a' [c — fl) w,:r' — (r/'-h ét'w,) (û-f- cwM

valeur qui, substituée d'abord dans l'équation (a), donnera

^iP[c — df^\[a-^ctù\)x*'' — 4 ^^«V- — ^) (^'' -h Éf' w, ) (rt H- c wî ) w, jr'

puis, substituée également dans l'équation {b) les quantités j/ et w, restant seules indéterminées.

3oo y CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Équation qui donne l'inclinaison des cordes communes sur les axes coordonnés. — Il ne s'agit plus maintenant que d'éliminer x* entre ces dernièies équations, afin d'obtenir Té* quation finale en &>,.

Pour cela faire, je multiplie la première par a!(i + tù\)^l\9L seconde par:cr + c»î, puis retranchant la deuxième de la première, le terme en x'^ disparaîtra du résultat aussi bien que celui en jr^On^rrive ainsi sans autres calculs,à l'équation qu'il s'agissait d'obtenir :

a«'(r/'-h/?'«,)'(tf4-c«;)'(l-+-«î') -+-4«''(c-«r«:(i-f-«î)-«(«^'H-^X)'(«-l-^"î)'(«H-^«îf

En simplifiant, elle devient

Développant et ordonnant par rapport à »,, on pbtient définitivement l'équation

c»e'»«; — [(a'— c) (c— a) ^a'-hc'd''— iace'']fà\ — [4a'(a'— a)(c — «)-H2acrf'»— û»e'^]«î — a'rf'' = o,

pour calculer la valeur de cette tangenle trigonométrique qui sert à déterminer l'inclinaison, sur l'axe des j, de la corde qui joint entre eux les points x' et x^ communs aux deux courbes.

Identité de cette équation avec celle numérotée {7) ; équa-tion des cordes communes. — Si l'on compare cette équation avec l'équation {7) de l'art. IV du Cahier II, qui donne la valeur de l'inconnue », on voit qu'elle lui devient identique quand on en divise tous les fermes par le facteur 4^; (io^c ces équations donnent les mêmes valeurs pour 6>i et pour m^ on a donc o),=6>, et l'équation d'une corde réelle ou imaginaire, à la fois commune aux deux courbes dont il s'agit, est bien de la forme j; = »/+ L.

Mais, puisque cette corde est supposée passer par le point x'y^ on doit avoir aussi la relation j:'=«,/'-|-L. En la combinant donc avec l'équation de condition (20), trouvée dans le

DES DOUBLES CONIQUES SUR ON FLAN. 3oi

cours du calcul, y disparaîtra, et l'on aura pour déterminer l'expression algébrique de L, la relation

qui donne très-simplement

(d»-|-e'«,)(a-|-c«î) iia!{c — a)»i

où remplaçant «i par la quantité *> qui lui est égale, on aura

(rf'-f-^'o))(a-4-cw*)

On voit par cette valeur i^ l'indéterminée L est égale à l'expression même de k trouvée ci-dessus. Donc l'équation de l'une quelconque des six cordes communes à nos deux courbes est précisément

x = tàjr+k.

Donc enfin, «tc/ci sommet^ y commun aux deux cônes de pro* jection qui ont pour bases respectives les courbes représentées parles équations (ii) et (12) des etîdroits cités ^ on mène un plan parallèle à celui des x* y MUMpofi/ l^s sections cir~ culaires communes aux deux cômUf^r ^ trace de ce plan sur celui des courbes de base sera nécessairement une corde appartenant à la fois à ces courbes ( * j.

