CI =CC 4- CI — 2CCXCD

R»=r=-hCC -ïCCxCD.

tello autre dénomination , française, grecque ou latine, ayant ou non fait fortune plus tard. Maiâ, par les motifs déjà indiqués dans une précédente note, l'auteur, voulant dès lors admettre explicitement la loi, le principe fie continuité, sauf à l'approfondir, le justifier ultérieurement, a dû s'abstenir d'employer des épilhètes susceptibles de devenir complètement fausses ou illusoires pour les systèmes de sections coniques.

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉnQUE. i5

Cette dernière équation donnant pour la distance CD la même expression que celle obtenue précédemment pour un point quelconque a de tangentes égales, le lieu des points a passe par les points I et F, et se confond par suite, avec la corde commune aux deux cercles.

Corollaire. — Quand les cercles (C), (C) se coupent, la droite LM est très-facile à construire, puisqu'elle est leur corde commune; mais quand ils ne se coupent pas, la même construction n'est plus possible; cependant la droite LM existe toujours. Pour la construire, on se servira de la propriété générale dont elle jouit indépendamment de la position relative des deux cercles.

Fig . 12.

Pour cela, on élèvera aux doux points R et R', sur la ligne des centres ce, deux perpendiculaires RF et R'F', qui seront en même temps tangentes aux cercles respectifs (C) et(C');on prendra sur ces perpendiculaires des distances égales RF et RF', et des points C et C comme centres avec CF cl C/F' pour rayons on décrira deux circonférences qui se couperont aux points L et M situés sur la droite cherchée; car, par exemple, il est évident que les tangentes LT et LT' partant du point L, sont respectivement égales aux tangentes R'F et RF', et par conséquent égales entre elles.

Scolie /. — On peut regatx/er la droite LM comme la corde commune aux deux cercles C et C, même quand ils ne se coupent pas, car cette droite jouit , à regard de ces cercles, des

16 r CAHÏER. - LEMMES

mêmes propriétés générales, soit que les deux cercles se coupent ou qu'ils ne se coupent /ms.

Scolie IL — D'après la Propos. V (^g*. 8 el 9), les droites T/ el Vf passent dans toutes leurs positions par un même point 0; pareillement, les droites Tt' et Vt passeiii aussi dans toutes leurs positions par un même point 0'. De tout cela on peut conclure la proposition suivante :

Proposition VII.

Soient (C) et (C) [fig* 8 et 9), deux cercles de position arbitraire; 0 et 0' les deux points déterminés comme ci-dessus; OT une sécante quelconque menée par le point O et qui coupe les deux cercles (C) et (C) aux quatre points T, T', /, /'; les tangentes menées aux cercles en ces points formeront parleurs intersections y le parallélogramme a^a'p'. Cela posé, si Von fait tourner la sécante OT autour du point 0 [fig* 8), les deuxpoints OL et CL parcourront dans leur mouvement, chacun en particulier^ une même droite olol ou \M. perpendiculaire à CC, et qui pourra être considérée comme la corde commune à ces deux cercles, soit qu'ils se coupent ou ne se coupent pas.

Pareillement, si par le point 0' [fig* 9) on mène une sécante O'T qui coupe le système des deux cercles en quatre points T, ï', / et V , et quon exécute à l'égard de ces points la même construction que précédemment, ce qui donnera un parallélogramme afa'p', les deux points ol et ol' parcourront encore cette unique droite LM quand on fera tourner la sécante O'T autour du point 0'.

Scolie /. — Ces deux propriétés fournissent le moyen de construire, dans tous les cas possibles, la droite LM au moyen des points 0 et 0'.

Scolie IL — On se rappellera aussi (Scolies de la Proposition V) que les droites désignées par pp', dans les /ig. 8 et 9, passent, dans toutes leurs positions, l'une par le point O, l'autre par le point O'.

Proposition VIII.

Soient trois cercles quelconques (C), (C) et (C), qui se cou-pent [fig> i3), ow ne se coupent pas {Jig. i4)> ^^^ trois cordes LM, L'M', L"M'\ communes à ces cercles considérés deux à deux, passent par un même point K (* ).

Fig. i3.

Considérons d'abord le cas où les trois cercles se coupent, et faisons pour un moment abstraction du cercle ( C), en conservant cependant la corde LM. Appelons K le point où cette corde rencontre la corde L"M'', on aura évidemment [Jig. ï3)

KMxKL = KM"xKL".

