VII* ET DERNIER CAHIER. ~ RÉSUMÉ

On tire do la dernière de ces équations

«BcosO-H cxsiuQ

7(c — cf)sinôcosO

Substituant cette valeur de x dans la première et remplaçant ensuite sinô et cosô par leurs valeurs ci-dessus, elle prend cette autre forme

rt P'-h C'a' -H I — C7» — 7' (a — c)

chassant enfin les dénominateurs de cette dernière équation

H- ( I — w*) (rt p -4- Caw)'-4- 2(ap« — ca) (a^ -h Caw) (« -h «*) = o, effectuant les calculs, il viendra, toutes réductions faites,.

Cette équation étant du 6® degré en w, il semblerait qu'il > eût en général six positions du plan x^y pour lesquelles la surface conique serait coupée suivant une circonférence de cercle; on voit, en outre, que trois de ces positions sont symétriques aux trois autres; mais si l'on observe que les ordonnées a, p et 7 du sommet du cône n'entrent qu'au carré dans l'équation précédente, on verra facilement qu'il n'y a que trois des valeurs de ô données par celte équation qui correspondent à la position actuelle du sommet du cône.

En effet, supposons ce sommet placé symétriquement par rapport au plan des yz, c'est-à-dire que a soit négatif; il est clair qu'alors le plan des x'y' qui donnait une section circulaire dans le premier cône, aura pris une position symétrique par rapport au plan des yz comme l'a fait le cône lui-même, en sorte que sa trace sur le plan arj, qui faisait un angle 9 dans la première position avec l'axe des j, fait maintenant un angle — 0 avec ce même axe. Or l'équation (5) restant la même, (jue a soit positif ou négatif, il est évident qu'elle doit donner en même temps, les valeurs de tango et — langô, ou -{-«et

— w; ce qui arrive en effet, puisque langO ou w n'entre qu'à des puissances paires dans celte équation.

Maintenant si l'on observe que le sommet du cône peut avoir huit positions symétriques par rapport aux trois plans coordonnés, et correspondantes à chacune des huit régions formées par les axes, ainsi qu'aux huit combinaisons de signes dont peuvent être affectées les ordonnées a. p, «, 7. Observant, de plus, que, pour ces huit positions, la trace du plan des x^y ne prend absolument que des positions parallèles aux deux premières 0 et — B précédemment considérées, (ce dont on se rendrait raison par des figures), on pourra en conclure que, s'il n'existait qu'une position possible delà trace du plan de.s x^y pour le cas où a, p et 7 sont positifs, il n'y en aurait que deux pour les huit positions symétriques du cône en question. Par conséquent, l'équation (5) qui doit donner à la fois les valeurs de ô correspondantes à ces huit positions (puisqu'elle reste la même quels que soient les signes de a, p et 7), ne devrait être nécessairement (dans la supposition actuelle) que du second degré et symétrique en 9. Donc, puisque celte équation est au contraire du sixième degré et qu'elle est symétrique, il faut qu'il y ait nécessairement, pour une position donnée du sommet a, trois systèmes de plans des ^'>', différents entre eux et qui coupent la surface conique correspondante suivant une circonférence de cercle.

Concluons enfin de ce raisonnement, qu'il n'y a que trois racines de ré(|ualion (5) qui résolvent la question dont il s'agit, ou plutôt qu'il n'y a que trois positions distinctes du plan des x'y qui puissent donner pour intersection, une courbe dont l'équation soit de la forme

\y^'-h \x''-^ Br'-h Cx' 4- D = o.

Sur quoi il faut remar(|uer que cette équation n'est pas nécessairement celle d'un cercle; car elle pourrait prendre cette forme plus particulière encore,

(wr'-h /ïj'-H(/wjr'-l- />f = o,

auquel cas elle ne représenterait qu'un point.

Pour en offrir un exemple particulier, supposons (juc « et p

396 Vn* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

soient nuls, Téquation (5) donnera, pour déterminer », les relations suivantes très-simples,

«'=o, •»*=- et «*= — i- •

Or on peut s'assurer que les deux premières de ces équations correspondeni à des sections circulaires; quant à la dernière, qui donne, en la substituant dans les équations (3) et (4) ci-dessus, cos|) = G et par suite y := 100", elle correspond à la position du plan des x^y dont l'intersection avec la surface du cône, a pour équation y* -f- {x' — 7)^ = 0 ; c'est-à-dire qu'il coupe ce cône suivant un point en son sommet. Quoique cette troisième valeur de &> semble appartenir à une solution singulière du problème dont il s'agit, elle ne peut cependant en être séparée généralement, en sorte que ce problème est réellement du sixième degré (*).

