PRINCIPES FONDAMENTAUX ET ÉLÉMENTAIRES DE PROJECTION

CONIQUE ou CENTRALE.

Premier principe. — a Toute courbe du deuxième degré » peut être considérée comme provenant de l'intersection d'un » cône oblique à base circulaire par un plan arbitraire ; cette »> courbe peut être dite, en général, la projection du cercle de » base sur le plan sécant, et le cercle de base doit, à son tour, » être considéré comme la projection conique ou centrale de » la courbe précitée.

» Toule tangente à la même courbe, doit être considérée » comme la projection d'une tangente au cercle de base ou » d'une autre seclion plane quelconque du cône. En général, » les projections des tangentes restent des tangentes; mais il a n'en est pas ainsi des normales. »

Remarque. — Le système de deux droites arbitraires se coupant sur un plan, quoique pouvant être considéré comme une section conique particulière, ne sera point compris, en général, au nombre des projections du cercle. Néanmoins, comme le système de deux droites n'est qu'une simple modification de la courbe du deuxième degré , toute propriété suffisamment générale de celle-ci sera applicable à ce système, en vertu des principes mêmes de l'analyse algébrique. Ainsi, des propriétés générales de la courbe du deuxième degré, on pourra bien déduire celles de l'ensemble de deux lignes droites, mais l'inverse ne sera pas admis à priori.

Deuxième principe. — « Deux droites parallèles ou con- » courantes ont pour projection sur un plan quelconque, deux » autres droites concourantes, et réciproquement deux droites I) qui se coupent peuvent être projetées d'une infinité de ma- » nières différentes, suivant deux droites parallèles. »

Cette proposition s'étend au système d'un nombre quelconque de droites parallèles ou concourantes , situées dans un même plan. Ainsi : « Toute propriété générale d'un tel système » ayant trait à la direction indéfinie des lignes et non à leur i> mesure, reste applicable à leur projection conique ou cen- » traie sur un plan arbitraire.!)

Troisième principe. — cr La projection de plusieurs systèmes » distincts de droites parallèles est un égal nombre de systèmes » de droites concourant, dans chacun, en un point distinct, et » tous les points de concours sont sur une même droite, d

La réciproque est également vraie.

Remarque. — Ces théorèmes o\i principes de projection centrale ne sont autres que ceux de la perspective linéaire : la démonstration en est facile et purement élémentaire,.

Il 8 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Lemmes relatifs au double système de sections circulaires

des cônes obliques.

Un cône oblique dont la base est une eourbe quelconque du deuxième degré, peut, comme on sait (*), être coupé par un plansuivantdescerc]es,eti] y a généralement deux directions du plan sécant, non parallèles, pour lesquelles cela a lieu : c'est ce qu'on nomme quelquefois, sections sous-contraires du cône. Celte proposition , comme on sait aussi, est générale pour les surfaces du deuxième degré ; mais il importe ici d'en établir la vérité géométriquement ou synthétiquement pour le cône oblique à base circulaire, en particulier.

Proposition fondamentale, — Soit (c), Jig. 5a, la base circulaire, de centre c, d'un eône oblique; s le sommet du cône; sp la perpendiculaire abaissée de ce sommet sur le plaa de (c), que nous considérerons comme plan horizontal; soient me-

Fig. 52.

nées les deux arêtes sa, sb, dans le plan vertical perpendiculaire au précédent et contenant se ; je dis que la section sous-contraire conjuguée à celle de la base, est dans un plan perpendiculaire à sab et dont la trace mn, sur ce dernier,

(*) On en trouve une démonstration analytique suffisamment complète dans l'art. I du ir Cahier, article dont il était en effet inutile d'invoquer la connaissance ici, comme on le verra par les démonstrations suivantes du manuscrit.

DES SrMfLES CONIQUES. 119

fait srvec Farête sb, Tangle obtus 5m/i, égal à Taiigle sab à la base ab du cône.

En effet, si la section mn est un cercle, l'ordonnée horizontale qd de ce cercle, correspondante au point q d'intersection des diamètres mn et «6, sera moyenne proportionnelle entre les segments nq et mq; de sorte qu'on devra avoir

(iq = mq X nq.

Mais l'ordonnée dq est nécessairement commune aux deux cercles ou sections ; donc on a aussi .

Jq = aq X qb , et par conséquent

mq X nq z=i aqXqb ou mq : qb : : aq : nq.

Donc enfin les deux triangles aqn et bmq, qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont semblables, et par conséquent, l'angle qmb est égal à son homologue qan^ comme pareillement, l'angle m69 = /zn9. Réciproquement^ si cette relation a lieu entre les angles, n'importe où mn est placé dans sab^ la section conique inclinée, correspondante, sera une circonférence de cercle.

Toutes les sections parallèles à mn étant donc des cercles, leurs centres c\ seront rangés sur une môme droite sc\ passant par le sommets; pareillement les centres des sections parallèles à la base ab du cône, seront situés sur une droite se, passant aussi par le sommet * du cône. Mais ces deux droites ne sont pas généralement les mêmes, elles ne se confondent que quand le cône est droit ou de révolution.

La ligne se' des centres c' coupe le diamètre ab au point /, il y a donc toujours une section sons-eon traire à ab, dont le centre est situé sur ce diamètre même, au point de rencontre I dont il s'agit.

Positions relatives du sommet du cône et de ses sections sous-contraires. — Soit / (Jig. 53) un point quelconque du diamètre ab de [-c) déjà considéré; soit menée par ce point la droite nm, telle qu'elle soit divisée en parties égales au point i

120 ni' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

par deux droites arbitraires bs et as^ menées, dans le plan vertical de ab, d'un point s aux extrémités de ce diamètre ; par

Fig. 53.

ce point pris pour sommet de cône, soit tirée la parallèle ^A* à mn rencontrant ba prolongé en ^; de plus, faisons

65 = m, sa = n, aczrzr^ ic7=:y;

la droite io étant, d'autre part, menée dans le triangle abs, parallèlement à la base bs, et divisant so en parties égales, comme 1 divise mn par hypothèse, on aura les proportions

soioa:: ibiai ou 50: oflt: r-f-7: r— ^;

d'où, componendo ,

so-^-oa ou nlso — oal\^r\^yl\r\y.

