V ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

D'après les remarques déjà faites, on voit que pour que la projection soit possible, il faut que la première des deux cordes ci-dessus soit de l'espèce de celles que J*ai appelées sécantes idéales; c'est-à-dire qu'elle ne rencontre pas les courbes données quoiqu'elle ail une existence géométrique; quanta la seconde qui lui est conjuguée, elle pourra être indistinctement réelle ou idéale. 11 est évident, d'après cela, que les quatre autres cordes seront, dans cette même circonstance, tout à fait impossibles à construire, et par conséquent illusoires; car autrement, comme elles couperaient nécessairement la première, il s'ensuivrait que celle-ci aurait un ou deux points en commun avec les courbes en question, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Tout ceci deviendra très-clair par la suite, quand nous aurons fait connaître les propriétés dont jouissent les cordes communes à deux sections coniques; ce qui nous fournira le moyen de construire, dans certains cas, la corde ou sécante idéale commune à deux sections coniques données et la conjuguée à cette corde.

Remarque, — Un système (luelroncjue de cercles sur un plan, devant toujours être censé avoir une corde commune à rinfini, si l'on suppose, de plus, que ces cercles en aient une commune à distance finie, il est évident que ces deux cordes seront conjuguées entre elles, et que les autres cordes que ces cercles ont en commun, analytiquement parlant, sont toutes quatre illusoires ou imaginaires. Donc, d'après ce qui précède, le système d(» ces cercles peut être projeté suivant un autre système composé d*un égal nombre de cercles ayant une corde coninuine à une dislance donnée, projection de celle (|ui est située à l'infini dans le premier système pour lequel la projection de la corde commune ordinaire est réciproquement située à. une distance infinie.

Avant de clore la première Partie de ce Mémoire, il est nécessaire de faire quelques remaniues sur les Principes établis dans les art. I, Il el suivants. La démonstration de

CCS Principes étant entièrement fondée sur la nature propre de l'analyse algébrique, toutes les conséquences qu'on en pourra tirer relativement aux propriétés de position des figures, seront vraies, considérées d'une manière purement analytique; mais, considérées d'une manière géométrique, elles pourront n'être que d'une vérité conditionnelle (dépendante de la disi)osition des parties de la figure), lorsqu'elles porteront sur quelque grapjjjeur déterminée susceptible de devenir imaginaire; car unie grandeur qui peut devenir imaginaire a toujours une existence algébrique, mais elle cesse d'exister au point de v'uc purement géométrique.

Dans tous les autre cas, les conséquences géométriques qu'il sera possible de tirer de ces mêmes principes relativement aux propriétés de position des figures, seront toujours vraies d'une manière géométrique et d'une manière analytique, et cela aurait lieu même quand elles porteraient sur quelque gi-arideur indéterminée; pourvu que cette grandeur ne dé|)ende d'aucun radical qui puisse la rendre imaginaire.

Ces remarques nous conduisent à distinguer deux espèces de propositions, savoir : celles qui sont d'une vérité absolue ou géométrique, et celles qui sont d'une vérité conditionnelle, c est-à-dire, vraies pour une certaine disposition des parties de la figure et cessant de l'être pour d'autres, quoique, dans tous les cas, ces propositions soient vraies d'une manière relative et analytique. Les Principes posés au commencement de ce Mémoire, seront toujours applicables aux propriétés de la première espèce, mais ils pourront ne l'être qu'avec restriction à celles de la seconde.

La première espèce comprend toutes les propriétés de position (|ui ne tiennent explicitement à aucune grandeur déterminée ou indéterminée et celles (|ui, tenant à des grandeurs indéterminées, ne renfermant implicitement aucun radical dans leur expression algébrique, ne peuvent devenir imaginaires. Tell(*s sont toutes les propriétés relatives aux points de concours des lignes droites, et celles dont jouissent les points ou droites mobiles relativement au degré ûe la courbe qu'elles engendrent dans leur mouvement, etc.

Pour en dornier un ex(împle, supposons qu'il soit prouvé (lue, pour une certaine disposition générale d'une figure, trois