M//~Q'P'~ PI

doue

relation d autant plus remarquable qu'elle a liau pour un intervalle quel-

conque des points M et M'; mais , à \a limite lie rapprochement de ces points, pM devenant négligeable yis-à-vis de M^C et M'R' qui doivent alors être censées respectivement égales à MC et MR, il en résulte la démonstration du théorème énoncé, à savoir que MC= 2 MR.

Ce théorème d'ailleurs conduit à un tracé fort simple de la déi'eloppée de la parabole, courbe très- remarquable , pointillée sur layf^. 1 3 et qui présente un point de rehroussement en 0, situé sur Taxe AX, à une distance BO du sommet de la parabole, double des distances BF et BA de ce sommet au foyer et à la directrice, c'est-à-dire précisément égale au paramètre, lequel représepte ainsi le rayon de courbure de la parabole en ce même sommet.

On peut affranchir le tracé de la développée dont il s'agit et la détermination du centre de courbure C sur la normale quelconque MC de la parabole,, de toute considération relative à la directrice AR, en remarquant que, si l'on élève au foyer F de cette courbe^ sur le rayon vecteur FM du point donné M, une perpendiculaire FK, elle rencontrera la normale correspondante en un point K tel, que le triangle rectangle MFK sera superposable au triangle MPR à cause de

MF^MP et angleFMK = angle PMB;

on aura donc l'hypoténuse

MK = MR = iMC,

et par conséquent, si l'on prolonge le rayon vecteur FM d'une quantité FG égale à sa propre longueur, puis qu'on lui élève en G la perpendiculaire GC, elle ira rencontrer la normale MC au centre de r4)urbure C de la courbe, résultat auquel d'ailleurs on arrive directement en observant que, d'après les propriétés ci-dessus relatives au foyer et aux tangentes de la parabole, l'angle MFM' sous lequel on voit de F l'élément MM' de la courbe, est précisément le double de l'angle de contingence ou de Vangle MCM' formé par les normales aux extrémités de cet élément ; de sorte que, si l'on porte le rayon vecteur FM' sensiblement égal au rayon FM, de F en G sur le prolongement de celui-ci; que l'on achève le triangle isocèle GFM' en traçant GM', l'angle MGM' de ce triangle sera préci- ^ment égal à l'angle MCM', et le quadrilatère GMM'C, inscriptible à un cercle tangent suivant MM' à la parabole, et dont par conséquent MC sera un diamètre, GC une corde perpendiculaire à MG, etc.

Ces considérations conduisent à une autre conséquence non moins remarquable. En effet, nous avons vu que, dans la parabole, la dislance FN du foyer au pied N de la normale MC, sur Taxe AX de la courbe, était égale au rayon vecteur correspondant FM ; on a donc, par construction,

FG =r FM = FN,

NOTES ET ADDITIONS. iji

et par conséquent le triangle GMN inscriptible à une demi-circonférence dont F est le centre, est rectangle en N, ce qui indique que, pour obtenir le centre de courbure relatif au point quelconque VL de la parabole, il suffit d*élever du pied N de la normale MC relatif h l'axe AX fie la courbe, la perpendiculaire NG à cette normale, puis, élu point de ren» contre G de celle-ci avec le prolongement du rayon r^ecteur correspondant MF, la nout^'lle perpendictdnire GC à la direction de ce rayon, laquelle viendra rencontrer la normale au centre de courbure demandé (*).

Cette construction serait applicable identiquement aux deux autres sections coniques, Tellipse et Thyperbole, pourvu qu'on prit pour Taxe de symétrie AX, le grand axe, celui qui contient les deux foyers réels de ces courbes; mais je n'enlamcrai pas ici la démonstration de ce théorème, et si j'ai autant insisté sur la parabole, c'est, je le répète, parc9 que ses propriétés sont très-utiles pour la démonstration générale de certaines lois du mouvement.

