AK i4-iiL

les valeurs de Y' et Y^" ne sont pas nécessaires, comme on va le voir, pour les résultats du calcul.

Ppur que X' X" soit tangent au cercle (C), il faut satisfaire à l'équation de condition

Or on a, d'après les conventions et notations ci-dessus,

Y' = AX— Afl, Y' = BX" - A« ;

donc l'équation de condition devient

,3. I [(B-AlX'X'-atBX'-AX")]»

^ ' \ =f»[(X'-X")' + [AX'-BX" — rt(A-B)pj.

(yojiez Ifi suite nu tableau ci-après.)

i48 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

La seconde de ces équations peut, à son tour, être décomposée en deux facteurs ^ — Aa — Aa et p — Ba — Ba, qui, égalés séparément à zéro, donneront à sa place, les deux équations suivantes :

^— Aa — Ari = o, p — Ba — Ba = o.

On reconnaît d'abord, que ces dernières équations sont celles des deux droites ou directrices AM et AN. Quant à Téquation a' -h P' — r^ = o, elle est celle du cercle (C), lui-même; or ces trois équations ne sauraient être que des solutions particulières de la question proposée; Téquation

r(A — B)(rta — r') -+-(ABa»—AB/-^ — r»)v/a2 -h ?' — /•" = o

est donc la seule qui convienne à cette question, du moins telle qu'on se Test primitivement proposée,, et, comme on le voit, ^e représente une courbe du second degré en a et P; car, on y faisant disparaître le radical, elle devient simplement

(ABa»— ABr»— r^)»(a»-hp^— r') — r»(A — B)M<ia — r»)'=o.

Cette équation ne renfermant pas de terme en p, il est clair q\ie la courbe est symétrique par rapport à Taxe AC des x ou a, et par conséquent, son centre est situé sur cet axe.

De plus, si Ton y fait a a — r* = o, l'ordonnée p devra satisfaire à réquation a*-Hp' — r*=o, qui est celle du cercle (C) luimême; la courbe aura donc deux points en commun avec ce cercle, situés symétriquement au-dessus et au-dessous de Taxe des x : l'équation aa — r= = o fait voir d'ailleurs que ces points s'obtiendront en menant, du point A, deux tangentes à ce même cercle. Ainsi, quand le point A est au dedans de (C), la courbe ne le rencontre nulle part. Dans tous les cas, le point a étant toujours au dehors du cercle, la courbe ne saurait entrer dans son intérieur, et partant, lorsqu'elle a deux points en commun avec lui, elle le touche forcément en ces points: ce qui est évident à l'inspection même de la^g*. 76, et ptï suivant attentivement la construction, le mode de génération de celle courbe.

Remarques relatives aux solutions étrangères.

11 nous TQsie à expliquer pourquoi les équations du cercle (C) et des deux directrices AM et AN, se sont introduites dans l'équation qui fournil la solution analytique du problème.

Or, si Ton se reporte à l'énoncé : « trouver le lieu d'un » point a, tel que les tangentes menées de ce point au cer-

Fi(j. 75

»^^^- [-\ —n ) "^ja

» cle (C), rencontrent respectivement AM et AN en des points >» situés sur une tangente à ce cercle, » on verra facilement que les points du cercle et des droites remplissent parfaitement les conditions imposées aux points a. Considérant , par exemple , la droite AM, il est clair que si d'un point X' de cette droite, on mène les deux tangentes. X'.r', cl X'x, la première rencontrant AM au point X' lui-même, et la seconde AN en X*', les deux points X' et X" sont bien situés sur une même tangente au cercle. De même, si d'un point quelconque a: de la circonférence du cercle, on essaye de lui mener deux tangentes, il est évident que celles-ci se superposant, le triangle générateur aX'X" se réduit à la tangente unique X'X" et le point a vient en x.

Il n'est plus étonnant, d'après cela, que les équations du oefcle et des droites AM et AN se soient trouvées combinées avec l'équation même de la courbe cherchée ; c'est une suite nécessaire de la généralité de l'analyse algébrique.

