AZ
trémités des axes kx, Aj, A^ : on obtiendra un pareil triangle x'y z' pour les nouveaux axes Ax', \y,\z'.
Cela posé, il est évident que la situation de ces derniers axes, par rapport à ceux des x, yoi z, sera parfaitement déterminée si Ton connaît : i*> l'angle BAj= 0 que forme sur le plana^-, la trace AB du plan or'/'avec Taxe Aj; 2" l'angle ^ que ces deux plans forment entre eux; 3*» enfin l'angle BA/'î=>^ que la même trace AB forme avec l'axe A/'.
Les trois données angulaires 9, ^ et ^l^ étant nécessaires et suffisant pour déterminer la position relative des axes ^, y et 2', il s'agit de calculer, au moyen de ces seules données, les valeurs des neuf cosinus qui entrent dans les équations (i) trouvées ci-dessus, par la méthode directe et purement géométrique de projection des polygones. D'abord, pour déterminer cos(^j/), on a le triangle sphérique Bx^x, dans lequel on
connaît
l'angle en B = «p,
le côté Bx=:yx — Bj= 100** — 9,
le côté Bx' = By -h/ x' = loo» -4- ^.
On trouvera ainsi, par la formule générale de trigonométrie,
cos c = cosa cosfr 4- sin a sin b cos C,
la première relation
cos [xx') = — sin 0 sin 4» -f- cosô cos>|/ cosy.
Le triangle sphérique Br'jc donnera pareillement
cos(^^r') = sinô cos>I^ 4- cosôsin>|/ cos? (*).
Pour calculer le cosinus de (xz'), on doit remarquer que cet angle, formé par les axes A^ cl kz\ est supplément de l'angle en D, que forment entre eux les plans des j-s et des :r' y, perpendiculaires à ces axes. Or, dans le triangle BD^, rectangle en j, on connaît le côté Bj=G et Tangle B = y; on aura donc, d'après la formule connue de trigonométrie sphérique, cosC = sinB cosc,
cos(D) = cos[20o® — (^2')] = — cos(^2' ) = sin<j>cos0,
et, par conséquent,
cos (scz^) = — siny cos9.
Calculant, de même, les autres coefficients des formules (1), on obtiendra successivement
cos {x'jr) = — sin+cosô— sinô costp cos^p,
^os[yy^) =cosôcos>p— sin9sin>p C0S(p, cos(xz') =sinOsin(p,
cos(zx') =sinycos>|/, cos(2y) = sin«j)Sini^, cos (22')=: cos y.
Substituant enfin ces valeurs dans les formules (i), elles deviendront respectivement
X =x'[ cosO cosf cosip — sin 9 sin ij/ ) 4- y ( cos 0 cos f sin >!; H- sin ô cos >p ) — 2' cos 0 sin y,
(3) ^ jr== — a:'(sinôcps«ï>cos^^-^-cosôsin^^)
— y (sinôcosfSin>I^ — cos9cos>H-4-3'sinOsin<p,
z = j^'siny cos>|/-f-ysin<j>sin + -4-2'cos<p. Les mêmes substitutions opérées dans l'équation
^cos(2'j;) -f-jcos(2',r) -+- 2C0S [z'z) =0
i * ) On comprend que n'ayant en ma possession aucun ouvrage de géométrie ou d'analyse, j*aie élé obligé de rectiercher à priori, les différentes formules de trigonométrie plane ou sphérique, échappées à ma* mémoire depuis ma sortie de l'École polytechnique en 1810. Cela explique com-
du plan (les x'^', donneraient, toutes simplifications faites,
z =tangycosôx— tangf sinOj.
Cette équation particulière nous sera utile par la suite.
Établissement élémentaire des mêmes formules par la rotation
successive des plans coordonnés.
On aurait pu parvenir d'une manière entièrement directe, aux trois formules représentées sous le n" 3 ci~dessus.
Supposons d'abord qu'on laisse Taxe des z fixe, et qu'on déplace seulement les axes \x et A j, de façon que le nouvel axe AB, ou des y, fasse un angle 0 avec A^; alors on aura
r=>''ros9 — or'sin ô, j; = r'sin0-|-.r'cos9, z = z'.
