I -4-7sin0(2a'p-|-rf')x — 7cos0(2rt'a-f-e')x = o

(12) 2fl'p-|- rf'-H (2a' a -He')o) = o.

On a ainsi quatre équations de condition (3), (4), (n), (ia^)> pour déterminer les cinq inconnues a, p, 7, x et ». Il semblerait

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4i3

d'après cela qu'aucune de ces inconnues ne *doit ôlre constante; mais cela n'est pas en réalité, comme nous allons le voir en cherchant à éliminer des quatre équations précédentes les inconnues p, 7 et x«

On peut d'abord commencer par éliminer x entre les équations (3) et (4); cette opération a déjà été exécutée (p. 394), et a donné pour résultat Onal l'équation

,^. [ — C*a'w«-h[c — a-4-rtc(p' — a?) — c» a* -h e (a — 0)7*]»*

On peut ensuite éliminer la même quantité x <^ntre l'équation (4) et l'équation (11), ce qui donnera, en supprimant le facteur commun 7,

«'(p'-ha'— 7')-4-r/'P-f-e'a-4-i __rtp-hCaw^ 2a'oL-{- e' — w (2rt'p -h d') [c — a)w '

chassant les dén.ominateurs.de cette équation et observant que, d'après l'équation (12), on a

il viendra, toutes réductions faites,

j a' [a — 6')«7*=(2rt'a-4-éf')(H-o)^)(flp-hcaw) ^' ^ { (c— a)[fl'(p»-4-a')H-J'p-4-e'a-hi]w.

On a maintenant les trois équations (12), (5) et (i3), qui ne renferment plus x> ^l qui remplacent les quatre trouvées d'abord. On peut immédiatement éliminer l'inconnue 7 entre ces nouvelles équations puisque l'équation (12) en est indépendante; il suffit de mettre dans l'équation (5) pour [a — c)7* sa valeur tirée de l'équation (i3) : elle devient ainsi, réductions faites et sans ordonner,

[[a' — c) [c — /7)w-f-îi^^/'cp'w — ift'c^oL^oi — c-a'P^oi

(a' — a) (c — rtf)w — 'inn' c OL^ oi -\- 1 a' iP(j^ff^^n* a' a? M

— aic-fi)(fi'P-\-e''j:)oi

4i4 VIP ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Il ne reste plus maintenant qu*à éliminer p entre cette équation et réquation (12), qui donne

on obtiendra ainsi une équation finale qui devra être généralemeni en w et a. En substituant donc dans l'équation cidessus, pour p sa valeur, il viendra, après avoir ordonné el simplifié autant que possible, Téquation suivante

L'inconnue a ayant disparu d'elle-même de celte équation, il s'ensuit que la valeur de &> est entièrement déterminée; donc il n'y a en général que six positions du plan x'y' qui puissent résoudre la question.

Supposons maintenant que l'on ait tiré l'une quelconque des six valeurs de &> fournies par l'équation (i4)» et qu'on l'ait substituée dans les trois équations (12), (5) et (i3), où n'entre plus X et qui sont telles que, en éliminant entre elles les inconnues p et 7, on trouve pour résultat l'équation (i4), il est évident que la substitution de &> faite, on obtiendra trois équations dont une sera la conséquence des deux autres. Or 0» étant considéré comme une constante déterminée, ces trois équations seront celles de trois surfaces sur lesquelles le sommet a est nécessairement situé; d'où l'on peut conclure d'après ce qui précède, que les deux surfaces (5) et (i3) du second degré se coupent suivant une courbe aussi du second degré et qui est situt^e dans un plan vertical représenté par l'équation (12).

En remplaçant dans cette même équation, les indéterminées a et p par les variables générales x et /, on pourra lui donner celte nouvelle forme

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4i5

Donc le plan vertical sur lequel le sommet du cône est situé d'après les conditions du problème, est perpendiculaire à la trace du plan x' y' sur le plan des xy. De plus, Tcquation (5 ) de la surface sur laquelle ce sommet doit être aussi situé, étant absolument de même forme que Téquaiion (7) trouvée précédemment, quand on y remplace a, p et 7 par les variables x^ y et 2, et qu'on l'ordonne par rapport à ces variables, on pourra en conclure, d'après ce qui a été prouvé alors (ce qu'il est inutile de démontrer de nouveau ici), que la surface dont il s'agit est coupée suivant une circonférence de cercle par le plan (i5), et par conséquent que le sommet a est situé sur une pareille courbe.

