I -I- (-^z r«-l-// -^J [sin 7 sin i'-h sin « sin 7'] = o
, . I 2r,j,singsin«'-f-ax,x„sin7sin7'
I 4-(j:,j,-hx^7j[sin78ing'-|-sinisin7'J = o.
Retranchant ces équations Tune de l'autre, on obtient, après la suppression du facteur x^y^-^y^x^^x^y^—y^x^ qui, par hypothèse^ n'est pas nul,
. , . . . , sin 7 sin g
8in7smg -hsmgsm7 =0 ou -1 — -,~ : — ;•
sin 7 sin g
Donc les axes cherchés jouissent, en môme temps, de la propriété dont il s'agit, par rapport aux côtés opposés ox et or, puisque cette dernière égalité exprime que les coefficients de x' dans les équations de ces deux droites sont égaux et de signes contraires. En supposant
sin 7 sin g'-f- sin g sin 7'= o
dans l'équation (i}, elle devient
/,^^singsing'-f-j:,a:^sin7sin7'= o,
et ré(]uation (2) donnerait absolument le m(^mo résuliat; on aura donc, pour délcrminer 7, 7', etc., les seules équations
(3) ^^ r„ sin g sin g' 4- «r,^, sin 7 sin 7'= o.
(4> sin 7 sin g'H- sin 7' sin g — o,
auxquelles il faudra joindre celles-ci
(5) 0 = 7-hg, (6) ô = 7'-l-«'.
Substituant dans l'équation (3) la valeur de 7' tirée de l'équation (4), il viendra
(7) Xj^sin'g — ar,x,8in'7 = o.
Posant, en outre, lang7 = /, tangs = /e, d'où
cela donne
Or, en posant de nouveau tang 0 = o>, ce qui donne également
M = tangf= tang(ô— v)= -— ï^ .^ ^' =— — -,
o r>\ Il i-f- tango tang 7 i-h*>'
cette dernière équation se changera dans la suivante,
ou, en supprimant le facteur i +/* qui ne saurait être nul, et ordonnant équation de laquelle on tire Gnalement
On voit, par cette valeur de /, qu'il sera po8sible de trouver deux axes obliques qui jouissent de la propriété en question, toutes les fois que le
Fig. i6.
produit ^'c,Jc„x,X„ sera positif : le contraire aura lieu quand ce produit sera négatif. Or il est facile de s'assurer que cela arrivera si les quatre points donnés x„ x^, r, etjr„ (fig, i5) correspondent à un quadrilatère non convexex, j, j„ x„ [fig, i6), et que, au contraire, le produit ci-dessus sera positif quand ces mêmes points formeront un quadrilatère convexe, y, x, et x,/„ étant d'ailleurs les diagonales de ce quadrilatère. c. q^ f. d.
Nota, — On aurait pu s'arrêter à l'équation (7) qui démontre la même
propriété; mais nous avons jugé convenable de calculer explicitement l'expression de t.
Remarques diverses, — Si Ton eût cherché la valeur de 7' en éliminant
7 des équations (3) et (4), on eût obtenu à la place de l'équation (7),
celle-ci :
d*où Ton aurait tiré les mt^mes valeurs pour lang7' que pour tang7; or cela provient évidemment de ce que les équations (3) et (4)» (^) et (6) sont symétriques. Dorx la double valeur de / correspond bien à Tun et l'autre des axes ou diamètres conjugués qui remplissent les conditions du problème. Donc enOn il n'existe qu'un seul système de pareils axes ou diamètres.
Ainsi, toutes les fois que deux hyperboles se pénètrent en quatre points ^lO'n ^n ^^Xni appartenant exclusivement, comme sommets, à des quadrilatères non convexes x,y,''c„x„^ ces hyperboles n'auront aucun système de diamètres conjugués parallèles, et réciproquement.
En particulier, si les intersections y, et y^ se confondaient, c'est-à-dire si les deux courbes se touchaient suivant la direction de r, j,, on aurait,
Fig 17.
d'après les équations ci-dessus r,= r„î e*^^., il faudrait que x, et j:^ fussent de mêmes signes, c'est-à-dire que la tangente .>, r„, étant prolongée jusqu'à sa rencontre en o avec la droite x,x^ qui joint les deux autres points d'intersection x, et j:^, il faudrait que o ne se trouvât pas entre x, et X.
Si, en outre, on avait x, = .r, , c'esl-à-dire si les deux courbes se touchaient en deux points x' et r' {fig, 18), / devenant
sa valeur serait nécessairement réelle, et par conséquent deux semblables hyperboles auraient nécessairement aussi un système de diamètres con-
Fig. 18.
jugués parallèles, dont les directions seraient données par les formules précédentes, etc., etc.
jiiUre manière de procéder, — On peut trouver les deux axes conjugués dont il a été précédemment question, d'une manière très-simple, ainsi qu'il suit :
Désignons les angles comme dans la fig. 19, et supposons que par un point quelconque 0, on ait mené des parallèles respectives aux c^tés
tt\
^^-.fn^
H aux diagonales du quadrilatère donné ÂBDC. Soit nf une transversale parallèle à l'axe cherché et qui les coupe aux points marqués «ur la figure, la droite Ox passant par 0 et par le milieu i decr/, sera la conjuguée de cette transversale ou de cet axe, et il faut évidemment qoe
ab^ef^ bc = tle^ etc. Cela posé, désignons par a, b^ r, etc., les longueurs Oa^ Oh^ etc., et observons que les triangles Oab, Oef^ etc., de même hauteur et de bases égales, sont équivalents, on en déduira les quatre équaiioQS
( I ) fib^\uq = rfsm 5, (3) bf&kn n = aesinu,
(1) ce sin m = Ulsin /, ( 4) /iesinp = besm r,
auxquelles il convient d'ajouter les deux suivantes :
) Ar sin ( r -f- /w ) = 6cstnr + <^^sin/ii = rfcsin/i-f-^sîn/,
I nf s\n (<7 4- / -hp -h-s) = //A sin 7 4- bfsin {t-hp -hs) = frf &iu x -é-arsin (q-^-t-^-p),
Ces équations ont lieu simultanément, puisque, d'après ce qui précède, la droite ^est possible. Multipliant d'abord les quatre premières par ordro ^ntre elles, on aura
sin m sin n sin /? sin q = sin r sin 5 sin r sin « ;
on trouvera de même, en les multipliant membre à membre et deux par deux, à savoir : ,4
(i) par (3) dans l'ordre direct,
(1) par (3) dans Tordre inverse, {1) par (4) dans l'ordre direct,
(2) par (4) dans Tordre inverse,
(5) A*sinnsin7 = e'8inw8inj,
( 6 ) à^svaq sin u =f* sin/i sin s\
(7) tf'sin«t8in/> = ^sin£sinr,
(8) ^sin/wsinr = ^8in/?sin/.
La première (C) (kj^ équations ci-dessus, a lieu pour tous les quadrilatères et peut se démontrer directement. En effet, les quatre triangles BHD, DHC, CUA et AHfi donnent
sin/i HB
&\ns
HD
sin/j HD
sin/ ~" HC' sin u ~ HA
sin 7 HC
sin m HA sîn7""HB'
d'où Ton tire, en multipliant ces équations membre à membre,
sin n sinp sin qsïnm — sin s sin / sin /esin r.
Pour passer de la considération du quadrilatère convexe ABDC au quadrilatère non convexe ABDX, il faut changer les signes de sinp et sin^ qui ont changé de sens. La dernière de ces équations reste invariable; mais il en est autrement des équations (5) et (6), (7) et (8). L'équation (6) en particulier, donnant immédiatement / quand on connaît a, la direc'» tion de af sera connue ainsi que celle de Ojt,
48o SOUVENIRS,
Si Ton voulait prouver que cette droite existe réellement, la démonstration précédente ne suffirait pas; car les points a, b^ c, d^ ^ et /pourraient n'être pas sur une même droite et remplir cependant les conditions (i), (2), (3), (4); il faudrait encore y joindre les systèmes des équations (A) et (B). Les équations (5), (6), (7), (8) donneraient f, e et r/en fonction de a^ b^ c respectivement, et substituant dans les équations (Â) et (B), on obtiendrait, entre les angles, une équation de condition qui doit être remplie pour que la droite af soit possible géométriquement.
