RC'=P = IC X CK = (ID - CD) (ID 4- CD) = JD' — CD

d*oii il résulte que la distance ID sera constante quel que soit le cercle [x), et que, par conséquent, tous les cercles décrits de la même manière passeront par le point I, et, par suite aussi, par le point K.

Donc la droite CC est la corde commune à tous les cercles (x) : elle conserve cette propriété, même quand ces cercles ne se coupent pas, quoique le raisonnement précédent ne subsiste plus alors; mais il n'est pas difficile de voir que cette circonstance ne saurait jamais se présenter quand les points C et C seront 3itués dans^ l'intérieur du cercle (x). Quant au cas où les points C et C devront être situés en dehors de ce cercle, il est clair qu'il rentrera dans celui de la Proposition XI.

Scolie /. — Il est facile d'apercevoir que la propriété dont il s'agit ici renferme les deux propositions précédentes, et que, par conséquent, on eût pu les considérer comme ses corollaires; mais nous avons préféré les démontrer à part, afin de les distinguer mieux les unes des autres.

Scolie II. — On doil remarquer aussi que la ligne des centres xD n'est la corde commune aux deux cercles (C) et (C) que quand les deux points C et C sont situés en dehors du cercle [x]. Pour déterminer cette droite dans le dernier cas par exemple, on imaginera que le point x soit situé sur la droite ce, alors il est clair que les cordes HR, et R'R', seront, pour cette position particulière, perpendiculaires à la droite CC ; ce qui donnera, par conséquent, quatre points R, R|, R', R', , par lesquels devra passer le cercle [x], puisque CR doit toujours être égal à T et C'R' à T'. Donc si Ton fait passer une circonférence de cercle par ces quatre points, son centre x déterminera le point D, et ses intersections avec la droite CC donneront les points 1 et K.

Une construction tout aussi simple donnerait, comme nous le verrons plus tard, la position de la droite jtD et des points 1 et K pour le cas de la Proposition Xll.

Proposition XIV.

Soient (C) et (C/), deux cercles de position arbitraire {fiS' ^-°) î -^^T' ou ABT un cercle qui les touche de manière à les envelopper tous deux, ou à les laisser en dehors de sa circon-

Fig. 20.

férence, auquel cas (Prop. I) la droite Tt joignant les points de contact passe par le point défini 0 ; si par 0 on mène dans ce cercle tangent, une sécante quelconque OB, qui le coupe en

s8 1" GAUIER. -

deux points A et B, et que par ces deux points on faste pcuser une circonf élance de cercle arbitraire R rAB, elle coupera les deux cercles (C) ei (C) en quatre points R, r, R', r' tels que la corde qui joint les points supérieurs R e( r et celle gui joint les deux points inférieurs K' et t' , pauent l'une et l'autre par U point ci-dessus nommé 0.

De plus, si l'on considère (Jig. 21) un autre cercle ATfil langent à la fois aux deux cercles [C] et (C), de manière qu'en enveloppant l'un de ces cercles, il laisse l'autre en dehors, a«-

quel cas la droite Tt qui joint les points de contact, passe par le point nommé 0', et qu'on exécute à Fégard de ce cercle et de 0' la même construction que précédemment, les deux cordes KretR'i' passeront l'une et l'autre par ce point 0'.

En effet, soit menée par le point 0 et par le point r (^g. ao) la sécante Or: si elle ne se confondait pas avec )a corde Rr, elle couperait [C] en un certain point R, différent de R, et l'on aurait alors, puisque lessér^ntes rRi et T/ passent par le point U (Prop. III),

OR,xOr = OTxO(.

Mais puisque OT et OB sont sécantes du môme cercle BA / T, on a aussi

0TX0(=0BX0A; donc

OR,xOr = OBxOA;

d'où l'on voit que les quatre points B, A, r et Ri sont nécessairement situés sur une même circonférence de cercle; mais la circonférence BArR passe déjà par les trois premiers points B, \,[r, donc elle passe aussi par le quatrième R, d'où il rc-

suite que la corde Rr passe par le point 0, ainsi qu'il fallait le prouver. Par la même raison, les deux autres points R' et r' sont aussi situés sur une droite passant par le point 0.