Les axes des x, /, z étant ainsi changés momentanément en ceux des x', des j' et des 2', supposons de nouveau, que, laissant l'axe auxiliaire AB fixe, on fasse tourner le plan des x' y autour de AB, de façon qu'il forme un angle ^ avec le plan des xjr\ le nouvel axe des x" formera l'angle ^ avec le précédent des x'y et l'on aura par les formules de transformation des coordonnées dans un plan, posées dans la première subdivision de ce Cahier,
x' =^ x" co^vf — <2''sin«j), 2' = j:"sin^-4-i;"cos7, y ^=.y^' .
Enfin, supposant de nouveau, qu'on laisse fixe, à son tour, l'axe des 2*', et qu'on fasse tourner les axes précédents des x" et des y, de façon que, devenus ceux des ^ et j*', l'angle de transition [y" y"')y désigné par BAr'" sur la yfg^. 49» égale l'angle >|/, on aura
y —y'" 0,0%-^ — X*" sin>p, x" =r'"sinrH-:c'^cos>p, iî'' = z*'.
Or, il est bien évident que, par ces rotations ou changements
ment j'avais été conduit, pendant mon séjour à Saratotf^ à rédiger d'autres cahiers qui pussent servir de base solide à des études spéciales de géométrie analytique. Mais ces cahiers, de lemroes si généralement connus et par conséquent sans intérêt aucun, n'ont point été rapportés en France, parce que j'en avais disposé en faveur de compagnons d'infortune avant mon départ de Saratoff, en juin 1814.
successifs des plans coordonnés, les axes ^,/*, z"" auront précisément acquis la position que Ton avait finalement attribuée aux axes des x\ y et 2', dans la fig. 49 et l'article cidessus; de sorte que, si Ton peut obtenir les valeurs de x, j, z au moyen de x^, y^ et z'\ par les neuf équations précédentes, on devra, à cela près, retomber précisément sur les formules (3) obtenues par la voie trigonométrique.
C'est ce qui arrive en effet, quand on essaye de remplacer, dans les valeurs précédentes de x\ y\ z' celles de x", j^, z'\ puis qu'on substitue, à leur tour, les valeurs trouvées pour x\ f et J3' dans les expressions de x, y, z.
Ces substitutions n'offrent de difficulté que la longueur.
DONNÉES ET RECHERCHES ANALYTIQUES SUR LES SECTIONS CIRCULAIRES DU CONE ORLIQUE A RASE QUELCONQUE DU SECOND DEGRB.
Équation générale du cône de base et de sommet donnés. — Représentons, sur le plan des xy, celte base par l'équation
ay^ -+- bxy' -h cj?' -^ dy -^ ex -\- i =0,
la plus générale des courbes du deuxième degré, et soient a, p, 7 les coordonnées correspondantes du sommet du cône dont il s'agit de déterminer la direction des sections circulaires; l'équation de sa surface sera évidemment
H-rf[p(2-7)-7(j-p)](2-7)
OU, en ordonnant,
(4) I — (2ûp-4-6a-4-rf)7j2 — [7,ca-\-hP'\-e]^xz \ +67'J7*-|- = 0.
Équation, en x' et j', de la section du cône par un plan ar-
bitraire. — Imaginons, par l'origine des coordonnées, un plan de direction arbitraire, ce plan coupera, en général, la surface conique suivant une autre courbe du deuxième degré; et si cette surface est susceptible de sections circulaires dans une direction inconnue quelconque, il est visible qu'on pourra déterminer les deux arbitraires qui fixent la position du premier plan, de manière à rencontrer aussi cette surface suivant un cercle, dans une direction parallèle à la précédente.
Cela posé, imaginons qu'on prenne le plan inconnu pour plan des x^y^ et qu'on rapporte la surface conique à de nouveaux axes rectangulaires, en laissant (ixe l'origine des coordonnées, et se servant, à cet effet, des formules (3) du précédent article ; cela donnera pour la surface conique considérée, une nouvelle équation erttre les coordonnées j/,/',-^' ; de sorte que, pour obtenir l'équation de son intersection avec le plan des x'^y il suflira d'y faire z* = o. Or on arrivera plus directement à cette même équation, si l'on substitue dans l'équa- * tion (4) ci-dessus, les valeurs (3) des coordonnées x^yel z, dans lesquelles on aura supposé, tout de suite, z* = o.
De plus, rien n'iempêche d'y supposer l'angle iI' = o, ce qui réduit les formules (3) aux suivantes,
x=x' cosO cos(p -h y sinO, X= — a:' sin 0 cosep -h y cosô, z = x'sïnff.
