A. = ±CA

le numérateur de l'expression sous le signe radical, est toujours positif, quelle que soit la valeur du rapport de 6 à a, mais le dénominateur ne peut Tèlre qu'autant que

'-Cî-c;^,>o, ou c;<— ^-.

Toutes les fois donc que cette dernière condition sera remplie, l'hyperbole représentée par l'équation (i) ou (i4), pourra être placée sur le cône donné. Dans le cas contraire, cela ne sera plus possible; mais si l'on suppose que l'angle d'ouverture du cône et, par suite, son cosinus C, soient arbitraires, alors, en choisissant cette ouverture de manière que C| reste au-dessous de la fraction numérique

l'identité précédemment établie entre les équations (i3) et (i4)

deviendra possible, et par conséquenl la courbe représentée par l'équation générale (t) pourra encore être considérée comme une véritable section conique. Toutefois, dans ce même cas, le cône donné cessera d'être entièrement arbitraire.

Interprétation géométrique, — Il n'est pas difficile de se rendre raison de ce qui précède d'une manière purement géométrique. En effet, considérons une section hyperbolique dans un cône; si l'on mène par le sommet de ce cône un plan parallèle à celui de la section, il le coupera suivant deux arêtes respectivement parallèles aux asymptotes de l'hyperbole, et qui formeront entre elles, par conséquent, un angle égal à celui de ces asymptotes. Or l'angle que forment entre elles deux arêtes quelconques du cône, ne saurait être plus grand que l'angle au centre de ce cône ; donc aussi l'angle des deux asymptotes d'une hyperbole appartenant à sa surface indéfinie et à nappes opposées par le sommet, ne ^aurait de même surpasser l'angle au centre de ce cône, et par conséquent le rapport b : a, qui représentée tangente trigonométrique de la moitié de cet angle, ne saurait non plus être supérieur à la tangente de l'angle de demi-ouverture du cône, ou, si l'on veut, à celle de l'angle dont nous avons appelé le cosinus Ci.

Mais cette dernière tangente est égale à

Donc on a effectivement

i<\Jk'^'^ ^" c:<—

comme ci-dessus.

Cas du point isolé y de la ligne droite, etc. — 11 reste à considérer le cas dans lequel l'équation (i), ou la transformée (i4) qui la remplace exactement, représente un point, une droite isolée ou le système de deux lignes droites parallèles ou non parallèles.

Or il est facile de voir, sans recourir à l'analyse des coordonnées, qu'un point, une ligne droite ou le système de deux

droites données, pourvu qu'elles ne soient pas parallèles, peuvent résulter généralement de Tiniersection d'un cône quelconque et d'un plan passant par son sommet; plan qui, pour le cas particulier du point isolé, n'aurait que ce sommet en commun avec la surface conique; qui, pour le cas de la droite isolée et unique, serait tangent à cette surface; qui, enfin, pour le système de deux droites concourantes, traverserait de part en part la surface, en la coupant suivant deux arêtes ou génératrice^ rectilignes.

Quant au système (ïè deux droites parallèles, il pourrait encore être considéré, au point de vue de l'analyse géométrique de Descartes, perfectionnée principalement par Euler et par Monge, comme l'intersection d'un plan et d'un cône dont l'angle au centre serait nul, et qui, par conséquent, serait réellement devenu une surface cylindrique circulaire.

De tout cela il est permis de conclure, en général, que, quand Téquation (i] peut être ramenée à la forme de l'équation .(i4)» et appartient à un lieu réel, cette équation doit être considérée comme représentant une section de cône droit dans toutes les conditions possibles.

Si l'équation 1[i) de la ligne du deuxième degré proposée ne pouvait être ramenée qu'à la seconde des formes (i4), alors, pour la rapprocher de l'équation générale (1 3) des sections effectives du cône, on commencerait par supposer dans celle-ci a = 0 et B, = o ; ce qui ferait à la fois disparaître de cette équation, le terme en x et celui en xy\ L'axe du cône correspondant à ces hypothèses serait alors situé dans le plan des jz, et l'équation de la section conique se réduirait à

Disposant maintenant de p et 7 de façon à faire disparaître le terme tout connu de cette dernière équation, on aura entre 7 et p la relation suivante, toujours possible,

Cî (P' •+■ 7') (n- b; ) - (7 -^ PB, )^ =: o.

