I :-::«^X kîikbiki — ka

OU, ce qui revient au même,

-abx ki = kb X ki — /* X ka.

Mettant dans cette équîition pour kb sa valeur kc-h-ab, on

en tirera kcx ki = ka X kb; d'où Ton peut conclure d'abord, que la distance A/est constante; ensuite, si Ton observe que,

d'après la figure, kb X ka = kt , ce qui donne kt = kc X ki^ on conclura, en second lieu, que le point i se confond avec le pied de Tordonnée abaissée du point de contact / de la tangente kl, sur le diamètre ab; car, en appelant ce dernier point r, le triangle rectangle ktc donnerait précisément

kt = kc X /i /'= kb X ka .

Revenons à Tobjet de cet article, dont je me suis écarté un instant.

Puisqu'il existe une infinité de points projetants s et, par suite, une infinité de plans nui de projection, qui remplissent la condition exigée, il s'ensuit qu'on pourrait assujettir ce point ou ce plan à une nouvelle condition, pourvu qu'elle fût compatible avec les premières.

D'autre part, la vérité du Principe qui vient d'être démontré n'étant relative qu'à une cerlaino disposition gêné-

raie de la droile donnée PL el du cercle de base (c), il en résulle qu'elle n'a pas une existence absolue. En effel, il est visible que la détermination précédente du point projetant s et du plan de projection mn, ne sera possible que quand la droite PL ne rencontrera pas le cercle (c); car, dans le cas contraire, le point k se trouvant dans l'intérieur de ce cercle, il serait impossible de mener à celui-ci une tangente par ce point même.

Cependant la projection 1 du centre du cercle cliercbé n'a pas cessé d'exister, quoique ce cercle ou son rayon soit devenu imaginaire. La raison en est que le point i est lié au point /r par une propriété générale de position, comme nous l'avons prouvé ci-dessus; or cette propriété îiyant été démontrée pour le cas où la droite PL ne rencontre pas le cercle, elle doit être vraie aussi (n^ IT) quand cette droite rencontre le même cercle.

Le Principe IV* que je viens de démontrer élémentairement peut être considéré connue» un cas particulier du suivant; j'ai préféré l'énoncer séparément, parce qu'il est, comme on le voit, susceptible d'être éiabli d'une manière assez simple par le secours seul de la géométrie, et qu'il peut d'ailleurs le remplacer dans tous les cas, à l'aide de ce raisonnement.

Soient sur un plan, une section conique et une ligne droite; il est évident, d'après le IIP Principe, que ce système peut être considéré connne la projection d'un autre formé d'une ligne droite et d'un cercle dont les propriétés de position seront applicables au i)remicr. Lors donc qu'on voudra rechercher les propriétés d(» ce premier système, on pourra ne s'occuper que du dernier ; ce que l'on fera en le simplifiant encadre au moyen du IV*' Principe. Ainsi la première figure peut être inimédiutement remplacée par un cercle et une droite située à l'infini, de sorte que tout système de lignes droites concourant en un point de la droite en question sur la première figure, devra être considéré comme un système do droites parallèles dans la nouvelle.

^•' Princii'e. — Tne conique et une droile étant données sur un plan, on peut généralement les considérer, la première comme la projection d'un cercle et la seconde comme celle

3» Vif ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

d'une droite sîluée à Kinfinl, de sorte que tout système de lignes droites ayant un même point de concours sur la droite de la première figure, peut être considéré comme un système de parallèles dans la projection de cette figure.

Ce principe sera entièrement démontré par l'analyse, et comme nous aurpns lieu de nous servir des formules générales de la transformation des coordonnées rectangles dans l'espace, il est à propos de commencer par faire la recherche de ces formules, par une voie que nous rendrons aussi courte que possible.

Soient \Xy Ky et A 2 [Jig. 160) les axes primitifs des coordonnées; kx'y Ky' et Kz' les nouveaux axes rectangulaires; enfin AB la trace du plan des xy sur le plan des xj-'y il est évident que la position de ces derniers axes sera déterminée

Fig. 160.

si Ton connaît : 1® l'angle BA7=6 que forme la trace AB avec l'axe ky\ 2» l'angle ^ que forment entre eux les plans x^y' et xjr; 3® enfin l'angle BAj^'=>J> que forme la même trace AB avec l'axe A/'. Les trois données G, f et >j/ étant nécessaires et suffisantes pour déterminer la position relative des axes x'y y' ejl z', il s'agit de déterminer, par leur moyen, les valeurs des coordonnées anciennes ^, j et -s d'un point quelconque m de l'espace, fixe avec kx, A r, A z, en fonction des nouvelles coordonnées x'y y' et z'.

DES CAHIEKS PRÉCÉDENTS. 389

Voici comment on peul s'y prendre pour y parvenir avec quelque simplicité.

Supposons d*abord qu'on laisse Taxe des z flxe, et qu'on fasse tourner seulement autour de cet axe, les plans des coordonnées jz et xZy de manière que Taxe des 7 fasse un angle 0 avec ky et se confonde par conséquent avec AB; il est évident que les nouvelles ordonnées z conserveront leur ancienne longueur, et que les ordonnées x et j auront seules changé de valeurs. Soient donc x'*y y" et z" ces nouvelles coordonnées, il résultera, des théorèmes connus, ces trois formules

j = cos ^y^" — sin Bx", x = sin 0 j" -h cos 0 x", z = 2",

qui donneront les valeurs des coordonnées x, j, z du point quelconque m au moyen des coordonnées x'^, j" et 3" de ce même point rapporté aux nouveaux axes.

