VT

contre en Q avec l'autre rayon vecteur CX, il arrivera que le quadrilatère CBb'Q aura ses côtés parallèles et proportionnels à ceux du quadrilatère ci-dessus .r,X.r'x {fig, 5) dont la diaironale X.r représente en direction la tangente cherchée; de sorte que sa diagonale BQ sera aussi parallèle à cette tangente. La construction se réduira donc à cette autre beaucoup plus simple :

« Tracez les deux tangentes Dr/, Bù aux extrémitâl des rayons CD et » CB, portez Dd terminée au prolongement de PC, de B en 6 sur B6; par » le point ù ainsi obtenu, menez la parallèle ùQ Ht rayon vecteur PBX, » elle viendra couper l'autre rayon vecteur *n Q, BQ sera une parallèle » à la tangente au point X de la courbe; en menant donc \>dr ce point )' X.r parallèle à BQ, on aura la tangente demandée. »

Comme d'autre part, Bù est parallèle à la direction de CDX, il s'ensuit que B^QXest un parallélogramme, et par conséquent que QX=BO = D(U

On pourra donc, si l*on veut, se contenter de porter Dr/ sur CX prolongée de X en Q, ce qui est plus simple encore.

Enfin, on peut également se dispenser de construire la diagonale BQ parallèle à la tangente cherchée, en traçant (fig. 7) la tangente au

Fig. 7.

cercle directeur en B, puis portant sur cette tangente , dans une direction contraire à CX, BQ'= QX = Drf; car le point Q' ainsi troui'é sera nécessairement un jToint de la tangente à la courbe en X. La discussion de cette courbe nous apprend d'ailleurs qu elle a deux

Fig. 8.

branches infinies; on <^|kerchant à déterminer les tangentes pour Ic&i

points de ces branches situés à Tinfini, on trouvera par la méthode précédente, que ces tangentes ou asymptotes sont au nombre de deux seulement [jftg. 8); qu'elles passent par le ))ôle 6xe P des rayons vecteurs et touchent le cercle directeur C en des points T et T'. Cette méthode apprend aussi que la tangente au centre C^ qui appartient à la courbe» est perpendiculaire à CP, axe Hxe des pôles ( ce qui est évident à cause de la symétrie) et que les tangentes au point double P de la courbe j)assent ))ar les extrémités respectives B et B' du diamètre BB' du cercle directeur perpendiculaire à CP, etc.

Ketmtnjue. — Quand le |)oint P est situé sur la circonférence du cercle directeur (C),/]g'. 9, la courbe dès lors ne conserve plus que la branche

Filî- 9-

fi

â point multiple P, Tautre s'étant confondue avec leur tangente commune relative au point C : cette branche a une seule asymptote FG, perpendiculaire à PC, parallèle à la tangente PT' au cercle directeur en P, et

Fig . 10.

située à la distance PB = PC de cette tangente. La branche bouclée dont il s'agit jouit de cette autre propriété fort curieme : si Ton mène CK

quelconque, cuu(>ant la tangente TT' en K, et la courbe en X et X',

on a

KX=rKX'-=KP;

ce qu'il est facile de démontrer.

Quand le point P passe à Tinfini (Jig. lo), la courbe -a deux branches opposées comprises entre des asymptotes parallèles; cette courbe se confond avec celle de la projection horizontale du contour apparent de la surface héliçoïde de la vis, dont je me suis déjà précédemment occupé.

Dans ces divers cas, la construction de la tangente reste toujours la môme , et Ton peut s'assurer aisément que cette méthode, appliquée au contour apparent, donne en effet, pour tangente en chaque point, la droite à laquelle on est conduit en appliquant la méthode exposée plus haut pour ce cas particulier.

Enfin, quand le point P est dans l'intérieur du cercle (C), la courbe est fermée et affecte la forme indiquée [fig, ii). Ce cas a lieu toutes les

Fiç.

fois que le rayon de lumière fait, avec Taxe de la vis, un angle moindre que celui de la génératrice avec ce même axe.