Au moyen de ces valeurs de x, y et z, l'équation (4)» en l'ordonnant, deviendra
x" [sin'(p (ap* -I- 6ap -h ca' -i- rfp -i- ea -I- i) H- ^7» sin*©cos»(p -f- C7* cos'O cos^ç -f- sinO sin^ coscp (2ap h- fca -f- rf) 7
— cosOsinf C0S7 (2ca 4- ft P-+-^) 7 — ^7* cosô sin© cos'y] -f-7'*[«7'cos*ô -4-C7'sin'0-h 67*sin0cosô]
-H x'y [2 (c — a) 7' sin 9 cos 0 cos^p — cosô sin f (2ap-hfta-H rf) 7
— sinOsin^(2ca-f-6p-f-e)7 -f- Ay^cosçcos'ô
— ft7*cosf sin'ô] -f-. . . =0.
C'est, dans les coordonnées x' et y ^ l'équation même de l'intersection du cône avec le plan arbitraire des x* y ^ passant par l'origine des coordonnées.
DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. loi
Plan de section circulaire, — Pour déterminer les arbitraires 7 et 0 qui fixent la position de ce plan, de manière que réquation précédente représente un cercle, il faut que, séparément, elles satisfassent : i^ à la condition
sin»<p(ap'-j-6ap-j-ca'-j- Jp-j-^a-j- i) -j-a7'sin'0cos'<p -f- C7' cos*ô cos^<p 4- sin 0 sin y cosy (2ap-|-6a-hrf)7 — cosôsin<pcos<ï»(2ca-h6p-4-e)7 — 67'cos0sinôcos'«p = a7'cos^0 -4- c'7*sin'ô -h 67'sin0cosO,
qui exprime l'égalité des coefficients des termes en x'^ et y, et a*", à réquation de condition
2(c — /i)7 sinôcosôcos<ï»— ^cosôsin(p(2ap -j- 6aH-c/) — sinOsin^ (aca-i-ftp-f-e) -1-67 cos<p(cos'0 — sin^ô) = o,
servant à faire disparaître le terme en x'y.
Ces équations, en même nombre que les inconnues y et 0, suffiront pour en déterminer les valeurs par Télimination.
Cas. où les axes des coordonnées x et y coïncident avec les axes principaux de la base du cône, — Supposons, afin de simplifier les calculs, que cette base située dans le plan des xy, soit rapportée à son centre et à ses axes principaux ; alors l'équa- 'tion générale établie ci-dessus pour cette courbe, prendra la forme particulière
ay^ -4- cx^ H- i = o ;
les coefficients b, d eie seront nuls dans les deux équations de condition précédentes, qui prendront, à leur tour, la forme plus simple
|sin'<j» («p^ H- ca' -h i) -I- «7' sin'Ô cps'f -i- C7' cos' ô cos' <j) 4- 2 a p7 sin Q sin <p cosf ^ — 2ca7COSôsin(pcos<p = ^7'cos*0H-C7'sin'ô,
pour la première, et
(6 ) 7 ( c — a) sin 0 cos 9 cos f — a p sin f cos 0 — c a sin 0 sin «p = o,
pour la seconde.
joa II* CAHIER. - LEMMES
Posons, pour abréger,
iang© = w ei coly = x»
ce qui donne, comme on sait,
smy==— : ? cos<j> — — —
sin8=— ==» cos6 =
Substituant d*abord les valeurs de sin^ et cos^ dans les équations (5) et (6), elles deviennent respectivement
ap'-f-ca*-|-i— 7*(acos'^4-esin»ô)-|-7*(c — a)(cos'ô — sin*Q);t* 4-27 (ap sin ft — COL cos ô) x = o,
pour la première, et
y[c — a)sinôcosôx — «pcosô — ca sin ô = o,
pour la seconde.
Direction de la trace du plan de section circulaire sur celui de la base du cône. — On tire immédiatement de la dernière des équations de condition ci-dessus,
«ficosO-h casino ^ y(c — ajslnôcosO
Substituant celte expression de x dans la première des mêmes équations, et remplaçant dans le résultat, sinO et cosO par leurs valeurs en 0», elle deviendra
ap*-|-ca*-hi — C7' — 7'(a— c)
^ ' [c — a)w=* (c — aj»
Chassant enfm les dénominateurs de cette dernière équation, ce qui donne
(flP'-hca»— C7^-|-i) [c-^a) (w^ -f-w*) -f-7*(c — rt)'w= (l — w*)(rtP-|-Ca«)'-|-2 (flP« — Ca) («p-f-caw) (w4-«»)=o,
DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. io3
et effectuant les calculs, il viendra, toutes réductions faites et en ordonnant par rapport à l'inconnue «>,
^' I — [c — a-|-ac(p^— a' — 7=»)4-a'(P^-4-7')]»' — «'p' = o.
