VH" ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

lignes droites ou plus, concourent en un même point; il est évident que celle propriété sera toujours vraie géométriquement; car l'expression de l'ordonnée du point d'intersection de deux ou plusieurs droites est indépendante de tout radical, et par conséquent, ne pouvant jamais devenir imaginaire, elle correspondra toujours à un point réel et constructible géométriquement. Il est de toute nécessité cependant que deux de ces droites soient elles-aiênies constructibles; car si elles étaient toutes imaginaires, l'ordonnée du point en question pourrait l'être aussi ; mais ce cas ne fait nullement exception, si l'on admet qu'en géométrie, il n'y a pas lieu d'examiner les propriétés des figures qui ne peuvent être tracées effectivement. En voici un exemple :

Soient (A) et(B), fig. i66, deux coniques données; imaginez que, d'un point m de la première, on mène des tangentes à la seconde et qu'on joigne les points de contact par une droite tt'; supposez, de plus, que l'on fasse mouvoir le point m sur

Fig. 166. *'

sa courbe, la droite //' roulera, comme nous le verrons plus tard, sur une troisième ligne du second degré. Or il semble évident que cette ligne cessera d'exister géométriquement, qua nd la corde tt' ne sera susceptible d'être construite pour aucune des positions du point m : c'est ce qui arrivera quand la conique (A) sera entièrement enveloppée par la conique (B); car il n'y a plus lieu alors d'examiner quel est le degré de la conique engendrée, etc. Mais, si la conique (A) n'était qu'en partie comprise dans la courbe (B), c'est-à-dire si elle la coupait, la courbe décrite parla corde It' aurait évidemment alors une existence géométrique, puisqu'une partie de ces cordes seraient susceptibles d'être construites, et qu'une

section conique est déterminée de position quund on connait cinq droites auxquelles elle doit être tangente.

La seconde espèce de propriétés de position comprend toutes celles qui liennent à des grandeurs indéterminées pouvant devenir imaginaires pour des dispositions générales de la figure mais qui sont réelles pour d'autres : Telles sont généralement les propriétés relatives à la position (et non au degré) de la Hgne engendrée par le mouvement d'un point ou d'une droite mobile par rapport à certaines lignes fixes de la figure; telles sont encore, en général, les propriétés relatives à la manière dont la courbe décrite est liée aux parties fixes de la figure; par exemple, si elle touche une courbe ou droite fixe, si elle passe par les points communs à deux courbes, etc. (*).

Toutes ces propriétés ne sont évidemment que d'une vérité

conditionnelle; car l'expression de l'ordonnée des points de

contact ou d'intersection de deux courbes renfermant des

fonctions radicales, cette ordonnée et par conséquent le point

correspondant pourront devenir imaginaires pour certaines

dispositions générales de la figure, et partant cesser d'exister

d'une manière géométrique.

(*) Les lecteurs s'a[)ercevront avec moi, sans doute, qu'il rèjçiic dans tout ce passage, à force «le généralité, un vague et une obscurité qu'on s'explique difficilement après les études géométritiues et algébriques approfondies des V* et VP Cahiers de cet ouvrage; notamment si l'on se reporte aux propositions réciproques des p. -253 à îi6o, où l'existence des courbes enveloppes et de leurs cordes génératrices est entièrement indépendante de la position môme du sommet conjugué de l'angle circonscrit. Cela prouve qu'à l'époque de 1810, où je quittai l'Ecole polytechnique, on était loin d'avoir des notions bien arrêtées sur la dépendance mutuelle de ce que Ton a nommé depuis, le pâle et la jjoUnrc dans les courbes du deuxième degré; car l'expression môme de polaire, aujourd'hui si universellement adoptée, ne l'a été qu a partir de 181 3 et 1814 où MM. Gergonne et Servois s'en servirent dans le t. III des Annules de Mathémntiques de Montpellier, M. Brianchon lui-même, dans ses Mémoires de 1806 à 1810, n'avait point insisté sur la réalité de l'existence simultanée du polo et de la polaire, et, si je ne me trompe, ce ne fut pas avant l'époque de 1817, où j'établis la réciprocité complète de ces éléments, pour deux sections coniques quelconques, que l'on acquit des notions un peu générales à cet égard.