On voit déjà les conséquences découvertes dans l'article précédent, se reproduire ici avec les mêmes circonstances; mais poursuivons.

L'équation du plan des x^y' étant, en général (p. 891 ), de la forme 2 = — tang <p sin 0j -h tang (p cos ^x, celle du plan qui lui serait mené parallèlement par le sommet a du cône sera

z — 7 = — Iang9sin0(j^' — p)-|- tang^cos9(^ — a),

et par conséquent, l'équation de la trace de ce plan sur celui

des xyy sera

•^ ^ tang(p cosô

Mettant dans celte équation pour cot<p ou x» i>a valeur tirée de

I" •• // o o^ • j «pcosô-h^asin9

I équation (4, p. SgS), qm donne X^^^^zr^^j^h^ô^^' ^^

et remplaçant tangO par la constante déterminée », elle devient

(c — A)sin6cos0

a[(c — fl)sinQcosQ — c»] — p[(c — rt)sin0cosQ.&>-4-^]

"* [c — rt)sin0cosô

Or nous avons déjà trouvé que

[c — ^)sin9cos8 — C6> = — w(rt-hcw') cos'ô, [c — a) sin 0 cos« . w -H « = («-}- cw»)cos*e ;

4i6 Vn* ET DERNIER CAHffiR. - RÉSUMÉ

donc il viendra pour l'équation de la trace en question

(a-hCw2)(ft-h wa)

En mettant dans cette équation, pour p, sa valeur

rf'-f-rt'w

S = — wa —

tirée de Téquation (i^), il viendra

(a-h6'w')(rf'-f-rt'«)

(i6) x = oiy*-\-

ia!{c — a)w

Si nous posons, pour comparer celte équation avec l'équation a: =6)7-4- K de la question précédente (p. 397),

(a-f-C6>5)(rf'-4-e'w) ^ ., , rf'-ha'w (c — a)K

77 = K, a ou ;; = ; »

réqualion (i5) du plan qui renferme le lieu des sommets a, prendra la forme

I (c — fl)K

Cette équation ainsi queTéquation (16) étant absolument de la même forme que les équations (6) et ^ = w7-|-K de la première démonstration (V, p. 399), on en tirerait absolument les mêmes conséquences.

Mais, au lieu de suivre cette marche» montrons directement que réquation (16) ou a; = «7-hK, représente Tune des six cordes communes au cercle et à la courbe donnés, et que si on y met successivement pour w les six valeurs fournies par réquation (i4), elle donnera les équations mêmes des six cordes correspondantes.

Appelons x' et j' les coordonnées de l'un deé quatre points communs aux deux courbes (9) et (10) en question, a;" et y*" les coordonnées d'un autre quelconque de ces points; ces coordonnées devant satisfaire aux équations de ces courbes,

on aura évidemment les quatre équations de condition,

(a) «j'=-4-cx'=-hi = o, (c) a'y'^-\-a'x'^-Jt-d*y'-\-e'x'-\-\=Oy [h) r//"--4-<:u'"--4-i = o, {d) ay'-hii'x^'-hdY'-\-e'x''-hi=o,

\ppelons w, la tangente de Tangle que forme, avec Taxe des r, la corde qui joint les deux points x* ei x'\ on aura

11 s'agit maintenant, pour obtenir la valeur de w,, d'éliminer x\ y, x** et r" entre les cinq équations précédentes.

Pour cela, retranchant d'abord l'équation (c) de (r/), il vient

MetunU pour x^ — x^ sa valeur »,(r" — y') ^A divisant |)ar y" — r', OH aura l'équation

a' [y** -^- y' )-\- c^ vi\x" -^ X* )-^ d' -\- e' t^, = o^

qu'on peut mettre sous cette forme

a' [y"" — y' )-^ a' f,^^[x" — x')-h2«'>''-+-?.^^'wi:t''-4- r/'4-^'«. = o.