Discussion du résultat. — Cette équation étant du sixième degré en «>, il en résulte, en général, six positions du plan sécant pour lesquelles l'équation de la courbe d'intersection de ce plan et du cône donné, manquera du rectangle en x'y, et où, de plus, lès coefficients des termes en x'^ et y^ seront égaux entre eux.
On voit, d'une autre part, que trois de ces positions sont symétriques par rapport aux trois autres, du moins en ce qui regarde la trace du plan sécant sur celui des x/. Or cela provient évidemment de ce que «, p et 7 n'entrent qu'au carré dans l'équation ci-dessus en &>.
En effet, si, au lieu de considérer ces coordonnées du somme! du cône comme toutes positives, on supposait, par exemple, que p et 7 fussent seules positives et a négative, il est clair que, dans ce cas, l'équation en oi conservant exactement la forme précédente, le sommet et par conséquent le cône tout entier, se trouveraient placés en dessous et symétriquement par rapport au plan des yz.
Pareille chose arriverait encore si l'on supposait soit p, soit 7 seuls négatifs; mais ces deux hypothèses donneraient évidemment les mêmes positions de la trace du plan sécant sur celui des xjr, que dans le cas précédent et celui où a, p et 7 sont censés à la fois positifs. 11 n'y a donc réellement que trois couples de positions ou de directions distinctes du plan sécant qui résolvent la question dans cette hypothèse générale de a, p et 7 positifs.
Toutefois, on ne doit pas en conclure qu'il existe géométriquement parlant, six positions du plan x'jr' qui puissent couper le cône en question suivant des circonférences de cercle ; car on sait bien qu'il n'y en a réellement que deux de cette espèce. A la vérité, les valeurs de w données par l'équation ci-dessus, sont telles que l'équation de la courbe d'intersection du plan correspondant ne renferme pas le terme en x'/j et que le
io4 IP CAHIER. - LEMMES
coefficienl du terme en j'* et celui en x'^ y sont égaux entre eux; mais on sait parfaitement aussi qu'une telle équation ne représente pas, pour cela, nécessairement une circonférence de cercle réelle et finie; puisque notamment, elle pourrait prendre la forme
[my -\- pY •+- [mx' 4-/i)*= o,
cas auquel la section se réduirait à un point, comme on en verra ci-après un exemple.
L'axe du cône est supposé perpendiculaire au plan de sa base. — Supposons que a et p soient nuls, Téquation (7), cîdessus, donnera pour ta les valeurs suivantes :
I , , I — ay^
0)2=:-, w'=o, et w'= --i
or on peut s'assurer que les deux premières valeurs de w correspondent seules à des sections circulaires.
Quant à la troisième qui, substituée dans les équations de condition (6) ci-dessus, donne cosy = o et par suite (p = ioo**, elïe correspond à la position du plan des x^ y, pour laquelle réquation d'intersection de ce plan avec le cône proposé devient simplement
c'est-à-dire qu'il coupe le c6ne suivant un point unique confondu avec son sommet même.' Quoique celte troisième valeur de 6> semble correspondre à une solution particulière du problème, elle ne peut cependant en être séparée analytiquement, de sorte que, à ce point de vue, la question est, tout au moins, du troisième degré.
On peut remarquer en passant, combien les résultais de l'aaalyse sont conséquents entre eux ; car si, dans le cas du cône oblique qui nous a d'abord occupés, il était possible de résoudre la question par une équation du deuxième degré, c'est-àdire qu'on pût déterminer, à priori et géométriquement, la position du couple de sections circulaires ou sous-contraires de ce cône, il s'ensuivrait inévitablement qu'on pourrait déterminer, de même, celle de ses trois axes diamétraux rectangu-
DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. io5
laires, dont la position de s^rmétrie à l'égard de ce couple de sections est bien connue. Or on sait que la recherche de ces trois axes conduit, quoi qu'on fasse, à une équation finale du troisième degré; ce qui s'accorde, au fond, avec les résultats trouvés précédemment (*).
BECHEBCHB ANALYTIQUE DES RELATIONS DE POSITION ENTRE LE SOMMET D*UN CONE DU SECOND DEGRÉ , SA RASE ORLIQUE ET LA DIRECTION DE SES PLANS DE SECTIONS CIRCULAIRES.
