R — R':R'::CC/:OC

par oii Ton voit que la dislance OC est constante.

Pareillement, si Ton joint les extrémités de deux rayons parallèles et dirigés en sens contraire CR et CR, par une droite RR. , cette droite passe toujours par un autre point 0' situé entre les deux centres sur la droite CC; car les deux triangles semblables CRO' et CR,0' donnent la proportion

R : R' :: CO' : CO', d'où R h- R' : R :: CC : CO'.

Cette dernière proportion montre encore que la distance CC est constante, et qu'ainsi le point 0' est fixe.

Corollaire. — On conclut de là que, quand il est possible de mener une tangente extérieure TT', commune à deux cercles (C) et (C), cette tangente passe nécessairement par le point O. En effet, les rayons CT et CT', étant alors perpendiculaires à une même droite TT', sont parallèles entre eux. Pareillement,

s'il est possible de mener une tangente intérieure tC commune aux deux cercles, elle passera nécessairement par le point 0', car les rayons C/et C /', correspondants aux deux points de contact t et /', sont parallèles entre eux comme perpendiculaires à une même droite //', et dirigés en sens contraire. Par suite, les deux points 0 et 0^ sont \cs points de concours respectifs des tangentes extérieures ou intérieures communes aux cercles (C) et (C), quand ces tangentes sont possibles.

Scolie, — On doit remarquer que les points 0 et 0' existent quelle que soit la position relative des deux cercles (C), (C), et que ces points seront toujours donnés par la construction indiquée ci-dessus (*).

Lexxe générai..

Deux triangles ABC et abc à côtés respectivement pamilèles sont tels, que si Von joint deux à deux les sommets homologues A et a, B et b, C et r par des lignes droites, ces droites se coupent toutes trois en un même point.

FiR. a.

Fig. S.

En efibt, les deux triangles ABC et abc, ayant leurs côtés homologues parallèles, sont semblables, et Ton a la proportion

AB:^A::BC:6i7:: AC:flc.

Mais la droite BC étant parallèle à 6c, on a aussi

B0:60::BC:ftc:: ABtflA,

{*) A l'exemple d Euler et de Monge, on aurait pu, dans ce Cahier, appeler les points fixes 0 et 0' centres de similitude des deux cercles, dénomination indépendante des conditions de réillté dos tangentes com-

4 r CAHŒR. - UEMMES

d'où, par la théorie des proportions,

BOzfzbO :B0 :: XBzfzab: AB ou B6 : BO : : AB q: a* : AB.

De plus, si Ton appelle (V le point inconnu où la troisième droite A a rencontre B6, on aura également

BO':60'::AB:a6, et, par conséquent,

BO'qi60':BO'::ABnia6:AB

B6:B0':: ABma6:AB.

En comparant cette dernière proportion avec celle déjà obtenue, on en conclut que B0':= BO, et qu'ainsi les trois droites en question passent par le même point 0. Il est inutile sans doute de faire observer que le signe supérieur est relatif à la /ig. 2, et le signe inférieur à la^g*. 3.

Proposition II.

, Étant donnés sur un plan trois cercles (C), (C) et (C"); soient menées à ces cercles, en les considérant deux à deux, les tangentes extérieures et intérieures qui leur sont communes, elles détermineront par leurs rencontres respectives, les six points 0, 0, , 0', 0',, 0", 0", : ou bien, ce qui est plus général, soient déterminés pour chaque couple de cercles en particulier, les deux points ott se coupent les droites menées aux extrémités de deux rayons parallèles quelconques, dirigés dans le même sens ou en sens contraire; on obtiendra de la sorte six points, qui sont les mêmes que les précédent^, lorsque les tangentes communes sont possibles.

Cela posé, les trois points O, 0', 0" seront situés sur une

munes à ces cercles ; mais une toile généralisation, ici sans motifs obligés, inconnue aux anciens et à leurs sévères et logiques imitateurs Vièle, Pascal, Fermât, etc., n'entrait nullement dans les idées et les intentions de l'auteur, attendu qu'elle cesse d'être exacte pour le cas des sections coniques et de toute figure qui peut ôtre considérée comme la projection centrale ou perspective, plane, d'un système de cercles quelconque.

même ligne di-oite; pareille chose aura lieu pour le système des trois points 0, 0', et 0",, pour celui des points 0', 0, et 0', et enfin pour velui des points O", (>, et ()',.

Considérons d'abord le sjslèiiie des points O, (y el 0". Si l'on mène les trois rayons parallèles CR, C'It' etCR", et qu'on joigne leurs extrémités deux à deux par des lignes droites, la droite II' K" passera par le point 0, la droite U"K parle point 0', et la droite RK' par le poini 0". Soit menée de plus, par le centre C", la droite CX parallèle à CC, et par le point R" la droite IfX parallèle à RR'; ces deux droites se rencontreront en un certain point X.