En répétant le raisonnement qui précède sur la^îg^. 21, et changeant seulement la dénomination du point 0 en celle de 0', on aura la démonstration du second cas indiqué dans l'énoncé.

Scolie /. — Il existe deux cercles qui, passant par les points A et B, sont tangents à la fois aux deux cercles (C) et (C) [Jig, 20 et 21), car si l'on imagine que le cercle arbitraire ABRr vienne à changer de grandeur, il est clair que la distance RR' variera aussi, et qu'elle pourra devenir nulle en deux cas différents. En effet, si l'on suppose que ce cercle diminue de grandeur, les points R, R' se rapprochent de plus en plus et irritent à se confondre en un seul T; supposant au contraire, que le cercle vienne à augmenter, la distance RR' commencera par augmenter aussi, mais elle diminuera indéfiniment ensuite et deviendra nulle au point T'.

Scolie II, — Il est clair que les centres Xy x' Qia des cercles qui passent par les deux points A et B, sont tous situés sur une droite perpendiculaire à AB, en son milieu.

Nous allons faire maintenani l'application de ces propositions aux problèmes qui concernent le contact des cercles et des lignes droites.

Problème 1.

Par deux points donnés A et B, mener un cercle tangent à un cercle (C) également donné.

Soit ABT (^g". 22) le cercle cherché, et soit, par les points A etB, mené un cercle quelconque qui coupe le cercle (C) en deux points m et /i, il est évident, d'après la Proposition VIII, que la tangente au point de contact inconnu T et les deux cordes mn et AB passent toutes trois par un même point p ; donc, ayant déterminé les points m et /t au moyen de la circonférence quelconque ABm/t, on tracera la corde mn, et par le point /?,

3o r CAHIER. - LEMMES

où elle rencontre la droite AB, on mènera une tangente au cercle (C) : le point de contact T, sera le point où la circonfé-

Fig. 3a.

rence cherchée louche ce même cercle. Pour en trouver le centre x^ on tracera le rayon CT et la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB; le point d'intersection de ces deux droites sera le centre demandé.

Le problème est susceptible de deux solutions, car du point p on peut mener deux tangentes pT et pV au cercle (C).

Scoiie. — Si les deux points donnés A, B étaient confondus en un seul D, c'est-à-dire si le cercle tangent cherché devait toucher en ce point, une ligne droite donnée pD, la construction s'exécuterait de la même manière; seulement la circonférence arbitraire AB/?m, au lieu de couper la droite AB aux points A et B, serait tangente à cette droite au poU^t D.

Problème II.

Mener un cercle tangent à la fois à trois cercles donnés, /'• Solution. — 11 est facile de voir que ce problème est, en général, susceptible de huit solutions distinctes; ce nombre pourra se réduire pour des positions particulières des trois cercles donnés, et cela sera toujours très-aise à reconnaître dès le premier abord : ainsi, par exemple, si deux de ces trois cercles se coupaient, il est clair qu'il n'y aurait plus que quatre

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. 3i

solutions de possibles; nous supposerons en conséquence que les trois cercles soient isolés, et ce que nous dirons dans ce cas pourra s'appliquer facilement à toute autre disposition^

Soient donc (C), (C) et (C^) les trois cercles auxquels on demande de mener un cercle tangent. Supposons d'abord que parmi le^ huit cercles qui peuvent en général être tangents à ces trois cercles, on choisisse celui qui doit les laisser tous en dehors de sa circonférence;

Soit (x) ce cercle et T, T*, T'' ses trois points de contact avec les cercles respectifs (C.}, (C) et (C"), il est clair que les trois droites T' T", T'^T et TT' passeront respectivement par les points connus 0, 0' et C (Prop. 111, Coroll. I et II), qui, dans le cas que nous considérons, sont les points de concours des tangentes communes extérieures aux trois cercles donnés.

