CES PROPRIÉTÉS REPOSENT

SUR LES CORDES SIMPLES, MOBILES, À LÀ FOIS INSCRITES ET CIRCONSCRITES AUX SECTIONS CONIQUES.

La recherche qui termine le IV' Cahier se réduit au fond à la solution analytique de ce problème :

Prob. I. — a Étant donnés sur un plan, deux cercles concen- » triques ayant pour centre commun C [fig. 1 14)> soit mené, en » un point quelconque x' du cercle intérieur, une tangente à ce » cercle, rencontrant le cercle extérieur aux points x" et x^\ par » chacun de ces points soient menées sous des directions fixes, » des droites variables de position, c'est-à-dire parallèlement à » des droites données : elles produiront par leurs intersections w mutuelles une série de points a; quelle sera la courbe parcou- » rue par ces points quand on fera varier la tangente x" x""t »

J'appelle /• le rayon du plus petit des deux cercles et R celui du grand ; je donne, de plus, aux différentes coordon-

a5o V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTITES

nées les dénominations indiquées par la figure ; les équations indéfinies de ces cercles, rapportées au centre C et aux axes rectangulaires Cx, Cj, ces équations seront

celle de la tangente au point af et j' du petit cercle étant

(3) yy' -^xx'=zr^.

Nommant d*ailleurs m et — m les tangentes trigonomélriques des angles que les droites x" ol et x^ct forment constamment avec Taxe des abscisses dont la direction Ca:, est supposée diviser Tangle des droites olx'^ et ax"' en deux parties égales, on aura pour les équations de ces deux droites,

En éliminant x' et j', x" et y" entre ces deux équations et les précédentes ou celles qui les remplacent en fonction de ces coordonnées, on aura, entre a et p, une équation qui sera celle de la courbe parcourue par le sommet «.

Pour obtenir les valeurs de x'\ /", x"' et j'", on peut d'abord combiner l'équation (3) de la tangente x" x'" avec celle (2) du cercle de rayon R, et l'on aura

rx'± r v^K^— r' ry' zn ce' i/K'— r^

Prenant les signes supérieurs du radical pour les valeurs de x'*, y" et les signes inférieurs pour x"* et y'\ il viendra

„ rx'-l-rVH'— /'^ „ rr'— ^'v/H'— '•'

,, rx'— r' v^K»— r* ^, ry'-^x'\/\V—r^

On voit que ces expressions sont toutes du premier degré en x' et j', et qu'elles ont, quanta la forme, une grande analogie avec celles des coordonnées appartenant aux différents sommets d'un polygone inscrit à un cercle dont les côtés auraient des directions constantes.

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. a5i

Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), elles deviendront, en les ordonnant par rapport à x' et j',

(m\^K^— r»— r)j'-h(mr-hv^l<'— r^)-^'=r{ma — p),

Éliminant jt' et j' entre ces équations et l'équation x'^-\-y'^z=,r^^ il viendra enfin

(mr-f- \iW—T^Y p'-h m' ( m v^K»— r^— r)'a^

Telle est Téquation de la courbe cherchée; elle offre absolument les mêmes circonstances que Téquation correspondante obtenue dans la sect. IV du Cahier précédent. Elle représentera, comme on voit, un cercle quand on aura

////• -h \/K' — r^ = ±m(m y/R^ — r^ — r) ; équation de condition décomposable dans les suivantes

2nir={ m' — i ) v/R^— H , ( m'-h i ) /ÎÏÏ— 7^= o. On tire de la seconde.

Ainsi, le sommet ou point d'intersection a parcourra un cercle quand les deux proposés se confondront. Ton voit que cette condition revient à celle qui exige que les sommets x' et x^ du polygone dont on s'est occupé (p. 2^2, Jlg» 109) du précédent Cahier, se confondent en un seul; l'équation de la courbe des a devenant ainsi

a'-hP'=R';

c'est-à-dire celle du cercle même de rayon R. L'autre équation de condition donne

'i5i V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

la quantité j représentant évidemment la tangente tri-

gonométrique de l'angle a'^aa*' que les droites aj?" et aji*' forment entre elles. Donc, si Ton appelle a, cet angle, cm au

r = — = R cos a.

yi-f- tangua

Pour interpréter cette dernière équation, il suffit de mener par le centre G, du cercle de rayon donné R, deux droites Cm, Cm'parallèlesà a^" et ctx^, et d'abaisser du point o où Tune de ces droites rencontre ce cercle, une perpendiculaire ok sur l'autre; la distance CA* sera la valeur du rayon r. Car, dans le triangle rectangle okC, on a

A-C = oC.cosmCm' ou r = Rcosa.

En prolongeant les droites ok et oC jusqu'à leurs rencontres en I et a' avec le cercle de rayon R, et menant par ces deux points a' et i la droite a' i, on voit que cette droite sera parallèle à Cm', et qu'ainsi l'angle oa'i est égal à l'angle m Cm'. De plus, il est visible que la droite oi est tangente au cercle r, ainsi l'équation de condition r=Rcosa, exprime que le triangle x"oLx"' doit être inscrit au cercle (R) dans l'une de ses positions. Or cette condition revient précisément à celle qui exige que le polygone a^'. . . x"a de la^îg^. 109 ( p. 282 ), soit inscrip» tible dans le cercle (R) pour l'une au moins de ses positions: 4Uls avons vu, en effet, qu'alors le point a décrivait ce cercle t^l entier ( * ).

(*) On m'excusera de revenir sur l'objet des observations de la Note finale du précédent Cahier, concernant Tinscription au cercle des polyjgones dans des cas relativement élémentaires, en faveur de la bizarre circonstance qui, d'après la théorie de l'élimination, fait dépendre ceproblême de la résolution d'une équation du huitième degré, même dans le cas simple où les côtés du polygone ont des directions fixes, assignées à priori : la courbe du sommet libre ou variable de ce polygone possède alors, à l'infini, des points doubles également assignables à priori, et conserve avec le cercle directeur des autres sommets, des relations très-intimes qu'il eût été intéressant do discuter, si cela n'eût pas trop écarté l'auteur du but philosophique principal de ses recherches.

Je retrouve parmi mes papiers, une Note écrite sans doute peu de temps

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. î53

L'équation précédente de la courbe offre évidemment la même circonstance; car, en y faisant la supposition

elle devient simplement

Probl. II. — ce Quelle est la courbe telle que, si Ton mène » de Tun quelconque de ses points a, deux tangentes a/ et a/'

Fig. ii5.

» à une première ligne du second degré (C), la corde //' des j> points de contact, soit tangente à une deuxième ligne (C)

•^|fe(>rès mon retour do Russie, et relative au cas où les côtés olx", olx'" du triangle variable x" olx" {fi^. ii4), au lieu de demeurer parallèles à des directions fixes, passent respectivement par des pôles donnés sur le plan des deux cercles concentriques.

Dans ce cas plus général, Téquation en a et p, à laquelle on parvient, s'élève au quatrième degré; mais elle se réduit à celle du texte, c'està-dire au second degré seulement, quand les pôles s'éloignent à TinOni sur le plan des cercles; et, comme la figure relative à ce cas est la projection centrale ou perspective d'un système de deux coniques à double contact imaginaire, dont la corde ou sécante commune idéale, passée à l'infini, contient les deux pôles en question, il en résulte une série de théorèmes concernant le double contact des sections coniques, quelle que soit d'ailleurs la nature de leur corde de contact commune. Ces théorèmes sont relatifs à l'inscription et à la circonscription des polygones mobiles ou variables ayant a et x",r"' ])our dernier sommet et dernier côté libres; mais je crois inutile de les rappeler ici, parce qu'ils se trouvent compris implicitement parmi ceux du IV Cahier, et suffisamment indiqués dans le Traité des Propriétés pmjevtives des figures.

» de cet ordre et de forme, de situation également arbi- » iraires? »

On peut projeter le système des deux lignes (C) et (C), de manière que Tune quelconque d'entre elles,(C) par exemple, devienne un cercle. Cela posé, admettons que Torigine des coordonnées soit placée au sommet 0 de la courbe (C), l'équation de celle-ci sera de la forme générale

(i) A7"-f-B^''-f-2Cx'=o,

qui peut représenter toutes les lignes du deuxième degré, en choisissant convenablement le rapport des coefficients constants B et A ( Cah. II ).

L'équation du cercle (C) peut, elle-même, être écrite de la manière suivante,

(2) {x''—ay-h{r''—l>y=r';

et celle de la tangente au point T, de la courbe ( C')f

(3) \:^y-hBxx''hCx-hCx'=o.

où x' et y sont les coordonnées de T.

Enfin, l'équation de la tangente indéfinie /a au point t du cercle (C), dont les coordonnées sont x" et/'', étant

/(/''— 6) 4- j:^(^"— «) = r'— a'— 6'-h fif^"-!- 6j^

si l'on y substitue, pour x et r> les coordonnées variables a et p du sommet a de l'angle circonscrit à (C), on aura la nouvelle équation

(4 ) P(r''— *) -h a( j;"— a) = r'—a'— 6'-f- ûx"-4- 6/'',

qui exprime que ce point appartient à la tangente /a. Donc, si on la combine avec l'équation tirée de (2) qui exprime que le point répondant à x" et j", appartient au cercle (C), on obtiendra les doubles valeurs des coordonnées relatives aux points de contact conjugués / et /',

Cela étant admis, il est clair que, si Ton regarde x" et x" comme variables, a et p comme constants, l'équation (4)> linéaire en x'\ r", représentera une ligne droite qui passe par le couple des points / et /'; elle sera donc l'équation de la

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. a55

corde indéfinie //' elle-même. Celle corde doil, d'après les données du problème, êlre langenle à la courbe (C) au point T dont les coordonnées sont x' ei j'; donc aussi son équalion doil pouvoir êlre rendue idenlique à Téqualion (3) de la langenle à celle courbe, au même poinl.

Remplaçant d*abord les indéterminées ^" et y^" par les variables générales x et^% et ordonnant Tune et Tautre des équations (3) et (4) par rapport à ces variables, elles deviendront

Ar'r-H ( B:r'4- C) JT 4- Cx'== o, {^ — b)y-{-{oL — a)x = r' — à" — 6'-i-p6-f-aa = — h\

en introduisant la lettre k afin d*abréger.

Pour que ces dernières équations deviennent identiques, ou que les deux droites qu'elles représentent se confondent, il faut qu'on ait, d'une part.

et, d'autre pari.

— rt B^'+<:

Ces nouvelles équations expriment la relation qui doit exister entre les coordonnées a, p et x\ j', afin que la condition précédente ail lieu dans toutes les positions de la langenle ou corde infinie T//'. Ainsi, étant donnés x' et j', on pourra déterminer, au moyen de ces équations, les valeurs de a et de p qui leur correspondent ou au point T. Donc, si l'on élimine x' et j' entre ces mêmes équations et l'équation (i) à laquelle les coordonnées x' et /' doivenl toujours satisfaire, on aura le lieu, la série illimitée des points a, déterminés comme il a été expliqué ci-dessus, c'est-à-dire, l'équation indéfinie même de la courbe cherchée.

