DEUXIÈME PARTIE

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES ET UT>)ÉAIRES LES PLUS SIMPLES DES FIGURES SITUÉES SUR UN PLAN.

Nous avons déjà dit que l'objet de cette seconde partie est d'appliquer les principes précédents à la démonstration des propriétés de position déjà connues. Nous aurions pu nous borner à quelques exemples choisis parmi les plus marquants; mais comme la plupart de ces propriétés sont dispersées dans plusieurs ouvrages différents, et que, par la suite, nous serons obligés d'y avoir recours, nous avons cru n'en devoir omettre aucune. On pourra s'apercevoir que ces propriétés sont, en grande partie, des conséquences les unes des autres, et c'est aussi la manière dont elles ont été démontrées d'abord ; mais, à l'aide des principes de projection, elles seront démontrées chacune isolément et immédiatement; ce qui est l'un des grands avantages offerts par ces principes.

Si deux triangles ABC et abc [Jîg. 167) sont tels, que les côtés respectifs AB et àb, BC et bc, AC et ac se coupent en

Fig. 167.

trois points I, L, K situés en ligne droite, les droites Ce, Art et B6, joignant deux à deux les sommets opposés à ces côtés,

passent par un même point 0, quelle que soit d'ailleurs la disposition relative des deux triangles.

En effet, d'après le II' Principe, la figure peut être considérée comme la projection de deux autres triangles dont les côtés, pris deux à deux, concourraient à Tinlini ou seraient parallèles, tels que les triangles A'B'C, dV d . Or il est visible, et il n'est pas nécessaire ici de démontrer, que ces (i^miers triangles sont tels, que les trois droites A'a', B'6' et GV viennent se couper en un même point 0', quelle que soit la situation de ces triangles; donc (Art II, I" Partie) les deux triangles ABC etrtfcc d'abord considérés jouissent de la même propriété.

La proposition réciproque est également vraie et pourrait se démtHitrer d'une manière analogue, ce qu'il est inutile de faire puisqu'elle est une conséquence immédiate de la première. Ainsi donc, quand deux triangles ABC et a6c seront tels que les trois droites Ce, B6, Aa, qui joignent deux à deux leurs sommets respectifs, se couperont en un même point 0, on pourra en conclure que les trois points I, K et L, où se coupent les côtés respectivement opposés à ces sommets, sont situés sur une seule et même ligne droite IL.

« Soit KCIc [Jig. i68) un quadrilatère quelconque; si, d'un point F^ de Tune de ses diagonales Kl, on mène, dans ce qua-

Fig. i68

drilatère, deux sécantes arbitraires, La et LA, qui coupent ses côtés, non prolongés, aux points respectifs A, B, 6 et a; que

43a VIP ET DERNIER CAIIIEn. - RÉSUMÉ

Ton joigne ensuite les points B, & et A, a par deux lignes droites B& et Aa ; ces deui droites, en quelque sorte réciproques des précédentes et conjuguées entre elles, se couperont en un point 0 situé sur la diagonale Ce, réciproque et conjuguée à regard de la première Kl, puisqu'elles s'engendrent Tune par l'autre, et qu'il exisie une troisième droite YX, nommée aussi diagonale.

Cette propriété est une suite nécessaire de celle du n* I, Jig. 167, et n'en diffère que parce qu'elle est énoncée d'une autre manière. En effet, si l'on considère les deux triangles ABC et abc qui font partie de la fig, 168, il est clair, d'après l'énoncé (I), que leurs côtés respectifs se coupent deux à deux en trois points L, I, K situés en ligne droite; or, suivant ce qui précède, les trois droites Ce, A a et B6, joignant les sommets opposés à ces côtés, se coupent bien en un seul et même point 0.

Si l'on réunissait les quatre intersections «, B, A, b par les droites «B et A 6, leur point de rencontre ne se trouverait ni sur l'une ni sur l'autre des diagonales Ce ou Kl. Mais si, au lieu de prendre le point L sur la diagonale Kl, on l'eût pris sur la troisième diagonale YX, ce point d'intersection se serait trouvé sur la diagonale Ce, comme il est facile de s'en assurer. Ainsi ces trois diagonales jouissent des mêmes propriétés réciproques à l'égard les unes des autres.