.Nous pouvons conclure de là, que, avant de mettre un problème en é(]uation, il faut examiner avec soin si la méthode fMuployée n'introduira pas quelque solution étrangère à l'objet

i5o IIP CAfflER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

qu'on se propose; on saura ainsi, à Tavance, si Téqualion finale à laquelle on veut parvenir, doil renfermer un ou plusieurs facteurs inutiles, et, souvent même, on pourra reconnaître la nature de ces facteurs. Cet examen permettra fréquemment, de choisir une marche qui ne donne pour équation finale que réquation même delà courbe cherchée; mais il n'en est pas toujours ainsi; car certains problèmes comportent, de leur nature, plusieurs solutions lices les unes aux autres d'une manière inséparable.

La méthode qui fournirait la solution exemple de toute solution particulière, ne sera d'ailleurs pas toujours la plus commode ni la plus rapide. Si Ton se proposait, par exemple, de rechercher uniquement le degré de la courbe satisfaisant à certaines conditions données, et qu'on eût reconnu que la question, présentée d'une certaine manière, dût introduire un ou plusieurs facteurs d'un degré connu, il suffirait de déterminer le degré de l'équation finale, ce qui est toujours possible et souvent très-facile, et l'on en conclurait, par soustraction, le degré propre de la courbe cherchée. 11 faut avoir soin néanmoins, d'éviter l'introduction de ces facteurs auxiliaires, vraiment étrangers, adoptés parfois en vue de faciliter les opérations, et qui sont, en certains cas, d'autant plus fâcheux qu'ils peuvent faire disparaître de véritables solutions.

Construction géométrique et discussion des éléments de fa conique lieu du sommet libre, etc. (*).

1" Cas. — On peut déterminer par une construction géométrique simple les sommets situés sur Taxe de symétrie AC, de

(*) Les constructions ci-après ont pour but évident une première tentative do solution directe et purement géométrique, des problèmes énoncés plus loin et dont le cas tout à fait élémentaire relatif à « l'inscription » au cercle d'un triangle dont les côtés passent par des points donnés en » ligne droite, » avait déjà occupé les géomètres de TÉcole d'Alexandrie et ceux du siècle dernier.

A ce sujet, on se rappellera que les méthodes de résolution des problèmes de géométrie se réduisent aux suivants : i*" la résolution algébrique et arithmétique des équations par un c<ilcul direct ou de tâtonnement;

DES SIMPLES CONIQUES. i5i

la courbe lieu des points a. Concevons, en eliel [fig' 76), que Ton trace le triangle x^x'x, qui a pour sommets les points de contact des côtés du triangle circonscrit au cercle (C) ; on a

Fig. 76.

fait remarquer, à l'occasion de la solution géométrique, que les cordes xx* , xxx passent dans toutes leurs positions, par deux pôles fixes m et w, toujours faciles à construire. D'autre part, lorsque le point a est situé sur AC, il est visible que la

1" le tracé graphique par points ou d'un mouvoment continu, à l'aide d'instruments de précision, tels que règles, compas, etc. La résolution au moyen de calculs arithmétiques et de traces géométriques, répétés ou par |)ointâ, est généralement longue et pénible; on Tabrége, il est vrai, par les tables logarithmiques, les instruments à calcul, la règle de fausse |x»sition ou le tracé graphicjue des courbes d'erreurs. Mais ces méthodes ne sont pas considérées comme bien satisfaisantes : il en est tout autrement des solutions directes, rapides ou réduites au plus petit nombre l>ossible d'éléments, par une combinaison simple, en cela même savante, des données et des inconnues, soit qu'on y. emploie principalement les ressources de l'analyse algébrique, soit que, faisant un usage on quelque sorte exclusif du raisoni\ement géométrique, on se livre à la contemplation intime, intuitive pour ainsi dire, des conditions et des données de chaque problème; ce genre de solutions, dont les écrits mathématiques ont, depuis une certaine époque, offert de si remarquables exemples, mérite seul, en effet, les épithèles i\t'/éf;ant, rapide, ingénieux.

