I -h nV

exprime la relation qui doit exister entre les tangentes tabulaires — m, m\ m" y,.. y m des angles que chacun des côtés d'un polygone à nombre pair de sommets, fait avec une droite CX (Jig. 109), prise sur son plan comme axe des abscissesjMural-lèles à la bissectrice de l'angle a, pour que ce polygoi^f'fcoit . susceptible d'être constamment inscriptible au cercle.

Intersection de V ellipse lieu du sommet libre du poljr^ avec le cercle directeur; paradoxe. — Si l'on fait successivement dans l'équation (6) de ce lieu, p=o et a=o, elle donne pour les valeurs des demi-axes principaux de l'ellipse.

dont aucun ne §|flpiit devenir infini.

Pour que cela'ftrrivât à l'égard du premier axe, notamment, il faudrait que l'on eût

ou I — A^-'^o, ou 8"-'=-:

mais, comme A<"-'^^-4- B("-'^*=i, on devrait, dans l'hypothèse de A"-*= I, avoir en même temps, BC"-'^'= o; ce qui rendrait l'autre axe nul, et réduirait, pour ce cas, l'équation de la courbe à P'=o, représentant une double droite ou ellipse aplatie sur l'axe même des abscisses sdiffiaL.

Si B"-' était infini, alors l'équation A("-')^-f- BC"-^)^= i devenant

'^p;=^"=''' c'est-à-dire '+^g;=-,j =«,

serait absurde ou impossible, n'importe la valeur du rapport de (A''-')^ à (B"-*)', puisque ce rapport est toujours positif.

Ainsi, les axes principaux du lieu des sommets libres de polygones ne pouvant devenir infinis, c'est essentiellement

234 iV CAUIER. ~ PROPRIËTËS DESCRIPTIVES

une courbe fermée ou ellipse concentrique au cercle directeur, muis susceplible de s'aplalir, de dét;énérer en une simple droite, limitée de longueur, et dont les directions diamétrales se confondent avec celles des bissectrices des angles aux sommets libres du polygone mobile.

D'ailleurs, l'ellipse décrite par ce sommet rencontre le cercle directeur en quatre points t;énéralemenl distincts, et que l'on peut toujours déterminer par une conslrucUon géométrique fort simple, puisque, en représentant les carrés a' et p' Acs

i-ourdonnées de ces points \av a' et p', oo aura eiiiro ces (|iiantités deux équations du premier degré seulement.

II semblerait, d'après cela, qu'il put y avoir quatre manières essentiellement différentes, d'inscrira un polygone d'ordre impair, dans un cercle donné, en l'assujettissant à la condition : « d'avoir ses côtés respectivement parallèles à des directions M fixes, n Or cela n'a réellement pas lieu, comme nous l'avons fait voir dans l'un des articles du présent Cahier. Pour montrer à quoi tient cette contradiction apparente, et, en même temps, l'aire connaître quelles sont, des quatre intersections ci-dessus, les deux seules qui' résolvent le problème de l'inscription effective du' polygone au cercle, je vais reprendre la question d'un peu plus haut.

t'clairciisemenl du paradoxe. — ^o^s avons trouvé que les valeurs générales de x' etr" pour le cas de s pair, étaient

Nous avons, de plus, prouvé qu'il existait entre A'-' et H'""'

la relation particulière

D'après cela, je dis qu'il existe nécessairement deux positions étriqués du polygone variable(^g'. 109], pour lesquelles les

ints af et x* se confondent sur la circonférence du cercle directeur. En effet, si l'on substitue dans les expressions cidessus (6), a::' à J7" et j' à j", on aura les nouvelles équations de condition

Mais, comme de plus, on a entre x' et y' la relation jc"-h j'^= r% il est clair que ces dernières équations ne pourront coexister qu'autant que l'une d'elles sera la conséquence de l'autre. Or c'est ce qui a lieu par le fait; car si l'on observe que la relation A("~'J'-f-B("-^^'=i donne

et qu'on substitue cette valeur dans la première des deux équations (c), elle deviendra, toutes réductions faites et en changeant les signes,

qui revient précisément à la seconde d'entre elles. 1^

En combinant donc l'une^^bu l'autre des équations (c), avec celle x''-i-jr'^= r' du cercle directeur, il viendra, pour les coordonnées du point où le sommet x^ {Jig. 109), du polygone se confond avec le sommet x',