RECHERCHES ANALYTIQUES RELATIVES AU SYSTÈME DES DIAMÈTRES CONJU- GUES PARALLÈLES DE DEUX LIGNES QUELCONQUES DU SECOND DEGRÉ SUR

UN PLAN (voy, la note au bas do la i)age 3o). (**)

Représentons, en coordonnées rectangulaires, par

( i ) ^ï* -h '2 bjcy H- ex* -{-'i.dy-\-:iex -\-f— o,

(•i) a'r^-\-'2Ù'jy-k-(''Jc^^-\-^d'y-\-^c'x-\-f'= o,

les équations données de ces deux courbes.

Soit A la tangente trigonométrique de Tangle inconnu que l'un des diamètres conjugués dont il s'agit fait avec Taxe arbitraire des abscisses x, on trouve

-: ï^ V - — A, pour la première courbe,

-7 TT — ; — 7, — — A t pour la deuxième.

Ces relations donneraient, conjointement avec les équations respec-

(*) Cette solution a été indiquée sans démonstration^ par un auteur anglais dont, jusqu'ici, il m*a été impossible de retrouver Le nom et l'ouvrage.

(N4>ie ancienite).

{ **) Cette Note et les deux suivantes ont précédé ou suivi de très-près mon retour de Russie en 1814.

tives ci-dessus, les coordonnées x et ^ des couples de points de l'une et Taulre courbe, pour lesquels les tangentes géométriques sont parallèles; donc ce sont les équations mêmes des diamètres respectivement conjugués à la direction des tangentes parallèles. Pour que ces diamètres soient parallèles entre eux, il faut, en observant que leurs équations peuvent être écrites ainsi

que l'on ait la relation de condition très-sin»ple

fd-\-b~^ a'A-\-b'''

d'où Ton tire pour A la double valeur

a'c^ar' ng'c^gc'f bc' — cb'

~ i(ba'- ab') ~\ 4 [ba'- ab'f "^ ba'-^ab''

valeurs qui ne seront réelles qu'autant que la quantité sous le radical sera |>ositive.

Afin de simplifier la question, on peut supposer que la seconde des deux courbes données soit rapportée à son sommet et à ses axes, et, de plus, qu'on ait divisé son équation par la constante n\ de sorte qu'on puisse y faire «'= i, ^'= o, d'=ao, /'= o. On pourra également , dans l'équation (i), supposer a= i sans diminuer la généralité de la question, ce qui donne simplement

expression dont te radical sera réel toutes les fois que c' sera |)ositif, et démontre que toutes les fois que l'une des coniques proposées sera une ellipse ou une parabole, la solution du problème sera possible géométriquement.

En effet, si l'on place l'origine des coordonnées au sommet de cette courbe et leurs axes parallèlement aux siens, l'équation (a), en y supposant b' = Oy a'=i, etc., pourra être censée la représenter. Or cette courbe étant alors une ellipse quand c' est positifs et une parabole quand c' est nul , on voit que dans ces deux cas la valeur de / est réelle; dene l<î problème proposé est résoluble géométriquement.

Quand les deux courbes seront des hyperboles , c' sera nécessairement négatif; pour qu'il esiite alors un système de diamètres parallèles, il

{c — c'Y faudra que - — ^ soit > — c' : on peut conclure de là et de ce que j'ai

prouvé dans mes Cahiers de Russie (p. 3o6), que quand deux hyperboles s'entrecoupent en quatre points, sommets d'un quadrilatère convexe, auquel cas on peut faire passer par ces quatre points une infinité d'ellipses, les deux hyperboles auront un système de diamètres conjugués parallèles, et que tout système de deux coniques passant par ces points jouira de la même propriété.

Dans le cas où ces mômes quatre points appartiennent à un quadrilatère non convexe, les hyperboles ne peuvent avoir de diamètres conjugués parallèles; car, si elles en avaient, les cordes ou côtés conjugués du quadrilatère formeraient, avec l'un de ces diamètres, des angles dont les sinus seraient respectivement proportionnels, ce qui est impossible, comme on

(c-^c'Y va le voir. Donc la condition ^ — j-r^ — > —c' exprime réellement que

le quadrilatère inscrit simultanément aux deux coniques est coVfirexe.