Fig. 23.

Donc, quoique les points T' et T" soient inconnus, comme la direction de la droite qui les joint passe par le point 0, le produit des segments OT' et OT" est égal au produit connu des segments similaires OR' et OR", obtenus par une sécante quelconque issue du point O : représentant ce produit par T% on a

OT'xOF=r.

Pareillement, le produit des deux segments O'T, O'T" devant être égal à une quantité connue T", on a donc aussi

0'TxO'T"=rT'».

3a P' CAHIER. - LEMMES

Cela posé, si par le point 0 on mène une tangente au cercle inconnu [x), il est clair qu'elle sera égale à T; et pareillement, si par le point (Y on mène une tangente à ce même cercle, elle sera égale à T'. Le problème revient donc à celui-ci : Tracer un cercle tangent au cercle donné (C), de telle manière que les tangentes menées à ce cercle, par deux points' 0 et 0', soient respectivement égalek àT et T'.

En effet, soit un cercle quelconque touchant (C") en T" et qui remplisse les deux conditions précédentes; si l'on joint le point T" au point 0 par une ligne droite, celle-ci coupera le cercle (C) en un point T' qui appartiendra au cercle (jr); car le produit OT' x OT'' éunt égal au carré T* de la tangente menée par le point 0 au cercle [x), et le point V appartenant déjà à ce cercle, le point T' lui appartiendra aussi. De plus, ce cercle sera évidemment tangent en ce même point au cercle (C), car il se confondra avec celui qui toucherait les deux cercles (C) et (C") aux points T' et T", comme ayant avec lui 'trois points en commun : savoir le point T' et le point T^ de contact qui équivaut à deux points.

On démontrerait, de la même manière, qu'un cercle remplissant les conditions précédentes serait aussi tangent à (C] ; donc il serait à la fois tangent aux trois cercles donnés, et par conséquent ce serait le cercle cherché lui-même.

La question se trouvant ainsi finalement ramenée à celle de tracer un cercle tangent au cercle (C), pour lequel la tangente menée par le point 0, soit égale à T, et celle menée par le point 0', égale à T', il n'est plus difficile d'en trouver la solution. En effet, nous avons vu (Prop. XI) que le centre d'un tel cercle doit être situé sur la corde commune aux deux cercles décrits des points 0 et 0' comme centres avec des rayons respectivement égaux à T et à T', et que ce cercle doit passer par deux points de la droite 00' faciles à déterminer. Donc si par ces deux points on mène une circonférence tangente au cercle (C), re sera la circonférence même demandée.

La construction s'exécutera ainsi qu'il suit : On commencera par déterminer T et T'; pour cela, on fera passer par les deux points A et B de (C) et (C) {Jig. 24), appartenant à la ligne des centres CC, une circonférence quelconque à laquelle

DE GÉOMÉTBie SYNTHÉTIQUE. 33

on mènera par le point 0 une tangente 0/, qui sera égale à T, puisque 0( ^ OA X OB = T'. On opérera de même à l'éf^rd

des cercles (C°), (C) el de 0', ce qui donnera la tani^enie O'C égale à T'; des points 0 el O'.avec les tangentes 0(,0'/' pour rayons, on décrira deux nouvelles circonférences dont on déterminera la corde commune LM comme il a été dît (Prop. VI) ; d'un point quelconque a de celte corde, avec un rayon aS égal à la langenle menée de ce point au cercle (O) de rayon T, on décrira une circonférence qui coupera (C) aux points m etn; OD tracera la corde indénnie mn, laquelle coupera la corde OCf commune à tous les cercles (a] au point />; enlln, parce point on mènera une tangente à (C), et le point de contact T" sera un des points du cercle cherché [x) [ProbI, 1} : son centre devant être sur la droite LM, il sera facile de le déterminer. On voit, de plus, que le point p donnant deux tangentes pT" et pT'i on obtiendra généralement deux positions distinctes pour le centre x.