Mais les équations (5) cl ((i) donnent

•'' — C(» — «) — BA-' - ~A[C(a — rt) — B/.»]'

donc, substituant ces valeurs dans (i), on aura pour l'équation

a56 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

de la courbe cherchée dans les coordonnées variables a el p,

ACUP — *)'-+- BC'A^ -h 2C'/»'[C(a — flj — B*'>] = o,

ou, en substituant la valeur de k*=a^-hb^ — r* — 6p — «a,

ou bien, plus simplement encore,

kO{f^ — by-h[a^-hb'—r^—bp — aoL] X[2C{a — a) — B(fl*-hè^— r^— èp — ûa)]=o.

Cette équation étant du deuxième degré, le lieu cherché, la ligne décrite par le point a, est une section conique ou courbe du même degré.

Quand le coefficient C de x' dans (i), est nul, (C) se réduit à un point ou à un couple de droites, et Téquation du lieu devient, pour ce cas,

èp -f- aa = a^-h 6* — r%

qui est celle d'une simple droite conjuguée au sommet O de (C), pris pour origine des axes coordonnés; propriété bien connue. On voit que cette droite est perpendiculaire à celle

dont réquation r=-x, appartient à la distance qui joint le

centre C au pôle ou point donné 0.

Remarque, — Il suit évidemment de ce que a parcourt une courbe du deuxième degré, que réciproquement, si ce point devenu mobile, était, à priori, assujetti à décrire cette courbe censée donnée, et que, par chacune de ses positions, on menât un couple de tangentes at et a/' à une autre ligne quelconque du deuxième degré , la corde de contact //' conjuguée de a, roulerait, dans toutes ses positions, sur une dernière ou troisième section conique (*).

(*) Cette remarque contient le premier germe de mes idées sur la théorie géométrique des polaires réciproques, auxquelles j'ai donné un certain développement dans un article imprimé en janvier 1818 et dont on trouvera la reproduction textuelle au'lb'fi cie ces Jpplicntinns. .

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 267

Nous avons fait usage déjà de celle propriélé dans le cours de ces recherches. EUe peui, à la rigueur, être déduite à posteriori comme conséquence de la précédente; mais nous allons ici nous proposer de la démontrer directement.

Pbob. III. — a Quelle est l'enveloppe de Tespace parcouru » par la corde de contact //', obtenue en menant^ d*un point » (a) mobile sur une courbe du second degré (C')i un couple » de tangentes à une autre courbe (C) de ce degré? »

Nous supposerons, comme dans la question précédente, que Ton ait projeté la figure de manière que la courbe (C) devienne un cercle quelconque ; nous supposerons également que Torigine des coordonnées soit au sommet O de la courbe

Fig. 116.

(C), et nous désignerons les coordonnées courantes du sommet a, par a et p, comme ci-dessus.

Cela posé, les équations de la courbe (C) et du cercle (C) seront de celle forme

Ap2-f-Ba*-f-2Ca = 0,

L'équation d'une tangente au cercle (C), menée par un point t à coordonnées x', j', étant, en général,

si Ton y substitue a et ^ à la place de x et 7-, elle exprimera la condition même qui doit exister entre les coordonnées a et p, X* et y pour que cette tangente passe par le point a. Si d'ailleurs, on regardait, dans cette équation devenue

P (r'— *) -f- «( ^'— a) = r^— a}— 6» -h ax'-^r by'.

les coordonnées x\ jr' comme variables, elle serait la propre équation de la corde //', qui passe par les points de contact correspondants à a. Donc si Ton y remplace à leur tour, les coordonnées x' ct^' par x et j, Téquation

(3) P(/ — 6)-+-a(ar — a) = r* — a} — 6*4-«j:-i-fr^ = A"',

qui en résultera sera l'équation de la direction indéOnie et toujours réelle, de la corde de contact tt\ conjuguée ou correspondante au point a.

De là il résulte que a étant donné, la droite indéflnie //' le sera pareillement. Donc, si Ton déplace ce point en lui faisant parcourir la courbe du deuxième degré (C'), ce qui établit la relation (i) entre a et p, la Corde conjuguée ttf changera de position d'après une loi correspondante.

Supposons maintenant que le point a segwlace d'une quantité infiniment petite sur la courbe (C), lINBuvelle corde sera infiniment voisine de la première, et leur intersection mutuelle sera le point même où cette corde touche l'enveloppe cherchée. D'après cela donc, il sera facile de trouver les coordonnées X et/ de ce point; car si Ton suppose que l'abscisse a devienne a -{- rfa, l'ordonnée p devenant, en vertu de la continuité, p-i-rfp, l'équation delà qorde indéfinie correspondante, infiniment voisine de //', sera

(P-+-rfp)(r—*)+{«-^rf«)(^— «)=£*'•

En combinant cette équation avec l'équation (3) de la corde //', on aura la relation

-^{r—f>)-^-x — a = Oy

qui devra avoir lieu entre les coordonnées inconnues x et r du point d'intersection de ces cordes infiniment voisines. Mais, si l'on différentie l'équation (i), elle donne, pour la valeur

^ do,' rfp C + Ba

Substituant donc cette valeur dans l'équation de condition

« ras DOUBLES œNIQUBS SUR UN PLAN, «Sg

précédente, elle deviendra,

(4*) Ap(a;— /z) — (C-hBa)(j— 6) = o.

Cette équation exprimant, comme on Ta dit» la relation qui existe entre les coordonnées :p et j du point d'intersection de la corde variable //' et de celle qui lui est infiniment voisine, elle donnera, conjointement avec Téquation (3) de if ^ la valeur inconnue de ces coordonnées, qui sont aussi celles du point correspondant de la courbe enveloppe cherchée, pour chacune des valeurs particulières de a et de p. Donc enfin, si Ton élimine a et p entre ces deux équations et Téquation (i) qui subsiste toujours entre ces coordonnées variables, Téquation entre :r et ^ ainsi obtenue , sera l'équation même de la courbe enveloppe des cordes ii\

Pour y parvenir, je mets les équations (3) et (4) sous celte forme

Ap(jr — «) — Ba(j— è) = C(j— 6);

d'où l'on lire immédiatement

àubstituanl dans l'équation (i), ce qui donne

A(j— 6)*[/r'B-hC(x — a)]^-hB[*-'A(x — a) — C{r — ft)']' -i-2C[fr^A(^ — a) — C(j— 6)»][A(^ — a)^-hB(j— è)'] = o;

développant et rassemblant les facteurs de k{x — a)'-f-B(^ — 6)%

|ABA^-hC'(7— 6)'-f-2C[/i»A(^ — a) — C(^ — &)']jx X[A(j; — û)>-l-B(7— 6»] = o;

divisant celte équation par le facteur insignifiant

A(:r — a)^-hB(j— è)*

introduit par l'élimination, il vient

AB*^-f-0(/— 6)'-4-2C[A»A(x — tf) — C(/— ft)»] = o;

'2Go V« CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

siibsiiiuanl enfin pour /«'sa valeur r' — «' — 6^ -h ^/^' -+- />>', on aura

^ i ABir'—a'—b'-^-ax-hhyY—Oir—by

\ -f-2AC(:r — û){H — û* — b^-^fLx:-hhy) = o.

Telle est Téquaiion de l'enveloppe cherchée qui est, comme on le voilfune section conique.

Du reste, on a pu remarquer, chemin faisant, que Téquation (4) est celle de la perpendiculaire CT, abaissée du centre du cercle (C ) sur la tangente indéfinie menée à la directrice (C ) au point a : il n'est pas difficile de se rendre raison de cela à priori et géométriquement; de sorte que cette observation fournit le moyen simple et élémentaire de se passer du secours de l'analyse transcendante dans la question qui vient de nous occuper.

Remarques diverses — L'équation trouvée en dernier lieu, ne représente la courbe enveloppe qu'autant que les opérations par lesquelles on a dû passer pour y parvenir ne seraient pas illusoires; car, dans le cas contraire, les raisonnements eux-mêmes devenant faux, la conséquence pourrait l'être également.

Ainsi, par exemple, si l'équation (i) avait la forme

Ba*-|- ?Xa = 0,

on ne pourrait plus en tirer la valeur de -^^^ et pat conséquent la suite des opérations serait impossible. A la vérité, il serait toujours permis de considérer l'expres-

sion — -j-^ — comme représentant cette quantité j-y quand on

y suppose A nul, ce qui la rendrait infinie, sauf pour les valeurs infinies mêmes de a; mais alors toutes les opérations changeant de forme, et les raisonnements d'abord admis devenant illusoires, l'équation (5) offrirait elle-même des incompatibilités. On trouve en effet, dans ce cas, qu'elle se réduit à l'équation X — 6 = o représentant une droite parallèle à l'axe des amenée par le centre de (C). En général, il est aisé de voir qu(» pareille chose s'offrirait toutes les fois que l'équation (i), d'où

DES DOUBLES CONIQUES SUH UN PLAN. î6i

l'on pari, deviendrait décomposable en faneurs réels linéaires ou du premier degré. Cela arriverait notamment pour les cas où elle prendrait Tune quelconque des formes

Ap^— Ba^ = o, p-=o, a'=o, Ba'4-2Ca = 0.

Toutes les fois, au contraire, où l'équation (i) ne sera pas décomposable en facteurs linéaires réels, et où par conséquent elle ne représenterait qu'une seule et même section conique, l'équation (5) sera la véritable équation Hnale, bien qu'il arrive, cependant, que la suite des calculs change de forme dans certains cas.

Par exemple, si l'équation (i) avait la forme Ap=-f- Ba^ = o, ou si la constante C était nulle, l'équation de la courbe enveloppe se réduirait à celle d'une droite

r- — (i^ — h- -H ax -h hy^o;

(*e (|ui doit être si l'on suppose V et B de mêmes signes, car alors ré(]iiaiion (i ) peut être remplacée, conmie on sait, par les deux suivantes

a = o et ô = o ;

qui représentent un point placé à l'origine mémo O, des coordonnées.

Si l'on supposait A et B sinmitanément nuls, on arriverait à d'autres contradictions ou difficultés (|ue je ne me proposerai pas ici d'approfondir.

Nous devons conclure de tout ceci, (|ue, quand les données anal^ti<|ues d'une question changent de forme, il est possible que l'équation finale (|ui résout cette question d'une manière générale, devieime illusoire et même absurde pour les nouvelles données, et il n'est pas permis alors, sauf un examen particulier et attentif, de rien prononcer, à priori, d'une manière affirmative. Cependant, comme dans ces mêmes circonstances, l'équation finale doit représenter elle-même, une solution singulière de la question telle qu'elle a été posée généralement, elle ne pourra jamais s'élever à un degré supérieur à celui du problème qui s'y rapporte.