Si, par le même point K et par le point M', on mène une sécante KM' dans le cercle (C), elle coupera ce cercle en un autre point que j'appelle L', et Ton aura évidemment, puisque les droites K\F et KM' sont sécantes d'un même cercle (C),

KM' X KL' = KM" X KL'' ; donc

KM'xKL' = KMxKL.

Cette dernière équation fait voir que les points M, L, M' et L'

(*) Il est peu nécessaire, sans doute , de rappeler ici que ce remarquable théorème et celui de la Prop. XI ont été déduits, par Monge, de considérations fort élégantes de géométrie intuitive dans Tespace, dont la généralité et la rigueur furent contestées par des esprits difficiles dès l'époque de 1808.

i8 r CAHIER. - LEMMES

sonl situés sur une même circonférence de cercle. Donc, puisque le cercle (C) passe par les irois points L, M et M', il passera aussi par le quatrième point L'; d'où Ton peut conclure réciproquement que si ce cercle est tracé, les trois cordes LM, L'M' et L^M'^ passent par un même point.

Supposons en second lieu (Jig. i4) que les trois cercles ne se coupent pas, et soient L'^M'' et L'M' les cordes imaginaires communes aux deux cercles (C) et (C), et aux deux cercles (C) et (C) ; soit K le point où elles se rencontrent, il est clair que si par ce point on mène une tangente à chacun des trois cercles, les deux tangentes KT et KT' seront égales, comme appartenant à la droite L^'M"; pareillement les deux tangentes KT et KT'' sont égales, comme appartenant à la droite L'M'; donc la tangente KT' est égale à la tangente KT", et par suite le point K, commun aux deux droites L'M' et L^M", appartient aussi à la droite LM. Ces trois droites se coupent donc en un même point K.

Scolie /. — On voit par là que les droites LM, L'M' et L^'M'' se comportent de la même manière, soit que les cercles se coupent ou qu'ils ne se coupent pas. La même chose aura lieu toutes les fois qu'il ne s'ajgira que de propriétés qui# ainsi que la précédente, ne sont relatives qu'à la position des trois droites; la raison de ce fait consiste en ce que ces droites sont liées aux cercles (C), (C) et (C") par une condition indépendante de la valeur absolue de leurs rayons et de leurs positions relatives (Prop. Vil).

Scolie II. — La proposition précédente subsiste quand deux

ou trois des cercles (C), (C), (C) se touchent : les cordes

communes deviennentalors les tangentes aux points communs.

Proposition iX.

cf,

Le lieu de tous les points a pour lesquels la distance a(7 à un point fixe C est égale à la tangente aT menée à un cercle C, est une droite LM, perpendiculaire à celle qui passe par le centre C et par le point C.

Fig. i5

Cette proposition n*est qu'une conséquence de la Proposition VI; car si Ton imagine [fig, 10), que le cercle (C) dont il s'agissait alors, se réduise à un point, il est clair que la tangente a/ à ce cercle deviendra simplement une droite olÇ,\ passant par son centre C. Mais on peut la démontrer directement de la môme manière que la Prop. VI.

En effet, le triangle CaC donne

Ca =C'a 4- ce — aCC'xC'D;

or, R étant le rayon de (C),

Ca' = R»-hTa' = R»4-C'a';

donc on a sîjft|^ment

^ R'rrrCC'' — 2 ce X CD.

D'où r^ voit que CD est constant, et que, par conséquent,

w> 1" CAHIER. — LE51MES

tous les poînis a. sont placés sur une même perpendiculaire à

la droite CC, élevée par le pointD('].

Proposition X.

Étant donnés un cercle [C) et une droite IM quelconques \Jig. i&), soient menées au cercle par un point a de cette droite deux tangentes «T et nT', ce qui déterminera une corde de contact TT'; si l'on fait parcourir la droite LU par le point a, la corde Tl" passera dans toutes ses positions par un même point 1.

Fifl. .e.