L'équation de la conique deviendra ainsi

CJ(, -|-B;)x^4-[Cî(i4-Bî)-B;]r

-2|[c;(i + B;)--B;]p-.B.7Jr=o,

qui csl effectivement, comme on voit, de la môme forme que réqualion

a'^'±6'/^ — 2aè*j = o,

et peut lui être identifiée. £n suivant donc la marche indiquée précédemment, on en tirerait absolument Les mêmes conséquences; ce qui permet de conclure, sans restriction aucune, que l'identité des lignes algébriques réelles, du second degré, représentées par Téquation générale (i)^avec les sections obtenues dans un cône droit à base circulaire, est parfaite, et que, par conséquent, toutes les lignes réelles et possibles du second degré, sont en effet des sections coniques.

Conclusion générale, — La marche qui vient d'être suivie est, ce me semble, très-claire et très-rigoureuse. Elle résout en même temps, d'une manière fort simple, le problème géométrique de placer une courbe du deuxième degré sur un cône droit et circulaire d'ouverture donnée; car les expressions de A, a et 7 que nous avons obtenues et qui déterminent la position de ce cône ou, si l'on veut, de la courbe, sont très-faciles à construire géométriquement.

Discussion analytique relative à quelques cas

exceptionnels.

Afin de mettre plus de rigueur et de précision dans la démonstration précédente , on y a employé des considérations géométriques, bien simples il est vrai, pour prouver que quand l'équation (i) représente simplement un point, une droite, etc., elle doit encore être envisagée comme une véritable section conique; mais on peut désirer savoir comment on parviendrait à tirer les mêmes conséquences de l'analyse seule des coordonnées.

Supposons donc, comme nous l'avons admis tout d'abord, d'après les Traités de géométrie analytique élémentaires, que l'équation (i) puisse être ramenée à la forme de la première des équations (9) ou, plus généralement, à celle-ci

celle équalion sera susceplible des cinq modificalions essenlielles suivanlcs :

P^ = o, ±Njr' — Vx = o;

le cas de Mj* — P^ = o répondanl à celui de la parabole, que nous avons déjà disculé, el les divers autres aux circonstances toutes particulières où l'équation (i) représente un point isolé, une ligne droite, etc.

1® Cas du point isolé et des droites imaginaires, — Dans le preniierde ces cas relatif à Téqualion

les quantités M el N étant censées à la fois positives, on aura no-

cessairement ou x = o et 7 = o, ou j = ± i / — rf ^ ? 1 équation (i) représentant alors Torigine des axes, ou deux droites imaginaires qui s'y croisent. Or, pour que Téquation (i) devienne identique avec M/^ 4- N j:' = o, il faut qu'on ait

ip2C.(H-A;)v/i — C;7 = o, d'où 7 = o(*), valeur qui, substituée dans l'équation de condition

C?(i + Aî)(a»4-7')— (7H-A,«)' = o,

donne également a = o. Donc le sommet du cône est luilïïême situé à l'origine des coordonnées. Il faut, de plus, que l'on ait

cas auquel l'équation (i5) deviendra nécessairement décomposable, comme on l'a dit, c'est-à-dire en j; = o et j-= o, etc.

(*) On peut aussi satisfaire à celle é(|uation en faisant i— Cî = o; dans ce cas particulier, le cône so réduit à son axe môme, ce qui n'est point une nouvelle circonstance ; car la quantité C, restant arbilraire dans le cas général, peul être égale à l'unité. {Note de i8i3.)

8o H* CAHIER. - LEHMES

Or on tire de cette inégalité,

Aî<

ou

VW<t

/i -— c dans laquelle évidemment le radical i/ — ' exprime la tangente trîgonométrique de Tanglc de demi-ouverture du cône, et -j- la tangente pareille de Tangie que Tax&OA de ce cône fait avec Taxe des z; donc il faut que Tangle AO/i soit plus

Fig. 44

petit que l'angle AO^; il est visible, en effet, que si le contraire avait lieu, le plan des xy pénétrerait dans le cône ou le couperait suivant deux droites réelles.

Du reste, la grandeur de A, restant indéterminée, il y a une infînité de positions du cône pour lesquelles la même circonstance a lieu nécessairement.

2® Cas cTun couple de lignes droites réelles qui se coupent. — Quand l'équation (i) se réduit à la forme Mj^ — Nx* = o, on a toujours 7 = 0, d'où a = o; ainsi, dans ce cas, le sommet du cône est encore situé à l'origine des coordonnées; mais il faut, de plus, que l'on ait