SUR LA TBANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTANGULAIRES DANS

l'espace a TROIS DIMENSIONS.

Nous aurons besoin de faire usage des formules générales de celle transformation pour l'établissement du principe de projeetiony qui sert à convertir géométriquement le svslème de deux coniques quelconques appartenant à un même plan, en un système de deux circonférences de cercle situées sur un autre plan; ce qui exige que Ton recherche, à priori, la direction de ce dernier plan et le lieu des sommets susceptibles de satisfaire à la condition proposée.

Formules de transformation fondées sur la méthode géométrique de projection des polygones.

Soient A^, Aj, As les axes rectangulaires du système primitif; kx\ \y, \z' ceux du système auquel on veut passer; désignons par [x' x) l'angle que forment entre eux les axes x' et Xf par (x'x) celui des axes x' et y, et ainsi des autres.

ijo II* CAHIER. - LEMMES

Soit m un point quelconque de l'espace; abaissons, de ce

point, la perpendiculaire mn sur le plan kx'/y et du pied n

Fig. /|8.

de cette perpendiculaire ou ordonnée, la nouvelle perpendiculaire no sur Taxe kx' ; ce qui donne par convention

mn = z\ no = y^ et Ao=zx'.

Soit, de plus, abaissée du même point m, la perpendiculaire mp sur l'axe Aa:, on aura évidemment kp = x.

Cela posé, rappelons-nous qu'un polygone plan ou gauche étant situé dans l'espace, d'une manière quelconque, par rapport à une droite ou axe fixe Axy la projection de l'un quelconque des côtés de ce polygone sur cet axe, est égale à la somme des projections de ses différents autres côtés sur le même axe, en ayant soin, cependant, de regarder comme positives les projections des côtés qui forment un angle aigu avec le prolongement, A^, vers la droite de l'axe fixe donné, et comme négatives celles des côtés qui forment, avec ce même prolongement, un angie obtus; ces projections se retranchant nécessairement de la somme de celles des côtés qui répondent aux angles aigus.

Supposons donc que, dans l'espace, mn soit l'un quelconque (les côtés d'un certain polygone, on imaginera ce côté transporté parallèicmentà lui-même, à l'origine A des coordonnées. Dans cette posilion et d'après nos précédentes hypothèses, il se confondra avec l'axe A 2' des z', et, par suite, l'angle qu'il fait avec l'axe \x, est égal à celui des axes A 2' et Ax que nous avons désigné par [xz'):Lg point m étant ainsi confondu avec m', il faudra imaginer de nouveau, une perpendiculaire m'r

DE GÉOMÉTRIE ANALTOQUE. 91

abaissée de ce point sur l'axe A^, ei Ar sera la longueur ab-^ solue de la projection du côté mn ou m'A sur la direction indéfinie de cet axe. De plus, d*après la remarque ci-dessus, kp devra avoir le signe h- siTangle m' Kx ou [^cz'] est aigu, et le signe — dans le cas contraire. Or on peut trouver une expression algébrique ou trigonométrique de Ar, qui comporte avec elle implicitement son signe conventionnel de position. En effet, le triangle m'Ar étant rectangle en r, on a

— Ar = Am' X cos(m'Ar)=— w/iX cos [xz']

ou, ce qui revient au même,

Ar:=:Awncos(^-2'].

Cette expression emportera évidemment son signe avec elle; car, quand l'angle (xz') sera aigu, cos [xz') et, par suite Ar, seront positifs: dans le cas contraire, cos{xz' ) étant négatif, Ar le sera pareillement; comme cela doit être d'après nos remarques ci-dessus.

Cela posé, considérons le polygone gauche Kmno K\ la projection du côté A m sur l'axe Ax, étant égale à A/> ou l'abscisse ar, d'après ce qui précède, et cette projection devant être égale à la somme algébrique de celles des autres côtés A o =^7', on =y et mn=:z\ on aura généralement la relation

x = x' cos(a:x') -hy cos{xy) -\- z^ cos{xz'].