En e^et, si du point a cuinme centre, avec la tangente ccT comme rayon, on décrit une circonférence de cercle, elle coupera la droite CD perpendiculaire à LM, en deux points C el e' qui seront les mêmes, quel que soit le point s qu'on ait choisi. Car, si l'on considère un autre point a, et que de ce point on

(*) CeUe proposition et quelques-unes de celleB qui suivent ou qui précèdent, ont dû aussi être connues des aocieDS, d'Euclide notamment, BOUS le nom de Porismcs, dont le sens, aujourd'hui controversé encore, est si singulièrement obscurci, tronqué peut'âtre et amoindri dans les énoncés des 171 Théorèmes et des 38 Lemmes principaux du livre précieux de Pappus, tant et si souvent interprété ou commenté. Vraisemblablement aussi, c'est le cas de quelques autres propositions ou théorèmes l'ODCcrnant Ir (unlarl et l'intersection des cercles, connus A' Aimllomiiix

DE GEOMETRIE SYNTHÉTIQUE. ai

mène deux nouvelles tangentes ait et a'/' au cercle (C), il est clair que ces tangentes seront égales à la distance a'C, puisque la droite LM perpendiculaire à CC contient déjà un point a pour lequel la dislance a C est égale à la tangente aT, et que par conséquent elle est, à Tégard du cercle (C) et du point C, la droite analogue à LM dont il est parlé dans la proposition précédente. Mais la distance a'C étant égale aux tangentes a' f el at! t'y si Ton décrit du point a' comme centre, avec a! t pour rayon, une circonférence de cercle, elle passera par les points /, /', C et c'; par suite, si Ton mène les cordes communes aux trois cercles (C), (a) et (a'), à savoir TT', //' et Ce', elles passeront toutes trois par un même point 1 (Prop. VIII).

Donc tous les points de la droite LM jouissent de la propriété que les cordes de contact TT', qui leur correspondent, passent par un même point I, situé sur la perpendiculaire CD, abaissée du centre C sur la droite LM.

Scolie. — La réciproque est également vraie et se démontrerait d'une manière analogue. Ainsi, que d'un point I quelconque, on mène des sécantes arbitraires TT', //', dont chacune coupe le cercle (C) en deux points, et qu'en ces deux points on mène des tangentes à ce cercle, celles-ci se couperont en un point a qui sera toujours situé sur une même droite LM perpendiculaire à celle qui passe par le point I et par le centre C.

Proposition XI.

Soient C et C [fig- 17) deux points arbitraires y le lieu des centres x de tous les cercles pour lesquels les tangentes CT, menées par le point C, sont égales à une longueur constante T,

fie Perge, et restaurés, étendus, comme on dit, par flmnation, dans V Apollonius GalliLs de Viètc, etc. Or, ces rapprochements, ces divinations d'une critique philosophique et historique transcendante, épineuse, délicate et parfois môme fort subtile, intéressent s()écialement les érudits de profession, dont le siège est à l'Académie des Inscriptions et Belles- Lettres; mais très-peu, je crois, les lecteurs du présent ouvrage, qui a fort couru le risque de demeurer à jamais ignoré du public, 4iB moins sous la forme rudimentaire qu'on lui a conservée ici.

r CAHIER. - LEMMES

et les tangentes C'V menées par le point C sont égales à une

autre longtteur constante T', ce lieu est une droite LM per-

pendiculaire à ce, corde commune aux deux cercles décrits des points C et C avec les distances T et T' pour rayons.

De plus, tous les cercles (x) ont la droite CC pour corde commune, et par conséquent ils passent par deux mêmes points 1 et K, quand ils rencontrent la droite CC.

En effet, considérons le cercle [x) dans une de ses positions ; puisque CT est une tangente à ce cercle, il est clair que le rayon ^T est perpendiculaire sur CT, et par conséquent, si du point C comme centre, avec la distance constante CT ou T comme rayon, on décrit un cercle, cette droite xT lui sera tangente au point T : on prouverait pareillement que le rayon xV du cercle [x) est tangent au cercle décrit du point C comme centre avec un rayon égal à T'; donc puisque les rayons xT et xV sont égaux entre eux, le centre x est un des points de la corde LM commune aux deux cercles (C) et (C), et par conséquent cette corde est le lieu de touîj les centres x ; ainsi qu'il s'agissait de le prouver (Prop. VI).

Je dis, de plus, que tous les cercles (x) passeront par les deux points I et K, où Tun d'entre eux rencontre la droite CC, et que par conséquent cette droite sera la corde réelle ou imaginaire commune à tous.