Cela posé, puisque les triangles CRO"etC''R"X ont leurs cOiés respectivement parallèles, les trois droites CC, RK" et O'X, qui joignent deux à deux les sommets homologuas, concourent en un point 0', l'arcillement, les deux triangles C R'O" et CR'X ayant leurs côtés respectivenienl pamllcles, les trois droites C C, B' R" el 0" X convergeront en un même point O. Donc 0 et 0' sont à la fois situés sur la droite 0''X ; donc les trois points 0, 0' et 0" sont sur une même ligne droite; comme il s'agissait de le démontrer.

On peut prouver tout ausiii facilement que les poinis 0, (V,

el (/, sont en ligne droite. En effet, les rayons CR, C R', et CK^ ayant été menés parallèlement, et leurs extrémités respectives ayant été jointes par les droites H',R1 , R' R et RR', , qui déterminent les points 0, 0', et 0', si Ton mène par R", une parallèle àîÈft',, elle coupera la droite a^C^X, menée parle centre C" parallèlement à CC, en un point x, et le triangle C'R*^^ aura ses côtés respectivement parallèles à ceux des triangles

c IV, o'; et CRO'; .

De là on conclut : i*», que les trois droites R',R' , C'C^ et 0*,^ passent par un même point O, et 2°, que les trois autres droites RR", , ce et 0", x^ dont la dernière passe déjà par 0, se coupent toutes trois en un même point (y^ ; donc la droite 0' x renfermant à la fois le point 0 et le point 0',, les trois points 0, 0', et 0' sont situés sur une même ligne droite.

On prouverait, de la même manière, que les trois points 0% 0, et O'^ sont situés en ligne droite, aussi bien que les trois points O'^, 0, et (T. .

Scolie. — La proposition précédente subsiste quelle que soit la position relative des cercles (C), (C) et (C).

On peut remarquer, de plus, que les côtés opposés des deux triangles CC'C' et 0, 0', 0' se coupant respeclivement en trois points 0, O' et O*' situés en ligne droite, les trois droites CO, , C'O', et C0\ qui joignent leurs sommets opposés passent par un même point I.

Cette proposition pourrait être directement établie, mais, comme elle est étrangère au sujet qui nous occupe ici, je n*en donnerai pas la démonstration.

Proposition III.

Étant donnés deux cercles (C) et (C) et les deux points 0 et 0', déterminés comme ci-dessus :

i" Si par le point 0 [fig^ 5) on mène deux fécaintes quelconques OR et OR', lesquelles rencontrent en hmii points les deux circonférences, les quatre points intérieure R, R', r„ r[ seront situés sur un même cercle, et if en sera ainsi des quatre points extérieurs Ri , R', , r, r'.

gi° Si par le point 0' [/ig* 6) on mène également deux se-

contes 0' R et O'R', coupant en huit points les cercles donnés^ les quatre points R, R', r, , r\ , dont deux sont intérieurs et deux extérieurs, seront sur un même cercle. Il en est de mémejdes quatre autres points Kx, R', , r, r'.

Considérons d'abord le premier cas. Puisque le point 0 est celui où passent toutes les droites menées aux extrémités de deux rayons parallèles et dirigés dans le môme sens, les rayons CR, CR', CH, , CR', sont respectivement parallèles aux rayons C'r, CV, C'r, et C'r, , et par conséquent les arcs RR', RR,, interceptés par les premiers rayons sur la circonférence (C),

Fig. 5.

sont d'un même nombre de degrés (|ue les arcs rr' , rr, , interceptés sur la circonférence (C) par les rayons parallèles aux premiers.

De là on peut conclure que les deux triangles Or.r', et ORR' sont semblables; car ils ont d'abord un angle commun en O; de plus, Tanglc en R', qui a pour mesure la moitié de Tare RR'R',, est égal à Tangle en /•,, qui a pour mesure la moitié de Tare rr^ i\. Par suite, en comparant les côtés homologues, on aura la proportion

d'où l'on tire

0iV:0R::0r.:0r'. ; OR'xOr. =ORxOr..

Donc si par les trois points r,, #•',, R' on faisait passer une circonférence de cercle, elle passerait nécessairement aussi par le quatrième R.

Si, au lieu des deux triangles ORR' et Or,/',, on avait considéré les deux triangles OR, R', et Orr', on eût démontré, de la même manière, que ces triangles sont semblables; d'où l'on aurait conclu que OR, x Or = OR', X 0/', et par conséquent

8 F CAHIER. - LEMËIES

que les quatre points H,, R',, r, r' sont comme les premiers, sur une même circonférence de cercle.