NOTE HISTORIQUE, CRITIQUE ET PHILOSOPHIQUE A PROPOS DES THÉORÈMES SUR l'inscription ET LA CIRCONSCRIFFION SIMULTANÉE DES POLYGONES AUX CONIQUES, ETC.
Dans un remarquable Mémoire publié en 1828, au t. III du Journal mathématique de Crcllcy p. 876, M. Jacobi, de Kœnigsberg, a bien voulu citer avec éloge mon ouvrage de 1822, à propos des propriétés projectives des polygones dont il s'agit; propriétés qui s'y trouvent établies, je dois le redire, par une voie en apparcndl^ exclusivement géométrique, quoique simple et rapide, et d'où ce grand géonM|||p, qui n'était pas seulement algébriste comme tant d'autres, a déduit Sie élégante construction pour l'addition et la multiplication des intégrales elliptiques de première espèce. Cette construction a reçu, de M. Legendre, de justes éloges qui n'ont pas peu contribué à établir la réputation de son jeune auteur; mais, en l'exposant à sa manière dans le Supplément au t. III de la Théorie des fonctions elliptiques^ Tilluslre et vénérable fondateur de cette nouvelle branche du calcul intégral, soucieux, avant tout, des progrès de la science qu'il cultivait avec une prédilection toute particdKére, ne jugea pas à propos de mentionner la faible part de mérite qui pouvait revenir aux théories géométriques du Traité des Propriétés projectives des figures j ce qu'avait fait si loyalement, dans le Mémoire précité, M. Jacobi, qui ignorait d'ailleurs l'origine analytique de ces mêmes théories exposées dans le VI' Cahier de ce volume. Or, si d'autres savants moins autorisés, ont imité le silence de M. Legendre, ils n'auraient pas dû dédaigner autant qu'ils l'ont fait, les précieuses ressources, l'utile enseignement dont, à dater de 1822 et môme de 1817, ont été pour eux les spéculations de la géométrie pure.
En examinant d'un peu près et d'un œil non prévenu la cause de cet apparent dédain, de cet oubli plus ou moins volontaire, on reconnaît sans peine, qu'elle provient originairement de la façon obscure et détournée dont Jacobi, dans le Mémoire précité, a prétendu faire dériver à posteriori, de la théorie purement algébrique des fonctions elliptiques, les théorèmes relatifs aux polygones simultanément inscrits et circonscrits
au système de circonférences de cercles tracés sur un plan d'après des conditions données; car il semblait en résulter que Tintervention des lumières de cette géométrie, nommée si mal à propos, géométrie élémentaire y méritait assez peu l'attention des mathématiciens qui s'intitulent par excellence géomètres; mathématiciens que le Rév. Georges Salmon a mieux caractérisés, ce me semble, par l'épi Ihète de géomètres algétristes dans son récent ouvrage intitulé : [jessnns introditctory- tn the modem higher algebra.
D'autre part, au lieu d'aborder directement et franchement le cas général, 8) simple, de la question qui nous occupe, Tauteur du Mémoire inséré au t. m du Journal de.Matfiématiques de Crelle (p» 376 à 385) se préoccupa d'abord exclusivement, d'un problème de géométrie, soi-disant encore élémentaire, qui, déjà anciennement et après Euler, avait attiré l'attention de Nic4)las Fuss, le célèbre secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg. Ce problème concerne la relation algébrique qui lie entre eux les rayons et la distance des centres de deux circonférences de cercle données, l'une inscrite, l'autre circonscrite à un polygone d'un nombre quelconque de côtés, de forme irrégulière il est vrai, mais considéré dans des conditions de symétrie tout à fait particulières par rapport à la ligne des centres. Or Fuss avait vainement recherché pour le quadrilatère, la relation algébrique relative aux polygones considérés dans une disposition plus générale, et ne s'était même pas douté qu'elle fût indépendante des conditions restrictives dont il vient d'être question , ni de la position attribuée à l'origine ou premier sommet du polygone; toutes choses, selon le très-loyal Jacobi, devenues évidentes d'après les théories géométriques de mon ouvrage, -et qui sont prises pour point d'appui et pour base de la savante application que cet éminent géomètre fait de la théorie des fonctions elliptiques, à la recherche de la relation dont il s'agit; relation variable dans son expression algébrique, avec le nombre des côtés du polygone, mais dont M. Steiner, devenu depuis notre ami commun, avait, dans le Journal de Crelle (t. II, 1827, p. ^89), énoncé pour les polygones de trois, quatre, cinq, six et huit côtés, les équations rationnelles, en admettant à priori, la possibilité de tels polygones et de leur couple de cercles.
D'après ce qu'a bien voulu me faire savoir' plus tard M. Steiner, esprit original et inventif, s'il en fut, dans le domaine de la géométrie pure, et dont on connait l'immense collection de théorèmes, de problèmes, de corollaires, il est vrai sans lion apparent et dont malheureusement il a trop souvent laissé à d'habiles disciples le soin de prouver la réalité ou la non-existence , ce serait par ses encouragements propres, ses avis éclairés que Jacobi, ayant pris connaissance du Traité des Propriétés projectives, aurait été conduit à appliquer la théorie des fonctions elliptiques à la démonstration des théorèmes (p. '^ili et suiv. de cet ouvrage) sur les polygones simultanément inscrits et circonscrits à plusieurs cercles. Or, je tiens I. 3i
parliculièrement à faire remarquer que cette application , si elle conduit k la construction géométrique de la somme des fonctions dont il s*agiu ne peut que difficilement servir à trouver la relation purement algébrique qui, pour le polygone d'ordre quelconque, lie entre eux les rayons de ces cercles et la distance de leurs centres respectifs; les fonctions elliptiques n'ayant qu'une valeur de forme purement implicite ou algorithmique, qui fait dépendre, contrairement à l'ordre logique et rationnel, le simple du composé ou du transcendant. A cet égard donc, le problème envisagé dans ses conditions générales, quoiqu'il appartienne, selon Jacobi même, à la géométrie élémentaire, reste tout entier à résoudre pour les polygones d'ordre supérieur ou d'un rang indéterminé.
En effet, M. Richelot, jeune étudiant à Kœnigsberg en Prusse, élève et naturellement continuateur de Jacobi, n'a fait qu'étendre au système de deux petits cercles de la sphère les démonstrations de ce professeur, en s'appuyant également sur les propriétés connues des fonctions elliptiques, qui lui permettent d'établir pour ce cas, par des considérations plus explicites et plus simples, le théorème sur la simultanéité de l'inscription et de la circonscription des polygones sphériques; conséquence d'ailleurs immédiate du théorème analogue relatif à deux coniques sur un plan, d'après les doctrines mêmes du Traité des Propriétés projectives. Par des transformations trigonométriqucs élégantes, M. Richelot établit ensuite les relations qui, pour les petits cercles de la sphère, sont les correspondantes de celles que MM. Steiuer, Fuss et Jacobi avaient partiellement énoncées ou démontrées pour les cercles sur un plan ; relations dont les plus simples encore^ relatives au triangle et au quadrilatère sphériques, avaient aussi été indiquées par M. Steiner dans le t. II (1826) du Journal matfiématiqiie de C relie.
