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Soient LM et (A), fig. 176, une droite et une conique données; d'un point quelconque m de LM, soient menées deux tangentes mO et m 0' à la courbe (A), ce qui déterminera une

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corde 09' passant par les points de contact, et que j^appelleraî

en général, corde de contact. Cela posé, imaginez que l'on fasse

Fig. 175.

varier le point m sur la droite LM, les cordes de contact varieront aussi, et je dis qu'elles passeront dans toutes leurs positions, par un même point O. Réciproquement, si d'un point quelconque 0 on mène des sécantes OO, OT, Ot, etc., dans la conique (A), et que Ton mène, deux à deux, des tangentes à celle courbe aux points d'intersection avec ces sécantes, les points m, m', elc, de leurs mutuelles intersections, seront situés sur une même ligne droite LM.

En effel, la courbe (A) et la droite LM peuvent être projetées ( V** Princ.) suivant une nouvelle figure dans laquelle (A) «era un cercle (0') et LM une ligne droite dont tous les points m, m\ etc., seront passés à l'infini. Donc les tangentes mO et mô', m'T et m'T', elc, qui concouraient sur la droite LM dans la figure primitive, sont des parallèles sur la seconde, et par conséquent les nouvelles cordes de contact W, TT', it\ etc., passent toutes, par le centre CK du cercle de projection. Donc (n® II), ces diverses cordjîs dans la figure primitive, passent aussi toutes par un même point 0, qui est, comme on le voit, la représentation du centre 0'.

La réciproque est évidemment une suite nécessaire de la propriété elle-même, et il n'est nullement besoin d'en développer ici les raisons.

On peut remarquer que, quand le point O est au dedans de lii conique (A), la droite correspondante LM, est nalurellemenl

située au dehors» en sorte qu'elle ne la rencontre pas, et réciproquement, que quand ce point {Jlg> 176) est situé au dehors

Fig . 1 76 .

de la courbe, la droite LM la pénètre alors et la rencontre en deux points T, T'. II n'est pas difficile de voir que, dans ce dernier cas, les deux tangentes menées aux points T et T' à la conique (A), passent l'une et l'autre par le point donné O; de aorte que la droite LM peut alors se déduire du point 0 par une construction géométrique directe. Donc, que le point donné 0, soit en dehors de la courbe (A) ou en dedans, auquel cas on ne saurait lui mener de tangentes par ce point, il sera toujours possible de déterminer graphiquement, la droite indéOnie LM qui appartient aux points de contact des tangentes en question, quoique ces points soient devenus impossibles ou Imaginaires.

Nous verrons, plus loin, une manière très-simple de construire la droite LM quand le point 0 étant donné, la courbe (A) est décrite; ce qui fournira la solution du problème de mener par un point, deux tangentes à une conique.

La Proposition suivante, qui a rapport à la projection des figures, est une conséquence immédiate de celle qui vient d'être démontrée ; elle pourra être considérée comme le X* Principe de ce Mémoire. On aurait pu en donner la démonstration dans la I^ Partie; mais, comme elle suppose nécessairement la connaissance de la Propriété VIP, on eût été obligé d'anticiper et de déranger l'ordre d'abord établi.

Interrompu hrusqucment à SaratolT, en jain lt)l^, Ion» de la nutincatiun tic la paix générflle.

Je réunis ici, sous un même litre, les écrits et fragments divers qui, par la date autant que pur.li contexture ou l'étendue, ne pouvaient entrer dans le corps de l'ouvrage; je les fais suivre de plusieurs Additions par MM. Moutard et Mannheim, savants professeurs ou répétiteurs des sciences mathématiques, qui ont bien voulu me prêter leur constant et obligeant concours pour la révision des figures et dés épreuves d'imprimerie du manuscrit de Saratoff. Ces additions contenant des observations, des démonstrations , des solutions même, qui ont les relations les plus intimes avec les matières traitées dans le texte et les notes qui l'accompagnent, m'ont paru susceptibles d'intéresser les amateurs de la Géométrie pure et des applications de l'Analyse algébrique.