Quant aux méthodes d'invention et de démonstration, c'est autre chose encore, et l'on ne doit pas oublier que démontrer à posteriori, ce n'est pas réellement découvrir, à moins que le mode même de démonstration, doué ou non des qualités précédentes, ne constitue en soi une innovation^ f»t un principe fécond de découvertes.

i52 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

corde de contact correspondante x'xx est perpendiculaire à AC.

La question revient donc à celle-ci : a Par deux points don- M nés m et n pris dans le plan d'un cercle, mener deux cordes » mx^ nx qui se coupent en un point x de sa circonférence, » de telle manière que la droite qui joint leurs deux autres » extrémités x', Xt soit parallèle à mn. » Or il est facile de voir que le point inconnu Xy s'obtiendra en menant, par m et n, un cercle tangent au cercle donné (G) ; problème traité dans le 1" Cahier, et susceptible de deux solutions. Les deux points x une fois construits, on en déduit simplement, comme l'indique la figure pour l'un d'eux, les sommets a et a'.

La construction ci-dessus peut s'exécuter toutes les fois que les points m et n sont tous deux intérieurs ou tous deux extérieurs au cercle. Lorsqu'il en est ainsi, on peut donc déterminer directement le centre et l'un des axes principaux de la courbe ; la position des points a et a! par rapport au cercle en fera d'ailleurs connaître l'espèce. Si l'un de ces points est à l'infini, le lieu est une parabole ; c'est une ellipse lorsque les deux points sont situés de part et d'autre du cercle, et une hyperbole lorsqu'ils sont situés du même côté. Dans tous les cas, on achèvera facilement de déterminer la position et la grandeur de la courbe.

Si c'est une hyperbole, on en construira les asymptotes par la méthode indiquée plus bas, et de là on déduira la grandeur de Taxe imaginaire. Lorsque c'est une ellipse, on en détermine un point quelconque par la construction générale, et l'on obtient ensuite l'axe inconnu, en remarquant que le rapport de cet axe à aa', est égal au rapport de l'ordonnée du point construit, à l'ordonnée correspondante du cercle [décrit sur aa' comme diamètre.

Knlin, lorsque la courbe est une parabole, on en détermine encore un point quelconque, et l'on déduit le paramètre de la relation connue y^=2px. On pourrait aussi construire la tangente en ce point, en s'appuyant sur ce que, dans cette courbe, la sous-langente est double de rab3cisse, et déduire ensuite do là le foyer.

Les constructions relatives à l'ellipse et à la parabole, se simplifient lorsque le point A.est hors du cercle; car alors on

DES SIMPLES CONIQUES. i53

connaît immédiatement au moins un point de la courbe; à savoir le point de contact t ou /', de Tune quelconque des tangentes menées de ce point au cercle (C).

IP Cas, oiX l'un des pôles est au dedans et Vautre au dehors du cercle directeur. — Lorsque le point n {Jig. 77) étant extérieur au cercle (C) et le point m intérieur, c'est-à-dire quand la directrice AN, conjuguée à w, rencontre ce cercle, et que celle AM, qui a m pour pôle, lui reste extérieure, la construction relative aux points a et a' devient illusoire : Taxe prin-

cipal de la courbe dirigé suivant AC, sera donc imaginaire, et par conséquent cetle courbe sera une byperbole. Dans le même cas, le point A étant extérieur au cercle (C), par hypothèse, le lieu, du deuxième degré, a nécessairement la position indiquée dîins In Jig. 77 ci-dessus, et il s'agit d'en trouver le centre et les asymptotes.