Maintenant, il n'est pas difficile de voir que le point, ou plutôt, les deux points dont nous venons de démontrer l'existence, points situés sur un même diamètre, appartiennent simultanément à la courbe des a et au cercle (C). En effet, un

point quelconque a, de cette courbe, se détermine en menant par x' et j;" deux droites qui aient respectivement m et — /w, pour tangentes trigonométriques de leurs inclinaisons symétriques sur Taxe des abscisses CX, et, par conséquent, elles se couperont au point même de (C), déterminé ci-dessus, où ^", a, x' sont confondus et n -|- 1 est réduit An — i .

Au reste, on peut s'assurer directement que les points obtenus comme on vient de le dire, sont effectivement deux de ceux où le lieu des sommets a rencontre ce cercle, en recherchant, au moyen des équations en a et p, de ces deux lignes, les valeurs des coordonnées des quatre intersections; car on retrouvera parmi elles les expressions précédentes de x' et de^'.

Remaries diverses, — Ces valeurs sont explicitement indépendantes de m, ce qui semble absurde à priori, car la position des points en question dépend nécessairement de la direction des deux côtés aar' et a:r". Mais il faut se rappeler que la position de Taxe CX des abscisses, est liée à celle de ces côtés, puisque ceux-ci font, de part et d'autre, le même angle avec sa direction indéfînie.

Si Ton donnait, en effet, une autre direction à ces côtés, il faudrait en même temps, changer la direction de Taxe CX des abscisses x ou a, sans quoi les équations précédentes cesseraient de répondre à la question ; et si seulement, on changeait la direction des deux droites eux' et ax", de manière que leurs nouveaux angles avec CX fussent différents des premiers, quoique symétriquement situés et égaux entre eux, il arriverait encore que la courbe décriteJpar leur commune intersection a, rencontrerait le cercle (C^wi de tout autres points que la précédente.

Avant de passer à l'examen du cas où le nombre des côtés du polygone est pair, je vais indiquer un moyen bien simple de parvenir à l'équation de condition

Nous avons vu que les valeurs de j:" et j" étaient données par les équations suivantes :

x"= A^-^'jc'-h B'-^r', y''= là^'-'x'— A"*-'/'.

DES SIMPLES CONIQUES. iZj

Or ces deux équations doivent évîdemnieni coexister avec celles du cercle directeur,

Substituant donc, dans celte dernière, les valeurs de ^" et de x^f ^^ ^^^ ^^ nouvelle relation

si Ton y met pour^'^-h^'' sa valeur r% et qu'on divise ensuite les deux membres de Téquation par r% il viendra

relation qui existe ainsi entre les quantités A("-*)* et B<"-*^', pour toutes les valeurs particulières qui seraient assignées aux quantités trigonométriques m, m', m", etc.

Examen analytique relatif au lieu du sommet libre, pour les polfgones d*ot*dre pair.

Équations propres à ce cas, — Le nombre n -+- 1 des côtés du polygone inscrit, étant pair, on a alors (4» p* 228], pour déterminer x^ et j", les équations

ar" = A"-» x' -+- B«-'7', jr" = — w-^x' -+- A^-y ,

avec les relations particulières,

De plus, les valeurs générales

^AH-Bj/H-C^r ^K'^Wx'-^Gy'

^ ""D-+-E:r'-t-F7'' •^''~ D-+-Kr'-4-Fjr' '

se réduisant à la forme particulière des précédentes, on aura évidemment ici les relations

En ayant égard aux quatre premières d'entre elles et observant que, pour ce cas encore,

BB'H- CC'= G, A(«-^)'-4- B(''-')'= i ,

réquation générale [a, p. 922) du lieu du sommet libre, quand les côtés, en nombre pair, conservent des directions parallèles à des droites respectivement données sur le plan du cercle directeur, cette équation générale, dis-je, s'abaissant encore au deuxième degré, se réduira à la suivante,

[(D — C— mC)'4-(Dm4-Bm-+-B')']p' -+-m»[(D-+-C'-+-mC)'-^(Dm — B'— mB)»]a»

= r»[B'-+- mB -+- m (C'-+- mC) ]'.