Mais sk étant parallèle à m/i, les triangles ask elain sont semblables, et l'on a

an ou on — oa=: so — oa: ai : : sa-i ak, soit

so — oa:r — X II niak.

Multipliant cette proportion par ordre avec la précédente, n ^ et 50 — oa s'en iront, et l'on en conclura

nlr—y:: r'Xmak'Xx** ou, ce qui revient au même,

r' =y {ak-\-r)= ci X ek.

De là il est facile de conclure que le point /* est celui où la

DES SIMPLES eONlQUES. lai

tangente, menée par le point t du cercle (c), qui correspond à l'ordonnée du point i, vient rencontrer le diamètre ab prolongé. Car, dans le triangle rectangle ktc où l'ordonnée // est perpendiculaire à l'hypoténuse, on a

et = r^=:ciy<ck.

Donc «si, par le point / pris arbitrairement sur le diamètre I) a6, on élève l'ordonnée i7, et que, par son extrémité ^ on n mène ik tangente au cercle (c), celle-ci coupera le diamètre » ab prolongé, en un point /r, jouissant de la propriété que, » pour toute position des droites sa, sb ou du point s choisi » en particulier, sk sera parallèle à la droite mn, divisée en » deux parties égales au point /. »

Problème annexe, — Si le point k ou i étant déterminé par rapport à {c),Jig. 54, il fallait trouver la position du sommet* d'un cône oblique dont ce cercle serait l'une des sections planes, et qui fût tel que le centre du cercle sous-contraire

opposé à (c) fût en /, cela serait très-facile d'après ce qui précède. Car le rayon de ce dernier cercle étant égal à l'ordonnée issue de son centre et qui lui est commune avec le cercle (c), le rayon im = in de cette section devrait être égal à it.

Donc, décrivant, de i comme centre avec // pour rayon, une circonférence de cercle dans le plan vertical de ab; menant par l'extrémité b du diamètre afr, une sécante quelconque 6m, qui rencontre la circonférence en m ; traçant ensuite le diamètre mn; enfin menant par l'extrémité n de ce diamètre et l'extrémité correspondante a de ab la droite na, elle coupera bm, prolongé, au sommet s demandé. En outre, d'après ce

laa

que nous avons démontré, la droite ^A* parallèle à mn et la tangente tk viendront se couper sur te diamètre même ab de la base du cône.

Voici la conséquence de ce qui précède :

Quatrième principe, — a Si une courbe du deuxième degré, » et un, deux ou plusieurs points, tous rangés en ligne droite, » sont situés dans un même plan, on peut^ d'une infiniié de » manières, projeter la figure sur un nooveaU' plian, tel que M la projection de la eourbe soit un cercle, etqii3i<e, en même )) temps, les projections des points passent à l'infini f de sorte » que tout système de droites concourant en Tun quelconque » des premiers points, aura pour projection un système de )) lignes droites parallèles. »

En effet, on peut supposer que la figure ait d'abord été projetée de manière que la courbe devienne un cercle (î" Principe] , les points étant encore rangés sur une même droife. Soit donc [c) ce cercle, PL cette droite (^g*. 55), it s'agit de trouver un cône oblique dont [c] soit la base, et tel que la section

sous-cenlraire soit parallèle au plan qui passerait par le sommet s du cône et par la droite PL; car le plan de la section sous-contraire, pris pour plan de projection, coupe alors le cône suivant un cercle, et le plan projetant de PL suivant une droite située à l'infini.

Cette question peut se résoudre simplement à l'aide dte ce qui précède.

A cet effet, abaissons du centre c sur la ligne droite PL, la perpendiculaire c/r, rencontrant cette droite en k et le cercle on ^ et 6; du point /r menons au cercle la tangente Ar/, et du point de contact t abaissons sur ck l'ordonnée //; le pi^d / de

DES SIMPLES CONIQUES. ia3

celle ordonnée sera, pour cHiaciin des cônes qui salrsfont à la condition ci-dessus énoncée, le centre d'une sectio«i souscontraire, ayant pour rayon i7 : le sommel s du cône et le pten de la seciion sous-coniraire se trouveront, de celle façon, déterminés quand on se sera donné la droite bs.

Nous avons démontré, en effet, q«e la droite sfc, qui est ici la trace du plan projetant de PL, est parallèle à la trace nui de la seciion sous-contraire, en sorte que ces deux plans sont paralfêtes.

La direction de la droite bm peut être prise à volonté parmi celles (fui rencontrent le cercle {/) ; donc il y a une infinité cfe cônes qui jouissent de la môme propriété; par suite encore, on pourra assujettir un pareil cône à une nouvelle condition, pourvu qu'elle soit compatible avec les premières.

Remarques et réflexions fondamentales concernant les cas

de possibilité ou d'impossibilité.

Lorsque la droite PL [Jig. 55) rencontre le cercle (c), lo construction précédente devient impossible; carie point k se trouvant alors éans Tintérieur du cercle, il est impossible géométriquement aussi, de lui mener des tangentes parce point. Néanmoins, dans le même cas, l'analyse fait voir que le centre I, du cercle conjugué à (c), n'a pas cessé d'exister, quoique ce cercle ou son rayon soit devenu imaginaire. La raison en est que le point i est lié à k par une relation algébrique qui subsiste quelle que soit la position de la droite PL à l'égard du cercle [c).

En effet, si par un point quelconque de cette droite Ft., on mène deux tangentes au cercle (c), la corde de contact passera toujours par le point i. Or cette construction reste possible^ même quand la droite PL rencontre ce cercle; seulement les cordes de contact se rencontrent alors en dehors de s» ctrconférenee.

Quoique la section sous-contraire cherchée ait un ray®« imaginaire, il n'en esl pas moins vrai, analytiquemeni parlant, qtie toute propriété dont elle jouit quand ce rayon est réel , mais relative seulement à la disposition des parties de la figure et non à leur grandeur absolue, ne cesse pas d'êlre vraie à l'égard

ia4 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

du cercle (c) el de la droite PL : tant que le point k sera situé au dedans de (c), la solution sera imaginaire; mais dès que ce point, ayant parcouru le diamètre ab en entier, sera sorti du cercle par le point é, le problème redeviendra possible ou la solution réelle comme auparavant.

