CLY

^=« OU bien ar-f-C6)j; = o

ex "^

entre les coordonnées^ et j du point t'\ équation qui est celle même du diamètre B/, divisant la corde /rô en deux parties égales. Donc ce diamètre se confond avec celui qui passe par le centre c du cercle qui contient le sommet du cône auxiliaire de projection, puisqu'il a la même équation; par conséquent ce centre se confond, en réalité, avec le point milieu de la corde /rô dont la direction est donnée à priori.

D'après ces considérations, la position du plan et du centre du cercle sur lequel doit être situé le sommet a du cône, se trouve entièrement déterminée, et l'on voit qu'elle pourra toujours l'être géométriquement; car, si la droite KT ou A*0 est donnée ainsi que la courbe (B) qui sert de base à la surface conique, il faudra, riSlimant ce qui précède, commencer par déterminer la direction de B/' qui divise en parties égales toutes les cordes pinmV^les à /lO; le point c où ce diamètre rencontrera fa droite k% sè^a le centre du cercle en question : élevant ensuite, en c, une perpendiculaire à /rO, elle sera la trace du plan vertical qui doit renfermer ce cercle.

Voici enfin une dernière propriété qui servira à en déterminer la grandeur ou le rayon.

« Le carré du diamètre du cercle sur lequel est situé dans » l'espace, le sommet a du cône de projection est égal au carré » de la corde /rô donnée [fi^* 162), mais pris avec un signe » contraire. »

11 est visible d'abord que le diamètre de ce cercle est égal à la corde oi [fig^ 161), formée dans la conique (A), dont (8) est

DES CVHIERS PRÉCÉDENTS. 4o5

réquaiion, par la trace MN du plan du cercle, laquelle a ellemême pour équation

I (c — fl)K

il s'agit donc de calculer la longueur de celte corde et celle ijig, 162) de la corde kO ou x = «j-h K, formée dans la base du cône, que représente celle autre équation

ay^-\- cx^-h I = o.

Nous ferons, pour ne pas répéter deux fois le même calcul, l'opération dans rhypothèse d'une droite et d'une section conique quelconques.

Soient x= m/ -h n et Aj*-}- C^'-h D = o les équations de ces lignes; en les combinant entre elles, on obtiendra pour les coordonnées de leurs intersections

— nin(:±:\/m'n^C'—{\)-\-Cn'){\-\-Cm') •^'"" A 4- Cm' '

n\±:\Jn''A^—{\)m'-\-\n')(\-hi:m') ■^"" A-f-Cm»

Donc le carré (^' — JCtY-hix' — ^'i)^ de la distance enlre ces deux points :ry et j:, j, d'intersection sera, en l'appelant A',

Considérons d'abord la corde hO (fig. 162), son équation et celle de la base (B) du cône étant respectivement x = «/-h K, ay^-^cx^-\- I =: o, on aura, dans ce cas,

m = w, /i = K, A = «, C = f, D = I , et, par conséquent.

Maintenant, si l'on considère la conique (A) et la corde MN

4oC VII* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

(Jig. i6i) qui ont (8) ei (7 ) pour équations respectives

on aura, en comparant ces équations avec les précédentes,

A = a ( rt 4- cw' ), C = — r; ( ri -^ c w» ) w% [) = (c — a) 6)%

substituant ces valeurs dans l'expression de A^, il viendra, en nommant R le rayon du cercle, lieu des centres auxiliaires de projection,

01 ou ,R^=^^-^(,^c.M.

Donc, enlin, oi =z^\K^=z — /rG ; c'est-à-dire que le carré du diamètre du cercle dont il s*agit est égal au carré de la corde donnée frQ, pris avec un signe contraire.

D'après cela, si la direction de /rô rencontre la courbe (B), Jig. 162, le rayon R sera imaginaire; car alors le carré de la corde frô étant positif, celui de 2R, égal et de signe contraire d'après ce qui précède, sera négatif. Au contraire, si la direction de /rô ne rencontre pas la courbe, la corde /tô étant imaginaire, le rayon R du cercle en question sera réel, et par conséquent, dans ce cas, le problème qui nous occupe sera susceptible de solution; c'est-à-dire qu'alors la conique (B) et la direction 4rO étant données, il sera possible de trouver un sommet a, tel que le plan mené par ce sommet et parla droite A 0 soit parallèle à une section circulaire du cône qui aurait la courbe (B) pour base ; de sorte que si l'on projetait cette droite et cette courbe du point a, comme centre, sur un plan quelconque parallèle au précédeni, la projection de la droite aurait tous ses points situés à l'infini et celle de la section conique (B) serait une circonférence de cercle.

Donc il est démontré d'une manière rigoureuse que le

Princ. V esl vrai en général, quoiqu'il puisse cesser de l'être dans certaines positions de la droite et de la courbe données en particulier.

Pour compléter la solution géométrique du problème, il est nécessaire d'indiquer comment on pourra déterminer la longueur du rayon de la circonférence de cercle, lieu des centres de projection a.

Soient {X),Jig. i63, la courbe, et KT la droite données non sécantes, on commencera par déterminer le centre c, du cercle

Fig. i63.

cherché, comme il a été dit ci-dessus, au moyen du diamètre \t conjugué à la direction de KT; puis élevant au point c de leur rencontre mutuelle, la perpendiculaire ML sur KT, on aura la trace du plan vertical qui contient le cercle cherché; il ne s'agit donc plus que d'en déterminer le diamètre.

On a vu que le carré de ce diamètre est égal au carré de la corde interceptée sur la droite KT par la courbe (A), pris avec un signe contraire : la question revient donc définitivement à déterminer ce dernier c^rré.

Imaginons par le centre A un second diamètre AB parallèle à KT; c'est-à-dire conjugué à la direction de A/. Soit \l = a et AB = A, l'équation de la conique (A), rapportée à ces directions sera, comme on sait, de la forme

Appelons x' l'abscisse connue Ac du point e, le carré de la corde interceptée sur KT sera le carré du double de l'ordonnée >' correspondante b Ac = x\ Or, en mettante' pour x dans

4o8 VII' ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

réquation ci-dessus, on en lire pour le carré de l'ordonnée en question

donc on conclura, de ce qui précède, en faisant abstraction du signe inférieur pour simplifier,

d'où Ton lire

K = -i/x'» — «' ou a:\lx'^ — a»::6:R.

Pour obtenir celte quatrième proportionnelle, il faudra

d'abord construire sjx'^ — «% au moyen du triangle rectangle kmt, dans lequel l'hypoténuse km est égale à a/ ou Ac; on portera ensuite AB ou 6 de A en n, et par ce point on mènera la parallèle w/t à mt, qui coupera A m en 6>, et la distance Au ainsi trouvée sera évidemment la longueur du rayon R cherché; de sorte que si, du point c comme centre, avec Aw = R pour rayon, on décrit une circonférence de cercle dans le plan vertical de ML, tous les points de cette circonférence satisferont à la condition du problème.

Cette solution est beaucoup plus simple que je n'avais osé . l'espérer d'abord.