ADDITIONS DIVERSES PAR MM. MANNHEIM ET MOUTARD
sur les polygones plans inscrits et circonscrits aux courbes et remarqies concernant le tracé des tangentes;
Par m. Mannheim.
Un polygone dont la forme est susceptible de varier d'un mouvement continu, peut remplir des conditions très-diverses. Nous définirons géométriquement la loi de la déformation d'un tel polygone en supposant connues les différentes courbes que touchent ses côtés et les trajectoires de ses sommets. Nous supposons toutes ces courbes continues liées entre elles de telle façon, que Tune est nécessairement déterminée lorsqu*on connaît toutes les autres.
Nous admettons que pour un mouvement infiniment petit des côtés du polygone toul<?s les enveloppes se réduisent à des points et les trajectoires à dos éléments rectil ignés. Si Tun de ces points, ou si la direction de Tun do ces éléments est supposée inconnue, le problème ayant pour but la détermination de ce point ou de cet élément n'admet qu'une solution. On est alors certain à Tavance que cette solution n'exigera qu'une construction linéaire ou, si l'on veut, ne dépendra que d'une relation du premier degré.
Nous nous proposons tout d'abord d'établir cette relation.
Pour y arriver, empr un tons à Newton (*) la solution du problème suivant :
Recta (fg,i\) PB circ^ datum polum P revolvens secet alias duas positione datas rectas AB et AE, in B et E ; quaeritur proportio fluxionum rectarum illarum AB et AE.
Newton trouve
B/; BPxBA ^'' Er~EPxEA'
Supposons les droites AE et AB tangentes en E et B à des courbes (E), (B), et PB tangente en P à une courbe (P); E^, B/> peuvent être consi-
(*) Introduction au Tractatiis de (fuadtaturâ curvarum (Opusculum III, p. 20G).
5oo SOUVENIRS,
dérés icomme des arcs infiniment petits de (E) etde (B) déterminés par deux positions infiniment voisines de PB : le problème de Newton
Fig. 21.
conduit donc à l'expression du rapport des arcs infiniment petits déterminés sur deux courbes données par une droite que Ton déplace infiniment peu.
La relation (i) s'obtient très-simplement. Considérons le triangle ABE (y%. 2i] et la transversale?^; on a
d'où
\bx9BxEe = kexEPxBb,
Bb B?xXb^ Ee~El^xAe'
lorsque P^ se confond avec PB, A^ et A<? deviennent alors AB et AE, et Ton a la relation de Newton
B^^BPxBA E^-EPxEA'
Considérons acluellement un polygone AA'A''A'" (fig. 22) dont les sommets parcourent los courbes (A), (A'), (A"), (A*"), et dont les côtés enveloppent les courbes (C), (C), (C), (C'"); menons par tous les sommets les tangentes à (A), (A'), (A"), (A'"), et désignons par ds, ds\ ds", ds", les arcs infiniment petits déterminés sur ces courbes par les côtés du polygone donné, après une déformation infiniment petite de cette figure. En appliquant la relation (i), on a
ds
ds'
ACxAB A'CxA'B'
ds' A'C'xA'B' ds" ds" srC'xyB'' ds"'
ds"' A"'C'" X A'"B'" ds AC^xAB'" '
X'C X X'B' A'^CxA^B"'
NOTES ET ADDITIONS, multipliant membre à membre toutes ces égalités, il vient
Soi
ACxA'C'xA''C''xA'"C'"
^"^ VAC^xA^'C
^xA^B'xA'B'^X B'xA^B'xA'By ^*
ABxA^B^xA"B' x A'^B'^ AB'"xA"'
Telle est la relation cherchée.
On peut remarquer que les tangentes aux trajectoires (A), (A'), (A"),... des sommets du polygone donné forment un deuxième polygone.
Ces deux polygones donnent lieu au théorème suivant, qui est la traduction de la relation (a) :
!"■ Théorème général. — Le produit des segments non consécutifs AB, A'B',. • • j divisé par le produit des autres segments BA', B'A",. . . , est Vinverse du rapport analogue pris dans Vautre polygone.