Ainsi, un changement de position de la droite PL, rend la solution alternativement réelle ou imaginaire, et il n'en est pas moins vrai, comme je l'ai dit, que toute propriété descriptivey concernant la situation, la direction indéfinie des lignes et non leur grandeur, dont la fîgure jouit dans Tune de ses positions, subsiste quand on change la disposition relative de la droite el du cercle.

Cela résulte d'un principe tacitement admis par beaucoup de géomètres, mais non jusqu'ici démontré ou explicitement, exactement établi.

Au surplus, cette généralisation, cette extension n'est autre que celle que l'analyse indéterminée porte avec elle dans toutes les questions où il ne s'agit que de propriétés de position ou de situation.

En effet, quand on met un problème géométrique de cette nature en équation, on part d'une position toute particulière de la figure, et les résultats qu'on obtient sont vrais pour toutes les dispositions possibles qui remplissent les mêmes conditions; car les résultats auxquels on est parvenu ne laissent absolument aucune trace de la disposition primitive; les signes et les lettres s'étant disposés sous une forme générale et invariable.

C'est cette grande généralité de l'analyse, qu'on doit pouvoir procurer dans les mêmes circonstances aux démonstrations de la géométrie, qui a justifié cette expression âe puissance de Vanaly^se. Il semble qu'on n'ait pas assez prouvé cette puissance; on y croit, mais cela suffit-il? Peut-être cette propriété, qui lui vient de la convention même établie sur les signes algébriques, est-elle très-difficile à démontrer en toute rigueur. Aussi les premiers géomètres qui s'en sont servis, el Newton lui-même, ont-ils eu toujours le soin de faire suivre chaque démonstration analytique d'une démonstration synthétique. Cette preuve, répétée souvent, donne toute la confiance imaginable; mais est-elle d'une certitude absolue?

DES SIMPLES CONIQUES. ii5

Dans le cours d'un calcul , il arrive souvent que cerlaines eiLpressions qui y entrent implicitement, sont nulles, infinies, imaginaires, ou prennent toute autre forme : on continue le calcul sans s'en douter, et Ton trouve une équation qui n'en laisse aucune trace; la suite des opérations, qui n'est autre chose qu'un raisonnement tacite, est donc appuyée sur des considérations d'infinis, d'imaginaires, etc., et cependant les conséquences sont vraies.

Il n'en est pas de même de la géométrie, telle qu'on a coutume de la considérer; comme tous les raisonnements, toutes les conséquences, ne peuvent être appréciés, saisis par l'esprit qu'autant qu'ils se peignent à l'imagination par des objets sensibles, dès que ces objets manquent, le raisonnement s'arrête.

Je vais, d'après Monge, fournir de ce que je viens de dire, un exemple remarquable.

Soient une surface du deuxième degré et une droite placée arbitrairement dans l'espace; que par cette droite on imagine deux plans tangents à la surface, ces deux plans auront chacun un point de contact avec la surface. Maintenant, qu'on mène d'un point quelconque de la droite donnée, un cône ayant son sommet en ce point et tangent à la surface proposée, ce cône sera évidemment tangent aux deux plans ci-dessus déterminés; donc les points de contact de ces plans avec la surface proposée seront situés sur la courbe de contact du cône et de la surface du deuxième degré, et, par suite, le plan de cette courbe passera par la corde qui joint les deux points de contact.

La même chose aura lieu pour tous les cônes tangents dont les sommets seront situés sur la droite donnée. Donc, si l'on imagine une section quelconque faite dans la surface par un plan qui contienne la droite proposée, cette section donnera une courbe du deuxième degré pour la surface et deux droites tangentes à cette section pour le cône, droites qui viendront se couper sur celle des sommets : la corde de contact étant l'intersection de ce même plan avec celui de contact du cône, devra passer dans toutes ses positions par un point unique, intersection de la droite commune à tous les plans de contact des cônes avec ce même plan fixe.

De là ce théorème aujourd'hui bien connu : Si, des diffé-

iiè6 m* CAHIER. - l>ROP»tf:TÉS DESCRIPTIVES

rents points d'une droite donnée ML, wi mène deux tangentes

à une courbe du deuxième degré, les oordes respectives t4,

Fig. 56.

t' /', etc., des couples de points de contact passeront toutes par un même point 0.

Tant que la droite ML est située au dehors de la courbe, cette proposition est une conséquence du raisonnement précédent, mais cela n'a plus lieu quand la droite traverse la courbe de part en part; car alors il sera Impossible de mener, de la droite des sommets, deux plans tangents à l'ensemble du Ciône et de la surface du second degré. Mais cette restriction ne se présente nullement lorsqu'on traite la question par l'analyse des coordonnées, dont les résultats sont indépen* dants de la réalité des intersections, des contacts ou autres affections des lignes et des surfaces de la Ggure.

On vérifiera ce fait directement, en mettant en équations, soit le théorème de Mongc, qui vient d'être énoncé, soit divers autres théorèmes non moins élégants, relatifs aux intersections et aux contacts des cercles et des sphères : le I" Cahier [Lemmes), nous en offrirait d'ailleurs des exemples simples et remarquables, si c'était ici le lieu de s'y arrêter. Il nous suffira de faire observer que les difficultés dont il s'agit tiennent à des conditions d'imaginarité ou d'impossibilité relative. Lorque, au contraire, l'impossibilité est caractérisée par des conditions contradictoires ou incompatibles, elle est absolue, et il serait illogique autant qu'absurde de vouloir en rien conclure de réel et de vrai, géométriquement parlant.

Je me bornerai, pour le moment, aux principes de projection centrale qui précèdent; par la suite, quand il sera nécessaire d'avoir recours à de nouveaux principes, j'en donnerai la démonstration en particulier.

.\ Je vais commencer par appliquer ces principes à des propositions déjà connues; j'en présenterai ensuite de toutes nouvelles. Il ne sera pas question d'ailleurs des propriétés relatives à un système de lignes droites isole, parce qu'elles ne sont, pour la plupart, que des cas particuliers ou simples corollaires de celles des courbes du deuxième degré.