Mettant de nouveau, pour x" — x\ sa valeur «,(>'''—>') dans cette équation, on en tirera

Traitant de même les équations [a] et {h\, on en déduira oetlc* autre expi^ssion

^ ^./ lay'-^-i-c^^x'

a -f- fwj

Égalant ces deux valeurs entre elles, on obtient

2rtK'-l-^'<"«i-ît'' 2/t'>'-|- 9.a' (ûiX' -\- d' -j- tf* oi, a-4-cwî "" a'(H-«;) "" '

«bassant les dénominateurs et n'Hluisjmt, il vient enlin (17 ) \a'ic ~- <i)(x'' — «,)•')&», - - [ft -\- (' w\)((f' -\- f:' uu) =0.

4iB VJr ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

On tire de ià immédiatement

, 2/ï'(c — a)oiix' — (rf'-he'w,)(a + cw;)

■y * zzz — ^ — — ^— •

Substituant celte valeuK|[e x' ^^^^ ^^s équations (a) et (c), on aura

4fl'^(c-fl)^{i-4-«;)w;jr'»

4[4rt'>(c-.^)(^/'-f- £?'«,) (/7-f-cw;)w,-+-4r/'/i'^(r-«)»w;4-4^''^'(^-/')'»>{]

Il ne s'agit plus maintenant que d'éliminer x' entre ces deux équations pour avoir l'équation finale en w,. Pour cela, je mul- . tiplie la première par a'{i -hwj), la deuxième par a+c»J, et je retranche la deuxième de la première, le terme a:'* disparaît du résultat aussi bien que le terme en a/; on aura donc tout de suite l'équation finale

En simplifiant cette équation, elle devient

développant et ordonnant, on obtient enfin

— c5<?'=wj 4- [4a'(fl'— c){c — «)-}- c^d'^— 9. ac«'îj«; -4- [4 a' (a'—a)(c—a) -^2acd'^^ a^e''] »; + a^d'^= o.

En comparant cette équation à l'équation (i4)qui donne la valeur de &>, on s'assure qu'elle lui devient identique quand on la divise par ^a' \ donc i*" »,= », et par conséquent, l'équation d'une corde commune aux deux courbes en question est de la forme a7 = wj-4-L; mais, puisque cette corde doit passer par le point {x'x'), on doit avoir la relation x'= »^''-l- L, qui servira à déterminer la valeur de L : en com-

DES CAllJEKS PRÉCÉDENTS. 419

binant celle équation avec réqualion (17) trouvée daos le cours du calcul, et observant que<»,:^w dans celle équation, y' disparaîtra, et Ton aura pour déterminer L, l'équation

d'où Ton lire inimodialement

'>.a'[c — rt)w

Donc réqualion de l'une quelconque des cordes communes aux courbes données (9) et (10), est de la forme

En la comparant avec l'équation (16) trouvée ci-dessus, et observant que wa la même valeur dans ces équations, on en conclura qu'elles représentent la même droite. Donc, si du sommet a commun aux deux cônes qui ont pour bases les courbes données (9) et (10), on mène un plan parallèle à celui des x'r' ( qui est supposé donner à la fois une section circulaire dans Tun et l'autre cône), la trace de ce plan sur celui des deux courbes sera nécessairement Tune des cordes qui leur sont communes.

Ainsi l'analyse nous a conduits, quoique par un chemin plus long, aux mêmes conséquences auxquelles nous étions parvenus dans l'article précédent. On voit combien il est avantageux en certains cas de faire venir la géométrie au secours de l'analyse, cl combien par ce mélange de démonstrations, il devient facile d'éviter la longueur des calculs algébriques, trop souvent nécessitée par les éliminations. Je ne me ferai désormais, aucun scrupule d'employer ce genre mixte de raisonnement, qui a évidemment la même rigueur q«e les démonstrations purement géométriques ou exclusivement analy-" tiques, d'autant qu'il existe telles propriétés, que nous ferons connaître dans le cours de ce Mémoire, qu'il serait, sinon impossible, du moins extrêmement long et difficile, de démontrer de cette dernière manière.