Par conséquent aussi, cette même construction donnera deux cercles tangents aux proposés (C), (C) et {C');i>T il n'est pas difficile de voir que le dernier correspondant à pV, , sera celui d'entre eux qui touchera ces trois cercles en les enveloppant dans sa circonférence.

La solution plus parliculièreiiicnl indiquée sur la Jig. o.^, pour le cas où le cercle cherché doit être enveloppé par les cercles (C), (C) et (C"), celle solution qui comprend implicitement le cas où le cercle tangent doit envelopper ces trois cercles donnés, pourra, en substituant les Prop. XII et XIII à la Prop. XI, s'appliquer quelle que soit la disposition des cercles donnés (C), (f/)et (C^), et quelle que soit la position du cercle tangent qu'il s'agit de mener à ces trois cercles. Car, cette position étant désignée, on connaîtra les points lixes par où doivent passer les cordes qui joignent deux à deux les trois points inconnus où ce même cercle touche les cercles donnés, aussi bien que le produit des deux segments formés sur chacune de ces trois cordes.

Fig. 25.

Supposons, par exemple, 'que les cercles donnés (G), (C) et (G") soient placés comme l'indique la Jig. 25, et qu'il s'agisse de mener un cercle (^) tangent à ces trois cercles, de manière qu'il touche le cercle (G') extérieurement en T' et le cercle (G") intérieurement en T"; il est clair que la corde T'T" qui joint les deux points de contact inconnus T' et T'^, doit passer par le point 0 dont la position sur la droite GG' est donnée, et que le produit OT'X OT'' est aussi égal à une quantité P connue; donc si l'on mène par le point extérieur 0 une tangente à ce cercle [x)y elle sera égale à T. Pareillement, la corde TT'^ passera par un point donné 0' situé sur la droite GG", et le produit des segments O'Tx O'T'^ sera égal à une autre quantité connue T"; en sorte que le problème revient à celui-ci :

M Tracer un cercle (ar), tangent à (G''), tel, que la tangente

» menée parle point O à ce cercle, soii égale à T, et qu*en » menant par 0' une corde dans ce cercle, elle soit coupée » en ce point en deux segments dont le produit soit égal » à T". »

Or nous avons vu (Prop. XII) qu'un pareil cercle doit avoir son centre x sur une droite a:D, perpendiculaire à OO, et qu'il doit rencontrer 00' en deux points qui appartiennent en même temps à tous les cercles remplissant ces deux dernières conditions. Donc, ayant déterminé l'un quelconque de ces cercles, qui coupe le cercle (C^; aux points m et /i, je suppose, il ne s'agira plus (Probl. I) que de mener par le point /?, où la droite mn rencontrera 00', une tangente au cercle (C"), laquelle déterminera le point T" demandé.

Cette solution ne diffère, comme on voit, de la précédente qu'en ce que le cercle que nous avions appelé (a) doit être déterminé d'une manière différenie.

Fîç. 26.

Pour construire un pareil cercle dans le cas actuel [fig* 26), soient décrits de 0 et 0' comme centres, avec des rayons égaux à T et T', deux circonférences (0) et (0'). Soient x' le centre de ce cercle et OT la tangente qu'on peut lui mener du point 0 ; il est clair que, la direction de OT une fois choisie, la recherche du cercle [x^) revient à trouver une circonférence qui soit tangente en T à la droite donnée OT, et qui rencontre la circonférence 0' en deux points H et R' situés sur un même diamètre RO'IV. Or celte question est très-facile à résoudre.

Car, supposons le cercle [x') trouvé, et soit Tmn une autre circonférence quelconque, qui touche OT en T, et qui coupe le cercle (0') en deux points m et n; il est évident, d'après la Prop. VIII, que la tangente OT et les deux -cordes RR' et m/i, dont la première est inconnue, iront toutes trois concourir en un même point p. Donc si par ce point, lequel se trouve déterminé par la rencontre de la corde mn et de la droite OT, on mène une droite pO' qui passe par le point 0', elle coupera le cercle (O') en deux points R et R' qui seront situés sur le cercle (a;'), et par conséquent il sera facile de décrire ce dernier cercle qui contient en même temps le point T'.

