TS = SU

(iropriété analogue à celle qui a lieu pour le grand axe et qui peut s'é* noncer en disant que : /mur un diamètre ffuelconque deUiparabolc^ le sommet S divise en parties égales P intervalle TU intercepté sur le diamètre entre la tangente MT et l'ordonnée MU relatives à un point quelconque M fie la courbe, cette ordonnée étant prise parallèiement à la tangente au sommet S.

Ces conséquences faciles de la défînition de la parabole sont très-importantes pour la démonstration des lois abstraites du mouvement parabolique des points pesants dans le vide; elles conduiraient à un grand nombre d'autres propriétés do la courbe, mais, au lieu de m*y arrêter, je terminerai par un dernier théorème relatif au rayon de courbure de cette courbe, théorème auquel j'étais parvenu il y a déjà bien des années (*), par une voie purement analytique el qui n'avait point encore été remarqué, quoiqu'il offre la plus grande analogie avec la propriété correspon-

(' ) Pendant mon séjovr à TÉcole polytechnique dans les années 1808, 1800 et 1810, sous nos vénératiles professeurs philosophes, Lacroix, Ampère et Poinsoi, j*cus ridée de rechercher, comme exiercice d'analyse, l'intégrale de Téquation difTérçntielle exprimant la condition que le rayon de courbure, relatif à chacun des points d'une courbe plane, soit, comme dans la cycloîde, le double de la normale correspondante prise par rapport à un axe des abscisses quelconque ^ je fus fort surpris d'obtenir l'équation de la parabole ordinaire, au lieu de celle de la cydoïde, à laquelle naturellement je devais m'attendre; circonstance, un \i\ comprend, qui tenait b ce que j'avais attribué le signe -H à l'expression ra> dicale du rayon de courbure. Ce résultat de l'influence du signe, dont j'eus alors assez de peine à me rendre compte, devint pour moi, par la suite, l'occasion do rechercher la démonstration purement géométrique des remarquablcis proprietés de la parabole relatées ci-Klessus.

danle de lacycloïde, autre courbe d'un usage fréquent en mécanique. Sa démonstration pourra fournir un nouvel exemple do la manière dont 00 doit se servir des notions de la géométrie infinitésimale.

Du rayon de courbure^ du ceiiCrc de courbure et de ia déve/opjjee

de la ptintbo/e,

La propriété mentionnée en dernier lieu consiste en ce que u le rayon »> (le courbure MC (^g. i3) de la parabole, déterminé par la rencontre C » de la normale en un point quelconque M de la courbe, avec la normale » relative au i)oint infiniment voisin M', est le double de la portion MR » du prolongement de cotte normale comprise entre la courbe et la di- » rectrice AR, de sorte qu'on a MC= aMR. »

Pour démontrer ce théorème, nous reprendrons nos considérations [)rcmières relatives à \B^g- i3, et nous supposerons qu'indépendamment des perpendiculaires MP et M'P' à la directrice AR do la parabole, de la tangente MQ relative au point M, etde la perpendiculaire FIP abaissée ilu foyer F sur cette tangente qu'elle coupe en 1, on trace la droite FP' et la tangente M'Q' relative à M' coupant FP' perpendiculairement en T. Nommant, en outre, Q et Q\ R et R', les intersections respectives des tani^entes et des normales en M et M' avec la directrice, on se rappellera que les points I et 1' situés sur la tangente au sommet B de la courbe,

sont les milieux des droites FP et FP', de sorte que, 11'= --PP'=:= 7- M//;

iM// étant Tintervalle du point M à M'P', mesuré sur le prolongement de l'ordonnée perpendiculaire à Taxe BX de la courbe. Prolongeant de même, celte ordonnée jusqu'à sa rencontre en p avec la normale M'R', il en résultera le triangle />MC qui, ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle l'IF, lui sera semblable, de sorte qu'on aura

fjÇ Mp M/>

l'F ou P'l'""~ rT7"~'^M^' Il ou -M/î

Mais /^ M et PI', étant dans le triangle M'Q'R', des lignes respectivement l^uirallèles aux côtés Q'R' et M'R', on aura aussi, parla théorie des lignes proportionnelles,

^ip Q^ M'R',