Les axes x, y et z étant changés en ceux des x", r" et z", supposons de nouveau que, laissant Taxe A 7" ou AB fixe dans le second système, on fasse tourner tes plans des x'y^ et des X^z*" autour de cet axe ou, si Ton veut, les axes x'' et y", de façon que le nouveau plan x^'y'" se confonde avec le plan des x'y' déterminé précédemment, et par conséquent que ce plan fasse un angle «p avec le plan x'y\ Alors il est évident que le nouvel axe des x'" formera le même angle y avec Taxe des ^r", de sorte que l'ordonnée j"' du point m rapporté aux nouveaux axes, restant égale à l'ancienne ordonnée j", on aura pour déterminer les valeurs des coordonnées x'^ y" et z" de ce point m resté immobile, les formules suivantes

x"=i cos ^x"' — sin ^ 2"', y"z=y\ 2''= sin ^^r^'-f- cos fs^z^ ,

11 est très-clair, d'après ce qui précède, que les axes Aa;*', ky'" et A 2'" ont une position telle, que l'axe A 2'" se confond avec l'axe A2' dont il a été question d'abord, que l'axe ky'" se trouve confondu avec la trace AB, et qu'enfin l'axe kx'" 'A une position perpendiculaire à cette trace dans le plan des x'y' .

En conséquence, il sera bien facile de passer des axes j;"\ y"' et z'" aux axes x\ y' et 2' du système que nous avions

39a VII- ET DERNIER CAHIER. — RÉSUMÉ

ou, en ordonnant par rapport aux variables z, y et Xy

Imaginons maintenant une section circulaire dans la surface conique, il est évident que tout plan qui lui sera parallèle coupera aussi la surface suivant un cercle; donc on peut assujettir le plan de la section circulaire cherchée à passer par l'origine des coordonnées, sans que la généralité de la solution en soit diminuée. Imaginons, en outre, que Ton prenne ce plan inconnu pour nouveau plan des x^y^ et qu'on rapporte la surface conique aux nouvelles coordonnéa(^\ y' el z\ en conservant toutefois la même origine. Si Ton se sert dans ce but, des formules (i) trouvées ci-dessus, on aura pour la surface du cône une nouvelle équation en ar', y' et z', de sorte que pour avoir celle de son intersection avec le plan des j/j', il suffira d'y faire z' = o.

D'après cela, il est évident que l'on obtiendra immédiatement cette dernière équation, en substituant dans l'équation (2) les valeurs (i) des coordonnées :c, / et z où l'on aura supposé z'=o; mais rien n'empêche d'y supposer en même temps ip = o, et les formules (i) deviennent alors

X = cos ô cos (^x' -H sin 9 j',

/= — sinÔros<j>;c'-i-cosô^-', z = sin^^'.

Substituant ces valeurs dans l'équation (2), il viendra, après avoir ordonné par rapport à x' et j',

[shi^^ (fl^'-h ^xp -h cu^-\-d^ -h 6'a -f- 1) -f- ^/'/'sin^Ocos'^" -h rv'cos^O cos^7 -\- sinO sin© cos^ ( ir/p -h/y a -f-r/jy — cosô sin^ cos<y ( -2 r a -f ^ p 4- 6?) 7 — by^coaO sinO cos'îp -h j" (^/'/'cos^ 0 4- 67' sin'O -h /^v'sin 9 cos^ y

r 2(c — a)y^s\n^cosOcosv — cosQs\n9('irS-\-boi-\'(l)y~]

Telle est l'équation de la section du cône par le plan arbitraire des x^y. Maintenant si l'on veut déterminer les deux

arbitraires <p et 0 qui fixent la position de ce plan, de manière que réquation précédente représente un cercle, il faut évidemment qu'elles satisfassent aux deux équations suivantes :

sin*9(flP»-hiap-4-ea»-hrfpH--ea-f-i)H-a7*sin*ôcos*^ -h C7'cos'ôcos*(p -h sin Osin <pcos<p [zap -f- 6a -f-rfjv

— cosôsin|)COSy(2ea-f-6p-he)7 — fry^cosôsinôcos'ç = a7^cos*ô -H cy'sin^ô-l- 67'sinôcosô,

2(c — a)7sinôcos0cosy — cosôsinç(2ap-h6aH-rf)

— sin ô sinç (2 ca -f- 6 p -h e) -f- 67 cos (p(cos' ô — sin'ô) = o.

Ces équations étant en même nombre que les inconnues f et 0, elles pourront servir à en déterminer les valeurs par Télimination/

Supposons, pour simplifier, que la base du cône située dans le plan des xjr, soit rapportée à son centre et à ses axes; alors son équation deviendra de la forme ûj*-h cx*-h 1 = 0, et par conséquent les coefficients b, d ci e devront être nuls dans les deux équations de condition précédentes, qui prendront ainsi la forme plus simple,

!sin*y(rtP*-hca'-4-i)-4-a7*sin'ôcos*<p-hc*7'cos*ôcos'y -+-2ap7sinôsinfC0Sy — 2ea7C0sôsinçC0S(p = a7'cos*6-f- C7*sin*ô,

(4) 7(^ — a)sin0cosOcos(î) — «psin<pcos0 — casinOsiny = o. Représentant tango par « et cot(p par x> on aura évidemment

siny= » cos<p= 1

sinQr=— COSÔ =

et substituant les valeurs de sin<p et cosy dans les équations précédentes (3) et (4), elles deviennent

«p'-l- ca»-h I — y^{a cos' 0 -\- 6'sin' 0)

7'(c- — ^'Of^os^O — sin*O)x'-H27(f/psin0 — cacosO)x = o,

y{c — rt)sinOcos0x — apcos0 — rasinO = 0.