. Rappelons-nous pour ah que l'asymptote étant une tangente à l'un des points situés à l'infini, il devient nécessaire de rechercher, au préalable, la position occupée par de tels points sur les branches illimitées de la courbe. Or, pour obtenir un point quelconque a de cette courbe, il faut d'un point arbitraire x, du cercle (C), mener aux points m et /i, les droites nuv et nx qui coupent de nouveau ce cercle en x' et en^,; tracer ensuite en ces points respectifs les tangentes (|ui iront se couper au point a demandé. Si d(mc ce dernier point doit être situé à. Tiniini, il faudra (|ue l(*s tangentes »t''x, ;r,a, en x' et jt, soient parallèles l'une à Tautn», et par conséquent (|ue la droite x' Xt soit un diamètre du cercle, d'où il suit que langle x'xxt doit être droit. .

i54 Ilf CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Donc si, sur la dislance mn comme diamètre, on décrit une nouvelle drconférence de cercle, les points a: et X où elle coupe la première , seront tels que les a qui leur correspondent seront situés à Tinfini ; donc les asymptotes de la courbe seront respectivement parallèles aux tangentes obtenues de la manière indiquée en particulier pour le point or.

La direction des asymptotes étant ainsi trouvée, il ne s'agira plus que d'en fixer la position : pour cela, on regardera les points situés à Tinfini comme deux points distincts, à chacun desquels il faudra mener une tangente à la courbe; on choisira à cet effet, trois autres points quelconques de cette courbe, et on exécutera la construction indiquée [fig* 68). Or, les points / et /' étant ici connils à priori, il suffira d'en déterminer un troisième a, par la construction ordinaire.

Les points de contact /', / étant ici encore réels, et représentés [fig. 78) par 6, /respectivement, soit a un troisième point déterminé, comme on vient de le dire; on mènera par & et/ des parallèles &c,/<?aux asymptotes, elles viendront se couper évidemment en un point i de Taxe de symétrie AC de la courbe; on tracera ^et ab; par le point / on mènera ih' paral-

J'ig. 78.

lèle à «/, qui coupera ab prolongé en A'; ce sera un point de l'une oe, des asymptotes cherchées, et le point o où elle coupera l'axe AC sera le centre de la courbe. On obtiendrait l'autre asymptote en menant par le môme point / ime parallèle iVi" à ab, qui couperait af au point k" appartenant à la deuxième oc des asymptotes. ^

Cette construction se déduit de celle de la^;^. 68, art. fil, en supposant dans cette figure que C et E sont les points à Tin-

DES SIMPLES œNIQUES. i55

fini, desquels il faille mener des tangentes à la courbe. Toute droite qui passe par l'un de ces points, a, en effet, une direction parallèle à celle de Tasymplole; par conséquent la droite FE devient ici une droite menée, par/, parallèlement à cette asymptote. Il en est de rhême de la droite BC, qui devient ici ibc; la droite EC étant tout entière à Tinfini, son intersection L' avec AF, est par là même, située à Tinfini sur cette droite; donc L'I est représentée, dans la nouvelle figure, par la droite /7i" menée de / parallèlement à ab , laquelle par conséquent donne avec ab, représentant ici AB, le point h' représentant Tinterseclion K' de la tangente en E, devenue l'asymptote o/i'e.

Ayant obtenu ainsi les as>mptotes de la courbe, on déterminera facilement son grand axe réel , en se rappelant que si, d'un point quelconque / de cette courbe, on niène deux ordonnées/? et /?' parallèles à ces asymptotes, leur produit ou rectangle//.y7'=o/.o/' est constant. Quand le point/est précisément le sommet de la courbe, ol=ol'; par conséquent, si Ton cherche une moyenne proportionnelle entre ol et o/', et qu'on la porte, à partir du centre o, sur Tune et l'autre asymptotes; qu'ensuite, des points obtenus, on mène des parallèles à ces asymptotes, le point où elles se rencontreront sera le sommet même de l'hyperbole, etc.