Ainsi, par exenq)le, ayant trouvé que la courbe cherchée était du deuxième degré, elle ne saurait s'élever au troisième

aCa V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

par aucun changement qui ne ferait que particulariser l'équation (i); et, si Ton ne se propose, comme dans la question présente» que de trouver le genre de cette courbe, on pourra affirmer que toutes les équations auxquelles on arriverait pour des cas particuliers, seront comprises dans la classe de celles que représente Téquation finale.

La proposition que nous venons de démontrer pour le système de deux courbes quelconques du deuxième degré c|||^ respond à une proposition analogue, relative aux surfaces du même ordre, d'où elle peut être déduite aisément comme cas particulier. Elle a été établie, s'il m'en souvient, au moyen de l'analyse transcendante, par M. Brianchon (*). En suivant la marche adoptée dans la première des deux démonstrations précédentes, on pourrait démontrer la propriété générale par les procédés de l'analyse algébrique ordinaire.

PROPRIÉTÉS DRS CORDES BT DES TANGENTES COMMUNES AU SYSTEME DE DEUX CONIQUES QUELCONQUES SUR UN PLAN.

Nous avons vu au commencement de ces Notes (**),que deux courbes quelconques du second degré, sur un plan, pouvaient être considérées, en général, comme les projections de deux circonférences de cercle ; donc toute propriété dont jouit te système de deux cercles est applicable à deux courbes du deuxième degré, pourvu toutefois que celle propriété ne soit relative qu'à la situation, à la direction indéfinie de ces parties et non à leurs grandeurs absolues.

(*) Je n'insisterai point ici sur ces souvenirs historiques, si ce n'est pour faire observer que , dans son Mémoire souvent cité de iftio ( X* Cah. du Jourrwl de ï Ecole polytechnique y p. i4)^ M. Brianchon démontre, par des considérations purement géométriques et sans s'occuper de sa réciproque, la proposition relative à la fig. ii5, en substituant sans justification suffisante peut-être, le système de deux cercles à celui de deux sections coniques quelconques.

(**) Ce passage se rapporte à un essai de démonstration exclusivement analytique du V* PrincijKî de transformation des figures par la projection centrale, principe dont il est fait un constant usage dans ce Cahier et le

DES [X)UBLES CONIQUES SUR UN PLAN. iGS

Hésunié de quelques lemmes spéciaux relatifs au système de deux cercles.

Soient en général, (C) el (C) deux cercles quelconques de centres C el C, il résulte, de ce qui a été démontré entre autres dans le 1" Cahier, sur les propriétés des systèmes de cercles et de lignes droites dans un plan :

i" Que, si Ton mène par les centres C eiC/ deux rayons parallèles et de même sens, la droite qui joint les extrémités de ces rayons, vient couper celle des centres CC, prolongée, en un point 0, qui reste le même quels que soient les rayons <[u'on ait ainsi menés ; d*oii Ton conclut que les tangentes communes extérieures aux deux cercles doivent aussi passer par le point invariable 0; mais que si, à l'inverse, des deux rayons parallèles quelconques, l'un est au-dessus et l'autre au-dessous de la ligne des centres CC, et qu'on joigne, comme précédemment, leurs extrémités par une droite, celle-ci viendra couper la ligne CC en un autre point 0' situé entre les deux cercles, qui restera aussi le même quels que soient les rayons ainsi tracés, et se confondra par conséquept avec celui où se renconi^enl les tangentes intérieures ccmimunes aux circonférences de ces cercles. 'I'

2® Que si, après avoir menàj;)ar le point 0 (fig* 117), une transversale arbitraire OT, qui coupe les deux cercles en quatre points T, /, T' et /', on mène respectivement par ces points des tangentes à ces cercles, celles en T et /', de même situation par rapport au point 0, seront parallèles entre elles, aussi bien que celles des points homologues / etX'; que si,

suivant relatifs aux propriétés des systèmes de sections coniques; mais, autailf qu'il est possible d'en juger par la page restée seule au manuscrit du ni' Cahier et relative à cette tentative do démonstration, il ne s'agissait ^à que de considérations générales de géométrie analytique, d'aperçus controversablcs, sur la recherche du lieu des sommets de cônes auxiliaires de projection et la direction indéterminée de leurs plans de sections circulaires communes ; problème vainement tenté avant la publication,- en iSaa, du Traité des Propriétés prtijectiveSf et dont la solution complète a été, à cause de son étendue, répartie entre le IP et la On du présent Cahier, selon la nature distincte des sujets qui y entrent.

a64 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

d'ailleurs, on prolonge les tangentes relatives aux intersections extérieures T et T', jusqu'à leur rencontre mutuelle en a, ce point décrira une droite LM perpendiculaire à la ligne des centres ce, quand on fera varier la sécante OT autour du point

Fie 117

fixe 0, et pareillement, que le point correspondant a', où se coupent les tangentes menées aux intersections intérieures / et /', décrira, dans le même mouvement, la droite LM, lieu du point mobile a, de rencontre des deux premières tangentes.

fiC^ 118.

Que si d'ailleurs (Jig. 1 18), par le point CK où se coupent les tangentes intérieures communes, on mène aux deux cercles, une transversale quelconque O'T, qui les coupe respectivement en quatre points T et /, T' et /', et qu'on trace, en ces

nm DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. aliS

poînis, quatre tangentes;' les Ungemes aux intersections extérieures homologues X et t' concourront à l'infini ou seront parallèles entre elles, aussi bien que celles qui correspondent aux intersections intérieures t et T'; que si, de plus, on fait varier la transversale Tf autour du point fixe 0', l'intersection a. des ungentes Ta et T'a, menées aux points T et T', parcourra une droite ML, la même que la précédente, relative au cas où l'on faisait pivoter la transversale autour de 0; le point a' où se coupent les tangentes aux deux autres points/ et f, parcourant comme «, la droite variable LM, pendant la rotation de la transversale TT' autour du point 0' de concours des tangentes intérieures communes, dont il s'agît.

Flg. ng.

3* Que si les deux cercles ( C ) et (C) se coupent réellement {fig. 1 19), la corde commune ML, qui joint leurs intersections M et L, se confondra précisémem avec la droite lieu de tous les points a et a', et jouissant des propriétés précédentes; sur quoi il faut observer que, bien qu'alors il n'existe plus de tangentes intérieures communes aux deux cercles, le point (V ne cesse pas, pour cela, de conserver une existence réelle : ce point et le'pointO restant constructibles (1°) même quand l'un des deux cercles (C) ou (C) se trouve entièrement renfermé dans l'autre.

4° Qu'enfin, si l'on trace {Jig. 1 17), par le poîntO, une transversale quelconque OT, et qu'aux deux points T et l où elle

a(j6 V CAHIBR. ~ PROPRIÉTÉ^ DESCRlPTiÉ»

rencontre le cercle (C), on mène les tangentes à ce cercle, le point -p où elles se rencontrent parcourra une droite PQ parallèle à M et Ly conjuguée au pôlç ou pivot 0 commun aux tangentes OP, OQ, quand on fera varier la transversale OT, autour de ce pivot; que pareillement, le point p' où se coupent les deux tangentes menées au cercle (C') par les intersections f et T relatives à ce cercle, parcourant, dans le même mouvement, une autre droite P'Q', également parallèle à la corde ou sécante Indéfinie LM commune aux deux cercles : la droite pf qui joint les sommets d'angles circonscrits p et p', seconde diagonale du parallélogramme ap, a'p', émané du pôle ou pivot 0, allant, comme la transversale OT, passer dans toutes ses positions par ce même point 0, où concourent aussi les tangentes extérieures communes aux deux cercles (C) et (C), quand elles existent; tout cela pouvant se redire encore du point fixe 0', appartenant aux tangentes intérieures communes correspondantes de ces cercles, etc. (*).

Au surplus, ces diverses propositions ne sont que des cas particuliers de la suivante, que pour cela, nous renfermerons dans un seul et même énoncé.

Fi0. lîio,

Lemme général. — Soient menées {Jig. 120), par le point

(*) On supprime à rimpression, Tart. 5" qui formait double emploi avtx* renoncé de la proposition suivante, ot se référait au cas Irès-particulicr où )a transversale Oa (Jfg, 120) coïncide avec la droite des centres OCX.

extérieurO, par exemple, deux sécantes quelconques OTet Ce, elles couperont le cercle (C) en quatre points T, t, e, 0 qui, réunis deux à deux, par des lignes droites, formeront le quadrilatère complet TeBt avec ses côtés et ses diagonales; ces dernières se coupant au point intérieur 7, les côtés opposés feT et 9^ au point extérieur p, et les deux points ainsi obtenus étant situés sur une perpendiculaire PQ à la droite des centres GC', la même qui a été mentionnée dans l'article (4**); de sorte que, si Ton fait varier arbitrairement les OT, Oe transversales, les points p et 7 resteront constammentsur cette droite, corde de contact, toujours réelle, des tangentes menées du pôle 0, au cercle (C).

L'autre quadrilatère T'e'O'/' formé par les points homologues d'intersection des transversales OT, O0 avec le cercle (C')> offre les mêmes circonstances : les points p\ 7', homologues à p et 7, resteront sur l'autre corde P'Q' conjuguée au pôle 0 par rapporta (C), et perpendiculaire à CC. De plus, les droites Te et t'B\tB etT'e', Tôet/V, le et T'ô', seront deux à deux parallèles ou concourront en des points à rinfini.

Enfin, si l'on prolonge les cordes Te, T'e', tB et /'ô', elles formeront, comme on l'a vu ( a*"), par leurs rencontres un parallélogramme apa'p', dont la diagonale aa', perpendiculaire à la ligne des centres CC, se confondra avec la droite ML, que nous avons ci-dessus nommée corrf^ ou sécante commune, quelle que soit la manière dont on fasse varier le système des deux transversales OT, Oe autour du point fixe 0; les droites 77' et pp' passant, dans toutes leurs positions, par ce pôle concours des tangentes extérieures communes.

Remarques essentielles. — Ces diverses propriétés subsistent d'une manière analogue, pour le point de concours intérieur 0' des tangentes communes aux deux cercles, soit qu'ils se coupent ou ne se coupent pas, et, d'après la remarque déjà faite plus haut, nous sommes autorisés à en conclure les propriétés suivantes du système général de deux courbes quel.conques du deuxième degré sur un plan*

A ce sujet, il convient de se rappeler (Cah. III, sect. I) que ce système pouAni, généralement aussi, être regardé comme la projection centrale ou conique du précédent, relatif à deux

-itiS V CAIUEB. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

r.ireotiférences de cercles, toutes les droîles qui avaient des directions parallèles dans ce dernier système, ont même point de concours dans le premier, et que tous les points de concours pareils sont distribués sur une seule et même ligne droite ; qu'enfin les points qui, dans la figure générale des coniques, correspondent aux centres C et C de chacun des deù*" cercles, sont de véritables pâles conjugués t la droite unique dont il s'agit, représentant tous les points à l'infmi du plan de CCS mêmes cercles.