SUR LE TllACÉ ET LE MODE DE UÉNERATION DES COURBES DE SÉPARATION D*OMBRE ET DE LUMIÈRE, ETC., DANS l'ÉPURE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES.

L'article qui précède est conforme à des feuilles manuscrites annexées au cahier d'épurés de seconde année d'études à l'École polytechnique (1809- 1810), laissées en France et conservées parmi mes autres livres ou papiers; les solutions qu'elles concernent sont relatives à des questions de géométrie descriptive dont on se préoccupait beaucoup à cette époque ;

j'en ai donné connaissance, dès 1819 ou 1820, à mon ami M. Bardiu, alors professeur à TÉcole régimentaire d'Artillerie de Metz, et nommé depuis chef des travaux graphiques à l'École polytechnique. Ce sont les mêmes feuilles qui ont été, de la part de feu Théodore Olivier, l'objet de citations et de remarques critiques ou historiques qu'il a consignées dans ses Applica" tions de Géométrie descriptive y publiées en 1847 à Paris [^oy. les notes du bas des p. 95 et 99) (*). Quant à la détermination, au tracé même des courbes de contour apparent et de séparation d'ombre et de lumière sur la surface héliçoïde de la vis, il ne m'est resté, do mon séjour à l'École polytechnique, qu'une Note fort écourtée, des indications sans texte pour ainsi dire, sur les éléments principaux de leur démonstration, dont je me propose ici de donner un aperçu rapide.

On peut voir, par la Noie insérée p. i3 et suivantes du t. II (181 3) de la Correspondance sur r École polytechnique^ combien les méthodes suivies par MM. Hachette et Girard, dans le Cours de Géométrie descriptive, étaient longues, compliquées et pénibles. Cela suffît pour expliquer comment les élèves de la petite salle n° 6, dite des sous-^Jlficiers, parmi lesquels on remarquait MM. Bélanger, Coriolis et M. Guillebon, excellent ami, esprit droit et naïf sous une chétive enveloppe, avec lequel je piochais, pendant les heures de récréation, le Calcul des fonctions et la Mécanique analytique de Lagrango, etc., cela explique, dis-je, commentces élèves furent conduits, avant mémo l'apparition delà Note de M. Hachette et, à fortiori, avant celle du professeur Français, imprimée un an après (1810, p. 69, t. II do la Correspondance), à refaire leurs épures de la vis d'après des procédés où M. Guillebon et moi avions cherché à proscrire la méthode des i)araboloïdes tangentiels ou des paraboles multiples, indiquée par nos professeurs, pour leur en substituer d'autres qui, permettant d'exécuter l'épure de la vis en quelques heures, présentaient à cet égard, un très-grand avantage sur celle de Français.

La Uirdive apparition de cette dernière méthode, réduite à de vagues indications, ne m'aurait pas détourné du soin de rédiger sur cet intéressant sujet, un article pour le Reèueil do M. Hachette, si le manque de loisirs à celte époque des éludes et la lente succession des Cahiers de la CorresjmndaFice ne m'en avaient tout à fait ôlé la pensée, et réduit le résultat de cette étude à do simples communications verbales entre cama-

(*) Poslérieureraent à la publication de l'ouvrage de Th. Olivier, M. de la 4pournerie, professeur de Géométrie descriptive à l'École polytechnique, a inséré dans le XXXI V^ Cahier du Journal de cette École (1 85 1), un Mémoire sur les lignes d'ombre et de perspective des héliqoïdes gauches, d'une étendue fort considérable et principalement fondé, selon Tusagc actuel, sur les données de l'analyse algébrique transcendante. Il est regrettable que cet habile professeur n'ait pas mis à profit sa position à notre mère École, pour élucider la partie historique de cette intéressante question.

rades d'une même promotion: communications qui servirent à refaire expéditivement les épures de la vis à filets triangulaires, et dont il n'est resté, je pense, d'autres Notes manuscrites que celles dès lors rédigées oo ébauchées par moi à TÉcole polytechnique.

