C:(i-hAf)~A;^ N

CîlH-Aî) M'

d'où Ton tire

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 8i

celle valeur ne sauraii évidemmeni êlre réelle, à moins que Ton n*ail

.-Cî-Cîg>o ou Cî<^;

c'esi-à-dire à moins que Tangle d'ouverture du cône donné ne soit supérieur à celui que forment entre elles les droites représentées par Téquation,

Mj' — N^* = o ou y

Cette restriction esl analogue, comme on voit, à celle qui existe pour le cas de Thyperbole, déjà considéré.

3" Cas oà les deux droites se superposent, — Lorsque réquation (i) peut prendre la forme, plus particulière encore Mj* = o, il faut, pour que l'équation (i5) de la section du cône lui devienne identique, qu'on ait

C;(H-Aî)-<Al=o et 2C,(n-AÎ)vi-C;7 = o.

Cette double condition ne peut être satisfaite qu'en posant simultanément

V = o et a; = — ^.

L'équation de condition

icj(i+A:)-Ana^-2A.7«+7»[cî(i-hA:)-i]=o,

devant toujours avoir lieu entre a et y, donne alors a=-;

ce qui montre que le sommet du cône peut être situé en l'un quelconque des points de l'axe des x.

Car, pour cet axe, on a effectivement

7 = o et a = — •

La quantité ~ étant le carré de la cotangente de la demi-

ouverture du cône, on voit que l'angle formé par l'axe de

ce cône avec Taxe des x, est alors précisément égal à celte

8a II* CAHIER. - LEMMES

demi-ouverlure ; ce qui prouve d'ailleurs, comme le montre

la figure ci-dessous où, toujours pour la simplicité, on a sup-

Fig. /,5.

prime la nappe opposée du cône, qu'alors ce cône touche le plan des xy le long de Taxe des abscisses 0 j:, dont Téquatîon sur ce plan est véritablement j= o.

Observons encore, en passant, que l'équation de Tintersection de ce plan et du cône, ayant la forme

représente en effet le système de deux droites confondues en une seule; circonstance qui a lieu ici, puisque Ton peut considérer la droite Ojt ou v.x comme une double arête de contact du cône avec le plan des xy,

4" Cas où les nappes opposées du cône se superposent selon un plan passant doublement par Paxe des y, — L'équaiion (i) prenant alors simplement la forme

±N^' = o ou x^r=o, qui représente doublement Taxe des/, il faut qu'onait

Cî[i-hAî) = o, 2C.(i-hA;)v'7^:rcj"7=o,

et toujours

c; (i 4- a; ) («^ 4- vO — ( A. a 4- ?)' = o-

Or on ne peut satisfaire à ces diverses équations par aucune valeur particulière de A,, il faut donc qu'on ait C, = o; cette supposition, en effet, satisfait en même temps à la première et à la seconde d'entre elles.

Quant à la troisième équalion, elle devient par là même,

(A,a-f-7)» = o, d'où a = — j-y.

Le cosinus Ci étant nul, on voit que, dans celte circonstance, Tangle de demi-ouverture du cône est droit, et par conséquent la surface conique réduite à un plan.

D*autre part, cette dernière équation représentant, dans le plan des xz, celle des deux génératrices du cône qui appartient à rorigine 0 des coordonnées {solution du cas général), cela fait voir que cette même génératrice et le plan tout entier d'épanouissement de la surface conique sont perpendiculaires à Taxe central du cône circulaire ainsi dégénéré, et viennent tous deux passer par Taxe des j; les quantités a et 7 restant d'ailleurs entièrement arbitraires ainsi que Ai .

L'équation (i5), en y faisant 7 = 0 et Ci = o, devenant

[Cî(i-|-A;) — Aî]^^ = o, ou —\]x' = o,

indique» d'un autre côté, qu'il y a deux génératrices du même cône, confondues avec l'axe des/; ce dont il n'est nullement difficile de se rendre compte à priori par la géométrie.

En effet, nyp,Oym représentant (Jig. 46)» je suppose, les deux génératrices suivant lesquelles le plan des xz rencontre

Fig. ^6.

p fil

un cône indéfmià deux nappes dont le sommet 7, intersection mutuelle de ces génératrices, est sur l'axe A 7, si l'on imagine

d4 II' CAHIER. - LEMMES

que Tangle au sommet de ce cône nym = Oyp^ s'ouvre progressivement sans que 7 change de place, il est visible que mO, pn se rapprocheront de plus en plus entre elles, et les nappes indéfinies du cône, d'un plan tel que mOy contenant Taxe fies jr.

Enfin, il est parfaitement clair aussi que, quand Tangle au sommet dont il s'agit atteindra 200° ou, sa demi-ouverture nyK = mykf loo", c'est-à-dire un quadrans, les deux nappes du cône se confondront avec ce même plan mOy, en s'y doublant en quelque sorte ou superposant, de même encore que les deux branches de l'hyperbole d'intersection de ce cône avec le plan des xj; se confondront, se superposeront d'autre part, avec l'axe Oy.