Divisant les termes de cette équation par D% et substituant

B B' pour — > Yï"' ^^C'» 'eurs valeurs ci-dessus, il viendra, toutes

réductions faites,

2[i -^ m»— A -»{i — m») — 2 mB -'] p'

= r»[2mA''-»— (i — m'jB"-»]».

Condition pour laquelle le lieu se confond avec la circon^ férence directrice. — Les coefficients de la dernière équation sont nécessairement positifs; car leurs correspondants, dans la précédente, sont formés de sommes de divers carrés; donc la courbe cherchée reste ici encore une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Elle deviendra un cercle quand les coefficients de a' et p^ y seront égaux entre eux ; ce qui entraîne réquation de condition

I -^ m»— A''-'( I — m') — 2mB='-' = m*[i H- m^-h A"-^(i — m^)-h 2 mB^'-^] ;

d'où Ton tire

1 — m* — (i — m') A''"' — 2mB"~'= o ,

les coefficients de a- et de P' devenant alors égaux à ^m^.

DES SIMPLES œNlQUES. aSg

Quant au coefficient de r\ je dis qu'il se réduit de même, à la quantité /j m^. En effet, en le développant, il devient

4m»A("-')*-^B(«-')'(f — m»)»— 4/nA"-»B"-'(i — m') toujours à cause de

Substituant dans cette dernière expression, pour B"~' sa valeur tirée de l'équation de condition ci-dessus, qui donne

2mB''-'=(i — m^)(i — A"-^),

le coefflcient dont il s*agit devient, toutes réductions faites,

Or la quantité (i — m')'(i — A^-^jS d'après la même équation de condition, est égale à

donc l'expression du coefficient de r' devient

Substituant enfin ces valeurs des différents coefficients dans réquation de la courbe, et divisant par le facteur ^m^ commun à tous ses termes, elle se réduira à la forme très-simple

Ainsi, dans Thypothèse présente des polygones de rang pair, le lieu du somiget libre se confond avec le cercle directeur même des autres sommets. On peut d'ailleurs reconnaître a priori, la circonstance où le fait se réalise.

Considérations géoméitiques. — Supposons n = 5 {Jig. i u ); pour que lo^point a parcwBre le cercle (C), il faut bien : ou que

%ii^ IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ie polygone olx' x" af x^" x'oLy réduit à six côtés, soit inscriptiblo eu cer<S^ (C), quelle que soit la manière dont on essaye de Ty inscrire en assujettissant chacun de ces côtés à conserver une direction parallèle à elle-même ; ou que le sommet libre a rette

confondu avec Tun ou l'autre de ses voisins, x! et a:', pour toute3*les positions du pentagone a:' j/'. ,.x^x? assujetti à cette condition. Or nous savons déjà que, si un polygone quelconque, de rang pair, se trouve inscrit dans un cercle, il arrivera, n'importe la manière dont on le déforme en assujettissant ses sommets, à Texception d'un seul, à demeurer sur ce cercle et ses côtés à conserver des directions invariables, il arrivera que ce polygone restera spontanément inscrit à ce même cercle; ce qui revient à dire que son dernier sommet, supposé libre, parcourra la circonférence propre de ce cercle.

Donc enfin, puisque l'hexagone oix'x"...a est, en effet, d'un nombre de côtés pair, a pour que son sommet a décrive » la circonférence (C), il sera nécessaire et suffisant que ce D polygone y soit inscrit dans une seule de ses positions, d

La seconde des conditions qui nous ont préoccupés dans le cas des polygones d'ordre impair, à savoir : que le sommet a se confonde avec l'un de ses voisins x'y x" pour toutes les positions du polygone, est ici radicalement impossible ; car la proposition précédente, vraie pour une figure d'un nombre pair de côtés, inscrite au cercle, ne l'est nullement pour un pentagone tel que x' x" x^x^^'x^'x', d'un nombre impair de côtés. Dans ce cas donc, il pourra bien exister des positions particulières pour lesquelles a se confonde avec x' ou x" ; mais cela ne saurait avoir lieu en général.