On peut voira posteriori, que le cercle ainsi trouvé jouit en effet des deux propriétés ci-dessus; car d'abord, la tangente OT menée par le point 0 à ce cercle, est égale à T; de plus, il est évident que si parle point 0' on mène une corde quelconque dans ce cercle, le produit des deux segments formés sur cette corde par le point 0' sera égal à

0'RxO'R'=T'^

Scolie /. — On voit, ^t ce qui précède, que chacune des droites 00'0^ 00', 0% O'O.O",, O'O.O". [fig. 4, Prop. II) donne lieu à deux solutions particulières du problème qui consiste à mener un cercle langent aux trois cercles (C) (C) et (C), et qu'ainsi ces quatre droites considérées séparément, donneront les huit solutions dont ce problème est susceptible en général.

Scolie IL — On peut remarquer aussi quQ,lë problème précédemment résolu revient à celui-ci [Ji^* aS, Probl. II) : Tracer un cercle [x] qui soit tel, que les tangèffkies menées à ce cercle par trois points donnés 0, 0' et 0" situés en ligne droite, soient respectivement égales à trois longueurs données T, T' et T". Car, si Ton joint notamment les points de contact T, T' par une droite, il est clair qu'elle devra passer par le point 0", et qu'on aura 0"T X OT = T''^; d'où l'on conclut que, si du point O'', on mène une tangente au cercle (^) , elle sera précisément égale à T".

Scolie III, — % i# trois points donnés 0, 0' et 0", au lieu

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTlOUE. 3;

d*êlre en ligne droite, élaieni [Jîg» 27) situés d'une manière quelconque, la solution du problème énoncé dans le Scol. II, deviendrait encore plus simple : il suffirait, en effet, de chercher le lieu des centres j:, relatif aux points 0 etO', puis celui qui est rclalif^iux deux points 0 et 0", leur rencontre qui s'obtiendrait par l'intersection de deux lignes droites, donnerait la position unique du centre x cherché.

Fig. 27.

Pour achever la construction de ce dernier problème, on décrira, des points donnés O, O' et 0" comme centres, avec les distances ï, T' et V respectives pour rayons, trois circonférences de cercles, et on déterminera les cordes communes à ces trois cercles considérés deux à deux ; celles-ci donneront par leur rencontre unique au point or, le centre du cercle demandé. Pour en avoir le rayon, on mènera du centre x, une langenteâ l'un des trois cercles (0), (0') el(0"), et la longueur de cette tangente sera celle du rayon cherché. Cette construction donne la solution de cet autre problème : Trouver un point x tel, que les tangentes menées de ce point à trois cercles {()), (0') et (O") soient toutes égales entre elles.

Scolie IF, — La solution précédente pourrait s'appliquer encore au problème suivant, en la modifiant d'une manière convenable :

Trouver un cercle tel, qu'en méfiant de trois points donnés O, O' et O" des sécantes dans ce cercle, les trois produits des deux segments formés respectivement par chacun des trois points O, O' et 0'\ soient respectivement égaux aux trois quantités données 'P, T^ et ï"\

38 r CAHIER. ^ LEMMES

Même problème.

//* Solution. — Le problème de mener un cercle tangent a trois cercles donnés (C), (C) et (C), peut se résoudre d'une autre manière bien simple au moyen des considérations suivantes (*).

Quand la position des trois cercles (C), (C) et (C") sera assignée, il sera très-facile de reconnaître le nombre de cercles qui peuvent résoudre la question et la nature, intérieure ou extérieure, de leurs contacts avec les cercles donnés. Cela posé, si Ton .imagine que le rayon du cercle inconnu {x) soit diminué ou augmenté du rayon du plus petit des* trois, cercles (C), (C), (C"), selon qu'il doit loucher ce petit cercle intérieurement ou extérieurement, et que Ton diminue ou augmente de la même quantité les rayons des trois cercles donnés, selon la nature du contact de ce cercle avec le cercle tangent [x) , il est clair que le petit cercle que nous supposons être (C"), se réduira à un point, et que le cercle cherché deviendra un cercle passant par ce point, et tangent aux cercles (C) et (C) transformés comme nous venons de le dire. Ainsi le problème sera ramené à celui-ci : Par un point donné mener un cercle tangent à deux cercles donnés.