5° Cas où le sommet du cône s'éloigne à Vinjini au-dessus du plan des xy. — Lorsque l'équation (i) prend la forme — P^ = o, qui appartient à l'axe indéfini des j, pour que l'équation (i5) lui devienne parfaitement identique, bien que du deuxième degré, il faut qu'on ait à la fois

c;(i-hAn ^^ c?('-i-a;)-a; ^^ c.-(n-Aî)v^7iruf^ ' c.Ci-i-Anv'i-Cîv '

et toujours

On ne peut satisfaire en même temps aux deux premières équations par aucune valeur de A, et de C, ; mais il en sera

autrement si l'on prend 7==-, ou l'ordonnée verticale du

sommet du cône infinie, eu laissant d'ailleurs aux quantités trigonométriques C, et Ai des valeurs arbitraires. La troisième de ces mêmes équations donne alors

A.±:C,(i4-Anv^i-C; „£ ""•" Cî(i-HAn — Aï ^""o*

si l'on suppose toutefois que les valeurs prises arbitrairement pour A, et C, ne rendent pas nul le coefficient de 7 dans cette dernière équation, qui appartient généralement à une droite

passant par l'origine des axes coordonnés dans le plan des xz et contenant à une distance infinie le sommet du cône cherché. • Comme ce cône conserve d'ailleurs une oiiveriure déterminée (arbitraire cependant), il s'ensuit que la section OK (Jig» 47) ^^ ce cône par le plan des xr, est une conique de

grandeur infinie, et que, par conséquent, on peut considérer comme une ligne droite dans une portion quelconque mais limitée de son cours : l'analyse montre, de plus, que cette droite a pour équation ji = o, dans la région des coordonnées finies où elle se confond précisément avec l'axe des j. Cela est d'ailleurs visible géométriquement; car la génératrice O7 du cône dont il s'agit, passant par l'origine 0, et étant située âtfis le plan des xz, il est clair que le pian mené par cette droite et l'axe Oj, serait tangent à la surface conique.

Donc 0/ est tangent, en ce point 0, à la courbe de section OK; el, si l'on imagine que cette courbe vienne à s'ouvrir et à grandir de plus en plu§, par suite de l'éloignement du sommet du cône au-dessus de son plan, elle s'approchera continuellement, aux environs de 0, de sa tangente fixe O j, et finira à la limite, par s'y confondre entièrement ; le surplus de la même courbe ou section conique étant passé à l'infini. .

On voit donc géométriquement qu'il n'y a ici qu'une seule branche rectiligne de la conique qui se confonde avec l'axe Oj, Tautre passant à l'infini; aussi l'analyse no donne-t-clle que la simple équation ^ = g et non pas x^ = o, comme cela avait lieu dans le cas précédent.

6" eiiilii. Cas où le cône devient impossible ou eesse d'exister géométriquement. — Lorsque Téquation (i) peut se ramener à la forme particulière

représeniam le système de deux droites parallèles a Taxe des

)\ il devient impossible que l'équation (i5) de la section du

cône par le plan des xy puisse se réduire à cette forme. Car

il faudrait qu'on eût

Cr(i4-Aî)=o;

• condition qui ne peut être satisfaite à moins que Ci ne soît nul.

Mais alors le coefficient de la première puissance de x devenant nul aussi, ce terme disparaît de Téquation (i5) en. même temps que le terme en j^

Pour découvrir d'où provient cette impossibilité, il est nécessaire de remonter à l'équation même de la surface conique (12 6i>), qui remplit les conditions du problème de section ou de projection, tel qu'il a primitivement été posé. Or la quantité C» devant être nulle dans cette équation, elle prend la forme toute particulière

z — 7-hA, (a: — a)-hB.(7— p)=o,

appartenant à un plan qui ne peut être coupé, par un autre, que suivant une simple et unique ligne droite.

Quelque hypothèse que Ton fasse sur les indéterminées a,p, 7, Â,, B, et C, qui fixent la position et la grandeur du cône dans l'espace, il ne sera jamais possible de ramener l'équation générale (i3), de son intersection par le plan des xy, à la forme indiquée

±Nx»— P:r = o.

Néanmoins il SK^mble à priori, qu'en supposant les coordonnéeî> a, p et 7 infinies, le cône doive se changer en un cylindre droit à base circulaire, et par conséquent pouvoir, dans ce nouvel état, être coupé par une infinité de plans suivant deux droites parallèles.

