MF = MP, M'F = M'P

les points M et M' pouvant ainsi être considérés respectivement comme les centres de deux cercles tangents en P et P' à la directrice, passant par le foyer F, et contenant en outre le point F' symétrique à F par rapport à MM', c'est-à-dire situé sur la perpendiculaire indéfinie FO à MM' à une distance F'K de celle-ci, égale à KF.

D'après cela, si 0 représente Tintersection de cette perpendiculaire et de la directrice AP, on aura, en vertu des propriétés du cercle,

ÔP'=0F.0F'; ÔP''r^OF.OF'; OP'=0P;

le point 0 sera donc le milieu de PP', et comme tel il appartient à une droite OV parallèle à Taxe AX et divisant en deux parties égales la corde MM' en U. Mais le point 0 reste invariable pour toutes les oonles parallèles de la courbe; donc les milieux U de celles-ci sont situés sur une même

droite OV parallèle à Taxe AX et nommée pour ce motif diamètre de la parabole^ diamètre oblique à la courbe, qui contient évidemment aussi le point de contact S de la tangente IS |)arallèle à MM', attendu que cette

tangente doit être eUe-méme considérée comme une corde infiniment petite de la courbe.

Nous avons vu précédemment que la tangente SI en S. est perpendiculaire à (a droite FO en son milieu I, comme la corde MM' est perpendiculaire au point milieu K de la distance FF; or, de là et de ce qui précède, résultent de nouvelles propriétés non moins utiles et bien connues des diamètres de la parabole.

En effet, on a (fig, i4), a cause de 0F=^ 2IF, FF = aKF,

OF' - OF - Vy -. 7 IF - t*KF = 2 IK,

ot, par conséquent,

ÔP' -- OF. OF =: alK . OF = 4IK . 01.

Mais, si de M on abaisse la per()endiculaire MQ sur la direction indéfinie du diamètre SV, et de S la perpendiculaire SK' sur MM', ce qui donne respectivement QM = OP et SK'= IK, on aura, par les triangles rectan^ i];les et semblables MQU, S'KU, OIS,

MQMU MQ MU

SK' ~ SU ' 01 ~ OS '

4*e qui donne, en multipliant membre à membre,

Wj mû' ôïï' mU'

SK' . 01 "^ OS . SU ' ^" IK . 01 ~ OS . SU ^ et finalement, à c^use de OP = 4IK . 01^ •'