Le sommet a parcourrait aussi le cercle (C), tout entier, s'il arrivait que, dans une certaine position de l'hexa^Otte aa/...j:^a,

le sommet x^ se coiifoiidti avec ravanl-dernier x^\ car alors, le polygone formé avec les côtés j:'a:",..., x^^'x"*^ étant d'ordre pair, il arriverait que, dans toutes les déformations qu'il pourrait subir en conservant à chacun de ses côtés une direction constante, il resterait invariablement inscrit au cercle (C), et que, par conséquent, dans toutes ses positions, le sommet x? se confondant avec les sommets x^ et a, ce dernier sommet parcourrait spontanément la circonférence de (C).

Conditions sous lesquelles les polygones d'ordre pair, deviennent inscriptibles au cercle.

Relations algébriques. — On vient de voir que la courbe des a peut se réduire au cercle (C) en deux cas différents; aussi réquation trigonométrique

2wB"-='=(i — w') (i — A^-^),

d'abord obtenue, est-elle décomposable en deux autres.

En effet, si on élève ses deux membres au carré, ot qu'on mette pour B^"-*)^ sa valeur i — A^^-'^S il vient

équation à laquelle on satisfait, soit en posant

I — A^-==o, soit en posant

c'est-à-dire

( I — ni^y— 4 nû = X""-' ( 1 -h m')\

Pour reconnaître à quel cas répor.d chacune de ces équations, il n'y a qu'à chercher, comme on l'a fait à l'occasion des polygones d'ordre impair, la condition sous laquelle le sommet x' (fig- 1 1 1) coïncide avec x'^ou or', et, pour cela, mettre dans les expressions des coordonnées x^y y^ obtenues tout d'abord, x\ >-' au lieu de ^'', y^; ce qui donne

:r'(i — A"-^) — B^--»^"' = o, r'(i — A^-^'j-h-B'-Vriro. 1. 16

a4a IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

S*il existe sur le cercle (C), des points pour lesquels j;" se confonde avec x* indépendamment de toute condition particulière, il faut évidemment encore que Tune de ces équations soit la conséquence de l'autre; car on a, de plus,

équation qui doit avoir lieu en même temps que les premières. Or cela n'arrive ici pour aucune des valeurs de x' et r'si Ton élimine, en effet, y* entre les deux équations précédentes, on obtient

équation à laquelle il est impossible de satisfaire pour toute valeur de x\ à moins de prendre à la fois

I — A''-*=o et B^-»=;o.

Mais la seconde de ces conditions n'est qu'une conséquence de l'autre, à cause de

Donc les sommets x' et x^ ne peuvent se confondre entre eux, à moins que l'on n'ait généralement

auquel cas les valeurs de x* et j', restant indéterminées, les points du cercle (C) satisfont tous séparément à la condition dont il s'agit; car, selon la remarque ci-dessus, le sommet a, confondu dans le même cas, avec x* ou x^y décrit nécessairement le cercle (C) en entier. On peut donc aussi regarder l'équation i — A'''"*=o comme l'expression même de la relation qui doit exister entre les tangentes trigonométriques m', m", etc., ou les fractions numériques a, a', 6, 6',..., pour que le polygone formé avec les seuls côtés x' x\ x" x'",,..^ x^^^x\ en nombre pair n — i, soit inscriptible à (C). L'autre équation de condition

DES SIMPLES CONIQUES. 'a43

exprime pareillemeni la relation qui doit. exister entre ces quantités trigonométriques pour que le polygone 0Lx'...x'^a, supposé d'un nombre pair n -h i de côtés, soit également rnscriptible à la circonférence (C) (*).