On doit avoir soin de parcourir dans le môme sens les périmètres des deux polygones pour déterminer Tordre de tous ces segments.
Les points de contact des côtés des deux polygones avec leurs enveloppes respectives peuvent se trouver sur les côtés mêmes ou sur leurs prolongements. Les nombres qui indiquent combien il y a de ces points appartenant à Tune ou à l'autre de ces catégories sont de même parité pour le polygone donné et pour le polygone circonscrit.
On peut donner à la relation (i) une forme très-simple. Élevons {fig, 21) aux points £ et B les perpendiculaires ËC, BD aux droites AE, AB ; ces
So'à SOUVENIRS,
lignes coupent en C et D la perpendiculaire PC, élevée en P perpondicu lairen^nt à PB. On a
doù
Bb BPxBA BPxsin.AEB BP cos.PEC E6''^EPxEA~EPxsin.EBA""cos.PBD^^ EP '
Bb BD E^~EC
Opérant avec cette relation, comme nous l'avons fait avec la relation (i), on trouve ( ^g, aa )
(b) ANxA^'xA''N''xA'"N'" = AMxA'M'xA'M''xA''Mr
On peut, d'après cela, énoncer le théorème suivant :
II* Théorème général. — Le produit des normales AN, A'N', A*N*, A*^" limitées aux normales CN, C'N', CN", C^N*^ rencontrées successivement en parcourant le périmètre du polygone donné dans un sens, est égal au produU, analogue des normales AM, A'^M'", A* M", A' M', obtenues en parcourant ê^ périmètre du polygone donné en sens inverse.
Au moyen de la relation (6), on arrive très-facilement à la construction de la normale à la courbe décrite par le sommet libre d'un polygone que Ton déforme d'un mouvement continu; on est ramené, pour résoudre ce problème, à chercher une droite, issue du sommet libre, telle, que les segments, comptés sur cette ligne & partir de ce point et limités à deux droites connues, soient dans un rapport déterminé. Une construction inverse permet de déterminer le point où l'un des côtés du polygone touche son enveloppe. Enfin, si l'on remarque que la construction linéaire, qui sert à déterminer la normale à la courbe décrite par un sommet libre, nous donne cette normale comme le côté d'un certain polygone qui lui-même se déforme pendant le mouvement continu de la figure donnée, on peut chercher, toujours par des constructions linéaires, le point où cette normale touche son enveloppe^ c'est-à-dire le centre de courbure de la courbe décrite par le sommet libre du premier polygone. G^ que nous venons de dire doit suffire pour faire comprendre les nombreuses applications que l'on peut faire des relations (2) et [b).
Reprenons la relation {a) dont les conséquences font l'objet principal de cette Note. Elle se compose de deux parties que nous avons séparées par des parenthèses; examinons d'abord ce qui résuUe de Thypothèse
ABxAB xA''B'xA"'B'^ AB^'x A'B" X A'B' X A'B ~ '*
r«tte circonstance se présente évidemment, si 1 on suppose que les
NOTES ET ADDITIONS. 5o3
sommets du polygone variable parcourent deà droites convergentes en un point quelconque.
Considérons un polygone remplissant ces conditions; soient A, A', A', A**, A*' [fi^, 23), les sommets; C, C, C*, C", les pôles respectifs de quatre de ses côtés, c'est-à-dire les points autour desquels tournent ces côtés; proposons-nous de construire le point où le côté AA'"", demeuré libre, touche son enveloppe.
Désignons par O" le point cherché. La relation {a) réduite en ayant égard à notre hypothèse devient
Fig.
AC X k'C! X A'^C X X^'C" x A'^C'^ AC' X A«'C" X A'^C" X A'C x A'C "" ' *
que Ton peut écrire :
/ AC X X'C \ A"C''xA'^X'"xA'^C'^ VA'C' X A'C j ^ AC^xA^'CxA*^ "~ ' ' mais