Cette conséquence nécessaire, peut paraître étonnante et même contradictoire au premier abord ; car on sait et nous l'avons même déjà démontré, qu'il n'existe, dans une surface conique, que deux sections qui puissent donner des circonférences de cercle : mais si l'on observe que trois des racines de l'équation (5) appartiennent à d'autres surfaces coniques qui sont nécessairement liées à celle que l'on considère à cause de la grande généralité de l'analyse algébrique, et que, parmi les trois autres, il peut y en avoir une imaginaire ou qui corresponde à une solution distincte, comme nous venons d'en offrir un exemple, on verra que ce qui nous paraissait d'abord contradictoire considéré géométriquement, ne l'est réellement pas considéré d'une manière algébrique.

Au reste, c'est cette généralité qui constitue l'essence de l'analyse et fait que ses résultats ne sont jamais contradictoires ; car, si elle ne répondait qu'aux seules questions qu'on lui pose, il en résulterait souvent les plus grandes absurdités.

Supposons, en effet que, dans la recherche précédente, on fut tombé sur une équation du second degré, au lieu de l'équation (5), il en serait résulté qu'on eut pu construire géoméiri-

» ■ ■ ■ ■ ■ I I ■■ ■ ^Mll» ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■■ .^

(*) f^qy,, au sujet de ces divers passages, les observations contenues dans la note de la p. io5.

quemenl les deux sections sous-coniraires du cône en question; or ces deux sections une fois connues, on en eût conclu aussitôt, par une seconde construction géométrique, la position des trois plans principaux de ce cône, c'est-à-dire des irois plans qui, passant par son sommet, le divisent chacun en deux parties symétriques: ce qui est évidemment absurde; car la recherche de ces trois plans est une question qui dépend généralement d'une équation du troisième degré, et par conséquent insoluble d'une manière géométrique.

Tous les résultats de l'analyse algébrique sont ainsi susceptibles d'interprétation.

Nous avons supposé jusqu'à présent, que le cône fût connu par sa base et son sommet, et il s'agissait alors de déterminer la direction du plan qui couperait ce cône suivant un cercle; nous allons nous proposer maintenant de trouver la position du sommet d'un cône du second degré, dont la base serait donnée, ainsi que la trace du plan qui, passant par ce sommet (centre ou point projetant), serait parallèle à l'une quelconque de ses sections circulaires; cela procurera, comme on le voit, en môme temps, la démonstration du cinquième des principes de projection qui font l'objet de cette 1"* partie du Mémoire.

Soient donc, ainsi que ci-dessus, a, p et 7 les coordonnées inconnues du sommet du cône;

l'équation de la base donnée de ce cône, rapportée à son centre et à ses axes; enfin soit

l'équation de la trace du plan qui, passant par le sommet a, doit être parallèle à l'une des sections circulaires du cône. D'après ce qui a été démontré au commencement de cet article, l'équation

z == tang ^ cos ^x — tang <p sin ô j

(»st celle du plan des x'f y et si nous supposons aux angles ô et <j> les valeurs trouvées précédemment, cette équation rcpré-

398 Vn« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

sentera une secUon circulaire du cône doni le sommet inconnu est a; donc l'équation du plan qui, passant par le sommet a, est parallèle à cette section, sera de la forme

z — 7 = lang«pcosO(j: — a) — tang<psinO(r — P)

et, par conséquent, Téquation de sa trace sur le plan même <les a:y% sera

— 7 = tang(pcos 0(.r — a) — tang9sin0(r — P),

ou bien, remplaçant lang 0 par sa valeur w,

jr=«r-|- a — wp —

tang(pcos&

Cette trace devant se confondre avec la droite donnée X = TrH- K, on a nécessairement les deux équations

&>=:T, a — wS =K,

^ tangycosO

lesquelles pourront servir à déterminer les valeurs de 0, (p, a, etc.

La valeur de w étant, d'autre part, immédiatement donnée par celle de T, on pourrait la substituer directement dans les équations (4) et (5), ainsi que dans les dernières de celles que nous venons de trouver; mais, comme cela ferait . changer la forme de ces équations, nous n'effectuons pas celte substitution. On ne devra pas oublier, d'ailleurs, dans la suite des calculs cji-après, que cette même quantité w est constante et égale à T.

On peut d'abord éliminer tang<j> entre la dernière équation de condition et l'équation (4) qui donne

7(c- — fl)sin 0 tang Tp = '-^— ^ ;

on obtiendra ainsi

^ (c — a)sin9cos0

Telle est la relation qui doit exister entre les ordonnées inconnues a et p du sommet du cône. On voit, par là, que ce sommet est nécessairement situé dans un plan vertical perpendiculaire au plan des xy.