Ces relations algébriques, d'autant plus remarquables qu'elles n'offrent entre elles aucun lien de continuité apparent, laissent en dehors le cas de Vheptnfrone, et ne dépassent pas le polygone de huit côtés ; mais il est juste d'ajouter que M. Richelot, en s'appuyant sur un primitif et célèbre théorème de Legendre, pour la duplication des arcs elliptiques (p. aS des Exercices]^ présente dès le début de son Mémoire et relativement au cas du plan, des formules algébriques rationnelles on ne peut plus élégantes et symétriques, pour passer'd'un polygone de n côtés à un polygone d'un nombre de côtés double in\ ce qui lui permet d'arriver directement à la relation algébrique, aussi rationnelle, qui lie entre eux les rayons et la distance des centres de deux cercles, l'un inscrit, l'autre circonscrit à un polygone de seize côtés, en laissant toujours en dehors ceux de sept, de neuf et de quatorze côtés.
Quel que soit le mérite d'un pareil rapprochement et quoiqu'on sache par les plus anciens travaux d'Éulor, de Legendre, de Jacobi et d'ÂJ)el que les intégrales nommées elliptiques ont entre elles des relations purement algébriques ou géométriques, il n'en parait pas moins peu naturel
et encore moins philosophique, de lirer directement de la connaissance de ces travaux, bien qu'ils soient devenus dans ces derniers temps familiers à beaucoup de lecteurs, la démonstration, à posteriori, de théorèmes généraux aussi simples de la géométrie.
Sous ce rapport, on doit savoir beaucoup de {^[ré à M. Mention d'avoir abordé directement et géométriquement, la question dans l'un des Bulletins tic l'j4cac/émie iiHjx'nalc des Sciences de S/iint-Pètersbnur^ (t. I, 1869, p. i5, 33 et 507), sous le tiirc motloste (ï Essais sur le pt-oblènie de N. Fuss, quoique ses recherches. Tort remarquables d'ailleurs et qui concernent la relation algébrique relative à deux cercles mentionnée cidessus, n'aient point complètement abouti pour le cas général, et se soient arrêtées, (Ju moins explicitement, aux polygones de neuf, dix et onze côtés; car si ces recherches ont mis en évidence l'échelle de relation qui lie entre eux les polygones de //, // — i et n — 7. côtés, par une double équation, cependant MM. Mention et Tchébychef ont vainement tenté de la résoudre par les procédés de l'analyse algébrique.
C'est d'ailleurs une question de savoir si le problème, si mal résolu par Fuss en 1792^ la été mieux depuis par d'autres, notamment en Angleterre par M. Cayley, qui, ignorant sans doute mes publications de 1817 et 182-2 • citées plus haut, a attribué gratuitement à cet ancien et estimable géomètre, sous le nom de pôrismc, le théorème de la p. 364 sur les cercles. Parmi les nombreux Mémoires de M. Cayley, écrits dans une langue mathématique pour moi doublement étrangère, j'entrevois bien, en effet, de belles méthodes algébriques pour passer d'un terme à un autre de la série des polygones, mais non ])Our franchir, sans calculs intermédiaires, l'intervalle qui sépare entre eux deux termes de rang quelconque. Ainsi, par exemple, dans son dernier Mémoire résumé, de mars 1861, il n'arrive à la formule de Tennéagone, obtenue par M. Mention et relative au cas simple de deux cercles, qu'après avoir laborieusement calculé toutes celles qui appartiennent aux polygones d'ordre inférieur.
A cet égard, il me semble que les équations et les résultats des n"* H, m, IV et VI du VF Cahier, qu'il eût été très-facile de tirer des énoncés géométriques de la sect. IV, chap. II du Traité des Propriétés pn>jecUi*es, il me semble que ces é(iuations, ces résultats, joints aux divers théorèmes sur l'enveloppe du côté libre et des diagonales des polygones indéiiniment inscrits et circonscrits aux cercles ou aux sections coniques, auraient facilement conduit à des conséquences, relations ou porismes algébriques analogues à ceux qu'ont cherché avec tant de persévérance sinon de succès, MM. Fuss, Sleiner, Jacobi, Richelot, Mention et Cayley.
Ainsi par exemple, si l'on imagine qu'un polygone de in côtés étant à la fois et indéfiniment circonscriptible au c^^rde (C) de rayon r et inscriptible au cercle (C) de rayon R (p. Zxb.Jîg. i36), on en trace un deuxième d^iin nombre n de côttîs joignant deux k deux consécutivement les sommets de rang pair du premier polygone, qui sera, par conséquent
indétiniment inscriptible au cercle (C) de rayon R et circonscriplible à im troisième cercle (C) de rayon inconnu p, on aura, en nommant/?, a les dislances respectives des centres C et C au centre C, conformément aux résultats des p. 319 et 343 (équalions 6 et 9),
, R'[2r'(R^4-^')-(R'-^/^)*r 4RVVi
pour calculer directement le rayon du nouveau cercle (C) et la distance de son centre à celui du cercle de rayon R, circonscrit à la fois aux den\ polygones (Kun nombre // et 2/1 do côtés.
Je n'essayerai pas de comparer ces dernières formules très-simples à celles que M. Richelot a lui-mémo tirées (p. 25o à 262 du t. V de Crelle) du théorème de Legendre, pour passer immédiatement de la relation algébrique relative au polygone de // côtés à celle du polygone d'un nombre de côté^ double iri\ je me bornerai à faire observer que l'on arriverait à des résultats analogues pour les polygones de 3/i, in, 5/7,... côtés, par ■une réduction convenable du rang de ces polygones au moyen de diagonales joignant de 3 en 3, de 4 en 4 f-.. leurs sommets dans l'ordre progressif, et ens'appuyant sur les propositions des p. 336, 352 et suiv. (VrCah.); ce qui correspond à la multiplication des fonctions elliptiques.
Quant aux polygones d'un nombre premier n' de côtés , c'est-à-dire indécomposable autrement que par addition ou soustraction, en allant par exemple, de n'— i à n', ou de rt' à //'-hi, etc., il doit arriver à peu près ce qui s'observe dans la théorie des nombres entiers, où, tout en découvrant de fort belles propriétés des nombres premiers de c«tte espèce, on n'a pas su néanmoins, jusqu'ici, les exprimer par des formules algébriques explicites, limitées ou nettement définies.
Je n'ai point l'intention d'insister davantage ici sur les rapprochements possibles entre la théorie des polygones indéfiniment inscriptibles et circonscriptibles au système de deux cercles et celle des fonctions elliptiques de première espèce, dont mon savant confrère à l'Académie des Sciences, M. Chasles, dans son classique, synthétique et dogmatique Traité fie Géométrie supérieure, écrit à la manière des anciens et publié en i852 (p. 58o, chap. XXXV), a offert d'intéressants exemples relatifs à l'addition, à la multiplication de deux arcs d'ellipse dont il fonde lu démonstration, à posteriori, sur la considération du cas singulier d'une corde mobile à la fois inscrite et circonscrite à deux circonférences de cercle sur un plan. Mais, sans prétendre insister dans cette rapide Note, je crois pourtant devoir ajouter quelques mots historiques touchant la liaison intime qui existe entre les propriétés des fonctions elliptiques ei celles des polygones mobiles démontrées géométriquement à l'endroit déjà cité (Sect. IV, Chap. II) de mon Traité de 1822, sur les Pfépriétés pntjectives des figures ,
Pendant l'un des lrop*ourt8 séjours de Jacobi à Paris, en 18^9, le premier si je ne me trompe, celui qui a suivi d'assez près la publication du Mémoire sur \ Application des transcendantes elliptiques h un problème connu de la géométrie élémentaire^ ro géomètre, dont je m'honorerai toujours d'avoir possédé l'estime et l'amitié, a bien voulu, dans une conversation familière en partie échappée à mes souvenirs, m'initier à la manière simple et toute naturelle dont il avait primitivement entrevu la relation si intime, si remarquable, existant entre les théories algébriques et géométriques qui nous préoccupent ici. Je ne connais^^ais alors (pie les Exercices de Legendre sur les intéç^rales elliptirpœs, dont, en 1825, j'avais eu occasion do faire l'application à des recherches sur le frotlement de la vis à filets triangulaires, dans mon Cours de Mécanique à l'École d'application de Metz. Je savais encore qu'Abel et Jacobi s'étaient déjà illustrés dans ce genre de spéculations inauguré par Euler et I^grange; qu'Abel, venu en 18-26, de Christiania à Paris, ce rendez-vous des réputations bien ou mal acquises, était mort à la peine, en 18*29, âgé de vingt-sept ans, après avoir vainement attendu, pendant un séjour de dix mois en France, un acte d'intérêt et de justice de la part {\eÀ Commissaires chargés, par notre Académie des Sciences, de l'examen de son premier Mémoire sur une propriété générale des fonctions transcendantes ; Mémoire qui n'a été imprimé que quinze ans plus tard, dans le t. VII des Savants étrangers (1841); c/esi-à-dire douze ans après la mort do ce télèbre et infortuné géomètre, auquel la même Académie accorda un prix posthume; tardive réparation des amères déceptions qu'il avait éprouvées pendant une aussi courte vie.