Recherche des inlersèctions de la conique avec les directrices. — Il est des cas où la courbe rencontre les directrices du triangle mobile ou générateur; on peut se demander alors de construire les intersections correspondantes. Supposons que la position de AM et AN soit telle que l'indique la fig. 7g, ci-après, et qu'il s'agisse de trouver les points où AM rencontre la courbe cherchée. On déterminera le point, toujours réel, ou pôle m conjugué à la droite AN; par les points p Gi q où AN rencontre le cercle directeur (C), on mènera les tangentes p\ et qYf qui donneront par leurs intersections avec AM, les points X et Y demandés.

En effet, on peut considérer le point/? comme étant donné arbitrairement sur le cercle (C). Pour trouver le point descripteur correspondant a, il faudrait joindre ce point p avec le pôle m par la droite pm, qui couperait le cercle en un deuxième

i56 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

point p'; le joindre pareillement au pôle n de AN, par une

droite np coupant le cercle (C) une deuxième fois en p; par

les points p et p', enfin, mener deux tangentes à ce cercle, qui se couperaient au point a demandé. Or il est évident que la corde pp' passant par le pôle m, le point descripteur ou a est sur la directrice AM.

On peut tirer de là comme conséquence, que, si les directrices AM et AN rencontrent à la lois le cercle (C), auquel cas m et n sont tous deux au dehors de sa circonférence, ces mêmes droites rencontreront aussi la conique; que s'il n'y en a qu'une seule qui coupe le cercle , elle ne coupera pas non plus cette courbe, l'autre la coupant; qu'enfm, si ni l'une ni l'autre des directrices ne coupe le cercle, aucune ne rencontrera cette même courbe.

Inscription et circonscription d'un triangle à un autre ou à une conique donnée. — Les axes principaux de la courbe étant ainsi trouvés, on pourra se proposer de rechercher, par une construction géométrique directe, ses intersections avec une droite de position connue, ce qui fournira la solution du problème suivant :

« Etant donnés (Jig. 80) un cercle (C) et un triangle AMN, » circonscrire à ce cercle un autre triangle amn dont les som- ») mets m, n ci a soient respectivement sur les côtés AN, AM ») et MN du triangle donné AMN. »

Il est facile de voir que ce problème levienl inversement, a celui qui suit :

« Étant donnés arbitrairement trois points /, o et k ainsi

DES SIMPLES CONIQUES. ïS;

» qu'un cercle (C), dans un môme plan, faire passer par ces » points trois droites qui se coupent respectivement sur la

Fig. 80.

/.(ci^^l/'

« circonférence de (C), ei qui forment par conséquent un M triangle xx' Xt inscrit à ce cercle. »

Si la courbe, directrice ou enveloppe des sommets et des côtés de ces triangles respectifs, était une conique ou courbe quelconque du deuxième degré, la solution serait du même ordre, mais beaucoup moins facile à exécuter géométriquement, c'est-à-dire par la règle et le compas.

Deuxième solution analytique du problème énoncé en tête de cette sec t. III (p. 157).

La question revient évidemment encore à celle-ci : Soient fiff. 81, un cercle (G) et deux points ou pôles fixes a et a' situés

Fifî Si.

arbitrairement dans son plan ; que, d'un point quelconque x' de ce cercle, on mène aux pôles a et a' les droites x'a et .r'^' coupant le cercle en deux autres points x" et x"'; qu'en ces points

i58 Ul« CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

on mène les deux tangentes x" a. et x*" a qui se coupent en a,

quelle sera la courbe engendrée par ce point a?

Supposant encore que chaque point ait pour coordonnées les lettres correspondantes à celles de la figure (*), on aura évidemment les équations de condiiion suivpntes,

(2) /'r'= — i^(x"— x'), v'^~>-' = V-Au-'— ^');

Ces équations étant ^lu nombre de sept et renfermant huit inconnues, donneront par rélimination une équation de condition entre a et p seuls, qui sera l'équation même de la courbe cherchée.