£r ce qui concerne, en particulier, la construction par points de la courbe de séparation d'ombre et de lumière sur les filets hélicoïdaux triangulaires de la vis, je ferai remarquer que, au point de vue général et purement géométrique, la question reste la même pour les nappes inférieures ou supérieures, lorsqu'on en suppose les génératrices indéfiniment prO' longées de part et d'autre de l'axe vertical, aussi bien que les lignes de séparation d'ombre et de lumière : la différence des solutions graphiques ne pouvant provenir que de la différence même d'inclinaison des génératrices sur cet axe, quelle que soit d'ailleurs la direction attribuée aux rayons de lumière.

Soieni fjlg, 12), eu projection horizontale sur un plan perpendiculaire à l'axe verUcal de la vis au point C ; Gr une génératrice rectiligne quelconque de sa surface supérieure; p l'un des points de cette génératrice, décrivant à la distance horizontale CfA de cet axe, une hélice dont la projection est un cercle concentrique à C, et f/^, perpendiculaire à l'extrémité du rayon Gft, la projection horizontale de la tangente géométrique à l'hélice; la tangente d inclinaison sur le plan de ce cercle est, comme on sait,, mesurée par l'expression numérique,

îiTT.Cf*'

H désignant le jfns commun à toutes les hélices ainsi engendrées.

Soient, de plus, ; et r les points respectifs où la tangente au point /a et la génératrice rencontrent le plan horizontal de projection, supposé

Fig

abaissé de toute la hauteur H du pas, au-dessous du point de rencontre de la génératrice avec l'axe de la vis; n sera, sur ce plan, la trace dn plan

tangent en fx, à la surface héliçmdale; de sorte qiie, 8i l'on imagine en ce point de Tespace, un rayon de lumière représenté par fix en ))rojection sur le même plan horizontal, ce rayon, tout entier, devra être compris dans le plan tangent représenté en p^/, si fx représente, sur la génératrice Cr, le point qui appartient à la ligne de séparation d'ombre et de lumière: chose toujours facile à vérifier géométriquement quand /x sera donné à priori. Mais il s*agit ici de trouver la position même de ce point sur la direction de Cr.

A cet effet, continuant à substituer aux dénominations de Tespace celles de la projection horizontale, et supposant le plan tangent en fx prolongé jusqu'à Taxe de la vis en C, concevons que par ce point d'intersection, Ton mène la droite CX* parallèle à p/ et perpendiculaire à Cr, puis la parallèle Cp au rayon de lumière p.v, il faudra encore que celle-ci tout entière, soit dans le plan tangent en p, et que la trace rt de ce plan, qui coupe en / la perpendiculaire C/* à Cr, comprenne aussi le point fixe p où le rayon de lumière Cp rencontre le plan horizontal choisi pour plan de projection, comme on Fa expliqué. Or, d'après nos cosventions, et si l'on nomme de plus a l'angle aigu d'inclinaison du rayon lumineux sur la verticale, on a évidemment

(1) 7^7^- — 7;—, C/> - Hlang^/— consl.;

liA aTrCfx '

ce qui donne entre autres, pour déterminer la position inconnue de /x sur la direction indéfinie du rayon Cr, constant ainsi que Cp, la relation

ex

(2) CX-— v.ttCu, Cu= — -»

OÙ ex- est donné graphiquement par la position fixe de p et la position variable du point r sur le cercle, concentrique à C, dont le rayon est déterminé par cette autre relation

Cr— Iltang/-» -- const..

h étant l'angle aigu d'inclinaison, sur l'axe de la vis^ de la génératrice considérée.

Rien donc ne serait plus facile que de construire, graphiquement ou numériquement, la valeur inconnue de Cp. Mais, comme la variable CXet l'inconnue Cp appartiennent à des directions rectangulaires distinctes, cela entraînerait à des opérations multiples qu'il faut éviter autant que faire se peut dans la construction des épures. C'est pourquoi, après diverses tentatives infructueuses que je me dispense de rapporter ici, nous nous sommes arrêtés au proche qui suit : Imaginant qu'on porte Cp sur ex-, de C en p', par un arc de cercle, d'ailleurs inutile à construire, et