Remplaçons dans celte écpiaiion. les indéterminées a et p

par les variables générales x el j, puis chassons le dénominateur, elle deviendra

X \{c — a)sinQ cosG — r^] —y'{{c — fl)sinQcosQ.ft>4-a]

[c — ûjsinOcosO

Or nous avons, d'une part,

[c — a) sin 0 cos ô — cw = w [(c — a) cos* 0 — c\ = b) [(c — a)cos*0 — c(cos*0-h sin'O)] = — w(a -hcw')oos*0

€l, d'une autre, par de simples réductions,

(c — a) sin 0 cos 9 . « 4- rz =r (c — ^) sin'O -f- « (cos' 0 -h sîn* 0) = (rt-f-CM') cos'ô;

donc, substituant, il viendra

d'où l'on tire immédialemenl,

Celte équation prouve que le plan dans lequel est situé le sommet du cône a, est perpendiculaire à la droite donnée x = Tj-|-K ou jr=:»r-+-K.

Supposons maintenant que « ait la valeur constante T, dans l'équation (5) trouvée ci-dessus, on aura alors une équation de condition à laquelle devront naturellement satisfaire les coordonnées inconnues a, p et 7 du sommet du cône, et qui sera par conséquent, en a, p et 7 l'équation d'une surface sur laquelle ce sommet est nécessairement situé d'après les conditions du problème. En l'ordonnant par rapport aux indéterminées a, p et 7, elle devient

(a — c)(a-hc«*)w^7'-|-a(i-h»')(a-|-c»^)P' — c ( I -h »^) (a -f- <?»*)«* a* H- (6* — a){ I -|-<»*)w' =: o,

ou, remplaçant les indéterminées particulières a, p et 7 du sommet du cône par les variables générales Xy y et *,

( (rt — c) (rt H- c«^) w» 3' -H « ( I -I- w') {a -\- Cfù^)y^ ' \ — c( i-f-«^) [a 4- c«»)w^r' -f- (c — rï)( t-4- w») w' = o.

4oo Vil* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Cette équation fait voir que le sommet du cône doit être sur une surface du second degré; et, comme nous avons déjà prouvé qu'il doit aussi être situé dans un plan (6) perpendiculaire à la droite donnée x = «j-f-K, il s'ensuit que ce sommet doit se trouver sur la courbe, du second degré, intersection de ce plan et de cette surface. Mais, il y a plus encore, je dis que cette courbe du second degré est un cercle, ayant pour centre le point même d'intersection de la trace (6) et de la droite donnée x = Tj-f- K.

Il est d'abord évident que la surface (7) étant symétrique par rapport au plan des xy^ tout plan qui sera perpendiculaire à ce dernier, la coupera suivant une courbe symétrique aussi par rapport au plan des x/, courbe dont le centre sera par conséquent situé dans ce plan. De plus, on sait que toutes les sections parallèles à celle-là donneront, dans la même surface, des courbes semblables à la première, dont les centres seront distribués sur une même ligne droite située dans le plan des xy^ et passant par le centre de la surface ou par l'origine des coordonnées, puisque ce centre est en ce dernier point d'après l'équation (7). Donc, pour reconnaître la nature de la courbe déterminée par le plan (6) dans la surface, il sufOra de chercher l'intersection de cette surface par un autre plan qui, passant par l'origine des coordonnées, serait parallèle à celui-là

et dont l'équation par conséquent serait x== y.

Cela posé, puisque la trace x-= j de ce dernier plan

fait avec Taxe desj^-, un angle dont la tangente trigonométriquc

est égale » le sinus à cosô et le cosinus à — sin 0, c'esl-

à-dire un angle de 100" -h Ô, il est évident que si l'on veut rapporter la surface {7) à ce plan pour nouveau plan des yZy le plan xy restant le même, il faudra mettre pour x et y dans l'équation (7) de celte surface, les valeurs fournies par les formules suivantes :

y=. — cosô^' — sinoy, x = cosOy — sinôx', z=2'.

On peut vérifier à posteriori, l'exactitude de ces trois équations

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4oi

en supposant dans les formules générales (i), <p et >p nuls et remplaçant 9 par ioo**-f- G.

Il s'agit donc de substituer pour x, j- ei z les valeurs cidessus dans réquation (7). Pour simplifier les calculs, je fais

{a — c)(a-f-c»')w'=A, «(i-4-w')(fl-4-cw») = B,

et alors cotte équation prendra la forme

Az^-f- Bj^H- Cx'-h I) = 0.