Exposé préliminaire. — Dans le n** III, nous avons supposé que le cône fût connu par sa base et son sommet, et il s'agissait alors de déterminer la position du plan qui, passant par l'origine des coordonnées, couperait ce cône suivant une cir-
(*) Cet article et le précédent, qui touchent à la métaphysique de la géométrie et du calcul, se rattachent aux idées ou mieux , à Fesprit dans lequel ces premières recherches ont été entreprises ; ils auraient besoin d'éclaircissements, de commentaires, de rectifications même, telles que M. Moutard, dont Futile coopération sera mieux caractérisée dans une note subséquente, m'en a proposé, et que je n'ai pas dû admettre d'après ma ferme résolution de n'apporter au texte primitif aucun changement essentiel, mais qui mériteraient de devenir l'objet de notes spéciales à la suite de cet ouvrage. D'ailleurs ces éclaircissements n'ayant qu'une relation indirecte avec les articles suivants, j'imiterai le laconisme du texte, en faisant seulement observer que, si l'on substitue les racines ô>> = o, b> =00 , dans l'expression générale de x> les résultats prendront la forme
indéterminée-; ce qui prouve que, dans les hypothèses restreintes où
Ton se place et pour lesquelles la trace du plan des sections circulaires sur celui des xy se confond, en direction, avec celle des axes principaux de la courbe de base (ellipse réelle ou imaginaire, hyperbole, etc.), la seconde des équations ci-dessus du texte étant naturellement satisfaite, il devient nécessaire de recourir à la première des équations de condition qui, dans les mêmes hypothèses de a et ^ nuls, donne pour calculer l'angle d'inclinaison ^ du plan de section circulaire sur celui do la base du cône, le résultat très-simple
__ ^ fï^T— c ) ( cos' 0 - sin' ô )
/ 1 f * — <- / l \j\fa V — OUI V /
^■" 'V i-7M^8in^0 + ccos'0)'
io6 II« CAHIER. - LEMiMËS
conférence de cercle; nous nous proposons maintenant de trouver la position du sommet d*un cône de base donnée, qui serait coupé suivant un cercle par un plan dont la trace sur celui de cette base, serait elle-même assignée; ou, plutôt encore, de « trouver la position du sommet d'un cône dont » la base est donnée, ainsi que la trace du plan qui, passant » par ce sommet, serait parallèle à l'un des systèmes de sec- » tiens circulaires. »
Soient, ainsi que précédemment, a, p et7 les coordonnées inconnues du sommet du cône,
ay^ -h cx^ -I- i = o
réquation de la base de ce cône, ainsi rapportée à son centre et à ses axes principaux; soit enfm
x=iTx'\-Yi
l'équation de la trace du plan qui, passant par le sommet a, ^, 7, doit être parallèle à celui des systèmes de sections circulaires du cône que l'on considère en particulier.
qui devient, pour »' = o ou sinO = o, c(»0 = i,
sinw
et, pour c>>
00 , ou sin 0 = I , cos 0 = o,
doubles valeurs dont l'une, au moins, appartient à des solutions ou intersections circulaires impossibles.
Mais je ne m'étendrai pas sur ce système d'interprétation étranger, jusqu'à un certain point, au but actuel de ces lemmes de géométrie analytique, et je me borne à remarquer que l'abaissement de la question au second degré dans les hypothèses précitées du cône droit, etc., tient uniquement, en effet, à ce que les plans coordonnés y sont, à priori, supposés parallèles aux plans principaux de la surface conique indéfinie proposée, plans dont la direction passant par le sommet de ce cône, dépend, comme on le sait encore, d'une équation du troisième degré, facile à obtenir en plaçant l'origine des coordonnées en ce même sommet.
Conditions pour que le plan, parallèle aux sections circulaires et contenant le sommet du cône, coupe le plan de sa base suivant une droite donnée de position. — D'après une remarque tirée des formules de transformation de coordonnées (3) de Tart. Il, Téquation
z = tangr cosOx — tang^sinOj
est celle du plan sécant ou des x' y' du n** III, et si nous y supposons aux quantités 7 et 0 les valeurs qui se déduisent des relations (5), (6) et (7) du même article, cette équation représente le plan de la section circulaire du cône contenant l'origine des axes coordonnés.