Si Ton fait, pour un monicni,

^, = m et -7 — ^ = m',

les équations (2) deviendront

Retranchant la première des équations (i) de la deuxième, on aura

Substituant la valeur de y^' — ^ tirée de la première des équations (4), et supprimant le facteur x" — x' qui répond à une solution étrangère, puisqu'il ne saurait être nul sans qu'il en soit ainsi de 7" — y' ou de a — x' (a), on aura donc

Cette équation donnera conjointement avec la première des

(*) Désormais nous désignerons constamment, par la lellre qui correspond à l'abscisse courante de chaque point, la posiliôti géométrique même de ce point sur la figure.

DES SIMPLES CONIQUES. iSg

deux équations comprises sous le ii'' 4'

j, y — '1 mx' — m'^y' n

,, 7n}x' — 2 my^' — x' N

où les lettres n, N, D sont introduites pour Tabrévialion.

En changeant m en wf dans ces deux expressions, adoptant des abréviations analogues, elles donneront

j„ >-' — o.m' x' — m'^y' Ji

'^' ~ I -H ni' "~ W

Si Ton substituait ces valeurs dans les équations (3), on obtiendrait deux équations en a, p, x' et r', d'où l'on tirerait les valeurs de x' et y*' en a et p, qui, mises dans ^'^H-j'2=rS donneraient Téquation de la courbe cherchée. Mais cette manière directe de faire Télimination ne serait pas la plus simple en ce qu'il s'introduirait des facteurs étrangers à la question; ce qu'il s'agit ici d'éviter.

Substituant donc les valeurs de x"y >", etc., dans les équations (3), elles deviendront

pn-t-aN^z-^D, p/i'4-aN'=HD'.

Puis, éliminant successivement a et p, on obtiendra les deux équations suivantes

\S) p (;iN'— n'N) = r^ (DN'— D'N),

(6) a(n'N — riN') = H(D/i' — D'n),

qui tiendront lieu des premières.

Calculant séparém(»nt les valeurs des coefficients qui entrent dans ces équatione, on parviendra à des expressions dans lesquelles entrera le lar leur ni — ni : laissant ce facteur libre, mettant dans l'autre partie pour m et ni leurs valeurs, et rem-

es

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'""** *fc

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3, I I Jt

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'Si

Ces valeurs de x* el y^ élanl substituées dans Téquation ^'*-H-/"=r*, donneront une équation du second degré en « el P; donc la courbe cherchée est une section conique.

Remarque. — Puisque la courbe parcourue par le point a est du second degré, il s'ensuit que Tenveloppe de l'espace parcouru par la corde x" x"' y est réciproquement de ce degré, ainsi qu'on le verra plus tard; mais on peut démontrer cette dernière proposition d'une manière entièrement directe.

L'équation de la corde x" x'" étant

0^j' yj"

si Ton y substitue les valeurs de x" ^ y-^, etc., trouvées ci-dessus,

^^^ ^"— ^ .^"' — Zil ^-— ?^ ^■"ÏÏ' ÏT' ^ ""1)' ""!)''

elle deviendra, en chassant les dénominateurs,

(^D— ri)(ND' — N'D)=(nD'— n'D)(^D — N), ou

7D{ND'— N'D)— xD(/iD'— 7i'D) = 7i'ND— nN'D, laquelle, divisée par D, se réduit à la suivante

j(ND' — N'D)— x(7iD' — /i'D) = /i'N — nN'.

Substituant dans cette équation, les valeurs des coefficients trouvées précédemment (7), divisant ensuite par le facteur

commun -, ,m , — —p, » on obtient finalement

(8) I a:[(aa'— 66'H-r^)^'-f-(rt6'-h6a')/— r^(aH-rt')] (=r^[r^-^aa''^bb'—[a-^a')x' — [b^b')y].

Cette équation étant du premier degré en x' et y, en la différentiant par rapport à x\ \\ en résultera une nouvelle équa-

lion qui, ne renfermant que -j—f'> ^ ^^7» exprimera une relation