Avant de nous occuper de la solution de ce dernier problème, nous ferons remarquer que, quoiqu'il y ait en général huit cercles tangents à trois cercles donnés (C), (C) et (C*'), le nombre des transformations précédentes se réduira cependant à quatre, et que chacune d'elles appartiendra à deux cercles tangents. Le nombre des solutions se réduira donc aussi à quatre distinctes, dont chacune donnera deux positions du cercle cherché. Supposons, pour plus de généralité, que les trois cercles (C), (C) et (C) soient entièrement isolés, on verra facilement comment on devra modifier les constructions relatives à ce cas général, lorsque les cercles donnés se cou-

( * ) Ce mode de solution est analogue à celui dont je m'étais servi dans une note insérée au tome II de la Correspondance sur V Ecole polytechniquey ot qu'on trouvera à la suite de ce l" volume, avec la solution correspondante du problème de la sphère tangente à quatre autres.

peronl ou s'envelopperont et que, par suite, une ou plusieurs des solutions deviendront impossibles géométriquement.

Cela posé, il est clair que les réductions dont il a été question sont les quatre suivantes :

1" Lorsque le cercle tangent enveloppera à la fois les trois cercles (C), (C) et (C"), ou qu'il sera enveloppé par tous les trois, il suffira de diminuer le rayon de chaque cercle du rayon du plus petit d'entre eux (C").

2** Lorsque le cercle tangent enveloppera les deux cercles (C) et (C) à la fois, en laissant C" au dehors, ou que laissant en dehors (C) et (C ) il enveloppera (C") , il faudra augmenter les rayons de ces deux cercles du rayon du plus petit (C).

3» Lorsque le cercle tangent touchant extérieurement (C) et (C") enveloppera (C), ou que touchant intérieurement les mêmes cercles (C) et (C"), il laissera (C) en dehors, il faudra diminuer le rayon du cercle (C)el augmenter celui de (C) du rayon du plus petit cercle [C ),

4** Enfin lorsque le cercle tangent touche extérieurement ( (7) et (C") en enveloppant (C), ou que, touchant intérieurement les mêmes cercles, il laissera C en dehors, il faudra augmenter le rayon du cercle (C) et diminuer celui du cercle (C) du rayon du plus petit cercle (C").

Au moyen de ces quatre transformations, le cercle (C" ) se réduit à un point. On résoudra les quatre questions, relatives aux deux premières transformations en menant dans l'un et l'autre cas, par ce point donné, un cercle tangent qui enveloppe à la l'ois les deux cercles transformés ou soit enveloppé par eux : dans ce cas, la droite qui joint les deux points de contact passera par le point que nous avons appelé 0. Quant aux quatre solutions relatives aux deux dernières transformations, elles s'obtiendront en menant par un point donné, aux deux cercles transformés, un cercle tangent qui touche l'un d'eux intérieurement et l'autre extérieurement; dans ces deux cas, la droite qui joint les points de contact passera par le point que nous avons appelé 0'.

Tous ces préliminaires posés, il ne s'agit plus que de résoudre le problème mentionné plus haut : par un poifli^donné mener un cercle tangent à deux cercles donnés.

4o ï*' CAHIER. - LËMMËS

II est facile de voir qu'on peut» en général, par un point A [fig. 28), mener quatre cercles tangents à deux cercles (7) et (7') \ savoir : deux qui toucheront à la fois ces cercles intérieurement ou extérieurement, et deux touchant intérieure-

Fig. a8.

ment l'un de ces cercles et extérieurement Tautre. Dans les deux premiers cas, la droite qui joint les deux points de contact T et T', passera par le point que nous avons appelé 0 (Prop. III, CoroU. I). Proposons-nous donc d'abord de résoudre le problème pour cette dernière circonstance, et soit ABT le cercle \x) cherché.

