ET

PROBLÈMES RELATIFS AU CERCLE TANGENT A TROIS AUTRES SUR UN PLAN El' A LA SPHÈRE TANGENTE A QUATRE SPHÈRES DANS L*ESPACB [*),

« Lo premier problème |)eut so ramènera celui-ci : Mener jmr nn/wint un cercle tangent à deux cercles donnés , en diminuant ou en augmentant le rayon du cercle cherché du rayon du plus petit des trois cercles.

( * ) Ce6 solutions d'un célèbre problème de géométrie ancienne, qui, pendant longtcmpB, a résisté aux eibrts de Tanalyse algébrique, sont extraites dn t. Il, p. 271, de la Correspondance sur V École polytechnique. L'auteur en avait remis, dès 1809, le manuscrit à M. Hachette, rédacteur de cette Correspondance, qui, lui-même, s'était exerce sur ce genre de problèmes, et avait exigé le retranchement de divers passages, jugés par lui inutiles ou étrangers à la question.

suivant qu'il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou à diminuer Clément les rayons des deux autres cercles d'après la nature de leur point de contact. 9

« Je vais d'abord démontrer la proposition suivante, sur laquelle se fonde la solution du problème dont il est question : Si par le point 0 {fig i), où se

Fig. I.

coupent les tangentes extérieures communes aux cercles X et Y, et par le point A où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite AO; que l'on fasse passer ensuite, parle point 0, une sécante quelconque OT, qui vient couper les cercles X et Y intérieurement en T et T'; qu'enfin par ces deux points T etT' et par le point A on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera AO en un point B, qui sera le môme quelle que soit la sécante OT. » « En effet, OB et OT étant les sécantes d'un même cercle ABT, on a

AOxOB=OTxOr.

» Mais, si Ton mène une nouvelle sécante 0/, on a aussi ( voyez la p. 2u du P' vol. de la CorrespomUtnce)

0Tx0T'^0/x0/'4 donc

(1) AOxOB==0^xO^'.

» Il est évident, d'après cotte dernière équation (i), que les quatre points /, /'y A et B sont placés sur une même circonférence de cercle. »

a II est démontré aussi, dans l'article cité, que tout cercle tangent aux cercles X et V, a ses deux points do contact placés sur une droite qui passe par le point 0, dans les deux cas où 11 laisse entièrement hors do sa circon-

férence, et où il renferme à la fois les deux cercles X et Y. Il suit de là et de ce que j*ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles X et Y, qui passe par le point A, passe aussi par le point B. Ainsi le problème dont il s'agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points A et B, mener .un cercle qui touche le cercle X ou Y. »

« Comme ce dernier problème est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, a[)partient aussi au cercle qui, passant par le point A, toucherait en les enveloppant les cercles X et Y. »

« Pour le démontrer, il suffit de faire voir que tout cercle passant par le point A et par deux points/? et p\ où une sécante quelconque 0/ vient couper extérieurement les cercles X et Y, passera aussi par le même point B ; car alors le cercle qui passe par le point A, et qui touche extérieurement les cercles X et Y, ayant ses points de contact dans la direction du point 0, passera évidemment [)ar les points S. et B. Or on voit san^ peine (*) que OTxOT'= OywxO//'; donc, d'après l'équation

(i) 0/?xOj!>' = AOxOB.

» Cette équation prouve que les points A, B, p^ p\ sont placés sur la môme circonférence de cercle. »

a Voici maintenant comment on achèvera la solution du problème : Ayant tracé le cercle ATT', ainsi que je l'ai dit, on mènera la corde /T qui coupera AO en un point P. Par ce point on mènera les tangentes P/w, P«\ au cercle X ; et les points m et m' de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont Tun touche intérieurement et Tautre extérieurement le cercle X. En effet, on a

Pw'=.p/xPT, or

P/xPT = PBxPA; donc