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VP Principe. ~ Le système de deux sections coniques quelconques, situées dans un même plan, peut être généralement considéré comme la projection du système de deux circonférences de cercles ayant une corde commune à l'infini.

Soient (A) et (B),^g. 164, les deux courbes données; nommons toujours a le point projetant ou sommet commun des deux cônes qui ont ces courbes pour bases, et supposons qu'il s'agisse de déterminer ce sommet de façon que les deux surfaces coniques correspondantes soient susceptibles d'être coupées par un même plan, chacune suivant une circonférence de cercle. Imaginons pour un moment, que le problème soil ré-

solu, si en effet il peut Têlre, el qu'on connaisse par conséquent, la position du sommet a et celle du plan qui doit couper

Fig. 164 •

les deux cônes correspondants suivant des cercles. Imaginons, de plus, qu'on mène par le sommet en question, un plan parallèle au précédent : ce plan viendra couper celui des deux courbes (A) et (A') suivant une certaine droite, que j'appelle en général, P.

Cela posé, je dis : i® que cette droite se confondrai avec Tune des cordes /rô communes aux deux courbes A et B; 2® que le sommet commun a ou le point projetant, se trouvera situé dans un plan perpendiculaire sur le milieu de cette corde et sur une circonférence de cercle qui aurait ce milieu G pour centre, mais dont le carré du diamètre serait égal à celui de la corde /f 0 pris avec un signe contraire.

En effet, d'après ce qui a été démontré dans l'article précédent, la trace P du plan mené par le sommet a parallèlement à la section circulaire du cône de base (A), est telle, qu'en la considérant comme corde de (A), et que si, par son milieu G on lui élève un plan perpendiculaire, ce plan passera par le sommet a; même chose a lieu à l'égard de cette trace P, considérée comme corde de la courbe (A'). Or, comme par le sommet a, on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à une droite, il s'ensuit que le milieu de la trace P, considérée comme corde de la courbe (A), et son milieu en la considérant comme corde de la courbe (A'), se confondent tous les deux en un seul et même point.

De plus, il a été démontré dans le même article, que si l'on joint ce |>oint milieu avec le sommet a par une ligne droite, le ({uadruple du carré de cette droite que nous nommions rayon

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était égal au carré de la partie de la trace P comprise dans la conique (A), pris avec un signe contraire, et par la même raison égal au carré de la partie de cette même droite comprise dans la courbe (A'), pris aussi avec un signe contraire; donc ces deux dernières parties sont égales entre elles; ce qui ne peut avoir évidemipent lieu, puisque ces deux parties sont divisées au même point en deux parties égales, à moins que la trace P dont il s'agit, ne soit une corde q^Qi^^i^^ ^^^ courbes (A) et (A'); premier point qu'il s'agissaifBe démontrer.

Il résulte aussi, de ce que nous venons de dire, que le sommet a doit se trouver dans un plan élevé perpendiculairement au milcu de la corde /rô ou P, sur une circonférence de cercle qui a pour centre le milieu C de cette corde et dont le carré du diamètre doit être égal à celui de A*0, pris avec un signe contraire. Second point qu'il s'agissait de démontrer.

Donc, puisque le sommet a et la trace P du plan qui passe par ce sommet parallèlement à la direction commune des seclions circulaires de l'un et l'autre cône A et A', doivent, d'après ce qui vient d'être démontré, satisfaire aux deux conditions énoncées ci-dessus, on pourra en conclure, relativement au problème qu'il s'agissait de résoudre, que :

Deux sections coniques étant données dans un plan, si Ton se propose de les projeter sur un autre plan, de manière qu'elles y deviennent des cercles et qu'il s'agisse de trouver le centre projetant et la direction du plan de projection, on commencera par déterminer Tune des cordes imaginaires communes à ces sections coniques, et alors la question sera ramenée à celle qui a été résolue tout au long dans l'article précédent.

On peut remarquer que deux sections coniques quelconques se coupant en général en quatre points, ces courbes peuvent avoir dans le même cas, six cordes communes; donc la quantité w, qui détermine l'inclinaison de ces cordes, peut avoir aussi, en général, six valeurs différentes.