Néanmoins je m'étais déjà occupé, lors de mon séjour à l'Ecole polytech-

4a8 Vn« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Si donc, on avait trouvé, pour une position générale d'nne figure susceptible d'une projection plus simple, qu'un certain point mobile dans cette projection, décrit une ligne concentrique à une courbe fixe, ou plus généralement, qui n'a aucun point en commun avec cette dernière, on pourrait bien en conclure que, pour la disposition actuelle où la projection est censée possible, le point mobile de la figure donnée décrit aussi une ligne qui n'a aucun point en commun avec la proposée; mais on ne saurait affirmer que cela eût lieu pour d'autres dispositions des parties de la figure; car les courbes considérées pourraient, dans certains cas, posséder des points communs et même être tangentes en ces points.

Dans des cas semblables, il serait absolument impossible de prononcer sur la manière dont les deux coniques sont en général liées entre elles, et il faut alors recourir à un examen tout particulier de la figure. Supposons donc que, au moyen de cet examen, on ait trouvé que ces coniques ont entre elles deux points de contact communs effectifs : on en pourra conclure qu'elles sont toujours liées Tune à l'autre (analyliquement parlant) de la même manière, que le contact soit imaginaire ou réel comme dans le premier cas. Ainsi toute propriété de position (n° 1) dont le système de ces courbes jouit quand elles

nique à pro[)os de l'épure relative à rintersection des ellipsoïdes de révolution et des élégants théorèmes de Monge sur les points, les droites et plans d'intersections des cercles ou des sphères, des cas de possibilité ou d'impossibilité de ces intersections diverses, ainsi que des singulières difficultés d'interprétation géométrique qui résultent de la discontinuité dans le tracé par points du lieu des mêmes intersections. En particulier, je m'expliquais très-bien comment le lieu du centre des cordes interceptées dans un cercle par les sécantes issues d'un point ou pôle fixe donné, était réellement continu dans toutes ses parties, comme le montre l'analyse algébrique, quoique ce point milieu lui-même ne semble pas exister géométriijucment pour les sécantes extérieures au cercle donné. Il suffisait pour cela, de remarquer que ce point se confondait avec le pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur les sécantes.

Ceci prouve, une fois de plus, la lenteur avec laquelle l'esprit parvient à s'ouvrir une route dans un champ d'idées nouvelles qui souvent contrarient des notions antérieurement admises. Mais il restait à interpréter le fait d'une manière générale, par la théorie géométrique des cordes cl des sécantes idéales.

se louchent gcomctnquemenl , aura lieu même quand ces courbes viendront à ne plus se toucher réellement, pourvu que cette propriété soit de celles de la première espèce; dans la supposition contraire, elle cessera d*ôtre vraie si ce n'est d'une manière analytique.

Il ne serait pas difficile de multiplier les exemples propres à éclaircir ce que je viens de dire en dernier lieu, si je ne craignais d'anticiper par trop sur ce que je me propose de faire connaître dans la troisième partie de ce Mémoire, d'autant que cette troisième partie étant une application presque continuelle des principes ci-dessus, pourra servir elle-même, d'éclaircissement à ces principes.

Remarque [générale. — Les neuf principes que nous venons de poser relativement à la projection des figures, ne sont pas les seuls que nous eussions pu démontrer. Il en existe encore quelques autres on ne peut plus faciles à démontrer, et qui sont des conséquences immédiates des précédents. C'est pourquoi nous n'en donnerons la démonstration que quand l'occasion s'en présentera, afin de ne pas trop allonger cette première partie du Mémoire.

Au moyen de ces principes, d'ailleurs, et des observations déjà faites dans tout ce qui précède, on pourra très-souvent rendre la démonstration d'une propriété de position extrêmement simple et facile; mais il faudra avoir l'attention, quand la figure donnée sera susceptible d'être simplifiée de plusieurs manières différentes, de choisir celle de ces simplifications qui conviendra le mieux à la propriété qu'on se propose de démontrer en particulier.

Au reste, la méthode mixte que nous venons d'exposer pour simplifier la démonstration des figures sur un plan, pourrait être beaucoup étendue au moyen de la géométrie des figures dans l'espace, c'est-à-dire de la géométrie descriptive; nous en avons eu déjà un exemple à l'art. 11. Cela consisterait, conime on voit, à regarder une figure plane comme la projection (perspective) ou comme l'intersection d'une figure dans l'espace, et à conclure des propriétés de cette dernière celles de la figure primitive, en se servant pour cela, des principes généraux de la géométrie de Monge.

43o Vil* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Je ne me servirai pas de ce dernier moyen, parce qu'il ne s'applique, en général, qu*à très-peu de propositions; ce qui provient de ce qu'il est encore plus difficile de découvrir les propriétés des figures de l'espace que celles des figures planes. Les principes précédents suffiront seuls, pour démontrer les propositions que nous avons en vue.