Le plan qui, passant par le sommet de ce cône, est parallèle aux divers plans de sections circulaires, a donc pour équation
z — 7 = tang7cos0(j: — a) — tangcpsinO [y — p) ;
par conséquent, la trace de ce plan sur celui de la base du cône ou des xjTy est
— 7 = tang<p cosO (x — a) — iang(p sinô (j — p),
ou bien, d'après nos conventions,
^ tangycosO
Cette trace, devant se confondre avec la droite donnée a: = Tj-HK, on aura nécessairement les deux équations de condition
w = T, a — wB = K.
^ tangçcosO Or, d'après l'équation (6),
7(c — a)sinO tang(p = ^-^-T '- ;
donc, substituant dans la dernière des précédentes, il viendra
^ [c — ajsinôcosO
Telle est la relation qui doit exister entre les coordonnées a et p du sommet du cône.
io8 II' CAHIER. ^ LEMMES
On voit, parla, que ce sommet est nécessairement situé dans un plan vertical perpendiculaire à celui des xy ou de la base du cône. De plus, la trace de ce plan vertical est perpendiculaire à la droite donnée x = TjH- K ou x = w j -|- K.
En effet, remplaçons, dans l'équation ci-dessus, les indéterminées a et p par x et /, et chassons le dénominateur, elle deviendra
^ x[[c — a)sin9cosd — cw] — /[{c — a)sin9cosôw-4-a]
(c — ajsinôcosô
Or on a identiquement, à cause de tang9==u, d'une part
(c — a ) sin © cos 0 — c« = o>[(c — a) cos* 9 — c]
= w [(c — a) cos*ô — c (cos* 0 -h sin^O)]
= — «(a -H c«*)cos*9, et, d'une autre,
( r — a ) sin 0 cos e 0) 4- a = ( c — a) sin* ô -t- a ( cos' 0 -h sin' 0 )
= («-f-cw^)cos*ô.
En substituant donc, il viendra plus simplement
( C* — a w ) ou, ce qui revient au même,
équation qui prouve, ainsi que nous l'avions annoncé, que le sommet du cône est effectivement dans un plan perpendiculaire à la droite j; = wj-j- K donnée sur le plan de sa base.
On ne doit pas oublier que la tangente trigonométrique m est Aine quantité numérique connue, égale à T. Nous continuerons à nous servir de « au lieu de T, mais il faudra toujours regarder cette quantité comme une constante dans les calculs ci-après.
Equations du lieu des sommets de cône qui satisfont aux conditions précédentes. — Si l'on suppose qu'on mette pour o» dansl'équaiion {7) trouvée dans l'art. III déjà rappelé ci-dessus
sa valeur toute connue T, il en résultera une nouvelle équation à laquelle devront nécessairement satisfaire les coordonnées inconnues a, p et 7 du sommet du cône, et qui sera par conséquent entre ces variables*, Téquation même de la surface sur laquelle ce sommet doit être situé, d*après les conditions du problème.
Or, en ordonnant cette équation ( 7 ) par rapport aux indéterminées a, p et 7, elle devient
{a — c) (a 4- c»^) «'7^ -h <ï ( 1 4- «') (tf -h c w=) P' — c{i -4- «')(«-!- crw')w»a'H-(c — a) (i 4- «*)«»= o,
OU, en remplaçant les indéterminées particulières a, p el7 du sommet du cône par les variables générales x, j, 2,
dans laquelle la lettre &> est désormais une constante.
Cette équation entre les coordonnées j:, j, -3. montre que le sommet du cône doit être sur une surface du second degré, et, comme nous avons déjà prouvé qu'il doit être aussi dans un plan (8 ) perpendiculaire à la droite donnée x = « j-f- K, il s'ensuit qu'il se trouve à Tinterseclion même de la surface (9), que partagent symétriquement les plans coordonnés, avec le plan vertical (8). Ainsi ce sommet est réellement sur une certaine courbe du second degré. Mais il y a plus encore : cette courbe du second degré est un cercle dont le centre est le point d'intersection même de la droite donnée j: = «j-hK et du plan (8).
En effet, si le plan vertical qui a (8 ) pour équation coupe la surface (g) suivant un cercle, tout plan. parallèle à celui-là coupeta la même surface suivant un autre cercle. Si donc on mène par Torigine des coordonnées un plan parallèle au plan (8),
dont réquation sera par conséquent x= r, il devra couper
aussi la surface (9) suivant un cercle.