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES, DÉJÀ CONNUES (1810], DES CONIQUES ET DES SYSTÈMES DE DROITES QUI s'y RAPPORTENT.

/. — Triangles inscrits et circonscrits aux coniques.

Soit une courbe du second degré et un triangle circonscrit à cette courbe; si Ton joint les trois points de contact par des lignes droites, on formera un triangle inscrit dans la courbe; je dis que les côtés opposés de ces triangles iront se couper respectivement en trois points qui seront en ligne droite.

En effet, ABC (Jig. 57) étant le triangle circonscrit et abc le triangle inscrit, K et L les points de concours des côtés oppo-

FiR. 57

ses AC et ac, BC et bc, soit menée par ces deux points la droite KL. D'après le Princ. IV, on pourra regarder la courbe comme la projection d'un cercle et la droite KL comme celle d'une droite dont tous les points sont situés à l'infini; donc les côtés

128 IIP CAfflER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

opposés AC el «c, BC ei bc deviendront respectivement parallèles entre eux dans celte projection; ce qui donne lieu à la Jig, 58 où le côté ac est parallèle à la tangente AC et le côté bc parallèle à celle BC.

Puisque ac est parallèle à la tangente AC, et que la courbe est un cercle, Tare bc sera égal à ab. Pareillement, puisque bc

Fig. 58.

est parallèle à BC, l'arc ab est égal à ac; donc bc=:ab = acp et par conséquent, le troisième côté ab est aussi parallèle à la tangente opposée AB; donc, d'après le Princ. III, la projection de ces deux lignes droites et celle des deux autres couples ac, AC, bc, BC seront telles, que leurs points de concours respectifs seront situés sur une même ligne droite.

Ainsi, comme cela a d'abord été énoncé, les trois côtés AB, AC, BC [Jig, 57), du triangle circonscrit ABC, et ceux qui leur sont respectivement opposés dans le triangle abc, se rencontrent en trois points K, I, L situés en ligne droite. On voit, de plus, que si l'on joint chaque sommet du triangle extérieur avec le point de contact qui lui est opposé, par une ligne droite, les trois droites ainsi obtenues, se couperont en un même point 0; car la Jig. 58 montre que le triangle abc étant équilatéral, la droite Bb, qui a deux de ses points B et 6 également distants des extrémités a et c, est perpendiculaire sur le milieu de la corde ac, et passe par conséquent par le centre du cercle 0. Pareille chose ayant lieu pour les deux %utres droites Xa et Ce, il en résulte que les projections de ces trois lignes droites (Jig. 57), passent aussi par un même point qui est la projection du centre 0.

DES SIMPLES COxMQUES.

// et III, — Quadrilatères inscrits et circonscrits.

Préliminaires, — Soit [Jig. Ô9), une section conique; ABCD un quadrilatère quelconque inscrit dans cette courbe; soit KL

Fi(T. 59.

la droite qui joint les intersections des côtés respectivement opposés, on pourra regarder (Princ. IV) la courbe comme la projection d'un cercle, et la droite KL comme celle d'une droite dont tous les points sont à l'infini, en sorte que, dans cette nouvelle projection [fig, 60], les côtés opposés du quadrilatère seront parallèles, et par conséquent ce quadrilatère

Fî(j . fio .

fi

/\ni h

sera un rectangle afecrf, inscrit au cercle de centre 0, et si Ton mène aux extrémités d'une même diagonale ac, deux tangentes fg et ie à ce cercle, elles seront parallèles : il en est ainsi encore des tangentes fe et gi, menées aux extrémités b et dy de l'autre diagonale du rectangle inscrit ahcd. Ces quatre tangentes se couperont respectivement sur les

i3o III* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

diamèlres/i et eg, parallèles aux côtés respectifs ad et ab du rectangle ; elles passeront, comme on le voit, par le centre 0 aussi bien que les deux diagonales ac et bd, et, si Ton mène aux pofnts tel t' où fi rencontre le cercle, deux nouvelles tangentes mm^ et /i/i', elles seront parallèles entre elles et aux côtés ab et cd du quadrilatère : pareille chose a lieu à l'égard des tangentes menées aux points d'intersection ô et 0', de la droite eg avec le cercle. Si Ton joignait les sommets opposés p et A' du rectangle formé par les tangentes en t, t\ B et B\ par une ligne droite p/i'y il est clair qu'elle passerait par le centre 0; il en est de même de la diagonale p'h. On voit encore que les points m et /ï, m' et n\ rencontres des tangentes en / et /' avec les tangentes aux extrémités des côtés opposés ad, bc du rectangle inscrit, sont situés sur deux lignes droites mn et m' n parallèles entre elles et à ces côtés, etc.

Maintenant, si Ton remet la figure en projection sur l'ancien plan de la courbe donnée, toutes les droites mn^ ph,ad,fi, bCf />' h' et m' n' parallèles entre elles, concourront en un même point ; il en sera ainsi des parallèles pp\ ab, ge, cd, h/i\ Pareillement, les deux tangentes^ et ei aux sommets opposés a, e concourront en un point, aussi bien que les deux tangentes fe et gi aux sommets 6, rf, etc., etc. Or les points de concours de ces différents systèmes de parallèles seront tous rangés sur une même ligne droite (Princ. III). De plus, si trois ou plusieurs» points se trouvent situés en ligne droite dans la^g^. 6o, ils le seront également dans la projection, et si trois ou plusieurs lignes droites viennent passer par un même point de cette figure, elles passeront encore par un même point dans la projection.

De là résultent, entre autres, les propriétés exprimées par la figure ci-après, où Ton suppose que la courbe abcd représente une ligne quelconque du deuxième degré.

Conséquences^ — Elles sont la plupart déjà connues; c'est pourquoi je n'y insistei-ai pas.

Supposons en particulier [fig. 6i ), qu'on fasse varier de position la tangente /e cnf'e\ elle viendra couper les diagonales // et ge du quadrilatère circonscrit fgie, censé fixe, en deuv peints /' et e' également variables; or il est facile de démon-

DES SIMPLES CONIQUES. lii

Irer que si, de ces deux points considérés sur la fig, 60, on menait deux langenies au cercle correspondant à la conique» ces tangentes seraient parallèles, quelle que fût la position de la tangente variable e'/'.

