P^'= PB X PA

» Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui passerait par les trois points A, B et ///, serait touché par la droite Vm en m. On conclut aussi de la même équation, ?m' étant égal à P//', que le cercle AB/w', touche le cercle X en m'. »

a En considérant le point 0'; où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles X et Y, on obtiendrait, par une construction sem-

(*) « Il suffit de comjrarer chacun des produits OTxOT', OpxOp', an produit qn^on obtiendrait pour la tangente commune aui cercles X et V. »

446 SOUyENIRS,

blablo , detix autrra solutions du problème de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. On peut voir facilement, en examinant les difTérentes circx)nstances du contact, que ce dernier problème est susceptible de quatre solutions, et que, par conséquent, il se trouve entièrement résolu par ce que j*ai dit. »

« Voici une proposition analogue à celle que j'ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du problème de mener une sphère tangente à quatre sphères données. »

a Si par la droite qui joint les sommets des troiscônes circonscrits deux A deux à trois sphères, et par un point donné, on mène un plan P; qu'ensuite par la même droite, on mène un plan qui coupe les sphères; que par le cercle tangent aux cercles d'intersection et par le point donné on fasse passer la surface d'une sphère, cette surface coupera le plan P suivant un cercle qui restera le môme, quelle que soit la section qu'on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné, et qui est tangente aux trois sphères dont il s'agit, devra |)asser aussi par ce cercle ; car cette sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan passant par la droite qui joint les trois sommets des cônes. »

Nota. — Ces solutions, relatives au cercle tangent à trois autres sur un plan et à la sphère tangente à quatre autres dans l'espace, étaient suivies, dans le tome II* de la Correspondance sur V École polytechnique y de celle d'un dernier problème : « Par un point donné dans le plan d'un parallélogramme, mener avec la règle une parallèle à une droite située dans ce plan. Ce problème, proposé par M. Brianchon à la page 3io du tome I*' de la môme Correspondance ^ se ramène directement par le tracé de quatre lignes droites, à la solution d'un autre problème aussi proposé puis résolu par M. Poinsot (/^iV/., p. 3o5), en se fondant sur un théorème de géométrie linéaire qui revient à l'un de ceux exposés à la p. 1 34 du IIP Cahier. Mais S' Gravesande, dans ses OEuvrcs plùlosophiques (1774)? Lambert, [Perspective affranchie y 1774), ayant donné antérieurement, du même problème, des solutions très-élégantes et plus directes, qui ressemblent beaucoup à celle des fig. 17a à 174, p. 437 et suiv. du VII' Cahier, j'ai cru inutile de rap(K)rter ici celle que j'avais indiquée, en 1809, pendant mon séjour à l'École polytechnique.

APPLICATION DE LA MÂTHODE DE ROBBRVAL AU TlUCé DBS TANGENTES AUl COURBES DE CONTOUR APPARENT ET DE SÉPARATION d'oMBRE ET DE LUMIÈRE DANS L^ÉPURE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES.

7"" Cas relatif à la courbe de contour apparent. — Je ne m'occuperai ici que de déterminer la tangente pour la projection horizontale de la courbe dont il s'agit, parce que la tangente à la projection verticale s'en déduit très-facilement, au moyen du plan tangent au point correspondant de la surface du filet do la vis. Commençons par rappeler la construction graphique de cette projection.

Soient AB et AP [Jig, a) deux droites indéfinies perpendiculaires entre elles ; P un point fixe situé sur AP, ou pôle autour duquel tourne la droite

Fîg. 2.

ou rayon vecteur PB, rencontrant Taxe AB en B; si Ton porto la distance variable AB, de P en X sur PB, le point X sera un point de la courbe à considérer.

On voit d'abord que le point générateur X de la courbe peut être censé simultanément animé de deux mouvements : Tun angulaire, autour du pôle P, et se mesurant sur la perpendiculaire en X, au rayon vecteur PB; l'autre de translation, en vertu duquel il s'avance, sur le rayon vecteur, vers le point extérieur B. D'après les principes exposés par Roberval, la résultante de ces deux mouvements aura précisément pour direction celle de la tangente à la courbe au même point X ; c'est donc à la détermination des vitesses composantes des mouvements ci-dessus que se réduit la solution du problème.

