière d'opérer souffre déjà une exception quand la série va cesser d'être convergente, là oii justement le reste R« , quoique fort petit , se met à varier très vite et oi: , par suite , bien que la série proposée puisse encore avoir une dérivée finie parfaitement déterminée, les dérivées de ses divers termes cessent de former une seconde série convergente. Or il est inévitable d'étendre l'exception à tous les cas où cette seconde série diverge , sans qu'on ait davantage le droit d'en conclure que la dérivée de la série proposée n'existe pas.
Son intégrale générale, entre les limites x^^l, est
X = tang bjp [t — c) = — - — — ■ ,
OÙ il faut donner à c des valeurs équidistantes , si l'on veut avoir des solutions dont chacune diffère également de la précédente sur l'ensemble de son parcours, Pour une certaine valeur de t, ta différence entre les deux expressions de X qui correspondront à deux valeurs consécutives c, c, de la constante égalera le quotient
cosh7p(! — c}.coshjp{( — c,)
quotient qui s'annule seulement quand c~^œ , ou , par sui te , quand w = ^l. Donc , il faut poser c = :^ao si l'on veut avoir des solutions qui, pour une valeur donnée quelconque de i, présentent des écarts aussi petits qu'on voudra d'avec des solutions différentes s'en écartant notablement pour d'autres valeurs de û. C'est dire que les deux intégrales extrêmes x = '^ l sont asymptotes , à l'exclusion de toutes les autres.
En général , représentons par f [t^ x) = c l'intégrale de l'équation proposée, et supposons le paramètre c assez bien choisi pour que deux solutions particulières différant notablement quelque part ( ne fût-ce même que pour de très grandes valeurs absolues de t) correspondent toujours à deux valeurs , notablement différentes aussi, de ce paramètre c. Il est clair que , pour une valeur donnée de t, quelconque mais fixe, c change alors infiniment vite à l'instant où, 0) variant , on traverse l'axe d'un faisceau d'intégrales ; car on croise , à ce moment , une infinité d'intégrales qui , étant venues , par exemple , s'approcher autant qu'on veut de Paxe pour des valeurs de ^ spéciales à chacune , avaient d'abord différé sensiblement les unes des autres et, par conséquent, correspondent à des valeurs de c nota-
blement espacées dans l'intervalle compris entre la première d'entr'elles et :!:go . Cela exige que la dérivée de 9 par rapport à a; , ou le facteur d'intégrabilité de l'équation différentielle 5 soit infini sur tout le parcours d'un axe pareil. Ainsi, les intégrales asymptotes s' ohtimdront en éga^ la/nt à l'infini le facteur d'intégrabilité , procédé qui donne déjà, comme on sait, les solutions singulières, lieux des valeurs de œ pour lesquelles , des intégrales voisines se joigiiantj l'écart dx de celles-ci est infiniment moindre qu'il n'est partout ailleurs, ou infiniment moindre que le changement correspondant de du paramètre.
Et la même règle s'étendra à un système quelconque d'équations simultanées (qu'on peut concevoir ramené au premier ordre); car si f(i,a),y,z)~c désigne xme intégrale générale d'un pareil système , aucune des fonctions de i appelées x ,y , zne pourra, en changeant aussi peu qu'on le voudra , entraîner une variation notable de c, que dans le cas où la dérivée correspondante (facteur d'intégrabilité) de f eu. x, y ou z dépassera toute grandeur finie.
On voit même que ces intégrales asymptotes rendront
infinie , non-seulement quelqu'une des dérivées —7- ,
mais encore la fonction 'f elle-même ou la constante d'intégration c, ce qui n'aura pas lieu dans les solutions singulières, où la valeur de f, à chaque instant t, sera celle de c dans l'intégrale particulière qu'une autre voisine joindra , à cet instant même, sur la solution singulière considérée.
Quoique ce procédé implique l'hypothèse de facteurs dlntégrahilité n'introduisant, par l'intégration, que des constantes sensiblement variables lors du passage d'une intégrale à une autre qui ne s'en écarte beaucoup que poifr de très grandes valeurs absolues de t, néanmoins, il m'a conduit à toutes les .solutions asymptotes que j'ai eu à étudier dans le mémoire cité (*) ; ■ et M. Poinoaré a reconnu
(*) Conciliation du véritable déterminisme mécanique , etc. , p. 69 h 77 et 88 à 98.
qu'il fournit aussi celles d'autres équations différentielles, étudiées par oe jeune et déjà éminent analyste. On pourra donc s'en servir, sous la réserve indiquée (et sauf à exclure par une discussion spéciale les solutions étrangères qu'il lui arriverait parfois de donner), en attendant que l'on découvre, si la chose est possible , une règle générale tout à fait sûre pour atteindre le même but.
Quand il s'agit d'équations linéaires , aucune intégrale n'est asymptote plutôt qu'une autre quelconque. En effet, les fonctions w, y, z sont alors du premier degré par rapport aux constantes c , et elles éprouvent , pour des accroissements déterminés de ces constantes, les mêmes variations quelle que soit l'intégrale particulière d'où l'on part; en sorte que diverses valeurs de x, y^ z, équidistantes pour une valeur de ^ , ne cessent à aucun instant de l'être , toutes s'écartant à la fois les unes des autres ou se rapprochant à la fois. Ainsi, les équations linéaires n'admetteni pas plus d'intégrales asymptotes distinctes que de solutions singulières. Mais toutes les intégrales peuvent y être dites asymptotes, quand elles se rapprochent indéfiniment pour t=-i-cc ou — — oo , et quand de plus , pour d'autres valeurs de t, elles divergent, au contraire , au point que les plus rapprochées partout ailleurs s'y écartent autant qu'on veut et en comprennent par suite, entre elles, une infinité d'autres s'écartant ainsi indéfiniment. C'est ce qui arrive , par exemple, pour les équations
dx œ dx
dont les intégrales ,
convergent, pour t — oj, vers la valeur a; = o , et divergent infiniment, les unes, pour t = o, les autres, pour t~ — co .
Sun l'intégration, par ai'proximations successives, d'une
