VU* ET DERNIER CAHIER. - RÉSOMÉ

l'un et l'autre triangle, se coupent nécessairement (n** 1) en trois points situés sur une même ligne droite. Or les deux côtés opposés MB et mD se coupent à l'inGni, ainsi que les côtés BL et D/; donc tous les points de la droite en question sont situés à Tinflni, et par conséquent les deux autres côtés LM et /m, qui doivent concourir sur cette ligne droite, sont ptnMèles entre eux.

//^Solution. — Prolongez AB, BC et DC {fig. 178 ) jusqu'à leurs rencontres en M, L et M' avec la droite j^flinée LM; tracez la diagonale BD jusqu'à LM en K; menez les droites oU et oïl'; joignez le point £ où la dernière rencontre le côté

Fig. 173.

AD, avec le point K par la droite EK qui coupera la première droite oM au point e; menez par ce point et par le point L la droite Le qui rencontrera le côté AD prolongé en /; enfin par ce point et par le point donné o, faites passer la droite ol qui, étam (Miralièle à LM» sera la droite demandée.

Pour prouver que la droite obtenue est effectivement parallèle à LM, il suffit, comme plus haut, de démontrer que les droites IL et mM se couf^nt en d sur la diagonale BD. Or, si l'on considère les deux triangles Med et M^ED, on verra, d'après la construction précédente, que les trois droites £e, Bd ex MM' qui joignent deux à deux les sommets de ces triangles, se coupent en un même point K. Donc (n""!) les points o, / et le point m où la droite menée par M et par d^ rencontre CD prolongé, sont tous trois situés sur une même ligne droite, et, par suite, la droite qui passe par les points o et /, passant aussi par m, est parallèle à LM.

Cette construction est plus simple que la précédente > en ce

qu'elle exige moins de lignes à tracer; mais elle esl moins fa-* cile à saisir et à retenir.

Fig. 174.

///• Solution. — Ayant tracé la diagonale BD {Jig. 174)» comme dans Tcxemple précédent, menez oL, oM; par le point m où la première rencontre CD prolongée, et par le point M, menez la droite Mm qui coupera la diagonale BD au point K ; joignez ce point avec le point £ où o L rencontre AD, cela donnera la droite £K qui, étant prolongée, coupera la droite M<i au point e; par le point e et le point L menez eh qui donnera par sa rencontre avec BD le point d\ tracez M^ et prolongez-la, ainsi que L^, jusqu'à leurs rencontres respectives en I» et / avec les côtés CD et AD ; joignez enGn /i et / par la droite n/, ce sera la droite demandée.

En effet, d'après ce qui a été dit ci-dessus, cette droite est parallèle à LM ; je dis de plus, qu'elle passe par le point donné a. Car, en examinant les deux triangles EmD et M^^/, on volt, par la construction précédente, que les trois droites Ee», Mm et D^ ou BD, qui en joignent deux à deux les sommets respectifs, passent par un même point K. Donc les points n, / eto(n'* 1), où se rencontrent les côtés opposés à ces sommets^ sont tous trois situés sur une même* ligne droite.