On a|)erçoit sans peine, en comparant le mouvement du point X à celui du point B qui chemine le long de la directrice AB :

i*' Que la vitesse de translation du premier X, le long du rayon vec-

teur PX, est précisément la môme que celle du point B le long de AB; car leurs accroissements sont sans cesse égaux entre eux; or ce que Ton appelle ici vitesse (ou ftiixion\ n'est autre chose que le rapport des acx;roissements infiniment petits et simultanés de deux quantités variables, c'est-à-diro le rapport de leurs différentielles. Prenant donc B6 pour représenter sur le prolongement de PB la vitesse de B, celle de X sera représentée sur celui de PX, par Xx, = B^.

2** Que la vitesse angulaire du point X est aussi la même que celle du point B| car ces deux points se trouvent sur le même rayon vecteur PB; 1p8 arcs de cercle infiniment petits que ces points parcourent seront donc proportionnels à leurs distances PX et PB au centre de rotation P. Donc il suffira de trouver la vitesse de rotation du point B pour en conclure de suite celle de X.

Or» concevant la vitesse de translation totale B^ de B, suivant AB, décomposée en deux autres, Tune B^, dirigée suivant le prolongement % PB, l'autre suivant la perpendiculaire B^' élevée à l'extrémité du rayon vecteur PB, cette dernière sera évidemment la vitesse de rotation du point B autour de P. Formant donc le parallélogramme ^b'hh^ sur la diagonale B^, B^' sera la vitesse en question, c'est-à-dire représentera l'espace élémentaire ou tangentiel décrit par B sur B^'.

On concevra ceci plus facilement peut-être, en considérant que, h étant censé infiniment voisin de B, hV peut aussi être censé la direction parallèle au rayon vecteur PB, et B h* un arc de cercle infiniment petit décrit du centre P. Or évidemment, B^ représentant l'accroissement même AB, W>' = B^, représente celui du rayon vecteur correspondant, et B6' l'arc de cercle infiniment petit décrit par le point B, à une distance invariable de P, ou l'accroissement élémentaire de l'arc de cercle total BC, qui mesure l'angle APB. D'autre part, l'arc circulaire décrit dans le même mouvement par X, devant être proportionnel à celui qui correspond à B^', il suffira, pour en obtenir la mesure dans les mêmes hypothèses géométriques, de tracer la droite PA' qui coupera la perpendiculaire X.r' élevée en X sur PB au point x\ et Xx' représentera cet arc ou, si l'on veut, la vitesse de rotation du point X^ autour du pôle fixe P.

Ayant actuellement la vitesse de translation Xx, = B^ et celle de rotation Xx' du point X, on aura la vitesse de son mouvement résultant oo effectif, en achevant le parallélogramme Xx,xx', dont la diagonale Xx représentera l'élément de la courbe qull décrit^ et par conséquent la direction de la tangente à cette courbe en X.

On peut objecter contre ce qui précède, que les vitesses ou accroissements de chemin que Ton considère sont censés infiniment petits, tandis que la construction ne peut s'effectuer que sur des longueurs finies; on lève facilement cette difficulté en observant que, en réalité et au fond, on ne considère ici que les rapports des accroissements des diverses variables, et qu'alors on reste libre de représenter Tun quelconque d'entre

eux par telle longueur que l'on veut. II est visible, ea effet, que la longueur de B^, par exemple, qui représente rac<!roissement de AB, peut être choisie d'une façon entièrement arbitraire; car la direction de Xx ne dépendant que du rapport de Xjc' à Xj^,, restera toujours la même; l'accroissement représentatif, élémentaire ou tangentiel de l'arc de la court)e suivant Xjc, aura changé, il est vrai, de longueur, mais son rapport avec l'accroissement simultané B^, sera demeuré invariable.

Je me suis arrêté quelque temps à la solution du problème qui précède, afm de faire mieux sentir la nature et l'exactitude du principe proposé par Roberval, et de faire voir son analogie avec ceux du calcul différentiel ou des infmiment |)ctits. On voit que la considération du mouvement et des vitesses qui en résultent n'est pas à la rigueur indispensable, le parallélogramme des vitesses ne sert ici, en effet, qu'à faire trouver en direction et grandeur proportionnelle l'accroissement infiniment petit do l'arc de la courbe, au moyen des accroissements pareils des coordonnées qui lui correspondent.