D'après celle observation, on ne doit regarder que comme

on

4ao VIP ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

un objet de pure curiosité la démonstration analytique que nous venons de donner, en dernier lieu, du VI* Principe de ce Mémoire. Quoi qu*il en soit, voici une propriété assez remarquable que Ton peut déduire immédiatement des calculs précédemment établis.

Puisque Téquation (i4) a pour racines les valeurs des tangentes trigonométriques « des angles 0 formés par les cordes communes an cercle et à la conique donnés, avec Taxe y des coordonnées qui est Tun des axes rectangulaires de cette seclion conique, et, puisque celte équation ne renferme la quantité w qu'à la deuxième puissance, on en peut conclure évidemment que, si une certaine corde fait un angle 6 avec Taxe des r, il en existe une autre qui lui est conjuguée et fait nécessairement un angle de 200°— 0 avec cet axe; de sorte que la direction de ce dernier divise en deux parties égales, Tangle formé par ces deux cordes.

Soient donc (C) et (A) un cercle et une courbe du second degré qui se coupent en quatre points rt, 6, c et d\ il est aisé de reconnaître, en examinant le cas particulier où les centres C et A se confondent, que deux cordes telles que ac et bd qui se coupent ailleurs que sur les courbes données, en un point 0,

Fig. i65.

sont Tune à Tégard de l'autre dans le cas dont il s'agit. Donc, d'après ce qui précède, si l'on divise l'angle aoh qu'elles foi^ ment en deux parties égales par la droite op^ cette droite sera parallèle à l'un des axes de la courbe (A), et par suite, si Ton divise aussi le supplomeni hoc de cet angle en deux parties

DES CAHIEllS PRÉCÉDENTS. 421

égales par la droite op*, celle droite sera parallèle à l'autre axe de la conique. On voit, d'après cela, qu'une courbe (A) du second degré olanl tracée, il est très-facile de déterminer la direction de ses axes rectangulaires.

On peut remarquer que les deux autres cordes ah et cd, aussi bien que les cordes ail et bc, sont dans le même cas que les deux premières, et qu'ainsi elles jouissent de la même propriété à l'égard des axes principaux.

Quand, au lieu d'un cercle et d'une section conique, on considère en général le système de deux courbes du second degré qui se coupent, la propriété que nous venons de démontrer n'a plus lieu alors; mais il existe pour ce système une propriété analogue dont la démonstration, qui ne serait pas à sa place ici, sera donnée dans la 111® Partie de ce Mémoire (*).

Vll^ Principe. — Le système de plusieurs coniques ayant une corde commune sur un plan, peut être considéré, en général, comme la projection plane du système d'un même nombre de cercles dans lequel la projection de la corde commune est passée à l'infini; de sorte que tout faisceau de droites qui concourent en un même point de la corde commune du premier système, a pour projection (Princ. 111) un faisceau de droites parallèles dans le second.

Ce Principe est une conséquence immédiate de celui qui porte le n° VI. En effet, imaginons que, du milieu de la corde commune aux sections coniques dont il s'agit, on élève un plan perpendiculaire à cette corde; que l'on décrive ensuite, de ce milieu comme centre, une circonférence de cercle située dans ce plan et satisfaisant à la condition que le carré de son diamètre soit égal au carré de la longueur de la corde pris avec un signe contraire (p.^4o5, ff^, 162), il est évident que chacun des points de cette circonférence sera tel, que si on le considère connue le point projetant de deux des sections coniques considérées, les surfaces coniques correspondantes seront

(*) Otto IIP Partie n'existe pas, mais on prendra, dans les Notes qui suivent ce volume, une idée des recherches analytiques que j'avais entreprises à ce sujet, et (jue mon hruscjue départ de SaratolF, en juin 1814, ne me permit pas d(î terminer et de rédiger complétemeut.