Extension des lemmes précédents au système de deux coniques quelconques dans un plan.

Propriétés relatives à une simple transversale pivotante. — Soienl(A) et(A'),^g-. 121, les courbes du second degré dont

Il !>':i^il; 0 le point de rencontre des langtentes extérieures communes à ces courbes, (V le point où se coupent pareille-

ment leurs tangentes intérieures communes. Soit menée par ces deux points, la droite indéfinie 00', qui viendra couper respectivement chaque courbe en deux points a el 6, a' et 6' ; cette droite représentera la projection de la ligne des centres ce des figures précédentes; d'où Ton voit déjà que, si Ton mène en ces points respectifs, des tangentes aux deux courbes (A) et (A'), elles viendront toutes quatre se croiser en un même point K, qui serait situé à l'infini dans \^fig. 117, relative au système primitif des deux cercles. On voit, de plus, que si l'on mène par les points respectifs de contact P et Q, P' et Q' des tangentes communes ci-dessus, les droites PQ et P'Q', elles iront encore passer par ce même point K.

Maintenant, soit menée par 0 une transversale quelconque OT, qui coupe la courbe(A)aux deux points T et t, et la courbe (A') aux deux points T' et V; en chacunde ces points menons une tangente à la courbe correspondante, ces quatre tangentes formeront, en les prolongeant jusqu'à leurs rencontres mutuelles el traçant les diagonales, un quadrilatère complet la Fa', dont les deux côtés opposés la' et Fa se couperont en un point p', et les deux autres la et a' F en un second point p. Cela posé, si Ton fait varier la transversale OT en la faisant tourner autour du point 0, les points et les lignes droites ci-dessus désignés variant aussi, il arrivera ce qui suit :

1** « Le sommet p parcourra dans son mouvement, la corde ou sécante de contact PQ, le sommet correspondant p' du quadrilatère traçant dans son propre mouvement, l'autre droite, P'Q' sécante indéfinie de contact conjuguée à 0. »

2° « Les deux points p et p' dont il s'agit resteront, dans chacune de leurs positions correspondantes, situés sur une droite l)assant par ce même point de concours fixe 0. »

S** « Les deux sommets a et a! parcourront dans le même mouvement, une droite unique ML, qui sera la corde ou sécante indéfinie commune aux deux coniques si elles se rencontrent en deux points seulement. »

4" « Les deux sommets opposés I et F parcourront, chacun en particulier, une même droite contenant le point K déjà déterminé ci-dessus; celte droite IF représentanl celle dos

a7o V* CAHI£R. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

points de concours, à riniini» des deux couples de tangentes

parallèles du système primitif des deux cercles. »

5"* a Si l'on mène> d'un point quelconque /de cette droite IF, deux tangentes /m et In k la courbe (A), et que Ton trace la corde mn qui contient leurs points de contact m et n, cette corde viendra couper la droite OCK, mentionnée en premier lieu, en un point C, qu'on peut considérer comme la projection du centre C d* l'un des deux cercles du système primitif, et, si l'on fait parcourir la droite indéfinie IF au point /, sa corde de contact conjuguée mn, passera dans toutes ses positions par ce même point ou pôle central C. Pareille chose ayant lieu à Ijiprd de la courbe (A'), la corde de contact correspondante (iSn tracée) passera par un second pôle invariable C, qui peut être regardé comme la projectipji conique du centre C, de l'autre cercle dans la figure primitive.

Propriétés relatives au système de deux transversales. — Supposons maintenant (Jig. 122) que, par le point de concours extérieur 0, on mèiie la nouvelle transversale Oe coupant la courbe (A) aux points e, 0, et la courbe (A') aux autres points e' et 0'; imaginons, enfin, qu'on joigne par quatre lignes droites, les points T et e, < et e, T' et 0', t' et ô', ces droites formeM^nt, par leurs rencontres mutuelles, un quadrilatère complet laFa', dans lequel les côtés opposés Te et /0 viendront se couper en un premier point p, et les deux autres T'e' et f^' en un second point P'. Imaginons, de plus, que l'on mène les quatre diagonales Tô, e/, T'ô', e'^ des deux quadrilatères T^Oe, T'^'e'e', et qu'on les prolonge indéfiniment, elles formeront par leurs rencontres mutuelles, un second quadrilatère aial*i\ analogue au premier laFa'; les deux côtés 7 a et 7' a' qui sont opposés, donneront par leur rencontre mutuelle un premier point 1, et les deux autres côtés 7 a' et l' a donneront également, par leur rencontre vers la droite de la figure, un deuxième point /.

Cela posé, si l'on fait varier les transversales rectilignes OT, O© d'une manière quelconque autour du point 0, les intersections et les lignes droites que nous venons de désigner varieront aussi, et il arrivera :

i<* a Que le point p et son correspondant 7 parcourront dans

I«S DOOBMi^ CONIOtlES SUR UN PUN. 371

leurs mouvemenls simullanés, la même droite PQ, tandis que les deux points p' et 7' décriront semblablemeni el séparément, l'autre droite P'Q', homologue à la première, s

2" a Que les deux points ^ et p' resteront, dans chacune de leurs positions successives, sur une même ligne droite passant

par le point 0; les deux points correspondants 7 et 7' étant également situés sur une ligne droite difTérente de la première, mais qui passera comme elle, dans toutes ses positions, par le point de concours 0 des tangentes extérieures com- %)un«aux coniques(A)'et(A'). ■

3° « Que les quatre points a, a', a et a', concours de côtés et de diagonales homologues, parcourront, dans le même mouvement, une droite unique ML, la même qui a été définie et désignée pour la précédente figure. »

4** « Que les quatre points 1, F, i et /parcourront, chacun en particulier, la droite unique et fixe IF passant par le point K; point et droite qui ont été géométriquement définis encore pour la précédente figure. »

Remarques et conclusions. — Toutes ces propriétés sont exclusivement relatives au point 0 où se coupent les tangentes extérieures communes aux coniques (A) et (A'); mais comme elles ont lieu d'une manière analogue pour le point 0' où se coupenl les tangentes intérieures communes à ces courbes, il devient parfaitement inutile d'en donner ici le détail qui exigerait une troisième figure. On doit, en outre, observer que les quatre théorèmes d*abord énoncés, pourraient, à priori, être considérés comme autant de conséquences des quatre derniers.

De tout ce qui précède, il résulte aussi que les points 0, O' et les droites fixes FI et ML, dont la dernière est, comme on Ta vu, la sécante indéfinie commune aux coniques (A) et (A'), quand elles se coupent réellement en deux points, sont liés entre eux, de manière que, quand l'un quelconque de ces éléments est déterminé, tous les autres le sont également et peuvent être déduits du point ou de la droite d'où l'on est parti, par une construction graphique très-simple et purement linéaire, ainsi qu'on le verra tout à l'heure.

Lorsque aucune de ces droites ni aucun de ces points ne sont connus, il devient absolument impossible, du moins en général, de les déterminer par aucune construction géométrique directe et simple. Le problème dépend alors d'une équation du quatrième degré; et, bien que les coniques puissent, en certaines circonstances, ne se couper réellement qu'en deux points, l'équation finale à laquelle on arriverait par l'élimination dans ce C4is, serait toujours de la même forme et irrésoluble; seulement deux de ses racines seraient imaginaires et les deux autres réelles, quoique inséparables. Quand il en est ainsi el que les dcMix coniques sont entièrement décrites, leur

corde commune LM est, par là même, donnée de situation ; par conséquent, si l'on se proposait de trouver les tangentes extérieures communes à ces courbes, ou leurs points de concours 0, 0', Tun extérieur, l'autre intérieur, la chose pourrait se faire d'une manière toute géométrique comme on le verra ci-après.

Problème. — Déterminer les points de concours réels cortrjugués des tangentes communes à deux coniques tracées sur un plan et qui s y coupent en deux points.

Soient (A) et (A') deux lignes du second degré décrites sur un plan, et dont on suppose les deux points d'intersection M et L déterminés à priori. Pour trouver le point 0 où se coupent les tangentes extérieures communes à ces courbes,

Fi(T. 123.

les seules existantes alors, il faudra tracer d'abord la corde ou sécante indéOnie ML; puis de deux points quelconques a et a' de cette droite, mener les tangentes extérieures aT et aT', a'e et a'e', qui détermineront les quatre points de contact T et T', 0 et 0'. Ces points étant trouvés, on mènera par les deux premiers T et T' homologues ou qui se correspondent, une droite indéfinie TT', et par les deux autres points 0 et 0' homologues entre eux, on tracera pareillement une seconde droite 00' qui, prolongée ainsi que la première, viendra la couper en l'un O des points demandés.

Pour déterminer l'autre point de concours 0' conjugué k 0 et intérieur aux coniques, on mènera par a, le second couple de tangentes a^ et a^' à ces coniques; on joindra les points de contact T et /' de même situation, par une ligne droite T/' prolongée convenablement; de l'autre point a', on mènera pareillement vers Tinlérieur, le couple de tangentes a'0,a'ô', et ayant joint de même, les points de contact e et 0' par la droite indéfinie eô', elle coupera la première T/', au deuxième point demandée, concours intérieur des tangentes communes, imaginaires dans nos hypothèses, etc., (*).

RECHERCHES GÉOMÉTRIQUES RELATIVES AUX QUADRILATÈRES A LA FOIS IISSCRITS OU A LA FOIS CIRCOiNSCRITS AU SYSTÈME DE DEUX SECTIONS CONIQUES QUELCONQUES.

Propriétés individuelles et réciproques des points de concours des cordes et des tangentes communes conjuguées ou respectivement opposées.

Soient (A) et {K')yjig. 124, deux coniques quelconques se coupant en quatre points réels L, M, L', M', et supposons en

{*) Les considérations qui précèdent et les suivantes sur les doubles coniques dans un plan, ne doivent pas être confondues avec celles des géomètres philosophes Desargues et Pascal, dont, un des premiers en 1822, j*ai tâché de faire revivre les ingénieuses théories fort appréciées de Descartes et de Leibnitz, et plus ou moins bien saisies par leurs successeurs De Lahire et Le Poivre. Car ces fondateurs de ce qu'on nomme la G^méirie moderne^ opéraient, raisonnaient sur les sections planes du cône simple d'Apollonius, ramenées dans le plan de sa base circulaire, et nullement-Av des couples de lignes du second degré quelconques et indépendantjaijmtre elles, comme c'est ici le cas.