Enfui on peut remarquer que si l'on prend les points L et 0 sur la troisième diagonale YX, les deux droites kb et Ba se couperont au centre même 7, du quadrilatère proposé.

Soient AO et BO [fg. i6c)) deux droites quelconques qui se coupent au point 0; 1, K et L trois points donnés sur une autre ligne droite; par le point I soit menée^ dans l'angle AOB, la sécante arbitraire I/>, qui coupe les côtés de cet angle en deux points a et A ; soient menées ensuite les deux droites Ka et hh se coupant en un dernier point e; je dis que, si l'on vient à faire varier la sécianle \ab autour du point I, connue pôle, et qu'on fasse pivoter en même temps, les droites Krt et Lft, comme on l'a dit précédemment, autour des deux autres points

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. i33

K et L, le point c décrira dans son mouvement, une droite CO qui passera par le sommet 0 de Tangle donné AOB.

Cette propriété est une conséquence très-simple de la première. En effet, si Ton considère le point mobile c dans deux quelconques de ses positions c et C , il sera facile de voir, d'après la Propos. Il, que les triangles abc et ABC étant tels,

Fig. 169.

que leurs côtés homologues, pris deux à deux, se coupent en trois points I, K et L situés en ligne droite, les droites A a. Ce, B6 qui joignent aussi, deux à deux, les sommets opposés à ces côtés, vont toutes passer par un même point 0, et que par conséquent, comme il en serait ainsi également du triangle abc avec un autre triangle quelconque A'B'C construit d'une pareille manière, tous les sommets C, C, etc., seront situés sur la même droite Oc.

Au reste, on aurait pu démontrer cette propriété directement ainsi que la première, à l'aide du II* Principe, ce qui eût élé tout aussi simple.

Réciproquement, si l'on assujettissait toujours les côtés ab et ac du triangle mobile abc à passer par les pôles I et K, et que Ton fît, de plus, parcourir une droite donnée Oc contenant le point O, au sommet c, qui était libre précédemment, le troisième côté bc de ce triangle passerait dans toutes ses positions par le point L, situé sur la même ligne droite que les pôles donnés I et K.

Cette dernière remarque peut servir à mener d'un point donné /i, par exemple, uQe ligne droite ^0 qui aille concourir I. 28

434 VIT ET DEKNIBR CAHIER. - RtSUMË

avec deux droites données CO et BO dont le point de rencontre 0, sentit très-éioigné, et en ne se servant que du secours seul de la règle. Pour cela faire, on prendra arbitrairement deux points ou pAles I et K qu'on joindra chacun, avec le point a, ce qui donnera deux droites Ka et la, dont l'une coupera cO au point c, et l'autre bO au point A; on tracera ensuite bc, qui donnera par sa rencontre avec la droite IK prolongée, le troisième pôle L. Ce pôle une Tois trouvé, on construira un second triangle BCA, dont le sommet A appartiendra à la droite demandée aO.

Soient ao, eo {Jîg. 170) deux droites quelconques se coupant au point o; si, d'un point s arbitraire on mène autant de sécantes sa, sh, etc-, que l'on voudra et qu'on joigne, deux à deux, leurs intersections avec les droites données ao et eo,

Fifl. 170

comme cela est indiqué sur la figure, c'est-à-dire le point a avec le point /, le point b avec le point e, et ainsi de suite en prenant quatre à quatre les points donnés par chaque couple de sécantes, les points 1, h, l, etc., où se coupent reapectivement tes droites ou diagonales ainsi obtenues, seront tous situés sur une même ligne droite passant par )e point de concours o des droites ao, eo.

En eiïet, on peut projeter la figure sur un nouveau plan, de façon que les points o ai s y soient situés à l'infini, et sur lequel par conséquent, les d^x droites données ao et eo seront parallèles aussi bien que le système des sécantes qui passent par le point i ; donc dans cette nouvelle figure, les quadrilatères aA/«, bcgf, etc., seront des parallélogrammes. Or il

esl visible que, dans celle nouvelle figure, la droite qui divise à la fois tous les côtés parallèles ae, bf, etc., en deux parties égales, passe aussi par tous les poinis i, k, /, etc., de rencontre des diagonales, en même temps qu'elle est parallèle aux droiles ao et eo, c'est-à-dire qu'elle concourt à l'infini avec ces droites; donc aussi (n** II, I** Partie) les points /, /r, /, etc., de la figure primitive, sont tous situés sur une même ligne droite passant par le point 0.