Donc si, dans la ^g^. 61, on fait varier, Qwe'f'y la position de la tangente ef^ et que des points/' et e' où eljc coupe les droites fixes // et ge, on mène de nouvelles tangentes à la courbe, celles-ci iront se couper en 1' sur une autre droite fixe KIL.

De là il suit également que, si Ton fait varier c' en a', la corde

ac du quadrilatère abcd^ autour du point 0 de croisement commun des diagonales de ce quadrilatère et du circonscrit fgie, puis que, par les extrémités a' el c' de cette corde, on mène des droites aux points fixes K et L, appartenant aux diagonales fi et gSy ces droites, en se coupant, décriront la conique abcd.

En effet, les cordes de contact bc, b' c' , etc., correspondantes aux points e, e\ etc., de la droite egK, passeront toutes par un même point ou pôle L, d'après une Proposition déjà

i3a III* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

démontrée ci-dessus. Pareilleinenl, les cordes de contact ab, a'b\ correspondantes aux points de la droite fixe/i L, passeront par l'autre point ou pôle K; et, puisque les points mobiles 1' sont situés sur la droite KL, il est clair que les cordes oc, a'c' passeront aussi toutes par le même point 0.

Pour rendre la chose plus claire encore, nous l'exprimons sur une figure détachée (62).

Fig. 6u.

Tant que la disposition des côtés du quadrilatère inscrit afrrr/ restera telle qu'on Ta supposé dans les figures précédentes, la droite KL sera toujours située au dehors de la courbe, et par conséquent la projection dont il a été question restera, dans les mêmes cas, possible; mais cela pourrait cesser d'avoir lieu si l'on changeait la disposition des côtés successifs afr, bc, cd, (la. Néanmoins les théorèmes précédents continueront à exister, d'après les considérations déjà exposées au n® II de ce IIP cahier. On conçoit en effet, que, si l'on soumettait la question à l'analyse, les conséquences, formules ou équations auxquelles on arriverait ne conviendraient pas plus au cas où la droite KL cesse de rencontrer la courbe qu'à celui où elle la coupe effectivement, puisque les résultats auxquels on parviendrait seraient algébriquement, indépendants de telles circonstances.

DES SIMPLES CONIQUES. i33

ly. — Système de sécantes issues d'un même point.

Soit bb'tc'c [fig. 63) une courbe quelconque du second degré; supposons que, d'un même poinl a, on mène les sécantes arbitraires a6c, ab'c, etc.; qu'ensuite enjoigne, deux à deux, leurs iniersections avec la courbe, par de nouvelles lignes

droites, les points de croisement o, o', etc., i, i', etc., de ces droites respectives seront tous situés sur une dernière droite qui passera par les points t et l' où les tangentes at et at' menées du point a, louchent la courbe proposée.

En effet, cette courbe peut être regardée comme la projection d'un cercle et le point a comme la projection d'un point situé à l'infini (Princ. IV), et, par conséquent, toutes les sécantes a6c,aft'c', etc., seront devenues des droites parallèles; ce qui donnera la ligure suivante.

Les sécantes étant ainsi des coi'des parallèles bc, b'v', etc., toutes perpendiculaires sur un même diamètre tl', qui le»

FiE. Ci-

divise en deux parties égales , si l'on joint, de toutes manières, les exlréftiités b, b', c, d de deux cordes quelconques, par des

i34 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

lignes droites 6c' et cb\ bb' el ce* y les deux points o et i, intersections respectives de ces droites, seront situés sur le diamètre tt'y et Ton voit, de plus, que les deux tangentes aux extrémités / et /' de ce diamètre, seront en effet parallèles aux sécantes 6c, b' c' etc.; donc la propriété énoncée est vraie.

Corollaires et cas particuliers. — Cette proposition fournit un moyen bien simple de mener, par un point extérieur à une section conique, une tangente a cette courbe, quand on la suppose décrite. Au reste, elle pourrait être aussi considérée comme une conséquence immédiate de la précédente, relative aux quadrilatères inscrits et circonscrits. *

Le système de deux lignes droites pouvant, * d'autre part, être considéré comme un genre particulier de coniques, il est clair encore que cette même proposition lui est applicable directement.

Ainsi que, d'un point a pris dans le plan de deux lignes

Fig. 65.

droites données bb\ ce' , on mène tant de sécantes ac, ac',elc., que Ton voudra, coupant ces droites aux points respectifs b et c, V et c', 6" et c", etc.; puis, qu'on joigne ceux-ci, deux à deux, par de nouvelles lignes droites, elles viendront se couper en des points o, o', o", etc., tous rangés sur une dernière ligne droite passant par le point de concours I, des deux premières bb' et ce'.

Celte propriété, ainsi que les précédentes, a lieu quelle que soit la position du point a, par rapport à la conique proposée; elle fournil, comme on voit, un moyen très-simple pour résoudre ce problème :

i( Par un point a, donné à volonté sur le plan de deux droites » 66", cc'\ mener, sans se servir du compas, une aulre droite » qui passe par le point de concours des premières. »

DES SIMPLES œNIQUES. i35

V et VI, — Hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques.

Soïi (Jig. 66), une courbe du second degré el abcdef un hexagone quelconque qui lui est inscrit; soient prolongés les rôles opposés ab et de, bc et ^è jusqu'à leurs rencontres respectives en K et L ; soit, de plus, menée la droite KL; on pourra

Fig. 66.

/ nu I.. ...... " \

if

considérer la courbe comme la projection d'un cercle, et la droite comme celle d'une autre droite dont tous les points sont à rinfmi (Princ. IV). Donc, dans cette projection, les côtés opposés ab cl de^ bc et fs seront respectivement parallèles ; ce qui donnera lieu à la figure suivante.

Fij. 67.