Cela posé, puisque la trace x=z j de ce plan fait avec
Taxe desj un angle dont la tangente est égale à et dont
le sinus est égal à cos 0 et le cosinus à — sin 9, il est évident que, si Ton veut rapporter la surface (9) à cette droite considérée comme nouvel axe des /, Taxe des z restant le même, il faudra mettre pour x et x» ^^^^ Téquation (9) de cette surface, les valeurs fournies par les formules de transformation
X=. — y sinô — x'cosBj x=y cosB — x' sin G.
On s'assurera de Texactilude de ces expressions en posant a = 100** -h 0, changeant x en r» ^ en j' et inversement, dpns les formules générales
x = x'cosoL — j'sina, ^=x' sina ^-j'cosflCj
du n*" 1 de ces Lemmes de géométrie analytique, où a/ et y ont d'ailleurs des significations autres que dans le n"* IIL
II ne s'agit donc plus que de substituer à jr et / les valeurs oi-dessus dans l'équation (9).
Pour simplifier les calculs, je fais
[a — c){a-|-cw»)«» = A, a (i -f-w') («-hc»*) = B, — .c(i 4-«») («-4-cw»)«>==C, [c—a] (n-«»)w» = D,
et alors cette équation prend la forme
Par la substitution indiquée, elle devient
A z'-h ( B sin' 0 H- C cos'O)/* -f- (B cos'G -hC sin'O) j:" -hîxsinOcose (B — C):^'/"^-I> = o• Faisant x' =z Oy y = Y dans cette équation qui représente la surface (9) rapportée à la droite x=: 7 comme axe des ^%
elle donnera pour son intersection avec le plan vertical des yZy correspondant à cette droite, Téquation
A^'-f-(Bsin»0 4-Ccos^ô)j'-f-D = o
ou, en remettant pour A, B, C et D leurs valeurs et divisant
par (/2 — r?) «S
DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 1 1 1 Celle équation esl celle d'un cercle. Donc, le plan vertical x = y y et aussi, par suite, le plan (8) qui lui est pa-
rallèle coupent la surface (9) suivant des circonférences de cercle, comme nous l'avions annoncé.
On voit, de plus, que les centres des sections circulaires parallèles à celles dont il s'agit, étant tous situés sur le plan des xy et sur un diamètre de la surface (9) , le centre même du cercle qui contient le sommet du cône, doit se trouver à l'intersection de ce diamètre et de la trace représentée par l'équation (8) ci-dessus, c'est-à-dire par
I Kic — a)
tù
Ctù'
Relations qui lient le lieu du sommet des cônes à leur base commune, — Soit NM la trace dont il vient d'être parlé et qui doit renfermer le centre du cercle contenant les sommets de cônes; (A) la section conique ayant pour centre l'origine A, des axes coordonnés, et représentant la trace d% la surface (9) sur le plan des^rj; / et o les points où ces deux traces se coupent; il est visible que le centre c du cercle vertical suivant
fi'
lequel le plan perpendiculaire à MN rencontre cette surface, se trouve situé au milieu de la corde 10, et qu'il en est de même pour toute autre section verticale parallèle à celle-ci; Itt suite de tous les centres c sera donc située sur un diamètre de la conique (A), passant par l'origine A des axes et conjugué à la direction de MN. C'est l'équation de ce diamètre qu'il s'agit ici de trouver; or il est évident que la tangente à (A) menée
au point / où la direction A c de ce diamètre la coupe, doit être parallèle à la trace représentée par l'équation (8) rappelée ci-dessus ; la question revient donc au fond, à mener à la courbe (A) une tangente parallèle à HN.
Pour obtenir Téquation de la conique (A)» il faut faire 2 = 0 dans réquation (9); ce qui donne
(10) a(fl-Hc«*) j* — c(«4-cw*) w'^-l- (c — ^) w« = o.
D'ailleurs on sait que la tangente trigonométrique de Tangle qu'une tangente à une courbe fait avec l'axe des r est égale
à -r '1 donc, dans le cas actuel, cette tangente aura pour valeur numérique — 7— • Mais, par hypothèse, elle doit être
égale à la tangente de l'angle que fait, avec ce même
axe, la trace MN représentée par l'équation (8); donc, on doit avoir généralement
— T— = ou bien ar-f-c«a: = o.
Dans cette équation, les coordonnées x ei x sont celles du point de langence /, et par conséquent en la combinant avec l'équation (lo) delà conique (A), on obtiendrait les valeurs mêmes des coordonnées de ce point /. Or cette équation <3^.-hcwj;= o est celle d'une droite qui passe par le centre A delà conique, quand on y suppose x et y variables; donc c'est l'équation propre du diamètre conjugué à la direction de NM, et en la combinant avec l'équation (8) de cette trace, on obtiendra pour les coordonnées du centre cherché e.