Si, au lieu de considérer plus particulièrement l'axe \x, on eût projeté le môme polygone sur l'axe A^'des j, on aurait pareillement obtenu la relation

j = a;'cos [yx'] -hr'cos(^V; -h z' cos{y'z').

Enfin, on obtiendrait semblablemcnt pour la projection sur l'axe A z ou des z,

z = x' cos ( zx' ) H-;>'' cos ( zr' ) -+- z' cos (zz']. On a donc, en récapitulant, les trois formules de transforijia-

lion des anciennes coordonnées rectangles Xy y-y z dans les nouvelles coordonnées de même espèce,

!x=zx' cos [xx'] H-y cos [xy) 4- z' cos (xz'), r=x' cos [yx' ) 4- / cos [yy ) -f- z' cos [yz* ) , z=ix' cos[zx') -^y* QOs[zy) -4- 2' cos [zz'].

Pour se servir de ces formules de transformation des coordonnées'o:,^ et z dans celles en x', y et 2', il est nécessaire, comme on voit, de-connatlre les angles [xx'), [xy), etc., qui y entrent au nombre de neuf, et parmi lesquels il en est évidemment un certain nombre de superflus ou dépendant des autres; ce qui provient de ce que les trois axes kx, ky, kz et les trois axes Ajt', ky, kz' sont liés par la condition d'être respectivement perpendiculaires entre eux. En effet, soient

x^=^az et yzzzbz

les équations d'une ligne droite quelconque passant par Torigine des axes A, et

x=^a!Zy yz=zl/Zf

celles d'une autre droite également quelconque, passant par le même point. Soit enfin V l'angle formé par ces deux droites; on aura généralement, comme on sait,

cos V = -

D'un autre côté, le cosinus de l'angle que la première de ces droites fait avec Taxe des x, a pour expression

celui de l'angle qu'elle fait avec l'axe des y est

enfin, celui de l'angle qu'elle fait avec Taxe des z,

En changeant a el b en a' el b\ on obtiendra les cosinus des angles correspondants formés par la seconde droite avec les mêmes axes. Si donc on suppose que la première droite se confonde avec Taxe Ax' des x\ el la deuxième avec Taxe \y des y, il viendra sans calculs.

cos(jr'^) =

-hb"

-hb"

VT

-ha"

y/'i -h «^ -h 6' v^i -h «'^ + 6'' cos{x'2) = — <> cos(r'-s) =

cos(j;'7) = ; -> cos (/j) = -

cosfx'^r) =■ ,. ^ cosfr'^l =

Maintenant, puisque l'angle (^'j') est droit, on a

f , .y i -\- aa' -\-bb'

cos [x'y] = , = o.

VT-hûM-ï^ \/i -+- a'' 4- 6''

En comparant cette équation de condition avec les expressions ci-dessus des divers cosinus, elle donne

cos [a/x) cos [yx] H- cos [x^] cos [yr] H-cos [x'z] cos [yz) = o.

On obtiendra, plus directement, encore les relations

cos^(jr'a:)4-cos^(^'/) -f-cos'(^'2) = i, cos^ (7'^) -h cos^' [x'x) "*" ^^^' {y^)^= I >

toujours relatives aux angles formés par les axes Ax' et A>' avec les axes des Xy y ex z respectivement. Évidemment on arriverait à des relations toutes semblables si Ton considérait

les couples d*axes or', 2' et y^yZ^; ce qui donne le double

groupe d'équations de condition :

/ cos [x'x) cos (yx) -f- cos (j/j) cos [yx) ■+- cos (x'z) cos [yz] = 0, cos [x'x) cos [z'x) 4- cos {x\r) cos (z' j) 4- cos {^2) cos [z'z] = 0, cos [yx] cos (2'j?) -h cos [y y) cos (2'j) -h cos [yz] cos (2';;) = o,

cos'(^'x) -hcos'(x'j) -f-C0S'(a:'2) = I, cos' (T'a:) -h cos^ [y y) H- cos' (j'-s) =1, COS' (2'^) -f- cos'{z'r) 4- cos' (z' 2) = i.