Celle propriété peut être considérée comme une conséquence de la première; car on voil, d'après celle-ci {fg» 170), que les deux triangles aei, ckg étant tels que leurs côlés opposés pris deux à deux, se coupent en trois points *, 6, /situés en ligne droite, les droiles «c, eg et ik qui en joignent les sommets opposés, concourent toutes trois en un même point o.

La propriété en question peut aussi servir à résoudre le problème dont nous avons parlé ci-dessus : Étant donnés un point I ei deux droites ao et eo^ mener par ce point, en ne se servant que de la règle seule, une autre droite qui aille concourir en o avec les premières.

Soient LM et PQ (Jig. 171) deux droiles données, soient pris sur la direction de chacune de ces droites, trois points arbi-

FÎC- 171.

traires tels que «, 6, c et rf, e, /; je dis que, si l'on joint ces points deux à deux dans Tordre indiqué par la figure, les trois points d'intersection /, A* et /seront situés sur une seule et même ligne droite.

En effet, on peut projeter la figure de manière que la droite \M passe à Tiniini, de sorte que, dans celte nouvelle figure^

436 VIT ET raRNlËR CAHIER. - RÉSUMÉ

les droites qui avaient leur point de concours sur LM, seront des droites parallèles daos la projection ; ainsi db devient parallèle à /b^ eahfa^ de à ec. Cela posé, je dis que les trois nouveaux points i\ k, l sont en ligne droite, ou, ce qui revient évidemment au même, les deux triangles imk et knl sont semblables. Or ces deux triangles ayant déjà en m et ii {fis- de droite) un angle égal, il reste à démontrer que cet angle est compris entre côtés proportionnels dans chacun des deux triangles.

Pour celaXatre, je remarque que les deux autres triangles imd,' nflf ayant leurs côtés respectivement parallèles, sont semblables, et que Ton a immédiatement,

im : dm : : nf: ni;

que pareillement, les triangles semblables dme et enfy donnent tout de suite,

dm :em = nk::en = mk : nf.

Multipliant ces proportions par ordre, effaçant les facteurs qui se détruisent, il viendra

im mk :: mk : ni.

Donc les deux triangles imk et knl ayant un angle égal com* pris entre côtés proportionnels sont semblables, et par conséquent les trois points i, k, l sont situés en ligne droite. Donc enfin les points correspondants de la première figure sont également situés en ligne droite.

D'après l'observation du n" 1 (I" Partie), la propriété dont il s'agit restera vraie quel que soit l'ordre que l'on établisse entre les six points donnés a, 6, c, rf, e, f; on doit seulement re^ marquer que de ces six points, trois quelconques étant situés sur Tune des droites LM ou PQ, les trois autres doivent l'être sur l'autre de ces droites.

Nous verrons, par la suite, que la propriété dont il s'agit n'est, comme la précédente» qu'un cas très-particulier d'une propriété générale des courbes du second degré.

£tant donné un parallélogramme ABCD {Jig. 172) et une droite indéfinie LMl située sur son plan, mener d'un point quelconque o de ce plan, une droite parallèle à IJtf , en ne se servant que de la règle seule.

/** Solution. — Ce problème peut se résoudre d'une ma* nière très-simple en le ramenant à mener, par un point, une droite qui aille concourir avec deux droites données; problème déjà résolu de deux manières différentes, dans les n" III et IV.

Fîg. 17a.

Pour y parvenir, il ne s'agit que de trouver une droite qui soit parallèle à LM, et dont le point de concours avec cette droite soit par conséquent situé à l'infini ; or cela est très-facîle. En effet, prolongez les côtés AB et BC du parallélogramme jusqu'à leur rencontre on M et L avec la droite donnée; tracez la diagonale BI); joignez un point quelconque n de cette ligne avec les points M et L, par les droites nM, nL, qui viendront couper les deux autres côtés prolongés, du parallélogramme, aux points respectifs m et /, lesquels étant joints par une droite ml donneront la parallèle demandée. On peut le démontrer en observant que les trois droites BI), m M, / L qui joignent deux à deux les sommets respectifs des triangles mD/, MBL, passant, d'après la construction précédente, par un même point n, les côtés opposés à ces sommets dans