Ainsi l'analyse algébrique nous a conduits, quoique par

(*) Le principe de projection centrale qui vient d*ètre doublement démontré, est le cinquième et dernier de ceux que contiennent les cahiers manuscrits de Saratoff. J'en avais, dèsi8i 4, pressenti la portée comme germe fécond d'une vaste théorie relative à la transformation et à la démonstration des propriétés des figures dans l'espace ou dans un plan; théorie qui a été, de ma part, l'objet d'un Mémoire spécial sur les Propriétés projectivesy présenté en mai iStio à l'Institut de France, et qu'on trouvera reproduit textuellement dans le t. II de ces Applications d^ Analyse et île Géométrie, Je crois pouvoir le déclarer ici sans crainte d'être taxé d'orgueil ou de présomption, la démonstration que j'avais trouvée, en 181 3, de ce même principe, après les essais infructueux mentionnés dans une précédente Note, a été pour moi un adoucissement véritable, sinon une

3oa V CAHIER. - PROPRIÉl'ÉS DESCRIPTIVES

un chemin. fort différent, aux mêmes conséquences auxquelles nous étions parvenus dans l'article précédent. On voit aussi combien il est souvent utile d'éviter les longueurs de calcul, du moins si Ton en juge d'après ceux qui ont été développés en dernier lieu, et que nous avions évités d'abord. C'eût été bien pis encore, si nous eussions traité la question dans toute la généralité qu'elle comporle.

Quoi qu'il en soit, voici une conséquence assez remarquable de ces mêmes calculs, qui se déduit sur-le-champ, des résultats analytiques précédemment obtenus.

Corollaire spécial relatif à l'intersection mutuelle d'une section conique et d'un cercle tracés sur un plan.

Puisque l'équation (i6) donne pour racines les valeurs de la tangente numérique «> des angles d'inclinaison, formés par les cordes communes au cercle et à la section conique donnée, avec l'axe^j des coordonnées dont la direction est la" mêïn^;; que celle des axes principaux de cette dernière courbé}* comme, d'autre part, cette équation ne renferme &> qu'à des puissances paires, il s'ensuit évidemment que si une certaine de ces cordes (ait un angle 0 avec l'axe des ^, il en existe une autre qgi lii^Mtconjuguée et qui, faisant un angle de 9.00^ — 9, est nécessalreniimt située d'une manière symétrique à l'égard de ce même axe et de la première corde. D'après cela(C) et(A),^g^. i3o, étant, par exemple, un cercle et une courbe quelconques du second degré, s'entrecoupant aux

compensation entière, aux peines physiques et morales de la captivité. Car je croyais, par là, avoir ouvert une nouvelle carrière de progrès à la géométrie pure ou rationnelle, jusque-là restreinte aux simples questions du second degré.

On me permettra encore «le rappeler que ces principes de projection centrale constituent autant de théorèmes généraux sur les systèmes die Ciônes de même sommet, à sections circulaires cx)mmunes ; que ces théorèmes ont été, depuis 1827, roccasion de recherches géométriques intéressantes sur les cônes /mmocjrcUques ; qu enfin ces mêmes principes révèlent, sans discussion, sur les systèmes de lignes du second degré, une infinité de conséquences générales ou particulières, aujourd'hui bien connues des géomètres, quoique sous des noms et dos aspects divers.

. DBS iX)UBLES GONIQUES SUR UN PLAN. 3o3

quatre points distincts a, b, c^ d^ il est clair que les deux cordes ac et bd notamment, qui se rencontrent au point 0, intérieurement et ailleurs que sur les courbes, sont, Tune à Tégard de Tautre, dans les conditions dont il s'agit. Par conséquent, si

Voï\ divise Tangle aOb qu'elles forment en deux parties égales par la droite Op, celte droite sera parallèle à Tun des axes principaux de la conique (A), et de même, si Ton divise le supplément 60c de cet angle, en deux parties égales, par la ligne droite indéfinie 0/?', celle droite sera parallèle à Taulre de ces deux axes rectangulaires.

On voit, par là, qu'une courbe du second degré (A) étant tracée, il est très-facile de déterminer graphiquement et d'une infinité de manières différentes, des directions ou droites parallèles à ses axes principaux.

Si d'ailleurs, au lieu des cordes ac et bd,oi\ eut considéré les couples de corties conjuguées ab et cd ou ad et bc prolongées jusqu'à leurs points de concours respectifs O' cl 0", on eùl précisément obtenu le même résultat quanta la direclion indéfinie des deux axes principaux, etc.