Ces équations indépendantes, étant au nombre de six et les angles [x'x]^ [y x), [z' x], etc., au nombre de neuf, on voit qu'il n y a absolument que trois angles d'arbitraires ; ces trois angles ne peuvent cependant pas être choisis tout à fait à volonté parmi les neuf dont il s'agit ; ce dont on peut s'assurer par les équations mêmes de condition ci-dessus.

Comme il serait difficile d'éliminer directement, de ces neuf équations dues à Carnot, les six angles dépendants des trois autres, on adopte, d'après Laplace, trois nouvelles données plus simples, ainsi que nous le verrons ci-après.

Formules de coordonnées inverses, — Si l'on a\ait à repasser du système d'axes rectangulaires \a:'y 2' au système ancien des axes xyz^ on pourrait y parvenir en tirant directement les valeurs de x', y' et z' des équations (i) posées en premier lieu.

A cet effet, pour obtenir la valeur de z\ par exemple, en fonction de x^ de y et de 2, on multipliera la première de ces équations par cos (s'a;), la deuxième par cos[z' y)^ la troisième par cos (s' 2), et en les ajoutant ensuite, membre à membre, on obtiendra la nouvelle relation

a: cos (2'j;)-hjC0S [z' x) -f-2c6s(2'2)

= x' [cos [x'x] cos [z'x] 4- cos [x')"] cos [z'y] 4- cos ( x'z) cos [z'z]] -\-y' [cos [y x] cos [z*x) 4- cos [y^ y) cos (s'jj-H cos [y z) cos[z'z]'\ z' [cos' ( 2' a: ) 4- cos' ( 2' j) 4- cos' ( s' s ) ] ,

qui, d'après les six équations de condition précédemment

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. yS

démontrées, se réduit à la suivante

2' = ;rcos [z' ^) 4- jcos (2'j) 4- ^cos (z' z).

On trouverait d'une manière semblable, les valeurs des coordonnées or' et y.

Si Ton se proposait notamment d'obtenir l'équation du plan des ^'y, rapportée aux axes des ^, des^* et des 2, cela serait très-facile, d'après ce qui précède.

En effet, 2' est nul pour tous les points du plan x'y ; par conséquent si l'on fait z' = 0 dans la formule écrite en dernier lieu, l'équation qui en résultera

JTCOS {z'x) H- rC0s(2' r) -H2C0S [z' z] =0,

exprimant la condition même qui doit exister entre les coordonnées jr, j et 2 des points de l'espace pour lesquels 2' est nul, c'est-à-dire pour tous les points situés sur le plan des x'/', cette équation sera nécessairement l'équation même du plan demandé.

Formules de transformation fondées sur les méthodes de la trigonométrie sp/iérique.

Nous avons déjà fait observer qu'on pouvait choisir d'autres données angulaires, sinon plus simples, du moins en plus petit nombre que celles ci-dessus, pour fixer la position des nouveaux axes x\ y' et z' par rapport aux anciens. Ces données, choisies de préférence, ainsi qu'on l'a dit, par Laplace, sont généralement admises dans les applications comme très-commodes. Nous ferons cependant remarquer qu'il pourrait être plus simple encore de leur en préférer d'autres dans certains cas particuliers : de ce choix, en effet, pourra dépendre souvent plus d'élégance et de facilité dans les calculs algébriques à effectuer.

Soient Xy y, z les anciennes coordonnées; x\ y y z' les nouvelles. Supposons l'origine A [fg, 49), au centre d'une sphère de rayon i ; les trois plans des anciennes coordonnées couperont la surface de cette sphère suivant des grands cercles

% II* CAHIER. - LEMMËS

qui, par leurs intersections mutuelles, formeront le triangle

sphérique tri-rectangle xyZy dont les sommets seront les ex-

fig 49-