Ainsi notamment, dans les Ptaniconiques de De Lahire et le Traité postérieur de Le Poivre, fort vanté dans son temps (1704), où déjà Ton avait oublié le précédent imprimé en 1673, on procède par voie de rabattement de la section du cône sur sa base circulaire; ce qui permet de comparer directement Tune des deux courbes à l'autre, par un procédé graphique nommé depuis transjormation et où l'on a prétendu voir le germe de nos méthodes é'homologiey de perspective dans le plan ou l'espace, c'est-à-dire plane ou en welief. Or il faut remarquer que les procédés de transformation, variables à l'infini ei; géométrie comme en analyse, selon l'inspiration et le goût de chacun, constituent au fond, une sorte de tâton-

DBS DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. vji

particulier, qu'on leur ail mené les deux tangenies cMiBnunes extérieures Vp, V'p' se couiianlenO, il est clair que la corde

aement, d'esui plus ou moins heureux et Técond, pour découvrir des résultats nouveaux, dont il faut établir la rigueur, la généralité par des justifications préalables ou à posteriori, exemples, s'il se peut, de toute pétition de principe , atin de ne pas trop s'écarter de la Ic^que sévère des anciens, d'Euclide, d'Apollonius, d'Archimëde particulièrement; logique admirée, regrettée même, des Fermât, des Huygens et des Newton, qui néanmoins, eux aussi, usaient des notions intuitives et métaphysiques de l'infini, de la continuité pour découvrir, sinon pour démontrer, des vérités nouvelles; ce qu'ont fait, avec plus de franchise, Desacpjes, Pascal, Roberval et Leibnitz, cet immortel créateur de l'algorithme différentiel. Afin d'offrir entre mille, un exemple de ce que j'avance ici, je remarque qu'on peut bien, par voie de déformation perspective, déduire des propriétés de cercles concentriques sur un plan, celles d'une ceriaine classe de coniques intérieures les unes aux autres, mais qu'il reste & prouver qu'elles ont un double contact imaginaire, et que, en général, des coniques à double contact sont la représentation d'un système dt cercles eoneenlrigues. Or, voili précisément pounjfloi nos principes de projection centrale étaient non-seul«aent utiles, mais nécessaires.

commune LM, qui correspond au point de concoQrs 0, jouira, à Tégard de ce point, de toutes les propriétés que nous avons démontrées précédemment.

Par exemple, si par ce point extérieur aux coniques, on mène une transversale rectiligne quelconque OT, donnant dans ces deux courbes les quatre intersections : T, / sur (A), T', /' sur (A'), puis qu'on mène par les points T et T' extérieurs et opposés entre eux, des tangenics à ces courbes respectives, elles viendront (page 268) se couper en un point a silué sur la sécante commune LM; de même encore, si Ton eut mené des tangentes aux deux points d'intersection opposés intérieurs, t et /', elles seraient venues se couper en un autre point a', situé également sur la corde commune LM.

Détermination de la droite magistrale IF, correspondante à celle des Jig. 121 et 122. — 11 résulte de nos principes généraux et des Lem. Il (2° et 4°), qu'en menant des tangentes aux courbes (A) et (A') dans les points respectifs T et /', qui se correspondent au delà de LM par rapport a 0, elles se couperont en un point 1 de la droite magistrale FIK des Jig. 121 et 122; que pareillement, le point F de croisement des tangentes aux points T' et / qui se correspondent sur OT, en deçà de LM par rapport au même point 0, appartient encore à la droite magisitrale dont il s'agit; qu'enfin si l'on faisait varier la transversale OT autour du point 0 comme pôle, l'un et l'autre des points I et F décriraient séparément. Tunique et même droite IF, représentant véritablement tous les points à rinfmi du plan dans le cas de deux cercles.

Cette droite magistrale n'est autre que la corde commune L'M' opposée ou conjuguée à LM. — Je dis qu'il y aura une direction de OT pour laquelle le point I sera confondu avec l'une M', des intersections des coniques considérées. Imaginons, en effet, que l'on mène par le point 0, une transversale qui passe précisément par M', il est clair qu'alors les points ci-dessus T et /', se réuniraient en un seul avec M'; donc les tangentes correspondantes à ces deux points, s'entrecouperaient en ce même point M', lequel appartient ainsi à la droite IF, comme on l'a avancé.

On prouverait pareiHement que l'intersection L' des conî-

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. 1x77

ques appartient à IF ; donc la sécante indéfinie M'L' commune à ces courbes, n'est autre que la droite IKF (fig> lai), qui nous a précédemment occupés, et le point où elle rencontre la première corde commune ML, est précisément celui que nous avons dès lors désigné par la lettre K. Par suite encore, on aperçoit que les deux cordes de contact PP' et pp^ c^uguées au pôle commun 0, ou relatives aux tangentes communes issues de 0, passent également par ce même point caractéristique K.

Recherche des centres polaires C, G conjugués à 0 et à la corde commune LM« — Pour obtenir les points ou pôles C, C qui jouent ici, par rapport à O et LMK, le rôle des centres des cercles considérés dans ia^ïg-. 121 ci-dessus, il faut en général, d'un point quelconque de la sécante commune ML, mener des tangentes aux courbes (A), (A') et tracer les cordes conjuguées correspondant au couple de points de contact relatif à chacune d'elles ; car ces cordes passeront, l'une par le centre polaire C, l'autre par le centre C, quel que soit d'ailleurs le point qu'on ait choisi sur ML, de sorte que deux nouvelles cordes, tracées de même, les couperont respectivement dans les points C et C dont il s'agit.

Si, en particulier, on choisit comme point de départ des tangentes, l'intersection L commune aux deux coniques tracées, il est clair que le couple de celles qui appartiennent à la conique (A') ou (Lp'pM), se confondront en direction avec leur corde de contact, confondue de môme avec la tangente LC à cette courbe au point L, tandis que celles qui répondent à la conique (A) ou (PMLP'), confondues avec la tangente LG en ce même point L, passeront par l'autre centre C.

Répétant cette construction pour M, les deux nouvelles tangentes MC et MC, contenant respectivement encore les points C et C, donneront ainsi, par leurs intersections avec les précédentes, ces deux mêmes points, pôles conjugués et respectifs, comme on voit, de la corde LM commune à (A) et (A'); ce qui, à certains égards, doit paraître évident à priori (*).

(*) Cette dernière phrase et quelques autres purement explicatives ont été, pour plus de clarté et de précision, ajoutée au texte qui ici, comme presque partout; je le répète, manquait de titres ou subdivisions, fort inu-

Détermination du point de concours (V, des tangentes communes, opposé ou conjugué au précédent 0. — D'après les lemmes ci-dessus (II), les points 0, C, C qui viennent d'être considérés, sont rangés sur une même ligne droite qui contient aussi le point de concours 0' des tangentes communes O'O*, O'O"*", opposé à 0 et tout aussi facile à' construire directement; car, si Ton mène par le point a déjà mentionnera l'arc PML de (À), une tangente a^ vers la gauche de LM, et qu'on joigne le point de contact 0' avec le point T' par une ligne droite prolongée, elle viendra passer, pour toutél les positions de a, par le point 0' demandé.

Pareillement, si par le même point a de LM, on eût mené, du côté de 0% une secondÀliÉ}gente aO (non tracée) à la courbe (A') ou Tare LM'L', et qu*oii eût joint son point de contact 0 avec le point correspondant T par une ligne droite TO, elle serait venue passer également dans toutes ses positions, par te point 0% ainsi parfaitement et doublement déterminé comme point inconnu à priori.

Or, lorsque cette dernière tangeîïle aô, viendra se confondre avec la tangente aT, ce qui arrivera quand a sera en «, sur la tangente CKO*' commune aux deux courbes et opposée à celle OO'' ou Vp, et qu'elles se confondront par conséquent toutes deux, en une seule avec cette même tangente, elles ne ces-

tiles à l'auleur plein de son sujet, mais indispensables aux lecteurs même déjà initiés de l'époque actuelle. Il en est ainsi encore des expressions, centre polaire f droite magistrale^ employées transi toi rement dans le texte impjrimé, comme procédé mnémonique propre à rappeler la dépendance intime et toute linéaire, entre leurs propriétés et celles des centres et du lieu des tangentes infinies^ parallèles, des cercles dont les coniques proposées sont la projection centrale. Mais je me suis complètement abstenu d'aller au delà dans la correction de cette partie du texte manuscrit, où je n'avais point encore résolu le problème épineux de la projection des courbes du deuxième degré, suivant des circonférences de cercles ; du moins dans toute la rigueur géométrique que réclame la preuve de l'identité de propriétés de la droite magistrale dont il s'agit, avec la corde ou sécante, commune aux deux courbes, qui lui est conjuguée et la renlk)nlre au pôle K de la ligne des centres C etC; pôle jusqu'ici sans nom spécial, quoique jouant un rôle tout aussi remarquable que le point même de concours des tangentes communes aux coniques.

DES DOUBLES œNlQUBS SUR UN PLAN. 279

seront pas de passer par le point de concours 0', nécessairement situé aussi et par les mêmes motifs, sur la tangente commune O'O" opposée à 00'" ou P'p'. Donc le point 0', ainsi construit directement au moyen de 0 et de la corde commune LM, est, en effet, le point de concours conjugué à ce dernier point, intersection des tangentes communes, respectivement opposées, elles-mêmes, à celles qui émanent de 0.

Remarques diverses. — On devait s'attendre à cette conséquence, car nous avons vu précédemment (p. 268) que les tangentes menées par un tel point (alors situé entre les deux courbes), à l'une quelconque d'entre elles, si elles sont possibles, étaient en même temps tangentes à l'autre ; ce qui prouve d'ailleurs que le point 0' n'est pas nécessairement et toujours la rencontre de deux tangentes intérieures communes réelles (p. 27.3, yîg-, laS).

Si, au lieu de procéder du point 0 comme nous venons de le faire, on partait directement de son opposé 0', et qu'on fît, à l'égard de ce second point, les mômes raisonnements que pour le premier, on verrait que la corde L'M' étant considérée comme correspondant à 0', l'autre corde LM deviendrait, à l'égard d^-^ {H)int, la droite magistrale que nous avions appelée IF danâ Tes lemmes préliminaires, et que, par conséquent, en menant pour chacune des deux courbes, des couples de tangentes aux extrémités U et M', elles viendront se couper respectivement aux deux nouveaux centres polaires <?, c', également situés sur la droite 00' et parfaitement analogues aux deux points C et C^ d'abord considérés.

Des axes à points de concours multiples et de leurs pôles de convergence respectifs, conjugués»

r° Système des deux axes sécants. — Considérons à part le quaifrilatère lMlJW{Jig. 124) inscrit à la fois aux coniques (A) et (A'), je dis que le point K' où se coupent ses côtés opposés LM', ML' et le point K, où se coupent ses deux diagonales LL', MM', sont tous deux encore situés sur la droite 00'.

