AD

Remplaçant dans cette relation la quantité entre parenthèses par ™--;»

b' désignant le point de rencontre de DC* avec AA", on aura une nouvelle relation dont on pourra encore grouper les termes, comme nous venons de le faire. On arrive ainsi à la relation qui sert à déterminer le point C^,

5o4 SOUVENIRS,

La diagonale AA' touche son enveloppe au point D; ce point de contact devant toujours être sur la droite CC, il suit de là que Tenveloppe de cette diagonale se réduit au point D. Ainsi D est fixe, il en est de même de D' et de C•^ On peut donc énoncer le théorème suivant :

»Sï tous les sommets dun polygone, mobile sur un plan, sont assujettis à parcourir autant de droites fixes concourant en un seul et même jxtint ; que y de plus y tous ses côtés, h f'^xception dun seul, se meuvent constammcnt autour de points fixes, le côté libre et les diverses diagonales du polygone pivoteront également sur d autres points fixes (*).

Le point de convergence dos droites parcourues par les sommets du polygone variable est absolument quelconque, il peut être sur le plan de ce polygotlle ou en dehors; il n'en résulte pas moins que le côté demeuré libre pivote toujours autour d'un même point fixe. Nous mettrons bientôt à profit cette circonstance très-remarquable.

Continuons à nous occuper de la relation [a) réduite à la première parenthèse. La deuxième parenthèse est encore égale à l'unité, en vertu du théorème de Carnot, lorsque tous les sommets du polygone donné parcourent une même section conique.

Dans ce cas, en distinguant les polygones d'un nombre pair ou impair de côtés, et tenant compte de la remarque faite à la suite de notre premier théorème général, on arrive aux deux énoncés suivants :

Lorsipâun polygone dun nombre pair de côtés est inscrit à une conique, et que tous ses côtés, moins un, pivotent autour de points fixes, le côté demeuré libre touche son enveloppe au point mitour diupiel pivoterait ce dernier côté, si les sommets du polygone parcouraient des droites convergentes en un point quelconqiw.

Lorsqu'un polygone dun nombre impair de côtés est inscrit à une conique, et que tous ses côtés, moins un, pivotent autour de points fixes, le côté demeuré libre touche son enveloppe au point conjugué harmonique, par rapfjort à ses extrémités, du point autour duquel il pivoterait si les sommets du polygone parcouraient des droites convergentes en un point quelconque.

Considérons encore un polygone inscrit à une conique, mais supposons de plus que tous ses côtés, moins un, soient tangents à une autre conique. On peut dire que, pour un mouvement infmiment petit, tous les côtés tangents à cette conique tournent autour de leurs points de contact, et appliquer alors ce qui précède pour la détermination du point où le côté libre touche son enveloppe. Nous allons faire voir que dans ce cas on arrive à une construction extrêmement simple. Soit AA' A''A'" (fig. '24 ) un quadrilatère inscrit à une conique, dont trois

/*. V(»y l't :iilc Jrs i'io/frirt^s pioJcctit't'S des Jiifttits. p. 3oi

NOTES ET ADDITIONS. 5o5

côtés sont tangents à une autre conique ; on demande le point C" où le quatrième côté touche son enveloppe.

D'après ce qui précède, on a, pour déterminer le point C^, la relation

AC X A'C X A^C X X'"C'" = AC" x A^'C x A'C x A'C.

Menons, du point A**, la tangente A"'? à la conique inscrite aux trois côtés du quadrilatère, et prolongeons cette tangente jusqu*au point Q

Fig. 34-

où elle rencontre le côté AA'; nous formons ainsi le quadrilatère circonscrit QA'A''A"' : en appliquant le théorème de Carnot, on a

QC X A'C X A''C" X A"'P - QP x A'^C" x A^C x A'C;

divisant membre à membre ces deux égalités, il vient

ACxA'X'" AC

ur

ttn f\n '

QCxA"'P QP

d*où l'on voit que les points C, C", P sont en ligne droite.

Ainsi il suffit de mener la tangente A'"P et de joindre son point do contact au point C, cette droite coupe le côté AA"' au point cherché.

Cette construction est vraie quel que soit le nombre des côtés du polygone. Pour le triangle A' A" A'", par exemple, le point S, où A' A"' touche son enveloppe, est sur CC"; ce point est aussi sur C'P : les droites ce et C'P se coupent donc sur A'A*".