Constructions^ solutions qui en dérivent, — Le cercle directeur et la courbe des a, dans le cas général , se coupent (Jig. lio) en quatre points faciles à obtenir au moyen d'une construction géométrique, puisque les valeurs des coordonnées de ces points sont de la forme très-simple

ar=±v/M, P = ±:s/H— M.

Ceci d'ailleurs n'est pas contradictoire avec ce qui a été dit ci-devant, où nous avons vu que le polygone aj:'...x"a de N-f-i côtés, ne saurait être inscrit dans (C), à moins que le sommet a ne parcoure ce cercle lui-mtMne; car les quatre points d'intersection dont il s'agit, sont ceux pour lesquels a se confond avec l'un ou l'autre des points x% x"*, et pour lesquels par conséquent, le même polygone se réduit à un nombre impair de côtés.

Les valeurs des coordonnées a et p des points d'intersection, fournissent ainsi le moyen d'inscrire au cercle, un polygone d'un nombre impair de cotés à directions connues : deux de ces valeurs donnant la double position du sommet x' du polygone [Jig. m), par rapport à la direction du diamètre CX, parallèle à la bissectrice de l'angle des côtés x'a, x^x; les deux autres donnant les positions du sommet x'' ou x"* par rapport à ce même diamètre pris pour axe des abscisses.

Enfin, on remarquera que ces polygones accouplés diffèrent uniquement entre eux, en ce que leur dernier côté a la direction x'x pour l'un et x^x pour l'autre. On ne doit donc pas être surpris de trouver (Jig. iio), dans ces mêmes circon-

{*) Évidemment, ces équations de condition convenablement développées, répondent à autant de formules, de théorèmes de trigonométrie plane, relatifs aux polygones inscrits ou circonscrits au cercle, et qui sont, comme on l'a déjà fait remarquer, la traduction algébrique des propositions ou relations angulaires exposées au n° III de ce IV' Cahier.

stances» quatre points d'intersection du cercle (C), avec la courbe décrite par le sommet libre a, des polygones variables inscrits à ce cercle, et dont les côtés ont des directions arbitrairement données.

jéccord des solutions et résultais précédents avec ceux des sect. Il et lil de ce Cahier.

Comme on le voit, tout ce qui précède s'accorde parfaitement avec ce que nous avons démontré dans les sect. II et III; mais on a vu, de plus, que, en général, il n'y a jamais que deux manières d'inscrire, à une courbe du second degré, un polygone dont les côtés, quel qu'en soit le nombre, passent par autant de points donnés à volonté sur son plan. Il serait diffîcile de le démontrer directement dans cette hypothèse générale, en suivant la marche précédente, à cause de la complication des coefficients qui entrent dans l'équation fondamentale (a) , p. 222 de la présente section ; il n'en est pas moins certain que la courbe représentée par cette équation, bien que du quatrième degré, ne rencontre le cercle qu'en quatre points réels, dont deux seulement donnent la solution du problème de l'inscription du polygone à ce cercle.

Nous reviendrons, peut-être, sur cette question par la suite. Pour le moment, je me contenterai de faire voir, sur un exemple particulier, comment, dans le cas qui vient d'être discuté tout au long, le lieu du sommet libre a du polygone, se trouve lié à celui du point où se coupent les deux tangentes menées au cercle (C), par ses intersections o et i (Jig. 112) avec les directions indéfinies des côtés extrêmes olx' et olx'^

ou aj;\

Cas des polygones de rang impair. — Examinons d'abord le cas {Jig. 1 12) où le sommet ^r", étant de rang pair, le polygone OLX* x" ...x^oL est lui-même, d'im nombre impair de côtés, par exemple cinq, ce qui suppose n = 4; imaginons, de plus, le polygone de rang n-+-i ou hexagone a! mnpqra!, circonscrit au cercle (C) et dont les côtés le touchent respectivement aux divers points o, x', x'\..., i. Cela posé, si l'on déforme le polygone 7.x' ...x'^i. comme il a été dit précédemment, le

point a el le point a' parcourront séparément, des courbes liées entre elles, de telle sorte que la connaissance de Tune devra entraîner celle de Tautre. Or nous avons démontré (n° III de ce Cah.) que, quand le polygone a'm/i...ra', pos-

Fiç. 112.

sède un nombre pair de côtés, le point a' parcourt un diamètre Ca' du cercle; donc, si Ton trace la corde oiy cette corde devra conserver dans toutes ses positions une direction constante, perpendiculaire à celle de ce diamètre Ca'. Donc aussi la courbe décrite par a, peut être considérée simplement comme engendrée par le sommet libre d'un triangle aoî, dont les autres sommets o et / sont assujettis à parcourir le cercle (C), tandis que ses trois côtés restent, dans toutes leurs positions, parallèles à eux-mêmes.