42i VII' ET DERNIEK CAHIER. - RÉSUMÉ

susceptibles d'être coupées suivant des cercles par un plan quelconque mené parallèlement à celui qui passe par«ce point et par la corde commune. Or, toutes les sections coniques données ayant, par hypothèse, une même corde commune, il est clair, quel que soil le couple de celles que Ton considère, que le cercle sur lequel le point projetant arbitraire doit se trouver situé, aura même position et même grandeur que lè cercle d'abord mentionné. Donc, le point choisi précédemment sur ce cercle, a la propriété de projeter à la fois toutes les coniques, suivant des circonférences*'de ceFcles sur un plan quelconque, parallèle à celui qui passé par ce point et par la corde commune aux courbes données; par où Ton aperçoit, en même temps, que cette corde aura pour projection une droite située à l'inTmi.

D'après ce qui a été démontré (p. 4o5, fig, 162), la constructigp précédente ne cessera d'avoir lieu que quand les courbes (Kmnées auront en effet quatre points en commun. Dans tous les cas où une corde commune aux coniques sera de l'espèce de celles que nous avons nommées idéales, cette construction sera toujours possible, et Ton voit même qu'elle le sera d'une* infinité de manières.

On ne doit pas conclure de ce que les cercles de projection ont une même corde commune située à Tinfini, que ces cercles aient, pour cela, des positions particulières; car nous prouverons tout à l'heure, qu'un système de cercles situés d'une manière quelconque sur un même plan, a toujours une ligne droite située à l'infini qui peut être considérée comme la corde commune à ces cercles.

II est nécessaire aussi de remarquer, à l'égard des trois derniers principes, qu'ils ne cessent pas d'être vrais griême quand les scctidiSf coniques dont il est question, sont, en tout ou en partie, des circonférences de cercles.

VHP Principe. — Un système de cercles quelconque sur un plan, peut toujours être projeté suivant un système de sections coniques qui ont une même corde commune, et ces cercles peuvent toujours être considérés comme ayant une autre corde commune située à l'infini.

Imaginez que, d'un point quelconque a, on projette le sys-

tème de cercles en question sur un plan arbitraire P, il est clair par définition que ce système aura pour projection un système de sections coniques situées dans le plan P.

Considérez maintenant deux quelconques de ces coniques. Puisque le point a a la propriété de les projeter suivant deux cercles sur l'ancien plauf il est clair encore que, si par le point a on mène un plan parallèle à ce dernier, il coupera le plan P, des deux coniques, suivant une droite qui sera Tune des cordes communes à ces deux courbes (VI' Princ). Même chose aurait lieu si Ton considérait deux autres sections coniques; donc la droite dont il s'agit est une corde commune à toutes les courbes de projection, et par conséquent ( Vïl* Princ), le système des cercles proposés peut être considéré comme ayant une même corde commune, mais entièrement située à Tinfini.

IX® Principe. — Le système de plusieurs sections coniques assujetties à avoir quatre points en commun (géométriquement ou analytiquemcnt parlant), peut être considéré dès lors comme ayant pour projection le système d'un pareil nombre de cercles, qui ont, outre leur corde conmume idéale, située à l'infmi, une autre corde commune à dislance donnée, identique à celle (|ue l'on considère ordinairement.

En effet, puisque les courbes dont il s'agit ont quatre points communs analytiquement parlant, elles peuvent être considérées comme ayant aussi, en général, six cordes communes; donc si l'on ne fait d'abord attention qu'à l'une de ces cordes, on conclura (Princ. Vil*) que les sections coniques données peuvent être projetées suivant le système d'un même nombre de cercles, dans lequel la corde en question aura pour projection une droite située à l'infini. De plus, si l'on considère la corde commune aux coniques données conjuguée à la première (art. V), en ce qu'elle ne la rencontre sur aucune de ces courbes, et, si l'on fait attention que ces cordes sont tellement liées l'une à l'autre (n° IV ) que, si l'une a une existence géométrique, l'autre en a nécessairement une aussi, on en pourra conclure que la corde conjuguée aura pour projection sur le plan des cercles, une droite située à une dislance finie, (|ui sera une corde commune à tous ces cercles.