I -f- mt

= fl

les lellres a' el &', af el fr*', eic, ayani ici d'ailleurs des acceplions irès-dislincles de celles qu*on leur avail allribuées dans le n** IV ci-dessus; cela fera prendre aux valeurs de x" ei X'\ etc., la nouvelle forme

x''=a'x'-hb'x\

y"'=h"x"—ary'\ y'^=b"'x''—a''y'\

Les qualre premières de ces équalions donnani

on aperçoil déjà que ces valeurs linéaires de x"* et y"" conservenl en x' ely' la même forme que celles de x^ el^"; sauf que l'expression de j** a pris un signe expliciie ou exlérieur ronlrairé par rapporl à y''.

Si l'on fail de nouveau, en effel.

rt'rt"-f.&'6"=A', *'«''— a' 6"= B',

DES SIMPLES œNIQUES. aa;

les constantes A' et B' ayant, ici encore, des valeurs distinctos de celles du n" IV, ces deux expressions deviendront

(2t) :r^=A'jr'-hB'/, ^''^= — B'j:'H-Ay = — (B^'— A»,

lesquelles combinées avec les valeurs ci-dessus de x^'' et^*'' en a:*' et y" ^ donneront l'expression de ces mêmes coordonnées, ^"^ et y^^ en x' et y*.

Pour les obtenir, il suffira évidemment de changer, dans les deux équations (i), a' en B', 6' en A', x' en j' et j' en x\ puis rt" en a*', h" en h'" y ce qui donnera

I a:'^=(A'a"'— B'*''')x'4-(A'*'"-hB'a")7',

D'où Ton voit que ces expressions de :r*^ et j'^ reprennent, aux notations près, absolument la forme première de x" çXy^ en j/ et y' y c'est-à-dire sans aucun changement de signe extérieur ou apparent.

Car, si nous posons, derechef, *

elles deviennent, en effet,

x-''=Srx'-irWy', j'-=B''a:'— AV-

En combinant, à leur tour, ces dernières équations avec celles qui donnent x^ et y^y il est clair qu'on retombera encore sur des expressions de la forme (i) ou (2), et, pour y parvenir, il suffira de changer dans ces expressions, a! et V en A*' et B", a" et h" en a'^ et A*', ce qui donnera

^^= (A"a''-hB''6'')^'-f-(B"fl''— A'^fc'^l.r', ^^= — (B'^a'"— A"*'*)^'-h{A"a*''-hB"*'')r':

puis, si l'on y fait de nouveau,

A"a*'-f-B"fr''=A'% B"rt*'— A"&''==B^

elles deviendront

^^=A"'x'H-BV» j'== — B'^or'-hAV-

a!à8 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Il est inutile (Te pousser plus loin les substitutions succèssives; car on voit par les premières, qu'on obtiendra alternativement, pour la valeur des coordonnées x^ et j*', x" et j*', etc., j?" et j" en x' et j^', des expressions de Tune ou de l'autre des formes (i) et (3), selon que ces coordonnées seront d'un accent ou indice supérieur, impair ou pair.

Dans les mêmes cas, les coefficients de ces coordonnées seront représentés, en général, par les expressions

A"-' a"-' -H B"-' 6*^' = A"-% B"-' a"-* — A"-' fr"-' = B"-%

ou bien par celles-ci

selon encore, que a^ et y^ seront accentués impair ou pair, c'est-à-dire selon que le nombre des accents (' } sera lui-même impair ou pair.

Donc les valeurs générales des coordonnées ar" et /" prendront, quand n sera impair, la forme spéciale

(4) «"= A"-';r'-H B"->^', r"= — B"-»x'+ A"-*^', et alors on aura

A"-*= A"-* a"-' 4- B'-'fc"-*, B"-*= B"-*a"-' — A"-'6"-' ; tandis que si n est pair, elles acquerront cette autre forme

(5) j:*= A"-» ar'-h B"-»^', 7"= B"-»a:'— A"-y , répondant aux valeurs

A"-^= A"-*tf*-' — B"-* fr"-', B"-»= B"-»a"-' -+- A"-'«"-' .

Examen analytique du cas où le polygone, à directions de côtés invariables y est d'ordre impair.

Équations spéciales. — n étant pair alors, les valeurs de or" et/", qui, dans le cas général, étaient exprimées par les formules

^A-|-B^^-HCr' ,A^-i-B^j:^4-Cy

^ "~D-f-E^'-^F/'' ^ "" D-f-Ex'-hFj' '

prennent la forme particulière (5); ce qui donne évidemment pour l'hypothèse actuelle,

Si donc on fait, dans l'équation générale (a) du lieu cherché, les quatre quantités A, A', E et F égales à zéro, elle deviendra, toutes réductions faites,

[(D — C— mC)'-h(D/n-f-B/n-+-B')»]p' m'[[D-hC-\-niCY-h{Dm — W—mBY]oi' 2m[D'—V—C'-hni'{D'—B'—0) — 2m{BW-^CC/)](xp = r*[B'H- mB -H m(C'4- niC)]\

représentant, comme dans la question particulière examinée ci-dessus, une courbe unique du deuxième degré, concentrique au cercle directeur.

Le ternie en ap doit disparaître de cette équation; car si l'on divise son coefficient par D', il deviendra , en y mettant

ensuite pour -TTî -=r' ^tc, leurs valeurs indiquées ci-dessus,

2m (m^4- 1) (1 — B("-^^'— AC-^)') ;

expression dans laquelle il faut substituer les valeurs numériques de B("~'^' et AC-'^S en fonction de a, b, a', b', etc.