Par le point O, on mènera une sécante arbitraire OR, qui coupera |es cercles (7) et (7' ) intérieurement, aux points R et R'; on fera passer par les trois points R, R' et A une circonférence de cercle RR' A, qui coupera la droite menée par le point A et le point 0 en un second point B, par où passera aussi le cercle tangent cherché (Prop. XIV, y?g^. i). La question se trouvera ramenée à celle de mener par deux points A et B un cercle tangent à un cercle donné (7) ou (7'). On achèvera la solution ainsi qu'il a été dit ci-dessus (Prob. I), et l'on obtiendra en même temps, les deux cercles [x] et [x']^ tangents à la fois intérieurement ou extérieurement aux deux cercles donnés (7^1 (7').

Si l'on exécute la même construction à l'égard du second

point (y, on aura les deux autres cercles tangents à (7) et (7') dont il a été question plus haut.

Le problème actuel a donc quatre solutions : deux relatives au point O et deux relatives au point 0', lesquelles fourniront les huit solutions du problème général.

Scolie. — Un ou plusieurs des trois cercles (C), (C) et (C") peuvent se réduire à des points ou à des lignes droites, et ces difTérentes modifications donnent lieu à autant de problèmes, dont nous allons déduire la solution, de la solution générale qui précède.

appelons P un point, C un cercle et L une ligne droite donnés, il est clair qu'en combinant ces données de toutes les manières possibles, on aura les dix combinaisons suivantes» qui correspondront à autant de problèmes particuliers : PPP, LLL, CGC, PPC, CCP, PPL, LLC, LLP, CCL, PCL.

La première correspond au problème de mener un cercle par trois points donnés, la seconde à celle d'inscrire un cercle dans un triangle donné, ou, plus généralement, de mener un cercle tangent à trois droites données. Ces deux problèmes sont résolus par les éléments ; la troisième combinaison CCC correspond à la question : mener un cercle tangent à trois cercles donnés, déjà résolue précédemment aussi bien que celles relatives aux deux combinaisons PPC et CCP, dont Tune répond au problème de mener, par deux points donnés, un cercle tangent à un cercle C également donné, et Tautre à celui de mener par un point quelconque un cercle tangent à deux cercles donnés.

Quant aux problèmes relatifs aux cinq dernières combinaisons, nous ne les avons pas encore résolus, et c'est de leurs solutions que nous allons nous occuper maintenant.

Problème IIL

Par deux points XetB (Jig, 29), mener un cercle tangent à une droite donnée MN.

Par les deux points donnés A et B, on fera passer une circonférence de cercle quelconque ABT; par le point /?, où la droite AB, prolongée, rencontre MN, on mènera une tangente y/f à ce cercle, on rapportera ensuite, par un arc de cercle, la distance

ja 1*^' CAHIER. - LEMMES

pT sur la droite MN, de pari ei d'autre du point/?, et les points 0 et ô' ainsi obtenus, seront les points de contact des deux cercles cherchés; car il est visible que tous les cercles pas-

Fig. 29.

sant par les points A et B sont tels, que les tangentes qui leur sont menées pdi le point p sont toutes égales entre elles, comme partant d'un même point de leur corde commune AB

(Prop. VI).

PflOBLÈME IV.

Mener un cercle tangent à deux droites MN, mn et à un ceivle (C) donnés.

On rapprochera ou l'on écartera les deux droites MN et mn d'une longueur égale au rayon du cercle (C), selon la nature de leurs contacts avec le cercle cherché : dans l'un et l'autre cas, le cercle (C) se réduira à un point, et la question sera ainsi ramenée à la suivante, par laquelle on verra que la solution de ce problème est quadruple.

Problèmb V.

Par un point donné A (^gr* 3o), mener un cercle tangent à deux dtmtes MN et mn également données.