Remarques à ce sujet, — La propriété précédenie est l'extension de celle qu'on démontre dans les élcmenis de géométrie analyli(îue . Soit C {Jig. i3i), le centre d'une courbe du second degré, AB un diamètre quelconque de celle courbe; si l'on décrit sur sa longueur comme diamètre, une circonférence de cercle qui la coupe aux points X et Y, les cordes AX et BX seront respeclivement parallèles aux deux axes rectangulaires de la courbe. Il est visible, en effet, que ces axes

3o4 V* CAIDBR. — PROPRIËltS MSCRIPTIVBS

divisent en parties égales les angles formés par tes diagonales AB et XY du rectangle AXBY, etc.

On peut se demander ce qui arrive dans le cas général où #on considài^ deux sections coniques quelconques s'entrecou*

(Il yt

pant aux quatre points réels. En suivant la marche analytique précédente» on obtiendrait, en o», une équation générale, toujours possible, du sixième degré; ainsi on n'en saurait conclure qi^e le théorème ci-dessus subsiste d'une manière identique«"^â|iendant le système de deux sections coniques jouit d'une propriété analogue, non à l'égard des axes rectangulaires de ces courbes, mais relativement à un système particulier de diamètres conjugués {voir une Note à la fln du volume).

Recherche analytique relative aux inclinaisons mutuelles des cordes communes et des diamètres conjuguas parailèles de deux coniques quelconques^

Équations et données préliminaires, — Soient deux courbes quelconques du second degré ; il n'est pas diffîcile de démontrer qu'il existe dans l'une et dans l'autre, un svgtème de diamètres conjugués dont les directions sont respectivement pamllèles. Ce système est même susceptible d'être construit d'une manière entièrement géométrique {*).

Nommons (C) et (C) les deux sections coniques dont il s'agit (**); CA et CE le système des demi-diamètres conjugués de

(*) C'est-à-dire par le cercle et la ligne droite seuls. (**] Pour simplifier, on a supprimé à l'impression, deux figures trèssimples et très-faciles à suppléer.

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 3o5

la courbe (C), censés parallèles et avoir pour direction celle des demi-diamètres conjugués C'A' et CE' de la courbe (C). Supposons que Ton rapporte Tune et l'autre de ces coniques, aux directions CA et CE comme axes obliques des y et des Xy leurs équations seront respectivement de cette forme

«j*-f- cx^ -f- I = o, n' y^-\- c' x^ H- d*y H- ef^f -f- 1 = o.

Nommons w le rapport des sinus des angles que forme Tune des cordes communes aux deux courbes (C) et (C), avec les axes de coordonnées respectifs Cj et Cj:; appelons en outre, x' et y les coordonnées de l'un des points d'intersection de ces courbes, par lequel passe la corde en question, et j;",/" celles de l'autre point par lequel passe cette même corde, on aura la relation bien connue

et de plus, les équations de condition

ay^ -\- ex"" -M = o, a' /' -f- c' ^'^ -h rf' / 4- e' ^' -M = o, af^^ cx^^-h I = o, a' y -h c' x"'-h rf'/'H- e'x" + i =o.

Ces cinq équations en donneront une dernière, mais seule de son espèce, pour déterminer «, si l'on élimine x', y, x" y etc. entre elles.

Équation finale donnant le système des inclinaisons cherchéesy — En s'y prenant, pour effectuer cette élimination, comnie nous l'avons fait dans les recherches analytiques précédentes à l'égard des équations (a), (6), etc., qui sont absolument de la même forme, on arrivera sans difficulté à l'équation finale du sixième degré

(a-f-cw»)'(rf"— e"w')— 4(a — a')(a'c — rtc')w^

— 4 (^ — c'){a'c — ûc') «•=o,

mais réductible encore à une du troisième.