Nous donnerons par la suite, un moyen de construire graphiquement, dans de certains cas, les cordes communes à deux sections coniques lorsqu'on les suppose décrites. Quant à présent, nous nous bornerons à faire observer, d'après ce qui a été dit précédemment, que le problème en question ne sera

soluble géométriquement, qu'autant que parmi les cordes communes aux deux sections coniques données, il y en ait qui ne rencontrent ni Tune ni l'autre de ces courbes; mais qu'il faut cependant qu'elles ne cessent pas d'exister, c'estrà-dire qu'elles soient de l'espèce de celles que nous avons appelées dans des Notes sur la Géométrie, du nom de cordes, de sécantes idéales; les distinguant ainsi de celles qui sont entièrement illusoires et impossibles à construire, même ea direction.

Quoi qu'il en soit, il résulte de ce que nous venons de démontrer, qu'il est généralement possible de projeter deux sections coniques suivant le système de deux cercles, quoiqu'il y ait certaines positions relatives de ces courbes pour lesquelles la projlsction soit impossible, comme cela arriverait, par exemple, si ces courbes s'entrecoupaient en quatre points distincts ou confondus.

Nous venons de démontrer par des considérations de géométrie, le sixième principe de ce Mémoire, en nous appuyant pour cela, sur la démonstration algébrique du cinquième principe. On pourrait désirer en connaître une démonstration directe et fondée sur la seule analyse algébrique. C'est ce que je me propose de faire actuellement, non afin de donnera la première démonstration une plus grande certitude dont elle n'a pas besoin, mais pour avoir occasion de démontrer une propriété nouvelle et assez intéressante des courbes du second degré. Cependant, au lieu de considérer en général, le système de deux sections coniques quelconques, nous supposerons, afin d'abréger les calculs, que l'une de ces courbes soit une circonférence de cercle, ce qui, évidemment, ne diminuera en rien la généralité de la solution.

Supposons donc pour simplifier, que

(9) <ty^-^ ^.r'H- 1 = o

soit l'équation de la section conique, et

celle du cercle dont il s'agit. Soient toujours a, pet 7 les coor-

4ia Vn« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

données inconnues du sommet commun aux deux cônes qui ont pour bases les deux courbes données (9) et (10); supposons» de plus, que ^ et 0 représentent les angles qui déterminent la position du nouveau plan des x* y' ^ lequel doit couper ces surfaces coniques suivant des circonférences de cercles, commer dans la question précédente. 11 s'agit donc de trouver les valeurs des cinq inconnues a, p, 7, 0 et q>, de façon que les cônes et le plan des xfy' remplissent la condition précédemment indiquée.

Puisque le plan des or'j' doit couper le cône qui a pour base la courbe (9), suivant une circonférence de cercle, on doit avoir évidemment les équations de condition (3) et (4) trouvées (p. 393, n® IV). Pour obtenir les équations de condition relatives à la seconde surface conique, il faut supposer

a=a', 6 = 0, c = a\ d=d' et e = e',

dans les équations générales de condition trouvées au même

endroit, et relatives à la courbe du second degré qui a pour

équation

a^^-H bxy-\- cx^-\-djr -\- ex -h 1=0;

cela donnera ainsi les deux équations suivantes, qu'il faudra joindre aux équations (3) et (4) :

sin'<p(a'p»-4-a'«*-+-rf'p-4-^a-hi)-|-a'7'cos'<p 4-sinôsin<pcos<p(2a'p-hrf')7 — cosôsin(pcos9(2a'a-he')7=a'7% — cos0sin<p(2a'p-hrf')7 — sin ôsin 9 (2 a'a -h e')7 = o.

Supprimant les facteurs inutiles dans ces dernières équations comme répondant à des solutions particulières, savoir sin ^ dans la première, 7 et sinç dans la seconde; divisant la première par sinç, la seconde par cosô, remplaçant ensuite cot^ par X et tango par », comme on Ta fait (p. 393 ), elles deviendront

(11) j «'(P'-4-a>— 7^)4-rf'p-he'a-hi