Dans le quadrilatère circonscrit QA'A"A'", les droites CC et C'P sont les lignes qui joi}j;nent les points de contact des côtés opposés et A' A" est

5o6 SOUVENIRS,

une diagonale. Ce qui est vrai pour une diagonale est vrai pour l'antre; on retrouve donc ainsi ce théorème :

Lorsqiâiui qiuulrilatère est circonscrit à une coniquCy les lignes qui joignent les points de contact des côtés opposés et les diagonales se coupent en un même point.

Nous allons montrer comment la construction du point où Â'A'* touche son enveloppe conduit à la connaissance de cette enveloppe. Il est facile de voir que cette courbe est une conique ; je dis de plus que cette conique est une circonférence, si les deux courbes données sont ellesmêmes des circonférences.

En effet, les droites A'A'" et AA" enveloppent une même courbe et touchent cette courbe aux points S et R obtenus en menant la droite CC". Dans les deux triangles ACR, A^'CS les angles en A et A*' sont égaux, ainsi que les angles en C et C"; donc il en est de même des angles en R et S. Nous voyons donc que les tangentes TR et TS à la courbe enveloppe sont également inclinées sur la corde de contact RS. Ce que nous trouvons ici est vrai pour une infinité de positions de RS; cette droite peut du reste avoir une direction quelconque, la courbe enveloppe est donc une circonférence.

Cette circonférence passe toujours par les points d'intersection des deux circonférences données, car cela a évidemment lieu lorsque ces deux points sont réels.

Nous retrouvons ainsi le théorème suivant :

Un angle étant à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, si on vient à le faire mouvoir en P assujettissant toujours aux mêmes conditions y la corde, qui le sous-tend dans le premier île ces cercles, en enveloppera un troisième passant par les points d* intersection fie ceux-là, ou ayant mêmes sécantes, soit réelles, soit idéales, communes avec eux{*).

Nous n'avons étudié encore que le cas o\i Ton suppose la deuxième parenthèse do la relation (a) égale à l'unité; on peut faire une hypothèse analogue sur la première.

En opérant ainsi, on trouve directement des constructions et des théorèmes qui ne sont autres que le résultat de la transformation par la théorie des polaires réciproques de toutes les constructions ou théorèmes trou vésv jusqu'à présent.

Parmi tous ces résultats, nous n'en énoncerons qu'un seul.

Considérons un polygone kk' K' k'" [Jig, 'à^) circonscrit à une conique, et supposons que tous ses sommets moins un soient sur une autre conique. Le sommet demeuré libre décrit une courbe dont la tangente s'obtient très-simplement de la manière suivante :

On prolonge le côté A" A'" jusqu'en E, où il rencontre la conique par-

(*) Voy. p. '.Vi6 il» Tt ailé des Pioprutés piojeclivcs des figures^ et p. 3i4 Cl 339 du présent ouvrage.

courue par les sommets du polygone donné ; en ce point , on mène une tangente à cette conique; cette droite coupe la tangente AP en un point P qui appartient à la tangente cherchée.

Dans le cas particulier où le polygone est à la fois inscrit et circonscrit, la tangente, au sommet supposé libre, se confond avec la tangente

Fi g. i.').

à la conique sur laquelle il se trouve. Ceci revient à dire que si un polygone est à la fois inscrit et circonscrit à deux coniques, il ne cessera pas de jouir de la même propriété après un mouvement infiniment petit. Ce premier mouvement effectué , on peut donner au polygone un autre mouvement infiniment petit, et ainsi de suite; on formera ainsi, une infinité de polygones ne cessant pas de jouir de la propriété d'être à la fois inscrits et circonscrits aux deux coniques données. Nous retrouvons ainsi ce beau théorème :

Quand un polygone quelconque est à la fois inscrit à une section coniquje et circonscrit à une autre, il en existe une infinité de semblables qid jouissent de la même propriété à f égard des deux courbes (*).

Nous pouvons démontrer ce théorème sans chercher une construction de la tangente à la courbe décrite par le sommet supposé libre. En effet, la relation (^), dans les conditions actuelles, se vérifie d'elle-même en vertu du théorème de Carnot; donc si un sommet est supposé libre, il décrira un élément de la courbe sur laquelle il se trouve. La démonstration s'achève comme précédemment.

Nous ne développerons pas davantage ici les conséquences de la relation (^), qui conduit aussi très-simplement à des propriétés des polygones inscrits à des courbes du troisième ordre et du quatrième ordre.

(*) Vojr. p. 36 1 du Traité des Propriétés projectivrs di'S Jigui es ^ et p. 3G5 du présent ouvrage.

5o8 SOUVENIRS,

Construction des tangentes à la courbe d'ombre de la surface

de la vis à filets triangulaires.