La construction géométrique ci-dessus suffit, à coup sûr, pour déterminer la tangente au point quelconque X de la courbe; mais elle peut se simplifier en remplaçant les auxiliaires B^, etc., par des longueurs dépendantes de la figure elle-même. Ainsi, par exemple, au lieu de prendre B^ arbitraire et dans le sens opposé à BA, on peut le supposer précisément égal à AB et dirigé de B vers A; puis tracer le parallélogramme rectangle AB'BB, (^g. 3), dont la diagonale, BA=r XP, représentera la \n-

Flg. 3.

lesse de l'extrémité B de PB, comme XP représente la vitesse même de X le long de son rayon vecteur, rétrogradant de PB vers PA. Quant à la vitesse de rotation XX', on l'obtiendra on tirant B'X'P et, achevant le parallélogramme rectangle VXX'x, Xx sera en direction la tangente demandée. La construction se simplifie encore en remarquant qu'on peut obtenir immédiatement le point K où le côté X'.r de ce parallélogramme rencontre

45o SOUVENIRS.

la perpendiculaire ^A à AB : qu'on trace, en effet, ia parallèle XK à AB parle point X, elle viendra couper AP en K, car les triangles ABB' et KXX' sont semblables, ayant leurs côtés homoloî^uos parallèles. Voici donc, ep dernière analyse, à quoi so réduit la construction de la tangente cherchée au point générateur X.

Par le point donné X [Jî<r, 4) de la cx)urbe, auquel on veut mener une tangente, conduisez la parallèle XK à AB qui coupera PA en K; par ce

Fig. 4.

point tracez l'autre parallèle K.r à PX, elle viendra couper la perpendiculaire élevée en P sur le rayon vecteur PX, en un point .r qui appartiendra à la tangente demandée; joignant donc x et X par une ligne droite, Xx sera cette tangente (*).

Cette construction fait voir tout de suite que la droite AB est une asymptote do la courbe, c'est-à-dire une tangente en un point situé à Tinfini; elle apï)rend encore que la courbe touche la droite AP en P.

//' Cas, relatif h Ui courbe de séparation cTnmhre et de lumière, — Commençons par rappeler la génération de la courbe dont il s'agit.

Autour du centre C [fig. 5) d'un cercle BDE, on fait tourner un angle droit BCD, dont le sommet est à ce centre; l'un des côtés CX de cet angle est prolongé indéfiniment, l'autre BC au contraire, terminé à la circonférence du rcrclo, ostéi^alàson ravon; une troisième droite PX indé-

(*") Cette dernière construction conduit à la suivante, encore pins rapide sinon plus simple : Sur AP {jiff. !\) comme diamètre, décrivez une fois pour toutes la circonférence de cercle AQP; par le point A menez la corde AQ, parallèle au rayon vecteur PX prolongé jusqu'à sa rencontre B avec la directrice indéfinie AB; menez BQ vers l'extrémilé Q do la corde ci-dessus, et BQ sera une parallèle à la tangente \x en X. Cela paraîtra évident si Ton observe que, d'après la construction, la figure PQAB est semblable à celle PxKX, et qn*ainsi Irurs diagonales BQ, Xjrsont respectivement parallèles.

NOTES BT ADDITIONS.

Bnie est assujettie, pendant le mouvement de Tangle C, à pivoter autour d'un point donné P comme pôle, et a passer constamment par l'extrémité

Fi|T. 5.

B du rayon mobile CB; le point X, où cette dernière droite rencontre le côtéCDdeTangle droit, indéfiniment prolongé, engendre la courbe cherchée.

On aperçoit, à Tinslant, que le point générateur X est animé de deux mouvements relatifs, TùH de rotation autour du centre C, et l'autre de même nature autour du pôle P : il s'agit d'obtenir séparément les vitesses de ces deux mouvements.

Comparons d'aboni la vitesse circulaire ou de rotation du point X, autour de P, à celle de B autour du même point; ces deux vitesses sont respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs PX et PB; mais le point B est animé, suivant la tangente B^ au cercle C, d'une vitesse absolue qui peut se décomposer en deux, l'une de translation suivant B/;,, et l'autre drculaire ou de rotation autour de P, suivant la {>erpendiculaire B^' au rayon vecteur PB- Prenant donc arbitrairement B^ pour la vitesse effective ou résultante de B, et formant le parallélogramme Bh'bb^, le côté B// représentera la vitesse de rotation du point B relativeme^ au pôle P. On obtiendra la vitesse correspondante Xx' de rotation du pomt générateur X, en élevant Xx' perpendiculaire à PX et traçant P^' rencontrant Xo?' en x'.