\-, / /fi — - /j\

Puisque ab est parallèle à de, l'arc hcd-j=iafe\ de même.

j36 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

puisque bc est parallèle à/e, Tare crfe = arc baf; donc

afe -h cde = bcd -f- baf,

ou, ce qui revient au même,

af-{-fe -{- ed -\- (le = bc -h cd -i- ab -i- af,

et, par Conséquent,

fe'\-ed=:ab-hbc;

donc aussi, puisque Farc/erf est égal à abc, le côté a/ est parallèle à crf. Donc enfin ces côtés doivent se couper sur la droite KL dans la^îg^. 66 (Princ. III), et il en résulte ce théorème général :

Si l'on prolonge les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une courbe du deuxième degré, leurs points d'intersection respectifs seront rangés sur une même ligne droite (*).

Supposez, ensuite, que Ton mène une tangente à la courbe en chacun des sommets a, b, c, rf, e, /de Thexagone inscrit, ces tangentes formeront par leurs rencontre* consécutives un hexagone mnpqrs circonscrit à la courbe. Si Ton mène semblablement des tangentes aux différents sommets du polygone inscrit dans le cercle [Jig. 67), on formera un polygone circonscrit à ce cercle, qui sera la projection du premier. Or, en considérant deux cordes opposées ab et ed, il est clair qu'étant parallèles, le point q d'intersection des deux tangentes qe et qd, menées aux extrémités de la corde ed, et le point m où se coupent les deux tangentes ma et mb, menées aux extrémités de l'autre corde ab, seront situés sur une ligne droite passant par le centre 0 du cercle : les deux sommets r et n sont pareil-

(*) C'est là le célèbre théorème de Y hexagramme mystique attribué à Pascal, ce que j'ignorais ou avais complètement perdu de vue en 181 3, théorème depuis démontré tant de fois et de tant de manières différentes ; mais, d'après ravertissement qu'on trouvera reproduit dans une note finale de la page i43, je me contenterai de renvoyer, pour tout ce qui concerne la critique historique relative aux matières de cette sect. Il, aux écrits initiateurs de Brianchon (i8o5 à 1810) et au Traité des Propriétés fmtjcctivcs des figures (i8'22).

lement situés sur un même diamètre, ainsi que les deux sommets opposés p et 5. Donc enfin, si l'on remet cette dernière figure en projection sur le plan de la première, il en résultera ce nouveau théorème :

Dans tout hexagone circonscrit à une courbe du deuxième degré, les trois diagonales joignant les sommets opposés, se coupent en un même point,

Cesl le beau théorème découvert par M. Brianchon.

Remarque particulière. — Si l'on eût prolongé les couples de côtés alternants de Fhexagone inscrit {Jig. 67) jusqu'à leurs rencontres mutuelles, on eût formé deux triangles ABC, A'B'C (non tracés), se recoupant aux sommets de l'hexagone et dont les côtés respectivement opposés eussent été parallèles entre eux. Donc « les trois droites BB', CC, AA', joignant leurs som- » mets homologues, se fussent croisées en un même point. » { Cah. I, Lemme général, p. 3. )

Pareille chose aurait donc lieu pour la fig, 66, si Ton y exécutait les constructions analogues (*).

(*) Le manuscrit est ici accompagné d'une figure (lue j'ai, mal à propos peut-être, supprimée à l'impression pour ne pas trop multiplier le nombre des planches; et, chose qui mérite d'être remarquée au point de vue philosophique de l'incertitude inhérente à réclosion des idées, cette figure et sa démonstration ont élé indiquées comme douteuses. Or, bien qu*elles concernent des théorèmes au fond dignes d'intérêt, ces théorèmes ne sont pas même mentionnés dans le Traité des Propriétés projectiles , ni, si je ne me trompe, dans aucun des nombreux ouvrages de géométrie pure qui se sont succédé depuis 1822, quoiqu'ils donnent lieu à ce simple et élégant énoncé :

« Quand les côtés de deux triangles quelconques s'entrecoupent sur le » périmètre d'une conique, les trois lignes droites qui joignent leurs somn mets respectivement opposés, convergent en un même point. »

Ce qui conduit, par la théorie des polaires réciproques (181 7), à cette proposition inverse, d'une démonstration directe tout aussi facile :

« Quand deux triangles quelconques sont circonscrits à une conique » donnée, les points de concours dos côtés respectivement opposés sont » sur une môme ligne droite. »

Comme on le voit, ces énoncés sont une [)ure extension do théorèmes élémentaires bien connus, et reproduisent, sous une forme différente, les admirables Propositions de Pascal et de Brianchon.

i38 îll' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

^//. — jTracé des coniques par points, détermination

des tangentes en ces points.

Soii ABCDEF {Jig. 68), un hexagone inscrit à une courbe (lu deuxième degré; d'après ce qui précède, si l'on prolonge les côtés opposés jusqu'à leurs rencontres respectives en K, I et L, ces trois points seront en ligne droite. Supposons les cinq points E, F, A, B, C fixes, et le point D variable, le point I sera fixe ainsi que les deux droites AB et AF, mais les points K et L seront variables, et la droite qui passera par deux de ces points correspondants à la même position du point D, passera constamment par le point 1. Donc, si l'on imagine que ce soit

la droite KL quiJi(|rte autour du point I, les points D, D', etc., correspondants aux diverses positions de cette droite, seront tous situés sur la courbe du deuxième degré qui passe par les points donnés E, F, A, B, C, au nombre de cinq.

Cette propriété offre , comme on le voit, le moyen de « dé- » crire par points, la section conique qui passe par cinq points » donnés arbitrairement sur un plan. »

Imaginons, de plus, que le point générateur D, vienne se confondre avec le point E, la droite DE deviendra Ungente à la courbe et la droite DC prendra la direction CE; prolongeant CE jusqu'à sa rencontre en L' avec la droite AF qui renferme lous les points L; joignant le point L' avec le point 1 par

la droite 11/, celle-ci viendra couper AB en K', qui sera le poinl oii la tangente en E, rencontre AB; donc, si Ton joint ce point E et le point K', on aura la tangente au point E.