La construction extrêmement simple de la tangente en un point de la projection de la courbe d'ombre de la surface de vis à filets triangulaires n'a été obtenue, comme on Ta vu à la page 454, que par une suite de transformations de la construction résultant de l'application pure et simple de la méthode de Roberval. Des considérations élémentaires vont nous permettre d'arriver directement à cette même construction.

Un point lié à des éléments variables d'une figure décrit une courbe dont on demande la tangente ; il est bien évident que le résultat restera le même, si , modifiant convenablement les données, on assujettit le point à décrire, à partir do Tune quelconque de ses positions, non plus cette courbe, mais une courbe qui est tangente à celle-ci. Lorsque les modifications introduites dans les données font tracer au point décrivant une simple droite , cette ligne est la tangente cherchée.

Appliquons cette remarque. Substituons {fig, 7, p. 4^4) à la circonférence donnée la tangente BQ'; supposons la droite PX tangente en P à une section conique ayant pour foyer le point C et pour tangente la droite BQ' : le point X décrit alors une droite, en vertu d'un théorème connu des sections coniques [Propriétés projectives des figures, p. 267), et il suffit de construire cette droite. Pour cela , du point D conmie centre, avec la corde BG pour rayon, on décrit un arc de cercle qui détermine le point E ; la ligne qui joint le point E au centre C coupe la tangente BQ' au point Q', et Q'X est la tangente demandée.

Au lieu de construire Tangle DCE égal à l'angle GCB, comme cela résulte immédiatement du théorème des sections coniques, on peut construire l'angle Q'CB égal au complément de GCB, et pour cela il suffit de porter B'Q égal à D^/; on retrouve ainsi la construction très-simple à laquelle M. Poncelet est arrivé.

rapprociieme?rrs divers entre les principales méthodes de la géométrie

pure et celles de l analyse algébrique;

Par m. Moutard.

7. — Réflexions préliininnires sur les principes de projection centrale,

La découverte des principes de projection centrale marque incontestablement une époque importante dans l'histoire do la géométrie moderne. Les méthodes fondées sur ces principes, et dont les Applications d^ Analyse et de Géométrie renferment une première ébauche, possèdent un caractère à la fois intuitif et systématique, qui les rend également propres à découvrir de nouvelles propriétés des figures, et à rattacher tout un ensemble de proposition^ à une même vérité générale. Par là, elles n'ont pas seulement agrandi et simplifié la science de l'étendue, mais en donnant l'impulsion à l'étude des procédés généraux de transformation des figures, elles ont pour ainsi dire doté la géométrie d'une puissance nouvelle.

L'influence de la perspective sur le développement des autres méthodes de transformation n'a pas toujours été indirecte; les principes de riiomologic tels qu'ils sont établis dans le Traité des Propriétés pmjectives des fleures, sont les principes mî^mos de la perspective dégagés de considérations de géométrie dans l'espace, et devenus par là mi^mc susceptibles de s'appliquer indifféremment aux figures à deux et à trois dimensions; et certaines méthodes en apparence plus générales, dans lesquelles la transformation homologiquc semble d'abord rentrer comme c^s particulier, reviennent au fond à l'application répétée de cette dernière, combinée avec un déplacement arbitraire de la figure transformée.

La Théorie des polaires réciproques s'est, do son côté, développée parallèlement à la théorie des propriétés pnjcctives, dans les mêmes écrits et sous l'impulsion des mômes idées. Enfin Tune et l'autre, en éclairant le rôle géométrique de l'infini et des imaginaires, ont mis en pleine lumière le principe de continuité^ et permis de débarrasser les méthodes plus complexes, telles que la transformation par rayons vecteurs réciproques^ des restrictions auxquelles elles paraissent d*abord sujettes, lorsqu'on les fonde sur de pures constructions géométriques.

Mais là ne s'est point bornée l'efficacité des principes de projection centrale, et les notes qui vont suivre ont pour objet de faire ressortir les progrès que leur doivent l'analyse des coordonnées, et même certaines