M. Jacobi donc, dans les entretiens dont j'ai précédemment parlé, reportant mes idées sur la théorie des polygones indéfiniment inscriptibles et circonscriptibles au système des cercles et des coniques, m'apprit qu'au début do ses études sur ce sujet, il avait aussi imaginé de faire varier un tel polygone, d'une quantité infiniment petite, do manière que les arcs élé* mentaires décrits respectivement par les extrémités de l'un quelconque de ses côtés, divisés par la longueur des segments correspondants formés sur Sii direction, à partir du point de contact avec le cercle auquel il est tangent, représentaient autant de différentielles elliptiques de la première espèce, et fournissaient ainsi, par leur comparaison relative à chacun des côtés, autant d'équations distinctes, les mômes qu'Euler, Lagrange et legendre avaient primitivement intégrées sous une forme rationnelle, dans leurs admirables recherches sur la matière.
Soient (C) et (c), ^g. -20, les centres do deux cercles de rayons quelconques R et r, situés sur un n^éme plan ',a = Cc\d distance de cçs centres, P le point où Ce prolongé, coupe le cercle (C); nommons .v, en général^ l'arc PA du cercle (C), compté vers la droite à partir du point P pris pour l'origine des arcs; enfin ^ l'angle au centre, correspondant à AP : de sorte que AB = R sin ^ et BC = Rcos^, sont le sipus çt le cosinus natu-
relsde AP = R.v. Soit, de plus, AA' une corde de (C), touchant (c) en /,
dont l'une des extrémités A est un point quelconque du cercle extérieur,
et l'autre A' un second point de ce cercle, auquel correspond Tangle au centre PCA' = «p' ou l'arc PAA' = .v' = R<p' relatif au même cercle.
Cela posé, admettons que la corde A A' subisse un déplacement infiniment petit aa' autour du cercle intérieur (c) ou du point de contact primitif /.sur ce cercle, de sorte que
Ar/ = r/.v=Rr/^, X' a' = ds' = Kri y\
on aura évidemment, par les triangles A ai, k'a't, dont les angles opposés au sommet en / sont égaux entre eux» et en posant d'ailleurs les segments At = $s A't=zS\
(Is fis' Rr/a; R//^/
ri - ^' ^" § ~ B' '
équations dans lesquelles R est constant, $ et è' sont des fonctions inconnues des sinus et cosinus de s et a' ou de «p et ^'. Par conséquent on aura, selon les notations du calcul intégral,
C'ds C'' ds' ... „ Cfdy C
f T ~ I "^ ^"' ^" divisant par R, / "5^ = I
? dy'
Or il est bon de remarquer, avant d'aller plus loin, que la première de ces équations, en y substituant aux éléments d'arcs dx et ds\ leurs pro^ duits par les sinus des angles qu'ils forment de part et d'autre avec la corde tangente à (c), appartient tout aussi bien à deux sections coniques queU conques qu'aux cercles considérés en particulier, et que, de plus, elle exprime l'une des propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, puisque è ou 8' ne sauraient être ici que des expressions radicales du second (legr(^ entre les abscisses et ordonnées des extrémités A ou A', c'est-à-dire
entre les sinus et cosinus mêmes des arcs ou des angles qui leur appartiennent respectivement.
Toutefois je ne saurais aflirraer que, lors de notre entretien à Paris, M. Jacobi ait eu déjà en vue le cas général de sections coniques quelconques simplement mentionné à la fin du Mémoire précité de ce géomètre, cas dont M. Moutard s'est occupé dans Tune des Additions ci* après; mais, ce qu'il y a de bien certain d'après mes souvenirs, c'est que les considérations ci-dessus pouvant être immédiatement étendues à une portion de polygone ÂA'A"..., d'un nombre quelconque de cordes ou côtés, à la fois inscrits à la circonférence de (C) et circonscrits à celle de (/r), conduisent forcément à dos rapprochements très-remarquables entre les théorèmes do mon Traité de 1822 et l'addition des fonctions elliptiques, sans recourir à aucune des transformations analytiques mise3«^ usage postérieurement, par Jacobi et Legendre.
D'une part, Tintégrale relative à chaque sommet, est la même pour les deux côtés qui y aboutissent; de l'autre, on a directement par la figure, on prenant pour exemple le côté tangent AA', et observant que le segment kt est moyen proportionnel entre ceux qui sont formés par le point A sur la ^cante diamétrale du cercle (r), qui aboutit à l'extrémité A,
Â/' ou §''=(kc-\-r)(kc — r)=Yc—r^\
et, comme par le triangle ACr, dont le côté AC — R, le côté Ce- = «, l'angle kCc = ^^ d'après nos notations qui sont aussi celles de Jacobi, à cela près qu'il ne prend pour <p que la moitié de l'angle ACc par un motif ({u'on devinera ci-après, on a aussi
Xc ^R'-h'ï'-- aR^/cos-^p, et, par conséquent,
^2^R»4.,,2.2R^/cosy--/-=-(R-r/)'-r^-4R<isin'-(p,
il en résulte nécessairement
rds J ^
jy/lH-.
— n)' — r^— 4R^sin'- V
dy
JR /^ d^
V'iR-^l'-r' / / ., . ,1 ^^ ^ J i/i-X'sm'-^
on posant comme module de la fonction elliptique représentée par Tinté- . grale, la constante
ce qui montre, tout au moins, comment iacobi a pu être conduit à Tapplication de la théorie des fonctions elliptiques aux diverses questions traitées dans son Mémoire de 1828. Or, ces mêmes questions auraient été abordées plus franchement, plus nettement encore, par les considérations tout à fait géométriques et élémentaires, que je viens d*exposcr c'est-à-dire sans recourir aux données de l'analyse transcendante ; mais je me dispenserai de le montrer dans cette Note, de peur de m'écarter par trop du but très-simple, que je me proposais d'y remplir.
Au surplus, c'est sur des considérations à peu près semblables que M. Richelot, élève de Jacobi, s'appuie dans le Mémoire déjà cité, et que Jacobi hii-mème, dans une lettre du 6 août i845 {Crellcy t. XXXU, p. 176), adressée à notre honorable confrère M. Hermite, fonde l'application de la métbo|[g|>6ométrique ci-dessus, à la démonstration du théorème de Landen et de quelques-uns de ceux qu'Abel avait trouvés pour la transformation, l'addition des intégrales elliptiques ou abéliennds.
Qu'il me suffise de faire remarquer, en terminant, que, au lieu de re* courir à la considération du triangle ACc pour obtenir l'expression radicale de ^> on aurait pu faire usage du triangle rectangle même ABC, déterminé par l'ordonnée AB ou sinus de l'arc AP = 5, considérée comme sécante indéfinie du cercle (r), en rattachant, au besoin, 1 expression algébrique des segments de tangente A/, A7 aux sécantes communes à ce cercle et à (C). Cela suggère aussi naturellement l'idée d'étendre cette considération au c<')s des sections coniques quelconques, et même aux courbes géométriques planes en général, en essayant d'exprimer les éléments du polygone inscrit à l'une et circonscrit à l'autre, par les relations, les théorèmes connus qui les lient à Tensemble ou faisceau de lignes ayant les mômes intersections communes.