Ck)nsidérons maintenant le second cas, où il s*agit du point

Fig. 6.

0'. On démontrerait, comme tout à l'heure, que les arcs RR', RR,, etc., sont respectivement d'un même non^e de degrés que les arcs rr\ rn, etc.; de là on conclurait encore que les triangles O'RR' et 0'r,r',, opposés par le sonimet 0', sont semblables et qu'ainsi on a la proportion

0'R:0'R'::0'r', rC/., d*où Ton tire

O'RxO'r, = 0'R'xO'r,.

On voit par là que les quatre points R, R', r„ et r\ sont tous sur une même circonférence de cercle, et Ton démontrerait la même chose et de la même manière à l'égard des quatre autres points Ri, R', , r, /•'.

Corollaire /. — On conclut de ce qui précède, que tout cercle qui touche les cercles (C) et (C) à la fois intérieurement, ou à la fois extérieurement, a ses deux points de contact situés sur une même droite passant par le point 0 [fig. 5) ; car si l'on imagine que les deux sécantes OR et OR' se confondent, il est clair que le cercle qui passait par les points R, R', r,, r\ touche les cercles (C) et (C) aux doubles points RR' et et r, K, .

Pareille chose a lieu encore par rapport au second cercle qui passe par les quatre points R,, R',, r, r'.

Corollaire IL — De même (^g*. 6), tout cercle qui touche les deux cercles (G) et (C), l'un intérieurement et l'autre

extérieuremeni, a ses deux points de conlaci situés sur une droite unique passant par le point 0'.

Scolie L — On peut remarquer [fig. 5) que les cordes R,R', cl r,/',, KK' et rr' sont respectivement parallèles, et que pareillement [fig, 6), les cordes RH' et r/', R.R', et rr, sont aussi parallèles Tune à l'autre.

ScoUe fL — On peut remarquer encore que les tangentes en R et /•, R, et /•, de la^'^^ 5, sont parallèles chacune à chacune, aussi bien que les tangentes menées respectivement aux points R et r, K, et r, de la^/g-. 6.

ScoUe III. — Quand il sera possible de mener des tangentes communes 0/T extérieures aux deux cercles (C)' et (C) [fis* 5), on aura, pour une même sécante OK,

ORxO/^ = OTxO^ OR.xOr=()TxO/,

et, par suite,

ORxOr.=:ORxOr.

Pareillement [fig^ 6), quand il sera possible de mener deux tangentes communes /O'T, intérieures aux deux cercles (C) et (C), on aura

O'R X 0'/', = O'TX (V/, . O'R, x O'r = O'T X 0' /,

et, par suite,

0'Rx0'r, = 0'R,x0'r.

Proposition IV.

Soient (C) et ((7) deux cercles auxquels il est possible de mener les tangentes communes extérieures OtT et O/'T', et

Fi(T. ;.

les deux tangentes communes intérieures HO' G et e'O'O':

lo r CAHIER. • LEMMËS

les parties \x et X'j/ interceptées sur les tangentes intérieures par les tangentes extérieures, seront égales aux parties Tt et T'i\ comprises entre les points de contact extérieurs. Pareillement, les parties \x' et \fx, interceptées sur les tangentes extérieures par les deux tangentes intérieures, seront aussi égales entre elles et aux parties eO, e'O' comprises entre les points de contact intérieurs.

En effet, on a évidemment

donc si l'on ajouieces deux valeurs de X:r, on aura

7,\x = \T-^\t'hTx'^t'x = :iTt,

donc aussi

\x=\'x'=zTt = Tt':

premier point qu'il s'agissait de démontrer. On a évidemment aussi

ou, puisque

\'e' = Xe = T\, T; = e'ô' -h TX + tx\

Sûbslituant dans la première équation pour T/ sa- valeur, on aura enfin

Xjc'=:0'O';

et, par conséquent,

X^' = X'^ = 0'O' = eO.

Corollaire, — On peut conclure de là que toutes les parties XT, X0, x' t, x^0\ etc., sont égales entre elles ; ciir, par exemple, on a

\ô=:=X«4-eô et \/=:=X.r'-ha.'/.

Donc, puisque eO = X:r' el Xô = X/, on a aussi

Proposition V.

Soient deux cercles quelconques (C) et (C) ; si par le point O déterminé comme ci-dessus, on tire une sécante OTT, qui coupe (Jig. 8) ces cercles en quatre points, et qu'on meneaux deux points extérieurs deux tangentes Ta et /a, celles-ci se couperont en un point a, qui sera à égale distance des points T et t. Pareillement, si par les deux points intérieurs V et t' on mène les tangentes T'a' et t' a! se coupant en a', les distances a'T' et a' t' seront égales entre elles.