En effet, en tant que ce quadrilatère est inscrit à la conique PP'M'L' ou (A), il résulte des théorèmes du 1I1« Cahier (p. 129), que» si l'on mène à cette courbe, les deux tangentes LC et MC

a8o V CAHIER. — PROPRIETES DESCRIPTIVES

aux extrémités L et M des diagonales, leur point de rencontre ou centre polaire C, sera situé sur la droite K'Ki des points de concours Ki et K' déjà définis; ce qui est vrai aussi du point d'iniersection c des tangentes menées aux deux autres extrémités V et M\ Mais, en tant que ce quadrilatère est inscrit à la conique (A') ou pp'M'L', les centres polaires analogues et opposés C et c', relatifs à ces mêmes extrémités de diagonales, sont aussi sur la droite KiK'; ce qui résulte également de ce que les quatre points c, cf, C, C d'après les théorèmes déjà cités, appartiennent à une seule et même ligne droite. Donc les six points K', c', e, K„ C, C sont tous rangés sur cette droite doublement conjuguée au point de convergence K, des cordes communes ML et L'M'; propriété assez remarquable, ce me semble.

Supposons, à présent, qu*au lieu de considérer les points 0 et 0' de concours des tangentes communes, et les cordes M' L' et ML correspondantes, il s'agisse des points de concours C, 0" également opposés entre eux et des cordes ML' et LM% il est évident que ces points et ces cordes jouiront des mêmes propriétés relatives que les premiers. Ainsi les DOints 0'',0*', K,,K et les quatre centres polaires, intersectio|i9 des couples dé* tangentes menées aux extrémités respectives des cordes ML',LM' à chacune des deux. coniques» sont, tous encore, situés sur une même ligne droîre conjuguée au point de convergence K' de ces cordes communes, opposées entre elles dans le quadrilatère inscrit d'abord considéré.

2* Jfxe de concours extérieur aux deux coniques* — Supposons actuellement {Jig. 1 25) qu'on prolonge les deux tangentes opposées Hw, p'F, communes aux deux coniques (A) et (A'), jusqu'à leur rencontre en 0^ il est clair que ce poftat 0^ devra jouir des mêmes propriétés que le point 0 de la précédente figure; de sorte que, si de ce point 0% on dirigeaitjatie sécante quelconque vers les deux courbes, et qu'aux (Aints d'intersection correspondants on menât à celles-ci leurs tangentes respectives, le point où se couperaient les tangentes ci-rdessus nommées extérieures, et celui où se couperaient les tangentes intérieures^ seraient sur une dernière ou troisième droite fixe, qu'ils parcourraient dans toutes leurs posi-

lH E

lions quand on viendrait à faire varier la transversale commune autour du point invariable O*.

D'après cela et en reprenant les mêmes raisonnements, il n'est pas dilTicile de voir que la corde MM' diagonale du quadrilatère inscrit, est précisément la droite fixe dont il

le-

s'agit; car, lorsque la sécante passera par le point M, par exemple, les intersections les plus voisines s'y conrondroni, et, par conséquent aussi, leurs couples de tangentes se couperont en ce point.

Pareille chose a lieu évidemment à l'égard du point M', et de plus, l'autre corde ou diagonale conjuguée LU représente

a8a *¥» CAIlil^- PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ici encore la droite magistrale précédemment nommée IF (Jig. 121, 122 et 124), également parcourue par l'un et l'autre des deux points où s'entrecoupent les tangentes menées de chaque côtét aux deux coniques; car il est aisé de voir encore que, si la sécante passe par le point L', par exemple, les inteiséctions voisines se confondant alors avec ce point, leurs tangentes respectives s'y couperont de même, etc.

Concluons de là, plus explicitement, que, si d'un point extérieur quelconque de la corde ou diagonale MM^ on mène, aux courbes (A) et (A'), deux tangentes vers le dehors et deux vers le dedans, les droites qui en joignent les couples de points de contact viendront passer par le point 0^ délini cidessus; que, de même, si par ce point arbitraire on trace deux tangentes, l'une intérieure, l'autre extérieure, c'est-à-dire situées d'un même côté des deux coniques (A) et (A'), et qu'on joigne les deux points de contact par une ligne droite, elle passera dans toutes ses positions par le point 0''', conjugué au point 0^; qu'enfîn, chose facile à prouver directement, ce point est précisément celui où se coupent les deux autres tangentes communes, opposées entre elles, pP, ir'n'.

D'autre part, il résulte encore de ce qui précède, que si, par les extrémités M et M', on mène les deux tangentes MC'% M'C'^à la conique pp'MW ou (A), elles convergeront en un point C*^ situé sur la droite 0'^0% centre ou pôle conjugué à la direction de MM', c'est-à-dire servant de pivot aux cordes de contact des couples de tangentes menées des divers points de cette direction ou corde commune prolongée, à la conique (A) dont il s'agit.

^. Pareillement, le pôle des cordes de contact relatives à MM^ ^^i à Taulre conique PP'M' ou (A'), s'obtiendra en menant par les extrémités M et M' les tangentes MC^, M'C% et ce pôle sera situé comme O^ sur la droite 0*^0% d'après les raisons généralement exposées à l'égard des centres polaires C et C [Jig. 121 et 124) : ces mêmes pôles C^ et C'% corresjpondenl d'ailleurs tous deux au point 0\

Si Ton exécute des constructions analogues pour le point de concours 0*^ des tangentes communes et la diagonale ou corde JJL' qui lui correspond, on obtiendra de nouveaux p^nts C'* et C% pôles de cette corde dans les courbes (A),

DES DOUBLES œWQUES SUR UN PLAN. 283

(A'), et ces deux points seront, comme les premiers, situés sur la droite de concours 0'^0^ De là et des théorèmes établis dans la Seci. II du IIP Cahier, il résulte que si, considérant toujours le quadrilatère simple HL'M'L inscrit à la fois à ces deux courbes, les points K' ei K où convergent ses côtés respectivement opposés, doivent appartenir également à la droite de concours O'^O'.

Nous pouvons mointenant résumer toutes les propositions ou propriétés qui précèdent de la manière suivante (*).

Résumé des précédents théorèmes et propositions qui con^ cernent le système de deux sections coniques quelconques s' entrecoupant sur un plan.

Soient (A) et (A') (^g^. 126), deux courbes quelconques du second degré ayant les quatre poinis M, M', L, L' en commun ; soient joints ces quatre points de toutes les manières possibles par des lignes droites, ce qui formera un quadrilatère 'complet avec ses deux diagonales; soient de plus, menées à ces deux lignes courbes, les quatre tangentes extérieures communes 00'',0"0',0'0'',0'^0, qu'on prolongera jusqu'à leurs rencontres respectives, ce qui formera un quadrilatère 00"0'0'* circonscrit aux mêmes courbes; supposons d'ailleurs que l'on complète ce quadrilatère en traçant ses deux diagonales simples 00', 0"0'^ prolongées indéfiniment. Cela posé, il arrivera :

i« Que les quatre diagonales 00', 0"0^ MM', LL' viendront se couper en un même point K, ;

(*) Ce résumé était précédé dans le maaniscrit, d'une Note marginale relative au problème de l'inscription à un quadrilatère plan quelconque d'un couple de coniques passant par un point également quelconque de ce plan : cette solution d'un problème aujourd'hui connu, a été supprimée dans l'impression, parce qu*elle rompait inutilement le fil des idéet» 11 en est de même d'une remarque isolée et sans démonstration, quoique fort importante, consistant en ce que « les quatre points de concours des côtés » opposés des quadrilatères simultanément inscrits ou circonscrits à deux » coniques situées sur un plan, forment sur leur droite ou direction com- 9 roune, quatre points de division harmonique. »

a84 V* CAHIER. - PROPRIETES DESCRIPTIVES

a" Que les points O't 0", K' et K de concours des côtés respectivement opposés dans chaque quadrilatère, seront tous les quatre situés sur une même droite O'K;

3' Que la diagonale 00' du quadrilatère circonscrit renfermera à la fois le point de croisement Ki des diagonales et Ift

Fie- tl6.

point K de concours des côtés opposés ML' et M'L du quadrilatère inscrit ML'M'L;

4° Que pareiliemenl, la seconde diagonale O"©" renfermant déjà comme la première, le point R, passeti encore par le point K' de concours des deux autres côtés opposés HL et M'L' du quadrilatère inscrit;

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. ^^ a85

5° Que, si l'on considère un côté quelconque ML du quadrilatère inscrit et que, d'un point arbitraire aJ de ce côté, on mène aux coniques quatre tangentes a'T, a!i\ a'/, a'T', dont deux relatives à la courbe ( A) el les deux autres à la courbe (A' ), ce qui donnera quatre points de contact T, V, t, T, les droites T'T et //'joignant respectivement, sur des coniques distinctes les points de contact T, T' extérieurs et les points de contact /, /', opposés ou intérieurs, passeront dans toutes leurs positions, par le même point 0 sommet du quadrilatère circonscrit, quand on fera varier a' sur la direction de ML ; tandis que les deux autres droites Ti'^Vt joignant les points de contact extérieurs-intérieurs T et f^ et les deux points T', / si^s de même, passeront, au contraire, dans toutes leurs positl par le point invariable 0' conjugué à 0;

6*> Que si, après avoir exécuté les constructions précédentes relatives toujours à la corde LM, on joignait inversement, les points de contact T et / appartenant à la conique (A), par une ligne droite T/, elle passerait dans toutes ses positions par le point de concours G des tangentes en L et M, centre polaire de LM situé sur la droite 00', tandis que Tautre droite T'/' joignant les points de contact T' et /' situés sur l'autre courbe{ A), passera dans toutes ses positions par le concours des tangentes en h et M à cette courbe ou centre polaire conjugué G', placé, comme le premier, sur la droite 00' d^fl^points de tangentes communes dont il s'agit; /

7° Qu'enfin, quelle que soit, des six droites composant le quadrilatère inscrit à deux diagonales, celle que l'on considère, elle jouira d'une manière analogue, de toutes les propriétés énoncées pour la droite ou corde commune ML que nous venons d'examiner en particulier.

Remarques concernant l'existence et la détermination des cordes et des tangentes communes au système de deux coniques situées sur un plan.

On voit par ce qui précède, que, quand deux courbes du deuxième degré décrites sur un plan se rencontreront, il sera possible d'en déterminer géométriquement et linéairement les tangentes communes» lesquelles ne pourront jamais excéder

a86 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DBSCBIE9IVBS

le nombre ito quatre : ce nombre étant précisément égal à celui des points d'intersection réels des deux courbes, excepté si elles sont entièrement extérieures l'une à l'autre.

Quand les mêmes courbes se toucheront en un ou deux points réels, les cordes relatives à ces points deviendront des ;|||tgentes communes qui ne cesseront pas, pour cela, de jouir àeS propriétés Gt-dessus, ainsi que leur point de concours, leur corde de contact, etc.