Faisant la substitution ci-dessus indiquée, elle devient

A5'»4-(Bsin'O-f-Ccos'0)j"H-(Bcos^e-hCsin»0)a:'=' -h 2sinecos0 (B — C) jr'j'-h D = o.

En posant x'= o dans cette équation qui représente la surface

{7), rapportée au plan x= j comme plan des^^z', on aura

évidemment l'équation de son intersection avec ce plan ; ce qui donne ainsi

A z'^-h (Bsin^ô -I- Ccos^e)/^-f- D = o,

ou, remettant pour A, B, G et D leurs valeurs et divisant par le produit {a — c) w*,

(a -h cw')2'»-|- (a -f- cw')7'»= I -f. w».

Donc, ainsi que nous l'avions annoncé, le plan x = r et,

par suite, le plan (6) qui lui est parallèle, coupe la surface (7) suivant une circonférence de cercle.

En second lieu, nous avons vu que les centres des sections circulaires parallèles à celle dont il s'agit, sont situés sur un diamètre de la surface ( 7 ), qui passe par l'origine des coordonnées, et se trouve situé dans le plan des xy-; donc le centre de la section dont il s'agit doit se trouver à la rencontre du même diamètre et de la trace du plan de cette section, trace représentée par l'équation (6) ou

4o2 vil* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Soient (A), Jig. i6i, la trace de la surface (7) sur le plan des xy, NM celle du plan (6) qui coupe celte surface suivant un

cercle dont le centre est évidemment au milieu c de la corde ioy interceptée sur NM par la conique, point situé à l'intersection de la trace NM avec le diamètre Af, conjugué à la direction de cette trace et qui contient les centres de toutes les sections circulaires parallèles à celle en question.

Ce diamètre, lieu des centres c des cordes parallèles à io passe par le point t de la courbe (A) dont la tangente est parallèle à la trace NM. La question revient donc finalement à déterminer le point de contact /.

Si Ton fait z = 0 dans Téquation (7), on aura pour l'équation de la trace (A) sur le plan des xy

(8) û (a -h cta'^)y^ — ^ (« -h ct^^) w' j:»-f- (c — a) w'= o.

Or on sait que la tangente trigonomctrique de l'angle qu'une tangente à une courbe fait avec l'axe des y est, en général, dx'.dy; donc, dans le cas actuel, cette tangente sera exprimée •

par — ^ ; mais, par hypothèse, elle doit être égale à celle que

fait, avec ce même axe, la trace MN qui a pour équation

donc on doit avoir entre les coordonnées :r et ^ du point de roniart /, l'équation de condition

= ou bien ^/>-|-cw:c==o.

Ctài^X W

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4o3 Si l'on combinait cette équation avec l'équation (8), de la courbe (A), on obtiendrait les valeurs des coordonnées du point /; or cette équation aj-h otax = o, quand on y suppose se ety variables, représente une droite qui passe par le centre A de la courbe ; donc c'est l'équation même du diamètre \ct : en la combinant avec l'équation x = r -r de la trace MN,

on obtiendra pour les coordonnées du centre cherché r,

aK

fl-hC'w'

Il est aisé de démontrer à posteriori, que ces valeurs satisfont aussi à l'équation x = wr-f-K de la droite donnée en premier lieu. Donc enfin le centre du cercle sur lequel est situé le sommet a du cône projetant, se trouve être précisément au point d'intersection de la droite donnée et du plan de ce cercle; comme il s'agissait de le démontrer.

Maintenant soit (B), fig, 162, la base du cône en question dont a est le sommet, et qui a pour équation aj^-h cx^-\- i = o; soit de plusKT, la droite donnée dont l'équation est a:=«j-hK et qui renferme, comme nous venons de le voir, le centrée du cercle sur lequel est situé le sommet a; soient h et 0 les deux points où cette droite rencontre la courbe (B), je dis que le centre c divise la corde /rO en deux parties égales.

En effet, cela revient évidemment à prouver qiié le diamètre B/', qui divise les cordes parallèles à A-ô en deux parties

égales, se confond avec celui qui, dans la fig. 161, contenait

4o4 VII' ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

le centre du cercle vertical en question et dont l'équation a été trouvée de la forme

Pour déterminer ici le diamètre B/', menons une tangente à

la courbe de base (B), parallèlement à la droite KT, il est évi-

dx cujc dent que la tangente trigonométrique -7- = de l'angle

formé par cette première tangente avec la direction de Taxe des j, devant être égale à celle w, qui correspond à la droite KT, on aura Téqualion de condition