Or les valeurs de ces quantités, fournies par les deux équations (5), donnent en premier lieu,

A("->)a-f.B(''-'^*= (a(«-o>-|-fc("-«)î) (A<"-*>'4-B("— 'J")

En continuant ainsi, on voit qu'il viendra enfin

X (a("-'^*-H fe^"-'^') X ... X (a" -h fr'O- Substituant dans l'un des facteurs a" -h fr'*, pour n' et b' les va-

'23o IV' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

leurs d'abord obtenues,

,, 'im' , m'^ — I

cela donnera évidemment

On aurait de même

a"'-\-b"'=i, etc., et, en général.

Delà, et, par consé(|uent,

Le terme en ap disparaît donc, en effet, de Téquation de la courbe, qui devient ainsi,

[(D — C— mC)»-+-(Dm-hBm-hB')']p»

-4-/n*[(D-hC'-hmC)'-h(Dm — B'— mB)']«2 = r^[B'-hmB-h/n(C'-4-mC)p.

Celle équalion est encore susceptible de simplification : en la

'divisant par D*, et mettant pour les quantités rr-j -j-, etc.,

leurs valeurs, on obtient, toutes réductions faites,

(6) 2(i-f-A"-*)P'-+-2m»(i— A"-=')a»=r^B("-')»(i-hm').

Discussion. — Les constantes A""' et B''-* de cette dernière équation, ne sauraient évidemment être supérieures à l'unité; car il existe entre elles la relation A^''~'^'5hB("~'^^==i (*), dont

(*) Le lecteur s'apercevra immédiatement que les diverses formules ou équations de ce paragraphe appartiennent aux fonctions angulaires ou Irigonomélriques, et qu'il était possible d'arriver aux mémos résultats par des considérations plus directes et plus élémentaires. On pourrait même être tenté dé croire qu'après avoir suivi cette voie, j'en aurais

tous les termes sont essentiellement positifs, et par conséqueni lu courbe qu'elle représente est une ellipse rapportée à son centre et à ses axes.

Elle se réduira à celle d'un cercle (|uand les coefficients des variables a et p seront égaux, ce qui entraîne l'équation de conditiofi

H-A''-='=m'(i — .V-'), ou A"-^ =

ni^ — I

ei, comme on a toujours il viendra, d'un aiUn* côté,

Substituant ces valeurs dans l'équation (6) dont il s'agit, elle se réduira à la suivante

qui montre que la courbe parcourue par le sommet libre a, du |K>lvgone mobile, se confond, dans ce cas, avec le cercle directeur mémo.

Il n'est pas diftlcile, au surplus, de reconnaître, sur la figure, quel est le cas où la circonskince j^récédente a lieu.

Considérons, par exemple, l'heptiigone olx' x" , . .;f'*a de la figure ci-après, i)Ourle(fuel, d'après nos précédentes définitions,

ensuite changé, par préférence pour la méthode de démonstration purement algébrique et en vue de déguiser, comme cela se fait assez souvent, la marche laborieuse des découvertes et des tâtonnements. Mais, d'après divers motifs qui se révéleront dans les volumes suivants, je n'hésite point à dire que cette supposition serait d'autant plus inexacte que je nui jamais été le partisan exclusif de TAnalyse algébrique, et que je n'ai jamais non plus pensé ipril fut indispensable de tout rapporter à cette '* science, même on fait do choses purement mathématiques, ni que, en dehors de sa manière d'opérer, il n'y eût aucun moyen rigoureux de raisonner et de démontrer. '^

N esl égal à Ti ; il est visible que le sommet a ne peut décrire le cercle (G) dans toutes ses positions, à moins qu'il ne se confonde avec l'un des sommets adjacents x', x''\ ou encore,

Fig. 109.

à moins que le polygone olx' x" . . .jr"a ne reste inscrit au cercle (C), de quelque manière qu'on le déforme, en assujettissant ses côtés à conserver les mêmes directions respectives et ses sommets, moins un, à décrire la circonférence.

La première circonstance ne peut avoir lieu que dans le cas où l'un des côtés aar', ax^^ se confond avec la corde x'x''\ ce qui exige que l'hexagone x'x" . . .x^'x' reste inscrit au cercle de quelque manière qu'on le fasse varier. Qr nous avons prouvé précédemment (III, p. 208), que, quand un polygone fermé, d'un nombre pair de côtés, est inscrit à un cercle donné, il lui demeure, en effet, inscrit quelle que soit la manière dont oit^fes déforme en assujettissant toujours ses côtés à conserver des directions constantes, et ses côtés, moins un, à rester sur la circonférence, mais que, si le nombre des sommets est impair, la même chose cesse d'avoir lieu.

Donc, puisque le polygone x'x'^ . .x"^ x* est, par nos hypothèses, d'un nombre pair de côtés, la première de ces deux conditions sera remplie, et, par conséquent, le sommet libre a de l'heptagone se confondra , dans toutes ses positions, avec le sommet adjacent x' ou avec le sommet :r^', s'il s'y confond pour une seule d'entre elles.

La deuxième des circonstances ci-dessus n'est pas possible,

^'car le polygone oix'x^...x^^^ étant d'un nombre impair de

côtés, il pourra bien être inscriptible au cercle dans certaines

positions, mais il ne saurait l'être pour toutes celles qu'il peut

prendre sous les mêmes conditions.

DES SIMPLES œNIQUES. 233

Concluons de là, en particulier, que l'équation