Reste à trouver la vitesse de rotation de X autour du centre C : on pourra la déduire facilement de celle du point D, par la même méthode qu'il est inutile de rappeler. Or la vitesse circulaire ou de rotation du point D autour de C est précisément égale à celle de B autour du même point; cette dernière vitesse est représentée par Bbj, portant donc sur la perpendiculaire à l'extrémité de CD la distance Dd = B^, ce sera la vitesse rotatoire de D; tractant ensuite la droite indéfmie dl, on en déduira, comme ci-dessus, la vitesse de rotation Xx, du point générateur X, autour du centrée.

Avant d'aller plus loin, il est nécflMliv4e remarques que les vitesses de rotationXx' et \x^ que nous venons^ de construire'W stme pas réellement les vitesses composantes de la vitesse absolue du point générateur \. En effet, si l'on considère la vitesse de rotatîH ^^'^ V^^ exemple, il parâttra évident que, en la combinant avec la vitesse de translation du point X suivant le rayon vecteur PX, on obtiendrait la vitesse absolue de ce point sur la courbe; cette vitesse Xx' n'est donc^autre chose qu'une des composantes de celle Xx par rapport aux directions particulières PX et Xx'. La môme remarque est applicable évidemment à la vitesse de rotation Xx^ ; donc la résultante totale de ces vitesses partielles ne donnera pas la vitesse effective du i)oint X, et par conséquent le principe du parallélogramme n'est pas applicable au cas présent.

Cependant, comme la résultante Xjt chÀrhée, si elle était connue, donnerait, par décomposition, Tune et l'autre des vitesses Xx' et Xx,, réciproquement, ces dernières pourront servir à la retrouver. Il est vi- JÊâ sible en effet, d'après ce qui précède, que, Xx étant connue, on obtien- "^ drait Xx' et Xx^ en abaissant de son extrémité x les perpendiculaires *" xx^^ xx' sur Xx' et Xx,. Donc enfin, et réciproquement, si Ton élève en x' et x, les perpendiculaires x'x ai x,x sur Xx' et Xx, elles viendront se couper au point x de la résultante cherchée Xx; la droite Xx sera donc la tangente elle-même au point X de la courbe (*).

On se rendra facilement raison encore de ce qui précède, en considérant, comme nous l'avons déjà fait ci-dessus, que les vitesses Xx' et Xx, sont simplement des longueurs proportionnelles aux arcs circulaires infiniment petits que le point X tend à décrire simultanément autour des pôles respectifs P et G; de sorte que les positions nouvelles et correspondantes des rayons recteurs sont précisément représentées par les

(*) Ceci prouve que les graves reproches adressés, en 1829 et i83o, par de savants professeurs, à la manière erronée dont on avait interprété et appliqué la célèbre méthode de Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes continues, reproches en quelque sorte autorisés par un passage des leçons orales de Monge à l'ancienne École Normale sur la Géométrie descriptive, ne sont point applicables à tous les disciples de cet illustre professeur, et que, en 1810 déjà, on savait parfaitement à quoi s'en tenir à cet égard, bien qu'on eût jugé inutile do reclifier publiquement une faute échappée, sans aucun doute* à la rapiditt» de la diciion.

J'insiste, parce que cette inadvertance, cette faute déjà anciennement commise par Montucla et d'autres, dans le tracé des coniques par rayons vecteurs émanant des foyers, se retrouve dans la lithographie de mes Leçons de Mécaniqte iihdustrielU (1837 à i83o) aux ouvriers de la ville de Metz; leçons en quelque sorte improvisées et recueillies par les soins de M. GoMelin, dans l'intervalle fort eourt d'une séance à la suivante, mais dont les imperfections s'expliquent encore par la nécessité d'éviter do longues et déliratv explications devant un au* dilotwmal préparé.

NOTES ET ADDITIONS. i5$

droites x'x et x,x censées elles-mêmes infiniment voisines et parallèles aux premiers PX et CX, leur intersection commune au |)oint x représentant aussi la nouvelle position du point X. Si les quantités Xx' Qi\x^ étaient réellement infiniment petites, X.r serait un véritable élément de la courbe commun à la tangente en X; mais ayant augmenté ces quantités proportionnellement, Xj^\ne représente plus Télément mémo de la courbe, mais son prolongemoil^x'est-à-dirc la tan<i;cntc cherchée.

('omme la longueur de B6 est entièrement arbitraire, on peut, pour simplifier la construction, la prendre égale à la tangente mùroe ï>fl (.fif>* ^)t terminée à Taxo fixe des |)ôles PC, prolongé convenablement. Alors, si Ton prolonge pareillement b*b, pardllèlc à PB, jus(]u'à sa ren-

Fig. fi.