La quantité angulaire w n'entrant qu'à la seconde puissance dans cette équation, on en conclut que, si l'on considère deux cordes communes aux courbes en question, accouplées ou

3oG V CAHIER. - PR(yPRlÉTÊS DESCRIPTIVES

qui soient conjuguées entre elles, le rapport des sinus des angles que l'une de ces cordes forme avec les axes obliques des X et des r» sera égal au rapport semblable qui correspond à Tautre de ces mêmes cordes.

Solution gmmhique, — Nous avons déjà fait observer précédemment quefws cordes indépendantes, communes au système de deux coniques sur un plan [Jig. i3?), comme mo et /n, !p et opy par exemple, sont conjuguées entre elles. Quand les courbes (C) et (C) sont décrites et s'entrecoupent en quatre points distincts, ces cordes peuvent être tracées effectivement, et il y a lieu de rechercher géométriquement la direction commune aux axes conjugués parallèles dans ces courbes.

Par un point fixe quelconque i [fig. i33), qu'on mène des parallèles aux quatre cordes en question, à savoir: ii à /;/,

Plg i3a.

12 a nly { 3 à mo, 1 4 à po. Soit ix la parallèle à l'axe des x cherchée, et (1.4) une parallèle quelconque à Taxe oblique des y^ coupant les précédentes en 1, 2, 3, 4 respectivement, il est aisé de voir que la distance marquée (1.2) doit être égale à celle de (3.4). La question revient donc à mener par un point arbitraire (4), une droite telle que (3.4) = (ï-^).

Soient ici i l'origine des coordonnées, i4 ^^^^ des x ; posons (iif)= ar', et admettons de plus, que j = at soit l'équation de (i3), j = 6^ celle de (12), yz=:cx de (ii) et x = aL [x -— x') celle de la doite cherchée (4'i)» En mettant pour (i.i), (1.2), (i.3) et (f .4). leurs valeurs en a dans l'équation évidente

sin m . (1. 1 ) . (/.2) = sin 71 . (î.3) (i.4)»

qui exprime que le iriangle 1.1.2 = /.3.4, on aura, toutes rt^-

ciuctions et simplifications faites, l'équation remarquable

qui donnera pour a la double valeur

nb±^ab{a — c)(b — c)

l'angle d'inclinaison a étant ainsi connu, celui de {i,r') lésera aussi, et l'on peut voir que la double valeur de a correspondra à l'une ei à l'autre des directions cherchées de(i.4)» etc (*).

(*) Dans mes papiers rapportés de Russie on septembre 1814, je n'ai rien trouvé qui complète la solution géométrique de cette question relative à la détermination des diamètres conjugués parallèles du système de deux coniques sur un plan , quoique je m'en sois occupé dès lors très-certainement. Mais, peu de temps après mon retour en France, j'en ai fait Pobjet d'une Note de géométrie analjrtiquey que je renv(|^ à la fin de ce volume, à cause de son étendue et de sa connexion fiiti me avec les matières traitées dans le cours de ce V Cahier.

Pour comprendre l'intérêt que, dès 181 3 ou 1814, j'attachais à de semblables questions, il suffit de considérer le cas particulier où les coniques proposées ont un centre commun oix viennent nécessairement se couper deux cordes communes diamétrales; centre qui est pour chaque conique, le pôle de la droite à l'infini de leur plan, renfermant les points de concours respectifs des deux autres couples de cordes communes parallèles, et des diamètres conjugués alors coïncidents chacun à chacun. Or les points de concours triples dont il s'agit sont, à leur tour, les pôles respectifs de ces mêmes diamètres confondus en direction avec les diagonales du parallélogramme circonscrit à la fois aux deux courbes, etc. ; par quoi on reconnaît les propositions générales des n"* II et suivants du présent Cahier, pour le cas particulier oil la droite des points de concours K, K', 0'*, 0', C, C* [Jîg. 125), passe entièrement à l'infini sur le plan des deux coniques considérées dans une situation quelconque.