Ces théorèmes, ces relations géométriques d'une simplicité et d'une élégance remarquables, se rattachent, comme on sait, à la théorie.algébriquQ des constantes numériques arbitraires, par lesquelles multipliant les équations de deux courbes ou surfaces de mémo degré et les ajoutant par ordre, on obtient l'équation d'une nouvelle courbe ou surface de ce degré, représentant le faisceau de toutes celles qui renferment les intersections communes au système des deux premières. Ce serait bien à tort d'ailleurs, que l'on confondrait cette méthode avec le procédé purement algébrique des multiplicateurs indéterminés, employé par Bezout, Lagrange et d'autres anciens géomètres, pour opérer l'élimination entre des équations de degrés quelconques; élimination dont les résultats constituent en réalité, le but primitif et principal de ce qu'on nomme aujourd'hui, mal à propos $i je ne me trompe, la théorie algébrique des déterminants.
NOTES BT ADDITIONS. 489
La doctrine des multiplicateurs arbitraires ou (tes faisceaux de courbes et de surfaces dont j'ai parlé en terminant le précédent article, cette doctrine, car c'en est une véritable, a son point de départ, je crois, dans une heureuse inspiration de M. Ch. Dupin, Fun des plus fervents disciples de Monge, qui, dans un Mémoire daté d'Anvers 1804, l'applique à la recherche de l'équation unique d'une infinité de surfaces du second degré passant par les intersections communes au système de deux surfaces particulières de ce degré (XIII* Cahier du Journal de l* École Polytechnique^ p. 81). L*auteur, il est vrai, n'a point indiqué l'étendue ou la portée du principe, mieux saisie par un autre illustre disciple de Monge, M. G. Lamé, qui, sorti fraîchement de l'École polytechnique, en a ftiit des applications multiples et élégantes à la recherche de Vexpression analytique de la communauté d'intersection des lieux géométriques, dans un ouvrage publié en 1818 [Examen des différentes méthodes, etc.), et rédigé dans un style dogmatique, qui malheureusement, ne laisse pas assez apercevoir l'origine géométrique de la méthode et sa différence essentielle avec les procédés ordinaires de l'élimination.
Cet écrit original, dont M. Lamé avait publié, dès décembre 1817, un extrait dans les Annales Mathématiques ài^ Montpellier, a été mis à profit sans citations, en 1826 et les années suivantes, d'abord par le rédacteur même de ce Recueil, puis par ses habiles collaborateurs.
Qu'on lise attentivement le petit livre de M. Lamé, si oublié en apparence dans ces Annales comme aussi dans tous les Traités sur la matière où domine la science algébrique dont l'auteur a fait depuis un si bel usage, on y reconnaîtra la trace patente des idées qui ont servi postérieurement de base à l'emploi de l'analyse pour la démonstration des théories' -nouvelles de la géométrie pure. Mais, ce qui paraîtra bien difficile à expliquer, c'est qu'il se soit écoulé près de dix ans (1817 à 1826 ou 1827) avant que MM. Gergonne, Bobillier, Sturm, Plucker, etc., aient songé à faire cette application en apparence si naturelle, si simple et que, sans aucun doute, M. Lamé n'eût point négligée, dans ce long intervalle, s'il avait été mieux accueilli, plus encouragé dans son goût inné pour les spéculations d'une science depuis si singulièrement appréciée, combattue même par lui, dans ses savantes Leçons de 1859, sur les coordonnées curt'ilignes (*).
(*) Je suis peu surpris de }a préférence ou préémiBenee que l'auteur de cet ouvrage accorde (p. i4 cl i5) à l'analyse algébrique spr la géométrie pure; mais je ne saurais admettre sans protester, qu'il dcpûiUne cette dernière science {vox. p* i52, 176, etc.) de toute initiative, en dehors de son domaine propre, dans la découverte de certains principes, dans Temploi môme de certaines définitions ou notions fondamentales de la dynamique des mouvements absolus ou relatifs, notamment dans Tintroduclion en mécanique pratique, des notions de travail rèsultani ou composant ^ ô^acci'léfalion totale ou résultante, d'accès tèration tangentielle et normale ou centrifuge ; notipns qui ont répandu tant de
D'uno part, il fallait que la considéra lion de Vinfini, des imaginaires, du principe de continuité, envisagés géométriquement dans les théories de la projection centrale et de V/iomo/ofric des fif^nres, de la communauté d'intersections des systèmes de lignes et de surfaces du second degré, confocales ou non ; dans la théorie des /wiygones mobiles suivant certaines
jour, de simp1icit<^, sur les théories et les applications de la science aux machines et à la cinématique, sur la notion usuelle même des forces vive^ et d'inertie. Toutes CCS dénominations qu'on no s'attendrait guère d'ailleurs à rencontrer dans un livre consacré aux coordonnées curvilignes, ne peuvent être considérées, ce me semlde, comme ctran{i;ères aux utiles et saines doctrines de la géométrie rationnelle, pas plus que ne Ta été la découverte par Kepler, Galilée, etc., des lois constitutives du mouvement et des forces naturelles; découverte dont on est aujourd'hui trop enclin à faire bon marché. Mais je m"'arrête ici, car il conviendrait peu d'entrer, avecTauteur, dans des détails et des explications qui m'éloigneraient du but que j'ai cherché h atteindre dans ces Notes.
Que les doctrines géométriques relatives à la continuité, à la théorie de» projections centrales, à celles des polaires réciproques, des moyennes harmo" niques, etc., inspirent peu d'intérêt aux admirateurs passionnés des méthpdes algébriques, cela se conçoit de reste; mais qu'en faisant un éloge mérité de la transformation par rayons vecteurs réciproques, M. Lamé qui l'emploie en lui attribuant (p. 24s) dans les applications, beaucoup plus do portée et de puissance qu'elle n'en comporte réellement, semble ignorer l'origine tout à fait géométrique, de cette très-ancienne méthode anamorphique, réalisée pour le plan par le miroir en cône des cabinets de physique, voilà ce qui ne se conçoit guère. Eu efl*et, l'intime liaison de cette méthode avec les admirables propriétés do la pro^ portion harmonique {medieias harmonica du divin Platon, comme le dit Pappus), ou avec la théorie des pôles et polaires réciproques, considérée spécialement pour le cercle et la sphère, mais qu'au point de vue géométrique, il est facile d'étendre au cas général des courbes et des surfaces du second degré (Traité des Propriétés projectiles), celte liaison si remarquable, disons-nous, est parfaitement manifeste. De plus, elle explique à priori les belles propriétés analytiques ou géométriques de la transformation par rayons vecteurs réciproques, d'abord signalée par MM. Stubbs et William Thomson, puis étendue et notablement développée dans ses conséquences, par M. Liouville {Journal de Mathématiques, t. X, XI etXIl, i8/|5 à i847)> H"»» en donnant à cette même transformation le nom qu'elle porte actuellement, en a fait aussi l'objet de très~remarquables réflexions ou applications.
Ces applications, dont on a depuis considérablement étendu encore le cercle, démontrent toute la fécondité de la méthode, qui par son heureuse simplicité même, offre les avantages inhérents, en général, aux meilleurs procédés de t,ransformation (et non, comme cela s'est dit quelquefois improprement, principes de déformation ). La recherche, la découverte de ces procédés, dans l'analyse algébrique comme dans la géométrie pure, ne doivent pas être attribuées au simple hasard, puisqu'ils supposent une prévision intuitive et un choix motivé parmi la niullitude des transformations arbitraires qu'il est potoihle de fain* subir en général, aux relations, aux formes algébriques ou géométriques.