5io SOUVENIRS,

branches de Fanaly&e pure. D'une pirt, en effet, la géométrie analytique, profitant surtout de la conception en vertu âehqueile totts /es points trim plan situés à Vinfini peuvent ^trc considérés comme en ligne droite, est parvenue, sous Tinfluence de ces principes, à rendre ses formules plus symétriques et plus générales, et par un perfectionnement graduel à créer un nouveau système de coordonnées, éminemment propre à Tétude des propriétés projectives des figures. D'autre part, toute transformation géométrique, consistant à déduire, par une construction uniforme de chaque point d'une figure donnée, un point d'une figure nouvelle, correspond nécessairement à une transformation analytique, par laquelle on substitue aux variables qui représentent les coordonnées du premier point, certaines fonctions de variables nouvelles. On comprend, d'après cela , combien des recherches de pure géométrie peuvent faciliter l'étude des questions d'analyse qui se rattachent à l'emploi de certaines substitutions. Cette remarque acquiert surtout de l'importance, lorsque les deux transformations qui se correspondent ont déjà manifesté leur utilité, chacune dans son domaine propre. Tel est précisément le cas qui se présente pour la perspective et la transformation correspondante par substitutions linéaires, laquelle, introduite dans Tétude des fonctions par Lagrange, est devenue aujourd'hui d'un si grand usage dans l'algèbre, le calcul intégral et la théorie des nombres.

L'idée que l'on vient d'indiquer a été formulée d'une manière très-précise par Jacobi, dans un Mémoire publié en i83a, Journal de Crelle, t. VIU. Dans ce travail, qui a pour objet la réduction d'une certaine intégrale double, rillustre géomètre arrive à faire dépendre la question, de la réduction d'une intégrale simple, à savoir :

J v//-h/wcos'y-f-/'sin^cp-+-:i/'ros'pRin^-|-ï///'8in^-f-'ji«'cos^ à In forme

dr.

\/L — M cos' >; — N sin' r,

Après avoir traité le problème par des considérations de pure analyse, il en indique dans les termes suivants l'identité avec l'une des questions de projection centrale résolues par M. Poncelet : a Exstat problema geome- » tricum, quod, analytic^ tractatum, cum illo ità conveuit, ut, nullâ '> omninô mulalione factâ, eadcm analysis, eœdem formulas utrumquc » absolvant, lidem incognitarum vnlores prodcant. Quod problema à per- »> spectivà pclitum, hoc est : Datis in codent piano duabus sectionibus ro- » niris, detcrminarc situ m oculi (centri projectionis) et tabulœ (plani in » fptod pmjiritur), ut sectiones cnnicn* pmjectœ fiant concentricœ atque » insuper altéra cirvulus, n Puis il ajoute, parlant d'un autre problème :

NOTES ET ADDITIONS. 5ii

« Simili modo, alteri problemati de transformando integrali proposito in

— 1 respondet problema geometricum hoc : Datis /L — Mco5>:

•» in eodem piano du/ibus sectionibus cnniris, dctcrminarc situm oculi et

» iaùuàe, ut utraque projecta Jùit circuiits. Quorum problematum solu-

» tionem geometricam apud Cl. Poncelot, virum mirificè in quaestionibus

» geometricis versa tum, vidore licet. »

Après avoir justifié rapidement ces remarques. Jacobi ajoute les réflexions suivantes :

a Neque consensus ille qusestionis geometricae et analyticae tam sin- » gularis videri debetur. Nam cùm certis quihusdam configura tionibus » certœ expressiones analyticae respondeant, ubi per projectionem sivo » aliud quod libet instrumentum geometricum configurationem datam ad >• simpliciorcm vel magis regularem rcvocas, simul expressiones analy ticas, n quibus configuratio continetur, per substilutiones idoneas, quaî instru- » menti geometrici locum tenent, in simpliciores transformatas habere dc- » bes. E quâ observa tione haud rarô ab élément is geometricis ad gra- » viores qusestiones analy ticas transi tum petere licet. Ità uni versas do » projectione centrali (}uœstiones, quales Cl. Poncelet in opère laudato » instituit, adhibere poteris ad transforma tionem fonctionum duarum va- » riabilium. »

Bien que les réflexions qui précèdent, conduisent aussi bien à chercher dans la géométrie la solution de certaines questions d'analyse, qu a déduire de transformations faites dans un but analytique la solution de problèmes de géométrie, Jacobi n'a, en général, suivi explicitement que la dernière voie. En conséquence, il ne sera peut-être pas sans intérêt de reprendre, pour ainsi dire en sens inverse, l'interprétation analytique de la transformation par voie de projection conique, et de quelques-unes des principales propositions qui s'y rattachent. Néanmoins, comme cette interprétation devient en général plus simple, à laide d'une conception auxiliaire dérivée elle-même de la perspective, nous nous bornerons à rattacher directement à la projection centrale l'un des problèmes énoncés ci-dessus, celui dont Jacobi s'est contenté d'indiquer la solution sans la développer, en réservant une autre question analogue pour les applications analytiques de la méthode des coordonnées symétrirpies ,