46o SOUVENIRS,

qu'on mène par u' une pardllèle up' k kp coupant Cr en z, on aura, |)ar la théorie des lignes proportionnelles, d*une part

ce qui donne, d'après la relation (i) ou (-2),

fy=C,..^=iL = eon8l.,

et prouve que ^' est un pôle ou i)oint fixe \)Omt les rayons vocteurs />>, comme p lui-même Test pour les sécantes pr, D>utre part,

C3:Cft'=Ca::Cr:C/;

d'où Ton tire, toujours d après lej^ nill^ons (i],.et (2),

ce qui montre que tous les p<AitB % sont sur une circonrérehco de cercle concentrique à C, de rayon constant; de sorte que C/^' et Cs étant calculés ou construits une fois pour toutes, pour une épure donnée, il ne s*agirait, afin d'obtenir le point }i de la courbe de séparation d'ombre et de lumière, relatif à une direction donnée du rayon Cs ou Cr, que de prolonger la droite p*z jusqu'à sa rencontre en p.', avec la perpendiculaire indéOnie G/* en C, puis de ramener par l'arc do cercle auxiliaire dont il a été parlé, u! en u. sur la direction de Cr.

Mais, comme j'en ai prévenu à l'avance, cet arc de cercle devient à son tour ptrlutemcnt inutile, si l'on suppose qu'on fasse tourner d'un quadrant, anléw de C, la droite du pôle fixe, Cy, en entraînant avec elle la sécante //s fx', et l'équerre ou angle droit f^'Cz, sans que z quitte le cercle de

rayon tang^ — 7 auquel il appartient; car, par cette rotation, le point

ii'y venu en u. et obtenu par le mi>me procédé, appliqué au pôle P remplaçant p\ ne sera autre que le point même de la courbe a tracer appartenant à la direction indéfinie de C3, censée choisie arbitrairement.

Cotte construction si simple et si rapide de la projection horizontale de la courbe de séparation d'ombre et de lumière dans la vis à filets triangulaires est, comme on voit, générale, rigoureuse et conforme à la définition qui sert de point de départ au second article de la Note précédente, sur le tracé des tangentes à cette courbe du quatrième degré, que nous avions baptisée^ dans la sai^ n** G, du nom de capricorne; courbe remarquable à plus d'un titre, par sa forme symétrique, élégante même, (*t douée de nombreuses propriétés géométriques jusqu'ici encore peu élu-

diées; mais qui, si je ne me trompe, Tnériteniient tout autant de Tétre que celles qui appartiennent aux courbes méclumiques des anciens et à diverses autres plus modernes, cultivées avec une particulière ferveur par nos jeunes géomètres, parce que leurs propriétés se rattachent plus ou moins intimement^ à certaines questions de physique mathématique ou d'analyse infinitésimale.

Cette môme coiiMihrction et celle de la courbe de contour apparent qui en est un cas particulier, mais dont je crois inutile de rapporter ici la démonstration directe fort simple, ont été, dans ces derniers temps, vérifiées par des procédés divers d'analyse ou de géométrie, qui n*ont que fort peu de rapport avec les précédents, dont, comme je l'ai dit, la date remonte à la fin de Tannée 1809.

A regard de l'épure de la vis en elle-même, on sait qu'elle se rattachait alors au cours de machines, et servait d'exercices ou d'applications pour le^ leçons de géométrie descriptive, de dessin linéaire et do lavis. Cette épure fut continuée jusqu'en 1816, probablement avec la tradition de 1809 ou 1810; mais les troubles politiques de cette époque de licenciement, de destitution ndéme des élèves, professeurs ou examinateurs; !a tendance exagérée à l'application de l'analyse algébrique et des notions métaphysiques ou abstraites qui s'y rattachent, prédomina de plus en plus à l'École polytechnique, à dater de cette époque, contre l'opinion môme de Laplace, de Poisson, d'Arago, etc., qui semblaient en pressentir les fâcheuses conséquences; toutes ces circonstances, dis-je, firent négliger les applications de la géométrie proprement dite^ et l'épure do la vis à filets triangulaires fut supprimée avec beaucoup d'autres, malgré toute son importance et son utilité dans les arts mécaniques, dont elle est un principal et )X)ur ainsi dire universel élément.