NOTKS ET ADDITIONS. 491
lois, inscrits et circunscrils à d'autres polygones, à dos coniques, à des courbes géométriques d'ordre quelconque; dans celle des fxMres réciprofjucs et du pnncipe de réciprocité géométrique qui en découle, abusivement déguiijé sous le nom ambitieux de duniité; dans celle encore des centres de ninvcnncs fuirmonirpiex, etc.; il fallait, dis-je, que ces divers points de doctrine fussent, au préalable, établis, rigoureusement démontrés comme ils Tont été par moi, à partir de 1817, dans des Mémoires insérés aux Anmdes de Mnthématifpws déjà citées, ou présentés, en lÔao et 1824, à l'Académie des Sciences de l'Institut de France, etc.
D'antre part, il fallait encore que ces mêmes doctrines, ces propositions diverses fussent traduites et élucidées dans la langue familière aux différents esprits, aux aptitudes diverses de ceux qui écrivent ou s'exercent sur la matière; en un mot il fallait qu'on se créât des méthodes d'exposition, de démonstration en quelcpie sorte personnelles, fondées sur do nouvelles notations, conventions ou dénominations, sur de nouveaux artiGces même de calcul algébrique ou de langage géométrique, mais plus particulièrement sur des svstèmes do coordonnées linéaires, distinctes de celles do Descartes, et qu'on a vu apparaître successivement, à partir de 1827, dans les Annales ci-dessus indiquées, dans le Jotinml de Crciie ou dans des ouvrages postérieurs.
A ce dernier point de vue, on doit partager en deux classes, souvent étrangères par le langage et dès lors ri\ales, hostiles l'une à l'autre, les savants qui s'y sont livrés avec le plus d'ardeur et de succès, soit en imaginant de nouveaux principes généraux de démonstration, soit en ayant directement recours à de nouveaux modes do transformation des figures, mais conduisant en définitive, il faut bien le remarquer, aux résultats déjà fournis par ceux que je viens d'énumérer.
Dans la première classe, qui se rattache plus spécialement à la géométrie pure, se placent à un rang très-élevé, M. Chasies en France, M. Steiner en Allemagne; tous deux célèbres, à justes titres, non pas seulement par la multiplicité des théorèmes qu'ils ont découverts ou développés dans leurs conséquences diverses, mais aussi par la marche, en quelque sorte exclusivement géométrique, qu'ils ont suivie dans leurs ouvrages didactiques : l'un, en Allema)j;ne (i832), dans un livre dédié à l'illustre Alexandre de Humboldt (* ), et dont malheureusement la TTartie seule a paru ; l'autre.
( * ) Développement sj strmatiquc de la dépendance dt'S formes géométriques ; ouvrage écrit en nUemand, où, en conservant religieusement les noms français des théories et des méthodes nouvelles de la géométrie, on hésite, on craint de se prononcer sur les droits respectifs des vrais auteurs, injustement attribués à d'autres; ce qui explique, en partie, sans les justifier explicitement ni complètement, les graves n*prochc8 que M. Plucker a adressés, vers la même époque, à M. Steiner. {Voy. plus |>«rticulièrement le Journal de Crelle^ t. I, p. 9G et lOi;
\. 111, p. /(lO.)
en France (1837), dans son Aperçu historique , etc. (*). Rédigés en vue d'initier les élèves aux nouvelles doclrines, ces ouvrages, à mon sens, ne laissent pas assez apercevoir les sources originales où ont été puisés les principaux éléments des démonstrations, des points de théorie qui y entrent et offrent entre eux, il faut bien le dire, une concordance qu*explique, à la rigueur, la similitude même du but.
Dans Touvrage allemand de i832, en effet, M. Steiner fonde tout son enseignement sur la considération des systèmeis simples ou doubles des faisceaux de droites qu'il novciva^ faisceaux projectifs, parce que le point de départ s'en trouve dans l'emploi du rapfxtrt composé entre les segments formés par chacun de ces faisceaux sur une transversale arbitraire, ou entre les sinus mêmes des angles formés autour du point de convergence des droites de chaque faisceau; ces rapports étant tous deux susceptibles d'être projetés perspectivement, sans subir aucune altération, sur un autre plan également arbitraire, et même sur une surface sphérique ayant pour centre le sommet commun des faisceaux ; conformément au principe général établi à la p. 6, n° 8 et suiv. du Traité ries Propriétés
(*) Ce savant cl volumineux ouvraire, sur l'Origine et le Développement des Méthodes en géométrie, imprimé sous format grand in-4°> de 85i pages, est ex* trait des Mémoires de l'Académie royale das Sciences de Bruxelles, laquelle, après en avoir provoqué lu production, lui a accordé 6cs encouragements. Devenu, en 1839, l'objet d'un article de critique historique publié dans le Journal des SavantSf par un autre érudit géomètre, ce grand ouvrage se compose de deux parties très-distinctes, dont Tune contient Tliistoire de la Géométrie ancienne ou moderne, et l'autre un Mémoire fort étendu sur les Principes de dualité et d'homographie^ dont je ne veux dire que peu de mots ici.
Je me contenterai de faire remarquer que Touvrage eu général, est l'un des livres de géométrie qui m'a le plus ooûté à lire, à cause des appréciations qu'il renferme et des fausses interprétations auxquelles il a pu donner lieu sur mes propres et très-antérieurs travaux, cités, il est vrai, autant de fois que ceux de Pascal et de Desargues, dans des passages que j'aurais désires moins nombreux et plus exacts. Malheureusement quelques-unes de ces erreurs, que je ne puis relever à propos de ce premier volume écrit en i8i3 et 181 4, se trouvent en partie reproduites dans le Tmité de Géométrie supérieure de M. Chastes (i85'j), notamment dans la préface et le discours d'inauguration du Cours de la Sorboune, où, malgré de flatteurs éloges, on lit des appréciations aussi étranges que celle-ci : a La théorie des transversahs est le principal fondement du grand Traité des Pro- » prirtés profectives des Ji^ures, etc. >»
Je ne saisis pas davantage pourquoi M. Chastes, confondant le principe de continuité, tel que je l'ai défini dans mon Mémoire de 1820 à l'Académie des Sciences, tantôt avec la continuité infinitésimale de Leibnitz, tantôt avec la corrélation des figures de Carnot, préfère y substituer ce qu'il nomme vaguement le Principe des relations contingentes des figures, il faut que M. Chaelos ne m'ait pas bien compris, surtout quand on le voit renoncer complètement dans son dernier ouvrage, à tout principe ou méthode de transformation, et'so borner i( des
projecthes îles figures y qui s*étend d'ailleurs à toutes les relations de la théorie des transversales et à une infinité d'autres.
Dans les ouvrages de M. Chasies, on part des mêmes faisceaux, des mêmes rapports composés désignés sous le nom peu harmonieux, bien qu'aujourd'hui en faveur, de rapports anharmoniques, quand ils diffèrent de l'unité abstraite. L'utilité do ces rapports pour démontrer élémentairement et sans recourir aux principes de projection, les propriétés projectives des figures qui comprennent celles des faisceaux de coniques et de surfaces du second degré, est en elle-même incontestable, et avait déjà été entrevue par M. Brianchon, dans un Mémoire imprimé en 181 7, mais non entièrement terminé, au grand regret des amateurs de la belle et sévère géométrie des anciens.
Dans la seconde classe de mathématiciens dont je prétends parler, se placent, au premier rang, MM. Gergonne et Bobillier en France, MM. Mbbius et Plucker en Allemagne, tous algébrisles distingués, qui se sont particulièrement complus à appliquer le calcul à la démonstration et à la recherche des propriétés générales des figures de géométrie, mais dont je ne citerai les travaux datant de 1827, que pour faire observer : i** que M. Bobillier, esprit véritablement original et fécond, à qui l'on doit une
démonstrations synthétiques à posteriori, tout en empruntant au calcul hary^ centritfue du professeur allemand Mobius, et cela en vue de généraliser les énoncés et les résultats, une règle empirique toute conventionnello des signes, dont je démontrerai dans le t. 11 de cet ouvrage, sinon la fausseté absolue, du moins le désaccord flugrant avec les principes mêmes de l'algèbre et de la continuité, tels que je les ai toujours entendus.
