VU* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

trouve démontrée dans la plupart des Éléments d'Analyse appliquée à la Géométrie.

Soit (c), fig, 167, la base circulaire d'un cône oblique, s le sommet du cône, sp la perpendiculaire abaissée de ce sommet sur le plan de base. Par le centre du cercle (c) et par le pied p de la perpendiculaire sp^ soit menée une diamétrale ab ou

Fig. 157.

droite indéfinie MN regardée ici comme ligne de terre; la base du cône étant prise pour plan horizontal de projection, le plan élevé perpendiculairement sur cette base par la trace MN sera le plan vertical de projection qui passent^videmmenl par le sommet s; ce plan coupera la surface conique suivant les deux arêtes extrêmes sa et sb. Cela posé, je dis que la section sous-contraire à la section (c) est un plan perpendiculaire au plan vertical sab de projection, dont la trace nin sur ce plan fait, avec Tarete 56, Tangle smn égal à Tangle sab.

En eHet, pour qu'un pian tel que celui qui a mn et od pour traces sur les deux plans de projection, coupe la surface conique suivant une circonférence de cercle, il faut que l'ordonnée ody qui appartient à la fois à cette section et à la base (c), soit une moyenne proportionnelle entre les segments no et mo du diamètre mn de celte même section, en sorte qu'on doit avoir

do = noX, om ;

mais l'ordonnée oJ appartenant aussi au cercle (c), on a on même temps,

do =ao 'X ob;

donc, pour que la section mn soil circulaire, il faut que

no X om =aoX, oh^ ou bien

mo : ob :: ao : «o;

donc enfin, les deux triangles aon et bmoy ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels, sont semblables, et par conséquent Tangle smriy supplément de omb, doit être égal à l'angle sab, supplément de oan»

Toutes les sections parallèles à mn étant des cercles, les centres de ces cercles seront situes sur une ligne droite passant par le sommet 5, ceux des sections parallèles au cercle (c) seront également situés sur une droite passant par le sommet s : ces deux droites ne sont pas les mêmes, elles ne se confond( nt que quand le cône est droit.

Tout ce que nous venons de dire est indispensable pour bien entendre la démonstration suivante.

Soit toujours m/i (^g^. i58), une section sous-contraire au cercle (c) dans la surface conique sab\ par le sommet s soit mené un plan parallèle à cette section, il aura évidemment pour trace sur le plan vertical sab de projection, la droite sk parallèle

Fig. i58.

xm

iM T^ ;. ' a]

à mriy cl sur le plan horizontal une droite kh parallèle à od et par conséquent perpendiculaire à MN ; soit, de plus menée, par Textrémilé a du diamètre «6, la parallèle aq à mn. Gela posé, les triangles abq kH kbs étant semblables, on aura la proportion

(tq : sk : : nb : kb ;

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pareillement, aq éiant parallèle à mn, le triangle saq se trouve être semblable au triangle sab^ et par conséquent on aura encore la proportion suivante

saïaq :: sb: ab.

Maintenant, si Ton observe que Tangle ask est égal à l'angle snm comme alternes-internes, et par conséquent égal aussi à langle abs^ on en conclura que les triangles sak et sab qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles skXas et ab X bs des côtés qui comprennent ces angles. Mais ces triangles ayant même hauteur au-dessus de leurs bases ak et ab, on en conclura aussi qu'ils sont entre eux comme ces bases; donc, à cause du rapport commun, il en résultera celle nouvelle proportion,

ab X bs : sff 'Xas:: ab: ak, ou bien

bs :skXas::i: ak.

En multipliant par ordre les trois proportions que nous venons de trouver, et supprimant ensuite les facteurs qui se détruisent, il viendra le résultat suivant,