La question est ainsi ramenée à quelque chose de bien simple; nous ne nous en occuperons pas davantage, parce qu'elle n'est qu'un cas particulier de celles qui ont été discutées précédemment très au long. Je ferai pourtant observer que les points où la diamétrale Ca' rencontre le cercle directeur, sont nécessairement deux des points de la courbe des sommets a, compris parmi les quatre points réels où cette courbe rencontre le cercle (C).

Si Ton se proposait d'inscrire le polygone 0Lx'..,x^a à ce cercle, il est évident que les intersections particulières relatives au cas précédent, ne résoudraient nullement la question. Pour obtenir le couple des intersections qui donnent, seules, la solution géométrique du problème, on circonscrirait au triangle ooLi, pour une position quelconque, un cercle dont on joindrait le centre avec le sommet a par une ligne droite; menant ensuite, par le centre C, du cercle directeur, un diamètre parai-

240 rV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

lèleà la droite ainsi obtenue, U viendrait couper la circonférence de ce dernier, aux deux autres points où le lieu des points a la rencontre ; ce qui déterminerait la position des sommets de Tun et de Tautre des triangles oaî qu'il faut inscrire au cercle (C), et d'où Ton déduirait enfin la position même de ces triangles et des polygones inscrits correspondants.

On voit, sans peine, que cette manière d'envisager la question offre les mêmes conséquences que celles précédemment déduites de l'équation de la courbe des sommets a, pour le cas où l'indice n était censé pair.

Cas des polygones de rang pair. — Dans le cas de n impair, égal à 3 par exemple (Jig. 1 13), ot où le polygone à inscrire au cercle (C) a un nombre pair de côtés n -h i = 4, le polygone circonscrit correspondant o!mnpqcf! en a un nombre N-+-2 ou 5,

Fiy. II 3.

impair. Or nous avons démontré ci-dessus ( p. 209) que, dans ce cas, le sommet a' décrit une circonférence concentrique à celle de (C); donc la. corde qui joint les points i et o conserve la même grandeur dans toutes ses positions, et, par conséquent, elle est tangente aussi, dans toutes ses positions, à un autre cercle concentrique à (C).

Cela sufdt évidemment pour faire vcrtr que le sommet a ne saurait être sur la circonférence (C), que quand il se confond avec l'un ou l'autre des points i et o; ce qui présente, comme il est aisé de s'en apercevoir, quatre cas différents : on obtiendra les deux positions où a et o coïncident, en menant au cercle enveloppe de la corde 01, deux tangentes parallèles à a/, et choisissant parmi les quatre points ainsi obtenus

DES SliMPLES CONIQUES. 247

sur (C), ceux qui, élanl situes sur un même diamèlre, correspondent au point o.

Les deux positions où a coïncide avec le deuxième point 1 s'obtiendront d'une manière semblable ; sur quoi on doit observer que, si Ton proposait la question d'inscrire au cercle (C) un polygone dx' . . ,x^a.y les quatre points ainsi déterminés ne la résoudraient pas, et, comme ils sont les seuls où la courbe des sommets a rencontre le cercle, on doit en conclure qu'il n'y aurait alors aucune solution effective. Pour qu'il y ait solution géométrique, il faut que la corde oi devienne nulle; or il est évident qu'alors le cercle enveloppe de cette corde, se confondra avec le cercle directeur (C) et la courbe des sommets libres a. Donc, dans ce môme cas, la question aura une infinité de solutions géométriques.