A regard des Principes df dualité et d'homographie, dont mon savant confère «'interdit Tusage dans son Traité de i852, je crois devoir rappeler, dès à présent, que le premier est une douteuse émanation de la théorie des polaires réciproques appliqué, dans V Aperçu historique^ même à des objets naturels ou d'arts étrangers à la pure géométrin, et que le second {Principe tle collinéation de Mobius, etc. ), n*est autre que Vhomologie (projection) des figures avec déplacement du centre et du plan d*homologie; ce qui n'ajoute rien d'essentiel à la corrélation linéaire {coUinéationy etc.), ni aux propriétés de la transformation homologique, à cela près du déplacement relatif même des deux figures, plus ou moins analogue à celui de deux systèmes égaux ou semblables considérés dans des positions distinctes, et dont les propriétés communes soigneusement étudiées par M. Chaslcs, constituent l'un des plus solides titres de l'auteur à l'estime du monde savant. D'ailleurs, il est bon d'observer, à cette occasion, que, dans ses derniers écrits {Comptes rendus de l'Académie, t. LU, 18G1), M. Chasles semble confondre à tort, l'objet de cette généralisation avec ce que, précédemment, on a, par une extension permise des idées de Carnot et d'Ampère, nommé Cinématùfue ; puisque la considération explicite et ici essentielle du temps, n'entre point dans les conceptions anciennes de ce géomètre, et constitue un élément dont l'absence rompt, sinon toute idée de continuité, du moins toute notion dynamique de mouvement : en un mot, c'est là une conception de pure géométrie.
riche mine de théorèmes et d'aperçus ingénieux sur lesquels je reviendrdi dans un autre volume, a imaginé de représenter symboliquement les coniques circonscrites à un triangle et les surfaces du second degré circonscrites à un tétraèdre quelconque, par des équations composées de sommes de produits de fonctions linéaires multipliées respectivement par des constantes arbitrairesT; t!" que cette méthode est en réalité distincte du système de notations dont M. Mobius se sert dans son Calcul barycentrique (1827), où elle est nommée Collineations vcnviuulsr.htft et a|>pliquée aux relations de la théorie des transversales, etc.; 3" enfin que M. Plucker a ajouté à cette méthode le système de représentation algébrique appelé depuis, trilinénire (*), attendu qu'elle a lieu entre les expressions des perpendiculaires abaissées de chaque point d'une figure sur les côtés d'un triangle ou de trois droites fixes.
'Or c'est surtout à l'aide de ce dernier système de coordonnées et d'équations rendues homogènes el symétriques par Tintroduclion d'une nouvelle variable, joint à la méthode des multiplicateurs arbitraires, telle qu'elle a été entendue et mise en usage par MM. Dupin et Lamé, que M. Plucker a pu traduire en langage algébrique et justifier en quelque sorte à posteriori, les doctrines du Tmité des Propnétés projectiles, notamment celle des polaires réciproques, dont des illustrations mathéma-
C*) L'ingénieux et fécond système de coordonnées imaginé par M. Plucker, comme celui de Uobillier, a été largement et utilement mis à profit par le» géomètres algébristes de notre époque : exposé pour la première fois, dans le t. V (i83o) du Journal dtf Crelie, (p. i) il s'y trouve accompagné de réflexions préliminaires philosophiques, qui méritent d'autant plus d*étre remarquées, qu'elles portent sur rhisioirc comparée des méthodes de Tanalyso algébrique et de la géométrie intuitive.
On y lit (p. a) : <« La méthode analytique et celle de M. Poncelet reposent, » au fond, sur des idées (lisez : méthodes de démonstration) entièrement dis- M tinctos et s'accordent néanmoins, dans les résultais, à tel point que la première » pourrait vraiment être considérée comme wn^ périphrase ^ un plagiai delà se- » conde, etc. »
J'apprécie, comme elle doit l'être, la franchise do cette tardive réflexion $le ta part d'un savant qui, par prosélytisme, avait consenti à laisser revêtir &es prc* miers travaux (1827), de lu forme à doui>te colonne, jadis admise par les partisans de la dualité ; ce à quoi un autre savant de la trempe do M. Stunn, n'a point consenti, au risque de voir Sfs belles éludes sur les polaires récipra^ucs, etc. ^ tronquées dans le Journal Mathématique, de Montpellier. Mais je dois ici faire observer que M. Plucker exagère en employant les mois périphrase et plagiat; il aurait pu dire, avec plus de justesse, reproduction, irunslaiion d'une langue dans une autre,' des mêmes idées géométriques. Or, iraduirf, démontrer, cornnienter nféme, ne donnent qu'un droit relatif d'auteur ou de possession, et à cet égard j'éprouve quelque peine, je l'avoue, à voir un écrivain aussi judicieux quelelK Salmon, trop souvent mal renseigné, oublier en faveur de Tanalysc îilgébriquo, les droits de priorité de la géométrie pure ou intuitive.
tiques incrédules, dalanl du siècle dernier, avaient dit plaisamment, dans l'une des séances de l'Institut (l'jt avril 1824)1 qu'elles constituaient une géométrie romantique, à quatre (timensions : ces paroles prises à la lettre et dans leur mauvais sens, par quelques auditeurs qui aimaient mieux critiquer, à priori, que d'examiner et de comprendre, ont pu contribuer à encourager d'autres personnes mieux avisées, à s'approprier le fond même de la doctrine en la traduisant dans un autre la'ngage.
Je pourrais terminer ici cette Note historique et critique en apparence fort longue, bien qu'en réalité. beaucoup trop courte pour ce qu'il y aurait à dire, mais ce serait laisser échapper l'à-propos de quelques réflexions qui intéressent au plus haut point la philosophie des sciences mathématiques.
En eCFet, si aux divers procédés algébriques de démonstration des modernes acquisitions géométriques dont il vient d'être parlé, on réunit les méthodes d'élimination abréviatives et symboliques, fournies par la théorie des déterminants , grandement étendue et perfectionnée depuis le commencement de notre siècle, et qui constitue le moyen de démonstration et d'exposition spécialement ^^mployé par quelques savants étrangers, on formera une troisième classe de mathématiciens dans laquelle nous rencontrons les Otto liesse, les Sylvester, lesCayley, les Salmon, les Brioschi, etc., qui, trop peu soucieux de la simplicité rigoureuse et de la clarté des anciens, se sont exclusivement livrés aux inspirations abstraites de l'analyse algébrique, en laquelle ils témoignent une confiance qui rappelle un peu celle de feu Hoëné Wronski, le trop célèbre disciple de Kant, auteur c^nnu d'un livre sur la Technie de rjlgoriihmie. Grâce aux spirituelles critiques de feu Servois, ce livre est aujourd'hui dédaigné des mathématiciens rationnalistos ou positivistes, dont les doctrines sont assez répandues parmi les savants et les professeurs les plus distingués de nos Écoles; mais, malheureusement pour l'enseignement pratique, quelques-uns de ces derniers se livrent à des exercices de calcul ou de raisonnement épineux, parfois sophistiques, aussi étrangers au génie de la langue géométrique et analytique fondée par Descartes, Pascal, Monge, etc., que les doctrines algébrico-syn thé tiques anglaises ou allemandes ci-dessus, le sont elles-mêmes à la patrie des Newton et des Maclaurin ou à celle des Leibnitz, des Eu 1er, etc.
Cela prouve, une fois de plus, qu'ici encore comme en tant d'autres choses, H arrive presque toujours, par une pente naturelle aux meilleurs esprits, que w les extrêmes se touchent, et que le mieux est très-souvent l'ennemi ilu bien » : sages proverbes ou préceptes que je n'oserais me permettre de rappeler si j'avais à craindre de blesser Tamour-propre des
bonurabies savants que j'ai précédemment mentionnés, parce qu'ils m onl paru un peu trop oublier que Talgébro en elle-même, n'est qu'un admirable outil, subordonné comme le raisonnement géométrique, à rinlelligcnce et au génie do celui qui prétend s'en servir.