En effet, si l'on considère le point K et qu'on joigne ce point au centre x, il est clair que la distance Kx et la tangente xT sont égales comme rayons du cercle [x) ; donc la droite LM (Prop.*lX) qui passe par le point x et qui est perpendiculaire à KC, est telle que si d'un autre point quelconque x' on

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. ti3

mène au point K la droite x'K^ et au cercle (C) la tangente jr'e, ces deux lignes seront égales entre elles. D*où Ton voit que le cercle qui aurait pour centre a:', et qui passerait par le point 0, passerait aussi par le point K, et par suite par le point I, qui est également éloigné de la perpendiculaire LM; or ce cercle (x^) est un des cercles (x) pour lesquels xT est égal à xT; donc tous ces cercles passeront par les deux points I et K.

On aurait pu démontrer cette dernière propriété d'une manière plus simple; car si Ton considère le cercle [x] dans deux de ses positions x et x', il est clair que les deux points C et C étant tels que les tangentes menées par chacun de ces points aux cercles {x) et [x'), sont respectivement égales, la droite ce est la corde commune à ces cercles, et, par suite, commune à tous les cercles décrits de la même manière.

Proposition Xll.

Le lieu des centres x, des cercles tels que les tangentes CT qui leur sont menées par un même point C, sont égales à une constante T, et que les cordes RR' menées par un autre point C sont divisées en ce point en deux parties C R et C R' dont le

Fig. 18.

produit est égal à la constante T'', ce lieu, dis-je, est une pei^ pendiculaire à CC; et tous les cercles [x] ont pour corde commune réelle la droite CC , en sorte que si l'un d'eux passe par les points l et K de CC, ils jr passeront tous.

En effet, si du point C comme centre, avec un rayon égal à

ia longueur constante T, on décrit une circonférence, il est clair que le rayon xT sera perpendiculaire à CT, et par conséquent tangent au cercle (C). Pareillement, si du point C comme centre, avec un rayon égal à l'autre quantité constante T', on décrit une circonférence de cercle, elle passera par les extrémités R et R' de la corde RR' menée par le point C, perpendiculairement à la droite C'x; car le cercle (x) est tel, que C'RxC'R' = T'^ ou que C'R est égal au rayon T du cercle (C).

Cela posé, si l'on mène le rayon j;R et la droite Cx, et que du point X, on abaisse la perpendiculaire xl3 sur CC, on aura d9ns le triangle CxC,

Ci'= CCV Cl^—^CC X CD.

Or les triangles rectangles xCT et xCR donnent

Cx:=T'hTx , C'x =^x — C'R=T:r —V;

donc, substituant, on aura

T»= CCy * — T'^ — 2CC' X CD .

On voit, par celle dernière équation, que la distance CD est constante. Par conséquent, quel que soit le centre x, si l'on abaisse de ce point une perpendiculaire sur la droite CC, elle passera toujours par le point D; tous les points analogues seront donc situés sur une même droite élevée par le point D perpendiculairement à CC.

Je dis, de plus, que la droite CC est la corde commune à tous les cercles (x) : d'abord, celte droite étant perpendiculaire à la ligne LM des centres x, il sufCt de démontrer qu'un de ses points jouit de la propriété qui appartient à tous les points de la corde commune. Or, si Ton considère le cercle [x) dans une autre position (^), il est clair que la tangente CT au cercle [x*], menée parle point C, est égale à CT; donc (Prop. VI) le point C appartient à la corde commune aux deux cercles (x) et [x'), et, par la même raison, à la corde commune à tous les cercles déterminés de la même manière que le cercle [x). Donc

enfin la droite CC est une corde commune à tous ces cercles, et, par suite, si Tun d'eux passe par les points I et K situés sur cette droite, ils y passeront tous.

Scolie. — Il est facile de voir que le cercle [x] rencontre nécessairement la droite CC.

Proposition XIII.

Le lieu du centre x, d'un cercle tel y quen menant par le point C une sécante quelconque dans ce cercle^ le produit des segments formés par le point C soit égal à une quantité constante T', et qu*en menant par un autre point C une sécante quelconque dans le cercle [x), le produit des deux segments formés en ce point soit égal à une seconde quantité constante T'% ce lieu est une droite perpendiculaire à la direction de CC ; en outre, la droite CC peut être considérée comme une corde commune à tous les cercles [x],

Fig. 19.

En effet, puisque le point C est tel, que le produit des deux segments formés en ce point, dans le cercle [x), est égal à P, il est clair que la perpendiculaire CR, élevée au point C sur la droite Cjt, est égale à T. Pareillement, la perpendiculaire CR' élevée par le point C sur la droite Cjt, est égale à T'; donc si Ton mène les rayons ^R et ^R' aux points R et R', on aura