Rapprochements. — Tout ceci encore, est parfaitement conforme aux conséquences que nous avons tirées de l'équation en a et p de la courbe ; car, dès que le sommet a se confond avec le point o, il faut qu'il se confonde en même temps avec le sommet x'^^ et que, par conséquent, le quadrilatère ux' X*' x"'x, se réduise à un simple triangle x' x" x'\ puisque .l'a s'est lui-même confondu avec x' x'" ( * ).

On peut en donner une raison très-simple : en effet, {Vsque le sommet a doit se rapprocher du point o jusqu'à s'y confondre, il faut nécessairement que le triangle ooix"* se réduise à un point dans cette même circonstance; or il n'est pas difficile de voir que le côté ojr'*', faisant partie du quadrilatère inscrit ox'x'^af'o, doit conserver une direction constante, et, par conséquent, que le triangle oolx'" restant toujours semblable à lui-même, si l'un de ses côtés oa devient nul, il faut que les deux autres x"'ol et ox'" s'évanouissent en même temps. Donc quand le point a sera sur le cercle (C), le côté x'a se sera effectivement confondu avec la droite x' x"', et le quadrilatère se trouvera réduit à un simple triangle.

*— 1 t^^^^m^^ ■ ma . __. , , ■ j ■ j, ■■ i ri ir

(*) On supprime ici, à cause de robscurité de sa rédaction, un alinéa entier du texte, dans lequel, pour faire comprendre la possibilité du rapprochement mutuel des points o, a, x"\ le quadrilatère convcxeax'.r''./'"a est déformé suivant le quadrilatère gauche jc' x" ol^x.^x\ à côtés parallèles ot où la chose devient plus évidente aux yeux , par le triangle o'oL^.r.,,

Note aclditionnelle pendit nt P impression.

On peut être surpris de retendue accordée à Tétude d'une théorie en apparence aussi simple que celle des polygones inscrits ou circonscrits aux coniques, dans les conditions ici prescrites. Mais, outre l'intérêt historique et analytique qui s'y rattache, il faut encore remarquer que je ne connaissais, en i8i3, aucun fait géométrique d'indétermination aussi singulier que celui de l'inscription indéfinie, des polygones d'ordre pair ; si ce n'est le fait même des polygones réguliers indéfiniment inscriptibles au cercle. A l'égard de ces derniers, on sait que, sans rien changer aux formules et démonstrations, on peut directement passer d'un nombre n de côtés à un nombre /i 4-i ou /i — i : au contraire, ici, la parité ou l'imparité du nombre /t exerce une influence capitale et rompt toute continuité, comme cela se voit dans la science abstraite des nombres, à l'égard de certains théorèmes, par là même très-difficiles à découvrir ou à démontrer au moyen des méthodes qui reposent sur l'hypothèse de la continuité absolue.

En effet, Tenveloppe du côté libre de tout pôle, dans les polygones variables inscrits à une simple conique, de même que le lieu du sommet libre de toute directrice polaire, dans les polygones mobiles circonscrits à une telle courbe, ce lieu, cette enveloppe sont très-différents pour les polygones d'ordre pair ou impair ; l'enveloppe se réduisant à un point et le lieu à une droite fixe, pour l'ordre impair, contrairement à ce qui arrive pour l'ordre pair. Au reste, d'après les discussions des p. 192 et 201 du tex^ ces singulières anomalies s'étendent aux figures inscrites à un ou dcOT^^ pôles et côtés seulement [unilatère, bilatère)^ ainsi qu'aux figures circonscrites à un ou deux angles et directrices (uniangle, biangie), dont les curieuses et fécondes propriétés constituent, d'une part, la théorie du pôle et de la polaire simples, toujours possibles, d'une autre, celle du double contact, tantôt réel, tantôt imaginaire, des sections coniques; théories qui se trouvent, pour la première fois (1820, 1-822], rattachées, par la doctrine des projections centrales et de l'infini, d'une manière on ne peut plus intime, aux propriétés, si élémentaires et si généralement connues, du centre du cercle et des circonférences concentriques (Traité des Propriétés projectives des figures^ Sect. I et III, chap. III).