Si de même, par le second point 0' [Jig. 9), o/i mène une autre sécante, et quon exécute les opérations correspondantes, les deux couples de tangentes menées par les points intérieursextérieurs se couperont en des points a et ol situés à égale distance des points de contact correspondants.

Fig. 8

En cffel, il résulte du CoroU. I delà Proposition III, que l'on peut mener par les points T et / un cercle qui louche à la fois les deux cercles (C) et (C) ; donc les deux tangentes Ta et /a. qui appartiennent à ce cercle, sont égales entre elles. Pareille

12 r CAHIER. - LEMMES

chose a lieu à Tégard des points intérieurs T' et t'; car on peut mener par ces deux points un cercle qui louche à la fois les cercles (C) et (C).

Fig. 9.

De même, si par le point 0' on mène une sécante quelconque O'T, qui coupe les deux cercles (C) et (C) en quatre points T, T', /, /', il est clair (Coroll. II, Prop. III) que Ton peut mener par les deux points T et / xHÎ'percle tangent à la fois aux deux cercles (C) et (C), et qu'ainsi les deux tangentes Ta et toL, qui appartiennent en même temps ^ ce cercle et aux cercles (C) et (C), seront égales. Pareille chose encore a lieu à regard des tangentes T'a' et /'a'.

Scolie, — On peut remarquer [Jig- 8) que si Ton prolonge les quatre tangentes Ta et T'a', ta et /'a', jusqu'à leurs rencontres respectives en p et p', la droite qui joint ces deux points passera par le point 0. En effet, il est visible que si l'on joint ces points respectivement aux contres C et C, les droites Cp et C'p' sont parallèles, et qu'ainsi les deux triangles CpT et C'p'/' ont leurs côtés homologues parallèles; d'où l'on peut conclure (Lemme générai) que les trois droites pp', T/' et CC concourent en un même point O.

On démontrerait pareillement que la droite pp' [Jig. g) passe par le point O'.

Proposition VI.

Le lieu de tous les points a, tels que les quatre tangentes al, aT', a/, a/', menées par Vu n quelconque d' entre eux à deux

fK.

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIOUE. i3

ceivles (C) et (C), sont égales entre èUfs, est une il imte\M perpendiculaire à la ligne des centres CC, el qui est la corde commune à ces cercles quand ils se coupent C),

En cITct, si l'on joint le puinl x, rDiisidi'iv dans une ilc ses positions, aux cenir«s (^ et C, par les dniit(,'s C«, C'a, il est rhiir qu'on aura

Ca =:<;T +Ta , C'a =a( -\- Cl et Ta = /a,

OU, si l'on appclU^ le ravon CT, B, et le rayon Ct, r,

c^' = R' + T^', iyV = ; ' -H 'r ï'.

Cela posé, si l'on alNtisse iKi point a' sur tX', la porpondic laire ait, on aura «'videinnicnt dans le triuiigltr CaC,

Substituant pour tla et C » lonrs vnleuis dans celte dernière expression, il \icndra

{*) f.i'tte proposilion, en cllii-inùme ftirl romiir(|iinblc, n été rangée ilans ces dernières iinnéos, Rraluitcment i)eiil-*lre, au nombre des /joriMnrs li'EucWdo, flonX on Irouvora <ians logeron<l vuliimerlc col érrit, linéiques données traduites do divers ouvra^jes anciens et roiiinientik^, \tar l'aiileur, an milieu {les loisirs que lui avait faits la piiix du itti^. Ici encore, en vue de généraliser, on iiuniit [m nommer lu droilc LM, <ixf île similitiiilr des deux cercles, fu-c eCrfctrles tiHigenrr.t , ou lui appliquer

i4 I" CAHIER. - LEMMES

Toutes les longueurs qui entrent dans cette équation étant constantes» à l'exception de CD qui est inconnue, on voit que cette ligne doit etro aussi constante; ainsi, quel que soit le point a que Ton considère, ce point sera toujours situé sur la perpendiculaire élevée au point D. i

Il n'est pas difficile de voir que, quand les deux cercles se coupent, la perpendiculaire D a est la corde commune à ces cercles. Car, si par un de leurs points de rencontre on mène une tangente au cercle C et une tangente au cercle C, leur intersection se confondra avec le point commun de contact, et par conséquent les distances aT et at seront égales en ce point, comme nulles toutes deux. Il en est de même pour le deuxième point d'intersection des cercles (C), (C); donc ces points appartiennent au lien des points a.

Au reste, on peut le démontrer directement.

En effet, si l'on joint le point I d'intersection des deux cercles aux centres C et C par les droites CI et CI, et qu'on abaisse sur ce la perpendiculaire ID, qui sera la corde commune, on aura évidemment dans le triangle CIC