Mais il n'en est réellement pas ainsi ; car, si l'on suppose que le sommet du cône passe à l'infini sur son axe central situé

DE GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE. 87

dans le plan des xz, sans changer d'ouverture , et par conséquent le cosinus Ci qui s'y rapporte restant toujours le même, il est clair que la courbe d'intersection de ce cône avec le plan des xz, tangente toujours à l'axe desj, ayant comme dans le cas précédent, une courbure infiniment petite,, devrait être considérée comme une véritable ligne droite confondue avec ce dernier axe. Si l'on suppose, en outre, que l'angle d'ouverture du cône, au lieu d'être quelconque devienne nul, alors il est évident que, soit que le sommet se trouve ou ne se trouve pas à rindui sur l'axe central, toutes les génératrices se confondant avec cet axe, la surface entière du cône se réduirait à ce même axe.

L'analyse conduit à des conséquences semblables. En effet, si dans l'équation (1261*5] delà surface conique. Ton fait Ci =1, elle devient, après quelques transformations,

-f-[A.(j— p)— B.(jl'v— a)p = o.

Le premier membre de cette nouvelle équation étant la somme de trois carrés, ne saurait s'annuler à moins que l'on n ait simultanément les trois relations

dont la dernière est une conséquence immédiate des deux précédentes.

Or on s'aperçoit facilement que celles-ci représentent l'axe même du cône, projeté sur le plan des xz et celui des yz. Donc, la surface conique se confond, en effet, avec cet axe.

Concluons de là que Téquation (12 bis) ne doit pas être considérée comme la plus générale possible d'un cône droit et circulaire, puisqu'elle ne saurait se réduire à celle d'un cylindre pareil, à base finie. Mais il en serait tout autrement si l'on considérait la surface de ce cône comme engendrée par le mouvement d'une droite indéfinie qui , passant dans toutes ses positions par un point arbitrairement donné, toucherait continuellement une sphère également donnée. Alors, en effet, l'équation du cône droit engendré de celte manière, aurait toute la généralité possible , et celle de son intersection avec

le plan des xy, serait aussi la plus générale parmi celles des sections coniques, puisqu'elle pourrait même représenter le système de deux droites parallèles.

Au surplus, malgré la restriction que comporte en soi la démonstration précédente, relative au cas où Téquation (i) se réduit à la forme particulière

on n'en est pas moins en droit de conclure, d'après nos dernières remarques, que le lieu géométrique de cette même équation (i) peut généralement être considéré comme une section conique.

Note additionnelle pendant V impression^

Autant qu'il m'en souvienne, après un aussi long laps de temps écoulé et d'événements survenus, la discussion était continuée sur un dernier feuillet, détaché du manuscrit de i8i3, sans doute à cause de retendue que comportaient déjà les précédents, relatifs aux cas les plus élémentaires de la question. Il restait, en effet, à examiner Thypothèse du cône oblique' d'Apollonius, à base circulaire, hypothèse plus générale que celle examinée ci-dessus pour le cône droit des Ëlémonts, quoique offrant des r^s d'impossibilité analogues, mais intéressant plus particulièrement la théorie des projections coniques ou centrales et les conséquences géométriques qui en dérivent, but sinon exclusif, du moins principal de ces premières études.

D'ailleurs dans la précédente discussion, on n'a pas assez insisté sur une remarque capitale au pointde vue de l'analyse et du principe de continuité : c'est que l'identité dont on s'occupe ne saurait avoir lieu rigoureus3ment, lorsque l'équation du deuxième degré en x et y^ dans le système de représentation des courbes imaginé par Descartes, appartient à des points, des droites ou des lignes entièrement imaginaires y comme on en a un exemple bien simple dans l'équation

relative à un cercle dont le rayon r^— i ne saurait appartenir à un cône réel ou géométrique, tandis qu'il peut fort bien être considéré, dans le même système de coordonnées, du moins au point de vue algorithmique ou symbolique, comme l'intersection d'une sphère par un plan indéfini extérieur à sa surface.

Cette intersection, en effet, est susceptible de se réduire à un point tout comme pour le cône, mais avec cette différence caractéristique que, dans ce dernier, d*après ce qu'on a vu, le point de section, toujours réel mais de natures diverses selon les cas, peut être aussi remplacé par le système de deux droites imaginaires qui, en s'y croisant sous un angle susceptible de varier entre certaines limites dépendantes de l'ouverture même de l'angle au sommet du cône, représentent une hyperbole à diamètres infiniment petits, etc., tandis que, pour la sphère, le point isolé ou de section tangentielle conservant , analytiquemcnt et exclusivement^ tous les caractères d'un cercle réel ou imaginaire, il ne peut, en aucune manière, être considéré comme la limite hyperbolique, parabolique, ni même elliptique, des sections semblables faites dans sa surface parallèlement à un plan quelconque donné : chose rigoureusement permise à l'égard de tout plan infmiment voisin du sommet du cône à deux nappes dont il est ici question, d'après les maximes généralement reçues dans l'École de Monge, et parce que, dans l'hypothèse de la continuité, les formes particulières de l'étendue figurée retiennent constamment quelques-uns des caractères essentiels, même des propriétés, des formes générales dont elles dérivent ou sont censées dériver.