Si les ^^ux points M et L existaient seuls, la droite H'L', conjuguée à la corde commune LM, existerait encore ainsi que nous l'avons vu (p. 2^3); mais sans rencontrer ni l'une ni l'autre Cbnlque, elle jouirait cependant des mêmes propriétés quecidessus à l'égard des points 0 et 0', saurqu'on ne pourrait plus, dans ce cas, mener des tangeaMjMix courbes par le point CK nécessairement intérieur, etjMÉjifen conserverait pas moins toutes ses autres propriétés. ^^

Dans ce oiânie cas, les quatre autres points 0", 0", 0", 0' cessent naturellement d'exister.

Enfin, quand les deux coniques proposées n'ont aucun poiit d'intersection commune et sont néanmoins extérieures l'une

à l'autre, les six points de concours 0, 0', 0", 0", 0", 0' existent à la fois; mais il n'y a plus alors que les deux seules

DES DOUBLES œNIQUES SUR Uîf PLAN. 187

sécantes communes ML et M'L' conjuguées entre elles, qui subsistent quant à la direction indéfinie» sans d'ailleurs rencontrer les courbes, sécantes ou cordes fictives auxquelles correspondent les points de concours 0, O', également conjugués entre eux, des tangentes communes extérieure et intérieures.

On voit de plus, par la^g*. 127, que les points K, K' et K, existent tous les trois encore, et que les quatre droites ML, M'L', 0'*0* et CO'" concourent toujours en un même point K. Enfin on saisit la raison pour laquelle les deux autres cordes conjuguées communes LM' et L' M, des figures précédentes, deviennent alors entièrement impossibles, imaginaires. Car si elles existaient en même temps que les premières ML et M'L', elles les couperaient en quatre points déterminés et réels, qui devraient être situés sur Tune et l'autre courbe; ce qui est absurde ou tout au moins contradictoire {*),

RECHERCHES GÉOMÉTRIQUES ET ANALYTIQUES SUR LA PROJECTION CENTRALE D'uN SYSTÈME DE COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ, SUI- VANT UN SYSTÈME DE CERCLES.

J'ai déjà mentionné, au commencement de ce Cahier, un premier essai de démonstration analytique de la possibîTité de projeter, en général, le système de deux sections coniques données sur un plan, suivant un système pareil de deux circonférences de cercle, en promettant de donner par la suite une démonstration complète de cette proposilioo.; c'est ici le

(*) Le manuscrit ne dit rien des propriétés linéaires des quatre points réels 0', 0"', 0'', 0' de concours des tangentes communes, propriétés qui, bien que relatives k des lignes et points do construction devenus en partie imaginaires, impossibles géométriquement, n'en subsistent pas moins au point de vue algébrique ou analytique. Encore moins mentionnet-il le cas tout à fait spécial , le plus occulte de tous en quelque sorte, où les deux coniques sont entièrement intérieures Tune à l'autre et conservent néanmoins, comme le montre le cas particulier des cercles, plusieurs de ces propriétés sous une forme réelle et géométrique.

lieu de nous en occuper en nous fondant sur les lemmes de géométrie analytique précédemment démontrés (* ).

Exposé de la question et des conditions que doivent remplir le centre et le plan auxiliaires de projection, relativement au sjrstème des deux sections coniques.

Soient (A) et (k'),Jig. 128, les deux sections coniques de forme et de position arbitraires, données sur un plan; nommons 7 le centre de projection ou sommet commun des deux cônes

Fig. ia8.

qui doivent jouir de la propriété de pouvoir être coupés suivant deux cercles par un même plan de projection. Supposon» le problème résolu, et qu'on connaisse par conséquent, la position de ce sommet et la direction de ce plan; imaginons enfin que Ton mène à ce dernier, par le sommet 7, un plan qui lui soit parallèle ; ce plan viendra couper celui des courbes ( A ) et (A'), suivant une certaine droite, et je dis :

I® Qu'elle se confondra avec la corde kB (ici purement figurative) commune aux deux coniques;

2° Que le sommet commun 7 ou point projetant se trouvera situé sur une circonférence de cercle dont le carré du diamètre sera égal au carré de la corde h 9, pris avec un signe contraire;

3* Que cette circonférence, tout entière, sera située dans un plan vertical perpendiculaire sur la corde frô, en son mi-

(•) Ces lemmes ont été renvovés à la fin du IP Cahier sous les n** llf et IV.

ras DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. tidg

lieu Ct toujours constructible géométriquement^ et aura pour centre ce même point milieu C*

En effet, d'après le n** IV du II* Cahier, la trace sur le plan commun des coniques (A) et (A'), du plan mené par le sommet 7 parallèlement à celui qui coupe le cône de base (A) suivant un cercle, est telle que, si on la considère comme une corde de cette base (A),|et'que, par son milieu, on lui élève un plan perpendiculaire, ce plan passera par le sommet dont il s*agit. Pareille chose a lieu à Tégard de cette trace considérée comme corde de la coniquQ9£(A' ) ; et, comme par le sommet 7, on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à la droite ou trace dont il s'agit, il s'ensuit que le milieu de cette droite considérée comme corde de la courbe (A), et son milieu en la considérant comme corde de la conique (A'), se confondent en un seul et même point.

D'autre part, il a été démontré que, si l'on joint le point milieu C, avec le sommet 7 par une droite, rayon du cercle vertical, le carré du double de ce rayon pris avec le signe — est égal au carré de la partie de la trace interceptée dans la conique (A), et, par la même raison, égal au carré de la partie de cette même trace comprise dans la conique (A'), prise avec un signe contraire. Donc ces deux dernières parties sont égales entre elles; ce qui ne peut avoir lieu évidemment à moins que la trace dont il s'agit ne soit une corde commune à la fois aux deux courbes (A) et (A'). Premier point qu'il s'agissait de démontrer.

>&i second lieu, il résulte aussi des lemmes déjà cités du II* Cahier (n**» III et IV), que, en tant que le sonpfmet 7 des cônes projetants doit appartenir à la conique (A)fl:& la corde k^, I** il doit se trouver en un point quelconqucrîfe la circonférence du cercle dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de la corde kB, et dont le carré du diamètre est égal à celui de cette corde pris avec un signe contraire ; a° aussi que, dans chacune de ses positions, le plan parallèle à celui qui passe par 7 et par la corde /r9, coupe nécessairement et toujours le cône de projection dont 7 est le sommet, suivant une circonférence de cercle.

Pareille chose encore devant avoir lieu à l'égard de ce même 1. 19

^i9o y CAHIER. - PROPRIÉTÉS DBSCRiPTIVBS

point 7, en tant qu'il appartient comme sommet au cône de base (À')» il s'ensuit que, le cercle vertical relatif à la conique (A) et celui relatif à la conique (A') ayant même centre et même rayon, le commet 7 doit, dans le cas où l'on considère les deux courbes de base à la fois, être situé en un point quelconque de ce cercle commun, et que le plan, paral^lèle à celui qu'on mènerait par cette position de 7 et par la corde commune A'O, devra nécessairement rencontrer l'une et l'autre des surfaces coniques de bases (A) et (A') suivant le système de deux cercles. Second point quil s'agissait également de démontrer.

On remarquera que deux sections coniques quelconques se coupant en général suivant quatre points, ces courbes peuvent avoir, dans le même cas, six cordes communes. Donc la quantité angulaire qui déterminerait Tinclinaison de ces cordes par rapport aux axes coordonnés, doit avoir, en général aussi, six valeurs différentes; ce qui offre une analogie remarquable S(VQC les indications de l'équation ( 7 ), art. IV du II*" Cahier.

Interprétation géométrique de ces conditions et exemple d'application. — Puisque, d'après ce qui précède, le carré du diamètre du cercle vertical sur lequel le sommet 7 des cônes projetants doit être placé est égal à celui de la corde correspondante, pris avec un signe contraire, il s'ensuit qu'afln que ce cercle soit possible, la direction de la corde commune aux sections coniques données ne doit rencontrer ni l'une ni l'autre de ces courbes; mais qu'il faut néanmoins que cette direction ne cesse pas d'exister, quoique la corde elle-même soit de l'espèce de celles que nous avons nommées iniaginaireSf les distinguant ainsi des sécantes communes entièrement illusoires au point de vue géométrique.

Toutes ces notions, propositions ou définitions s'accordent, comme on voit, avec celles des n«* IV et suivants du IV*» Cahier, et l'on pourra s'en servir dans bien des circonstances, conjointement avec les précédentes, pour résoudre le problème de projection centrale dont il s*agit. En voici un exemple très-simple : - .

Nous avons vu aux n"* Il et III ci-dessus, que, quand deux coniques (A) et {\')fig, 17.9, décrites dans un plan commun, so

DES DOUBLES œNIQUÉS SUR UN WJiN. tigi

coupent en deux points, on peut déterminer graphiquement : la direction ML de la corde réelle OAr, commune- aux courbes; le point 0 de concours de leurs tangentes extérieures communes, ainsi que la direction de la magistrale IF ou corde imaginaire conjuguée à ML. Il ne s'agit donc plus que de trouver le

Fig. 129.

rayon et le cenlre C, du cercle vertical qui renferme le sommet 7. Or, tout étant alors connu relativement à IF et cela d*une manière graphique, on connaîtra aussi les valeurs de T ou <0 définies au n® IV du II*' Cahier, et Ton pourra, par suite, calculer les valeurs de K par la formule trouvée à la fin de ce numéro {*). Quant au centre C, il est facile à déterminer.

En effet, menez à la courbe (A) une tangente parallèle à IF; par le point de contact et par le centre A de cette courbe, tracez une ligne droite; elle coupera la corde répondant à IF au point C demandé. Si Ton exécutait une semblable construction à l'égard de la conique (A'), on obtiendrait évidemment le même point milieu ou centre C.

Quand les coniques (A) et (A') ne se couperont nulle part, mais seront extérieures Tune à Tautre, on pourra résoudre encore le problème ci-dessus, puisqu'il sera possible de construire, à vue, les tangentes communes aux deux courbes, qui donneront le point de concours O, et de là les cordes relatives Ji^^ML et IF. Dans ce cas, Tune ou l'autre de ces deux cordes résoudront le problème.

(*) On trouvera, dans la première partie du Vir Cahier, une construction purement géométrique du rayon dont il s'agit.

:i9B V* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Loi seule circonstance où ce même problème, quoiqu'il soit de sa nature susceptible de solution, ne saurait être construit graphiquement selon nos méthodes, est, comme on Ta déjà fait observer, celuix>ti les courbesv( A) et (A') seraient complètement renfermées l'une dans l'autre.

Démonstration analytique des mêmes conditions de projectibilité des courbes du second degré suivant des circonférences de cercles.

Toutes les propositions qui viennent d'être démontrées sur le système de deux courbes quelconques du second degré, en se servant, afin d'y parvenir, de celles déjà établies pour une seule conique et pour le cône correspondant , auraient pu l'être d'une manière bien plus directe et plus générale en n'employant que la seule analyse algébrique. Nousiious proposons d'exposer ici cette démonstration, non afin deil^ner à la première une plus grande certitude dont elle n'a pas besoin, mais pour indiquer la marche qu'on aurait pu suivre; cela nous fournira en même temps,1'occa'Sion de démontrer une propriété nouvelle et assez intéressante dont jouissent en général les courbes du second degré. Cependant, au lieu de considérer en général, le système de deux courbes de ce degré, nous admettons, afin de simplifier le calcul, que l'une de ces courbes soit une circonférence de cercle.