Cette construction fournit, comme on le voit encore, un moyen très-simple de « mener à une courbe du deuxième def> gré, une tangente en un point, .déterminé quand on en con- » natl quatre autres donnés ou choisis à volonté sur son péri- » mètre. »

On remarquera que la dernière propriété relative au pentagone inscrit ABCEF et à la tangente en Tun de ses sommets E, est une conséquence immédiate de ce qui a été dit sur Thexagone inscrit aux coniques, et aurait pu se démontrer directement, de la même manière.

FUI. — Tnicé des coniques par tangentes y détermination

des points de contact.

Soit maintenant l'hexagone circonscrit mnpqrs (Jig. 66); si Ton imagine que le sommet/; soit placé sur le périmètre même de la courbe, les deux côtés pn et pq se confondront en un seul, et rhexagone deviendra [Jig' <'>9)» un pentagone circon-

Fij. 69.

sr'

scrit m'n'q'r's'f la diagonale sp devenue s'p', passera par le sommet s' et le point de contact // du côté opposé n'q' : les deux autres diagonales étant toujours wV, m'q' et ces trois droites se coupant, comme dans \esjig. 66 et 67, en un même point o'.

Donc, en général, « dans un pentagone circonscrit à une jt» courbe du second degré, la droite s' p\ qui joint un sommet

i4o m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» quelconque avec le point de conlacl du côté opposé, et les )) deux diagonales m!q\ n!r* relatives aux quatre autres som- » mets, se coupent toutes en un même point o\ »

Si Ton se donnait, à volonté, un pentagone, et qu'il fallût trouver la courbe du deuxième degré qui y est inscrite, on déterminerait facilement les cinq points de contact des côtés avec la courbe au moyen de la propriété précédente; ensuite ayant cinq points de la courbe, on pourrait la décrire par points comme ci-dessus; art. Fil (*).

Remarques diverses, — La propriété du pentagone circonscrit qui vient d'être déduite de celle de Thexagone circonscrit, aurait pu être démontrée directement comme cette dernière.

On pourrait répéter sur ces mêmes propriétés, les réflexions déjà présentées plusieurs fois: savoir, que la droite KL peut être située au dehors de la courbe ou la couper, sans que ces propriétés cessent d'exister. Ainsi, quel que soit l'ordre des côtés successifs des figures précédentes, les propositions démontrées ne cessent pas d'avoir lieu géométriquement.

IX, — Le lieu du sommet libre d'un polygone plan, dont les autres sommets décrivent une conique donnée et les divers côtés tournent autour de pôles ou points jixeSy rangés en ligne droite, ce lieu est une antre conique.

Soit LMNOQL ijig, 70) une courbe quelconque du second degré ; A, B, G, . . . divers points ou pôles fixes rangés en ligne droite..Supposonsque, par l'un de ces points, A par exemple, on mène arbitrairement une sécante AL, venant couper la conique en L et Q; qu'ensuite par l'un de ces points L, on mène la droite BL coupant la courbe de nouveau au point M; que l'on joigne pareillement ce point au pôle suivant C, et ainsi de suite jusqu'au dernier pôle E, je suppose, qu'il faudra joindre

(*) Le roinarquabic et fécond théorème de Brianchon, sur l'hexagone circonscrit aux coniques, donne aussi le tracé direct de ces courbes par les tangentes, dont il n*c8t pas fait mention ici, non plus que de beaucoup d*autres conséquences indiquées par l'auteur.

DES SIMPLES œNIQUES. i4i

avec rinlersecUon O, donnée par la dernière sécante NO. La droite EO ira couper la première sécante AL, suffisamment

Fig. 70.

prolongée, en un point P, qui variera en même temps que relie sécante; or je dis que la courbe ainsi engendrée sera aussi du second degré ou une conique.

En effet, on peut regarder la conique donnée comme la pro. jection d*un cercle, et la ligne des pôles AI) comme celle d*une droite à TinOni (Princ. IV); donc les divers systèmes de droites qui primitivement concouraient aux pôles respectifs

de cette droite, seront autant de systèmes de parallèles dans la nouvelle figure. Cela posé, nommons a et p les coordonnées du point générateur ; x' et y, ^" et >^',. . ., les coordonnées inconnues des divers autres sommets du polygone mobile LlVfNOP, sommets que nous conviendrons de désigner par les lettres respectives :r', x", . . . , et qui sont censés correspondre à une position particulière du sommet P ou «. Soient, de plus, a, h, c,..., m, n les tangentes trigonométriques des angles constants de chaque système de parallèles ou côtés respectifs ;;du polygone, avec Taxe des x; r le rayon du cercle; Torigino des axes

i4t» m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

élanl placée à son centre C, on aura les équations de condition

Dans ce tableau, la première équation de la colonne (c), par exemple, est obtenue en retranchant Tune de l'autre les équations 1 et 2 de la colonne (a), et substituant dans le résultat la valeur de y — 7*" tirée de Téquation correspondante y^y"=b[x' — x") de la colonne (6), et ainsi du reste.

Il faudra éliminer x' et y, x" et ^i*^,.. . entre toutes ces équations, et Téqualion en a et p, ainsi obtenue, sera celle de la courbe lieu des sommets a.

Le nombre des abscisses x'y x",... étant n, les équations [a] seront également au nombre de/i, et celles de la colonne (6) au nombre de n-f- 1. Or le nombre total des variables inconnues étant 2/1-1-2, il y aura une équation en a et p seuls, résultante de Téllmination.

D'un autre côté, les équations [c) étant évidemment au nombre de n — i seulement, elles pourront remplacer le système des équations («), à Texception de la première «r'^H-.r*=H; et, puisque les coefficients de a, p,^',^-',j?",y,... dans les équations [b] et [c] sont tous constants, il est clair qu'on en pourra tirer les valeurs de x' et y du premier degré en a et p. Donc si Ton substitue ces valeurs dans Téquiition (i), on obtiendra pour résultat Onal, une équation en a et p du deuxième degré qui sera celle du lieu cherché.

Obsefvations finales.

Par la suite, nous aurons à revenir sur quelques-unes de ces questions, et en particulier, pour la dernière, nous ferons connaître les positions relatives du cercle et de la conique.

DES SIMPLES œNIQUKS. i4J

Touies les propositions précédeiiles, d'ailleurs, sont connues, et appartiennent en grande partie à M. Rrianchon, ancien élève de TÉcole Polytechnique (*).