/i-hcw' '^ rï-hc«
11 est aisé maintenant de démontrer que ces valeurs satisfont aussi à l'équation j: = «r-+-K de la droite donnée arbitrairement sur le plan des xj; donc le centre du cercle sur lequel
est situé le sommet du cône, se trouve à l'intersection même de la droite donnée et du plan de ce cercle; comme il s'agissait de le démontrer.
Remarquables propriétés du plan conduit, par le sommet du cône, parallèlement aux sections circulaires. — Soil mai nienant (B) la base fixe du cône;
aj^ -H cx^ -4-1=0,
son équation; /rô {Jig. Si) la droite donnée dont l'équation est x = wj-f-K et qui renferme le centre c, du cercle vertical sur lequel est situé le sommet 7 de ce cône ; soient k et 0 les deux points où cette droite rencontre la courbe de base (B); je dis que le centre c divise la corde ko précisément en deux parties égales.
En effet, imaginons que x' et y représentent les coordonnées du point de contact /' d une tangente à (B) parallèle à /rO,
dx' ay'
dy ex'
sera la tangente trigonométrique de l'angle qu'elle fait avec l'axe des/, et, comme elle doit être parallèle à ko, il faudra qu'on ait
dx' ay
dx" '"""
ex
ou ay'^cuix' = o;
d'où Ton conclut, comme précédemment, que la direction indéfinie B t' du diamètre qui passe parle milieu de la corde A* 0, a précisément pour équation
ay -^ Cfax' = Of
ii4 > II* CAHIER. - LEMMES
en ^ regardant les indéterminées x' et y du point de coolact /' conune des coordonnées variables. Or ce diamètre B/', qui coupe la corde /rô en deux parties égales, se confond évidenimentavec celui qui a la direction de A^ dans la^g^. 5o et contient aussi le centre c, puisque leurs équations sont les mêmes. Donc enfin le centre c, du cercle gui contient les sommets de cônes, est situé au milieu de la corde Bk, et par conséquent f si Von divise cette corde en deux parties égales en Cy et que y de ce point , on élève une perpendiculaire à la direction de cette corde y ce sera la trace du plan du cercle dont il s* agit.
Voici encore une propriété qui servira à déterminer la grandeur du même cercle : Le carré du diamètre du cercle qui contient les sommets de cônes, est égal au carré de la corde donnée A*Ô, mais pris avec un signe contraire.
Il est visible, en effet, que le diamètre du cercle dont il s*agit est égal [fig. 5o) à la corde oi formée par la conique (A) (équation lo) et par la trace MN du plan de ce cercle; il faut donc calculer la longueur de la corde d'une section conique dont on connaît l'équation et celle de celte c^rde. Pour ne pas répéter deux fois le même calcul, nous Texécuterons d'une manière générale.
Représentons, à c^t effet, par
A/* -h C j:* -i- D = o et x=^m]r-{-n
les équations de la courbe et de la corde en question. En les combinant entre elles, on obtiendra pour les coordonnéesdes points d'intersection,
__ mwC±\/m'/i'C^ — (D-f-Çyi») (A-f-Cm^)^ ^~ A -4- Cm'
/tA±v/^i^A^— (Dm^-f-Ayi')(A-4-Cm^, ^~' • A-hCm»
Donc le carré de la distance entre ces deux points sera, en appelant cette distance A,
v / [n(A -hC//i^)+AC/i^] (i -^m'] ^ (A-hC/n')»
DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ii5
Considérons d'abord la corde ko [Jig. 5i); son équation et celle de la conique (B) ci-dessus, étant respectivement
on a, dans ce c^s,
et, par conséquent,
77j , (rt-hc«»H-rtcKM(n-w') /r ô = — 4 ; ; •
Maintenant, si Ton considère la courbe (A) et la sécante MN ou la corde io [Jig. 5o), représentées respectivement par les équations (lo) et (8), c'est-à-dire
a (a-f-cw*)^-» — c (a-f-cw*) »^ x*-h(c — a) «'=o,
on aura, en comparant,
A=a(fl4-cw'), C = — c(a-hcw*)»%
et par conséquent, en substituant ces valeurs dans l'expression de A^
Donc enfin
c'est-à-dire, comme on l'a avancé ci-dessus, que le carré du diamètre du cercle qui contient le sommet du cône est égal à celui de la corde donnée /i 0, pris négativement.