Équations de condition fondamentales, — Supposons en continuant nos précédentes conventions (II* Cahier, n" IV), que

(il) a^-|-cj;'-|-i =o,

représente toujours l'équation de la section conique, et

(12) afy^+a'x^-^-d'y-^-^x-^-i =0

celle du cercle dont il s'agit; soient encore a, p et7 les coordonnées du sommet commun aux deux cônes qui ont pour bases les courbes (i 1) et (12). Supposons enfin que 0 et 7 représentent les angles qui déterminent la position du nouveau plan des x* y^ comme dans la question de l'endroit cité, et qu'il s'agisse de déterminer les quantités angulaires 7 et 0» de

DES DOUBLES œNlQUES SUR UN PLAN. auji

façon que ce plan coupe l'une et Tautre des deux surikces coniques suivant un cercle.

Le plan des x^ y devant, en particulier, couper la surface conique qui a pour base la courbe (ii) suivant un cercle, on doit avoir aussi les équations de condition (5) et (6) qui s'y rapportent. Quant aux deux équations relatives à la seconde des surfaces coniques, il faut, pour les obtenir, falrea = a% ^ = a, c= a', rf = rf' et ^ = e' dans celles qui expriment les conditions relatives, en général, à la courbe du second degré

ety^-^ bxy -\- cx^-\- rf/-h ex -+• i := a;

ce qui donne les deux nouvelles relations qu'il faudra joindre

aux équations de condition (5) et (6]ls d'une part,

sinX a' p»-|- a a'-f. rf' p -|- e'a -h i ) -4- a'7' cos*<p sinOsinfCOS7(2a'p-|-^')7 — cosôsinçcosf(2a'a-|-e')7=a'7%

et, de l'autre,

— cosô sin y ( a a' p -I- J' )7 — .sin G sin y ( a/i' a + e' )7 = o.

Supprimant les facteurs inutiles de ces deux équations, savoir sin'f dans la première, 7 et sin^ dans la seconde, remplaçant ensuite cotf par x^t langO par*», comme nous l'avons déj^ fait à l'endroit précité, elles deviendront: la première,

* 7(art'pH-rf')xsinô — 7(2a'a-he')xcosd:=o;

la deuxième,

(i4) 2a'p-hrf'-f-(2a'a-f-e')» = o,

On a ainsi quatre équations de condition (5), (6), (i3), (i4) seulement, pour déterminer les cinq inconnues a, p, 7, % 6^^* 11 semblerait, jd'après cela, que les valeurs de chacune de ces inconnues pussent être arbitraires; mais cela n'est pas, comme nous allons le voir en cherchant à éliminer des quatre équations précédentes, les inconnues p, 7 et %.

Élimination des inconnues principales de ces équations. — On peut d'abord éliminer Vhtdélerminée % entre les équa-

lions (5) et (6), cette opération a déjà été exécutée et a donné

pour équalion finale (p. io3)

j c^a»»*-»- [c — rt -h ac{ p^— a' -h 7» j — C»(a'H- 7^)] w*

^;|— [c— a-hrtc(p-— a' — 7^)-+-aMp»4-7')]«'— a'^' = o.

On peut ensuite éliminer la même quantité x entre l'équation (6) et réquation (12); ce qui donnera, en supprimantle facteur commun 7,

atii

Chassant les dénominateurs de cetle équation, et ayant égard à l'équation (i4)» elle deviendra

On a, d'après cela, les trois équations (i4)» (7) et (i5)qui ne renferment plus x et remplacent les quatre premières trouvées d'abord.

Maintenant on peut facilement éliminer l'inconnue 7 entre ces nouvelles équations, puisque l'équation (i4} en est indépendante : on mettra dans l'équation (7 ) pour [a — 0)7* sa valeur tirée de Téquation (i5); ce qui donnera, réductions faites et sans ordonner,

[a' — c)[c — a) w 4- '-* (la'cp"^ w — 'm'c^ a' w — r'«'f 'fc> "| ~6-(f-«)(r/'p-he'a)a> J

11 ne reste plus désormais pour déterminer, sur le plan des deux coniques proposées, la direction commune aux plans de sections circulaires ou à leurs traces parallèles, qu'à éliminer p entre la précédente équation et l'équation (i4) ou

on obtiendra ainsi une équation finale qui, généralement en m cl a, servira à déterminer celte direction.

Substituant donc, dans Téquation écrite ci-dessus, pour p sa valeur, il viendra, après avoir ordonné et simplifié autant qu*il est possible,

L'inconnue a ayant disparu d*elle-nitMne de cette équation, il s'ensuit que la valeur de w est entièrement déterminée ; donc aussi il n'y a généralement que six positions de la trace du plan des x'y qui puissent résoudre la question.

Recherche du lieu géométrique des centres auxiliaires de projection, en nombre infini. — Supposons qu'on ait tiré l'une quelconque des valeurs de w de l'équation (16), et qu'on l'ait substituée dans les équations (i4) el (7) exprimant la relation qui doit exister entre w et les coordonnées inconnues a, p du centre ou sommet de cône projetant, on aura évidemment (» étant considérée comme constante), les équations de deux surfaces sur lesquelles ce sommet doit être situé.

En les ordonnant après y avoir remplacé les indéterminées a, p et 7 dont il s'agit, par les variables ou coordonnées générales x^y et -3, elles deviendront resperiivement,

» •^ 'xa ta

La première de ces équations fait voir que le sommet 7 appartient à une surface du deuxième degré, et la seconde {[u* il est en même temps, situé dans un plan vertical dont la trace, sur le plan des xy, est perpendiculaire à celle du plan des x'y qui contient les ^coniques à projeter.

Résultats et conséquences. — Oh voit déjà Tes conséquences

a96 V* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

générales que nous avons découvertes pour ainsi dire géométriquementy se reproduire ici avec les mêmes circonstances ; car réquation (17 ] de la surface du deuxième degré trouvée en dernier lieu, est la même que celle numérotée ( 9 ), tandis que réquation (18] représente un plan parallèle à celui qui correspond à l'équation (8).

Pe là aussi on peut conclure en général, d'après ce qui a été prouvé alors et qu'il est fort inutile de démontrer à nouveau ici, que le sommet du cône doit se trouver sur une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la trace horizontale du plan des x^j' sur celui de xy*

Recherche du plan parallèle aux sections circulaires communes^ passant par le sommet des cônes projetants, -^ Le plan des x^y ayant en général pour équation

z =tang7sin0 + tangfCOsG,

celle du plan qui lui serait mené parallèlement par le sommet'/ des deux cônes de projections circulaires» sera

z — 7 = — tangysinô(j — fj -h tang<pcose(a: — a),

et par conséquent, l'équation de la trace de C4$É9p(^ur celui des x;^ ou des coniques données, sera ellennêim^

X — a = tà{y—p) —

tangçcosd

Mettant dans cette équation, pour =Xf sa valeur tirée

^ langf

de réquation de condition (6), qui donne

gpcos^4-g«sinQ

^ 7(c — a)sinôcosô'

et remplaçant comme ci-dessus, tang 6 par », elle deviendift

PûB-f- Cùix (c— fl)smôcosG -^

g [(e — a) sin e cosO— ctù] — p [{c — a) sin6cos0«ft» + /yj "* " * (c — a)sinacosâ

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN P^N. 297

Or nous avons déjà trouvé que

(c — a)sinOcosô — c«i = — m (a + c*»' ) cos*» et que

[c — «)sinOcosô.» + « = (a 4-c»*) cos*0.

Donc, en substituant, on aura pour l'équation de la trace en question

(a-|-C«')(B + wa)

ar = «r-- ^ ; -^ -'

mettant encore dans cette équation pour p sa valeur

tirée de l'équation (14)9 elle deviendra flnalement

•^ " aa (c — a)»

Telle est l'équation de la trace sur le plan des xy du plan mené, ])ar le sommet des cônes projetants, parallèlement à celui des x'y.

Comparaison du résultat précédent ai^o ceux obtenus uu r^IF du Cahier IL— Si, pour comparer cette équation à celle ar=:w^-f-/r, qui concerne la question relative à une seule conique, nous posons

, __ (fl 4- gft>') (d'-\- e't^)

on en tirera

et par conséquent, l'équation (18) du plan qui renferme le sommet 7 prend la forme particulière

I (c — a)k » a-^rCt^

Cette équation, ainsi que x = t^^+Ar, étant absolument de la

298 V* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIFTiVE8

même forme que les équations (8) et a? = « r-4- A" de Tendroil , précUjéy on en tirerait exactement les mêmes conséquences. Mais, au lieu de suivre cette marche, faisons voir directement que l'équation (19) représente Tune quelconque des six cordes communes au cercle et à la courbe à projeter, et que si l'on met pourries six valeurs fournies par Téquation (16), .elle se changera dans l'équation même de chacune de ces cordes.

RECHERCHES ANALYTIQUES RELATIVES A LA DIRECTION DES CORDES COMMUNES AU SYSTÈME DE DEUX SECTIONS CONIQUES QUELCONQUES DONNÉES SUR UN PLAN.

Équations préliminaires. — Soient x' et y les coordonnés de Tun des quatre points communs aux deux courbes à projeter suivant des cercles; x" et >-" celles d'un autre quelconque de ces points;^ces coordonnées devant satisfaire sépa* renient aux équations de ces courbes, on aura

(r) ay^^cx^^^i^o, (d) /7'/'4-«V"4-^/y-l-<?V-hi=o.

Apipelons a», la tangente de l'angle que forme, avec l'axe des y-y la corde qui joint entre eux les points x' et x'\ on aura évidemment

Wi

ou x"— ^'=0), (/•— /).

Il s'agit maintenant, afin d'obtenir la valeur de &>i, d'éliminer x\ y, x"* et >•" entre les cinq équations précédentes. Pour cela, retranchant d'abord l'équation (6) de (rf), il viendra

mrilant ensuite pour x" — x' sa valeur», {y — y) et divisant par y — y, il viendra en second lieu.

équation qu'on peut mettre sous cette autre forme

a' (y — j') 4- a' w, (j;"— j:') -^ a tf'/H- 2 a'«, ar^H- rf' 4- e'» = o;

substituant de nouveau dans celte dernière équation, pour x" — x' sa valeur ci-dessus, on en tirera

Traitant de même les équations («) et (c), on en déduirait celte autre valeur

qui, égalée à la première, donnera Téquation suivante

EfTcctuant les calculs, il viendra finalement

(20) 2rt' (c — rt) ( wix'— wj j' ) — {d'-\- ^'w,) (a-f- cwj) = o;

de là on tire