SUR LE LIEL' DU SOMMET LIBRE d'lN TRIANGLE CIRCONSCRIT A UNE CONIQUE DONT LES AUTRES SOMMETS GLISSENT SUR DES DROITES DONNÉES DANS SON PLAN.

Solution purement géométrique.

Soit (C) une courbe quelconque du second degré [Jig. 79), AM et AN deux droites prises pour directrices dans son plan ;

Fie- 7'- M

tL ..^ ^^,a

soit menée une tangenie arbitraire X'X" à cette courbe; par les points X' et X", où elle rencontre AM et AN, soient, de plus, menées les deux autres tangentes X'a, X"a, qui viennent se couper en un point quelconque a, troisième sommet du triangle variable aX'X''; quelle sera la courbe engendrée par ce sommet, en supposant que l'on fasse varier la t.ingenle X'X'' de toutes les manières possibles?

(*) Voy. les premiers volumes (i8o5 à 1810) de la Correspondance et du Journal de V Ecole Polytcchnitiue. Écrivant pour moi-même en i8i'i, loin de mon pays et d'après de vagues souvenirs, je ne i)Ouvais faire la part exacte de chaque inventeur; mais je m'en suis, je pense, suffisamment etconsciencieusement dédommagé en 1822, parla publication du Traité des Propriétés projectives des Jigures, C'est pouniuoi. je le répète, je me dispense ici d'entrer dans aucun détail de critique hisloriqno. afin de ne pas inutilement multiplier les notes de ce livre.

i44 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRFFmES

Puisque le point X' est assujetti à parcourir la droite AM, là corde de contact xx' des tangentes qui lui correspondent sur la courbe, passera dans toutes ses positions par un même point ou pôle fixe w. Pareillement, la corde xxy relative à X" passera toujours par un pôle fixe n, conjugué à AN. Cela posé, d'après le Princ. IV, on peut regarder la courbe (C) comme la projection d'un cercle et les points m, n comme celles de deux points situés à l'infini ; donc, dans cette projection, toutes les cordes xx' seront parallèles entre elles, ainsi que les cordes xXiy et la question se trouvera ramenée à celle-ci :

Soit [Jig'']^) un cercle donné (C) ; par un point quelconque jc de ce cercle soient menées deux cordes xx' et orx,, la première parallèlement à une droite donnée, et la seconde parallèlement à une autre droite également donnée; par les extrémités x' et Xi soient menées deux tangentes au cercle, qui viendront se couper en un point a; quelle sera la courbe engendrée par ce point, en supposant qu'on fasse varier le sommet x de l'angle x' xx^y en lui faisant parcourir la circonférence de (C)?

Puisque les deux cordes xx' et xx^ restent constamment parallèles aux droites données, il est clair que l'angle en x, sera constant; donc la corde x'Xi sera aussi constante pour toutes

les positions du point a, et par conséquent ce point, se trouvant toujours à une même distance du centre C, parcourra une circonférence de cercle concentrique à la première.

On conclut de là que la courbe engendrée par le point a dans la ^g-. 72, est généralement une conique, quelle que soit la position des pôles m, « et des directrices AM et AN : cette courbe n'étant ni concentrique ni semblable à la proposée (C), puisque la projection se fait par des cônes obliques.

Remarques, — On voit combien cette question a été résolue

DES SIMPLES œNIQUES. \^j

facilemeni au moyen des considérations géométriques précédentes, qui apprennent, de plus, que la corde or' j:,, iroisicme côté du triangle inscrit xx' Xi et conjuguée au sommet «, roule en enveloppant une troisième section conique.

Si Ton voulait traiter la même question dans toute sa généralité par l'analyse des coordonnées, on serait jeté dans des calculs ou éliminations d'une longueur rebutante. Je vais cependant le faire, non pour donner à la première démonstration une plus grande certitude, dont elle n'a pas besoin d'après ce qui a été établi au commencement de ce III'* Cahier, mais bien pour mettre en mesure de préciser exactement la forme et la position du lieu cherché. J'en donnerai même plus d'une solution, pour montrer comment les moyens souvent employés pour résoudre analytiquement les problèmes de cette espèce peuvent introduire des solutions étrangères à la question; ce qui nous servira parla suite.

Première solution analytique.

Rien n'empêche de supposer, pour la simplification des formules, que la courbe donnée (C) soit un cercle ; car il y a une infinité de manières de déterminer un point projecteur et un plan de projection, tels que cette condition ail lieu (Princ. 1).

Soient [Jig. 74) AM, AN et (C) les deux droites données ainsi que le cercle, la question revient évidemment à celle-ci :

Quelle est la courbe telle que, si d'un point quelconque a,

de cette courbe, on mène au cercle (C) deux tangentes aX'

i46 Iir CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

et aX'", dont Tune vient couper la directrice AM au point X', et l'autre la directrice AN au point X", la droite X'X" soit constamment tangente à ce cercle ?

Je place Torigine des coordonnées x ei x* « et p en C, et je donne à Taxe des x la direction AC. Cela posé, soit r le rayon du cercle et a la distance AC; supposons, de plus, que les abscisses de chaque point soient représentées par les lettres de la figure, on aura pour les équations du cercle,

celle de la directrice AM sera représeniée par

(i) x=:Xx — Aa,

et celle de la seconde directrice AN par

(2) y=zBx — Ba.

L'équation d'une tangente menée par le points', sera, d'autre part,

Xy -hxx' = r*;

cette tangente passant par le point a, on a également

Pour obtenir les valeurs de x' et de y correspondantes au point a, il faudra combiner cette dernière équation avec celle du cercle ou x'*-|-j'* = r*; d'où Ton tirera les doubles valeurs

Prenant les signes supérieurs pour x' et y et les signes inférieurs pour Xi et j, ; observant que l'équation d'une tangente au cercle en x', menée par a, est, en général.

PONCELBT. — ^ppt

Les valeure des abscisses rément l'expression

H-rABrt(A - B) 4-f* t. :"^^ -^x

^^/(A— B)ap — r*(A

g4-ABry(A-B)KL /^=

Cet valeurs ont été obtenu