Cas particulier où les coniques dégénèrent en des droites.

Soient j,, j^, x,, x^ (fig, i5), quatre points situés arbitrairement sur un môme plan ; en les joignant deux à deux de toutes les manières possi-

bles, vous formerez le quadrilatère simple y,x„ -^z ^„ avec ses deux diagonales. Soit proposé de trouver le système de deux axes obliques pour lequel les équations des cotés opposés j,jr„ .r, x„ soient de cette forme

c'est-à-dire tel que ces côtés fassent avec les axes respectifs des angles dont les sinus soient proportionnels, et qu'il en mfij^ de môme pour les deux autres côtés j, x, et jr„ x^.

Prolongeons les côtés opposés r,jr„, x^x^ jusqu'à leur rencontre en o,

prenons les droites ax ei ajr pour axes obliques primitifs des x et des/, et o pour Torigine ; faisons

ox=x„ ox^=x^y ox,=j, et ^,=r.;

les équations des six lignes droites qui entrent dans la fig. i5 seront évidemment

pour or, jr=o, pour «yr, ar=o,

pour 7-, x^, j'=-^'x-4-^;^, pour^.x,, r=-~'^->-^»-

Soient or' et or' les axes inconnus, y, s les angles que Taxe des x' fiait avec les anciens axes ox, oy^ et 7^ c' les angles pareils relatife à Taxe des y*, Od a les formules suivantes^ qui serviront à passer du premier système de coordonnées au deuxième,

x*%\\ii,-^j'i\Vi^' __ x^siny-hj'siny' ,

sinô -^ smd

B représentant Fai^ des axes prinoitifs ox et o/r on a évidemment^

7=9 — e et 7'=ô — t'.

Substituant ces valeurs de x et de jr dans les équations ci-dessus, elles deviendront

. sin 7 , , sin « ,

pour ox, r'= : — -,x\ pour or, r = : — ^x ;

■^ ^ ' sm 7' ^ i^ . ' ^ sm «

, r, sine 4-x,8in7 , ,

pour r,x., y'^z^-L!—, — — L___ia: -f-... , ^ ►' " -f X, sm 7 4-/", sm 4

, K sin c -»- X,, sin 7 .

pour j„x^, r = — *-^^— : — r-; — ' . \x'+...; I ^» »» ^ x„sm7'-h7;, sme'

enfin on aura,

, r, sin s -h x^ sin 7 ,

pour >% x^, r = — ^-^-: — , . . , X -4- ... , *^ -^ ' ' -^ x^ sm 7'-h j, sm £

j r,, sin £ -f- X, sin 7 , ,

pour r-x,, r= — '-^^ — ;- — . ,x -h

^ •^» '' * x^ sin7'-hjr„ sme'

Les trois dernières équations s'obtiennent de celle de {y,x^^ en y mettant respectivement, savofî : x^ et j„ i la place de x, et r,, x^ à la place de X,, et enfin y„ à la place de ,r,-

Maintenant, par les conditions du problème, il faut que dans les équations de r, X, et ^> „ x^ les coefficients de cd soient égaux et de signes contraires, et pareille chose devant avoir lieu pour les droites r, x, et r« x,

il en résulte les deux nouvelles équations

y, sin t -h JT, sin 7 , y^ sin g -h »r^ sin 7 r, sin ï'H- x, sin 7' x» sin «'■+- -r, sin 7' ~~ '

r, sin g -h J^^ sin 7 y^ sin e -h jt, sin 7 r, sin g'-h X, sin 7' r, sin g' H- x, sin 7' "" '

qui se déduisent Tune de l'autre, en y échangeant entre elles respectivement, X, et .r^ en x^ et j:,.

Développant la première d'entre elles et opérant ensuite celte permutation, il viendra

, V I 2j,j,8inesing'-|-aj:,x^sin7Sin7'