Pour en revenir maintenant aux théorèmes relatifs à l'inscription et circonscription indéfinies des polygones aux cercles ou coniques sur un plan, qui font le princi|)arobjet de cette longue Note, je terminerai par une remarque sur l'insuffisance , au point de vue de la géo[T\^trio ancienne et rigoureuse, des démonstrations récentes qui ont été données de ces théorèmes et du porisme qui s'y rattache, par les admirateurs passionnés de la méthode des déterminants; démonstrations oii le néologisme le plus étrange, les nébulosités de langage , la dissimulation des sources originales, et jusqu'à l'altération des énoncés géométriques» ont pris des proportionsqui répugnent à tous les esprits sérieux, môme en Allemagne (*]; pays où cependant la métaphysique et le néologisme ne sont point, à beaucoup près, aussi universellement repoussés qu'en France, grâce à la timidité et à la logique naturelles à notre langue, si pauvre, prétend-on, parce qu'on oublie que les mots n'ont de valeur qu'autant qu'ils sont compris et adoptés par le grand nombre.
Que penser, en effet, de ces rapides et séduisantes démonstrations des théorèmes sur les polygones dont il vient d'être parlé, et qu'on rencontre dans quelques ouvrages anglais et italici^ ^**), où l'on saute, comme à pieds joints, par-dessus les difficultés w la question, en admettant à priori, du moins implicitement, ce qu'il s'agirait de prouver analytiquement et logiquement; à savoir : que la courbe enveloppe du côté libre d'un polygone mobile, à la fois inscrit et circonscrit à deux coniques sur un plan, dont [>ar exemple, V = o et U = o sont les équations, appartient véritablement au système ou faisceau des coniques, en nombre infini, qui contiennent les intersections des deux premières; système représenté par
(*) Voy. la préface du consciencieux ouvrage du D'' Richard lialtzer, intitule : Théorie et applications des déterminants; traduit de l'allemand par M. Hoiieli docteur es sciences (Paris, 1861, chez Mal (et- Bachelier).
("*) Cette remarque a trait particulièrement à celles de ces déroonstraUons dont le succès pourrait être exclusivement attribué, par des esprits inattentlfs, à la méthode des déterminantSy qui, par le fait, n'y entre que pour une trés»peiiie part, comme on peut s'en assurer en lisant un article publié à la p. 4^1 des A^ouvelles Annales des MathémaliqueSf t. XVI (1857) et traduit des Annales àe Tortolini (môme année).
Le spirituel et très-érudit rédacteur des Nouvelles Annales, dont j'aurai k entretenir mes lecteurs plus au long dans le t. II de cet ouvrage, M. Terquem, dans une note des p. 3i et 32 du t. I*** de la nouvelle série (janvier 1S63), me reproche, ainsi qu'à mon savant ami et confrère à l'Académie des Scicooes, M. Liouvillc, de repousser ^algorithme des déterminants. C'est là, du moins pour ma part, et sans doute aussi pour celle du célèbre rédacteur du Jimrnml
l'équation unique V — ^ U =0, d*après l'ingénieuse idée de MM. Dupin et Lamé. On se sert, en outre, des systèmes de coordonnées et d'expressions symboliques dérivés des notations de MM. Bobillier et Phicker, comme d'une patente et exclusive acquisition des théories de VJls;rbre moderne, à en juger du moins par le singulier mutisme des textes que j'ai pu consulter, et où, en fin de compte, je n'aperçois qu'un emploi plus ou moins justifié de ce qu'on nomme un discriminant, résultat mnémonique de l'élimination entre les dérivées par rapport aux trois coordonnées variables de l'équation ci-dessus V — ^U = o, ramenée préalablement à la forme homogène et symétrique, lesquelles dérivées se rattachent à des théorèmes bien connus sur les pôles et polaires conjugués des systèmes do coniques.
Or cette manière de raisonner n'est pas seulement une erreur de fait et un déni de justice, comme je l'ai établi plus haut, elle constitue encore par elle-même, non la solution réelle et directe du problème à résoudre, mais une sorte de synthèse algébrique, une divination telle, qu'il n'est guère permis d'en admettre dans cette branche des mathématiques à laquelle dès lors on ne saurait appliquer le nom à'amdxxc.
C'est, au surplus, ce dont les auteurs de semblables démonstrations pourraient s'apercevoir immédiatement s'ils recherchaient, par exemple, à priori, la nature de la courbe enveloppée par le côté libre, d'un triangle mobile qui, inscrit à une conique donnée, aurait ses premiers côtés tangents à deux autres coniques quelconques, également données sur le plan des proposées. Ils s'en apercevraient plus facilement et plus directement encore, en réfléchissant au peu de jour que, dans le cas trèssimple d'abord considéré, la théorie des déterminants jette sur la nature des relations algébriques, qui lient, en général, les constantes ou paramètres de la courbe cherchée à ceux des sections coniques données. C'est enfin ce dont on a pu se convaincre précédemment par les tentatives diverses de géomètres algébristes aussi distingués que MM. Jacobi et Cayley;
de Mathématiques pures et appliquées, un reproche peu mérité. Car, si je n'approuve pas complètement les applications qui ont été faites, dans ces dernières années, de cette .liavante théorie aux questions de la géométrie pure, je suis au contraire, très-admiraleur des beaux théorèmes d'al^èhre synthétique et combinatoire qui datent des travaux de Cramer, de lîezout, do Vandermonde, de Lagranpe, etc., couronnés par ceux de MM. Jacobi, Hermile, Otto Hesse, Borchardt, .Sylvester, Cayley et autres {réomètres algébristes distingués. Longtem|.«s avant l'apparition de ces derniers travaux, comme on le verra dans le second volume de cet ouvrage, je croyais, d'après mes laborieuses tentatives de 18 13 et de 181 /| en Russie, et celles de beaucon]) d'autres, postérieures, le calcul algébrique peu susceptible d'aborder directement et facilement les questions de géométrie générale , du genre de celles que je cherchais h faire prévaloir dès 1817, dans les anciennes Annales de M a thématique s ^ t. Vil. Or je l'avoue, à quelques exceptions près, mes convictions sont re^tiies les mêmes à cet égard.
tentatives dont j'ai assez entretenu le lecteur dans la présente Note, pour n'être plus obligé d'y revenir.
Sous ces divers rapports et plusieurs autres qu'il serait inutile d'énumérer ici, on regrettera que le docte professeur Salmon, si clair, si désireux d'être juste comme le prouve la dernière édition de son Traité des coniques (t855), à laquelle j'ai déjà accordé des éloges (note de'la p. 117. du texte), on regrettera, dis-je, que l'honorable M. Salmon, dans ses Leçons introductives à V Algèbre supérieure moderne (iSSg), ait attribué, au point de vue géométrique, une aussi grande importance à la partie moderne de cette Algèbre, précisément celle qui, dans ses méthodes d*investigation ou de démonstration, s'étaye sur le singulier ^ mais peu philosophique néologisme, dont j'ai déjà parlé et que je repousse quand bien même on le réduirait aux modestes proportions que l'auteur lui accorde dans ce nouvel ouvrage. Pour tout dire enfin, je ne saurais admettre, avec quelques auteurs anglais enthousiastes (* ), que le système des coordonnées trilinéaires ou autres puisse remplacer, en tout et partout, les notations de l'admirable Géométrie de Descartes, fondée sur l'idée si simple, si puissante dans sa simplicité même, de la projection linéaire des points sur des droites fixes dans un plan ou dans l'espace, bien moins encore anéantir le fruit de deux siècles d'efforts persévérants, tentés par les plus grands génies mathématiques de la savante Europe.
C*) yoy. \q Traité élémentaire sur les coordonnées trilinéaires, la méthode des polaires réciproques et la théorie des projections; par le Rév. Ferrers, de l'Uni- Tersité de Cambrige.