On considérera les droites données MN Qt mn comme deux cercles de rayons infinis. Ola posé, tout cercle tangent aux droites MN et mn ayant ses points de contact R et R' situés à

égale dislance de rinierseciion K de ces droites, il est clair que si l'on prend sur ces droites, à partir de K, deux distances égales

Fig. 3o.

KR et KR', la droite RR' pourra être considérée comme uni» sécante passant (Prop. 111) par le point 0, situé dans ce cas à l'infini; donc la droite qui joint le point donné A au point 0 est une parallèle à RR'; donc si par les points A, R et R' on mène une circonférence de cercle, celle-ci coupera la droite AO parallèle à RR', en un second point B, par où devra passer aussi la circonférence cherchée (Prop. XIV) : le problème se trouve ainsi ramené à mener par deux points A et B une circonférence tangeate à une droite MN (Prob. III).

Problème VI.

Par un point donné A [fig* 3i), mener un cercle tangent à une droite MN et à un cercle (C) donnés.

Fig . 3 1 .

En regardant la droite MN comme un cercle de rajon inlini.

on verra facileineni que les points 0 el 0', relaiifs à ce cercle et au cercle (C), ont ici la position indiquée sur la figure; on appliquera donc à cette question la deuxième solution du Prob. II ; c'est-à-dire que, pour construire les deux cercles tangents relatifs au point 0, par exemple, on mènera par ce point une sécante arbitraire OR et une droite OA passant par le point donné A ; par ce point A et par les deux points R et R', de la sécante OR, on fera passer une circonférence de cercle qui rencontrera la droite AO en un second point B, par lequel devront passer les deux cercles cherchés ; en sorte qu'il ne s'agira plus que de mener par les deux points A et B, deux cercles tangents à la droite MN ou au cercle (C), ce qui s'exécutera comme il a été dit^fliii Prob. I ou III.

Le.fiôhiVi)' donnant deux autres cercles tangents, le problème est susceptible do quatre solutions distinctes.

Problème VII.

Mener un cercle tangent à deux cercles (A), [C) et à une ligne droite MN donnés sur un plan.

En examinîint celte question, on verra que le cercle cherché peut avoir, en général, quatre positions différentes. Pour trouver la construction relative à l'une de ces positions, on rapprochera ou écartera la droite MN du centre A du plus petit des deux cercles donnés, d'une longueur égale au rayon de ce cercle, et l'on diminuera ou augmentera en même temps le rayon de l'autre cercle (C) de la même quantité, selon la nature des contacts avec le cercle inconnu : dans tous les cas, le cercle ( A) se réduira à un point et la question sera ramenée à la précédente.

Il n'est pas difficile de voir que, parmi les quatre solutions fournies par cette dernière question, il y en a deux qui donneront chacune deux solutions du problème actuel.

Scolie. — Quand le cercle tangent cherché se trouve être assujetti à une condition particulière différente de celles que nous nous sommes imimsées dans les problèmes précédents, cette nouvelle condition équivalant à Tune des trois données P, L, C, on ne pourra plus assujettir le cercle tangent qu'à

deux de ces trois conditions, oi cela cjonnera lieu à différents problèmes particuliers, dont nous allons dire un mot, en choisissant ceux qui peuvent offrir le plus d'intérêt.

Problème Vill.

Trouver un cercle qui soit tangent à une courbe en un point donnée et qui touche en même temps une droite ou un cercle donné, ou encore passe par un point donrlé.

On mènera à la courbe proposée une tangente par le point donné sur son contour; il est évident que le cercle cherché qui doit être tangent à la courbe en ce point, sera aussi tangent au même point à la droite tracée; or cette dernière condition équivaut à celle que le cercle cherché passe par deux points réunis en un seul donné, et par conséquent les questions dont il s'agit ici se résoudront de la même manière que les Prob. I et III.

Quand la dernière donnée est un point, le problème se réduit par la même observation, à un problème élémentaire.

Problème IX.

Trouver tin cercle tangent à un cerch^ (C), qui passe par un point donné A, et dont le centre soit situé sur une droite également donnée MN (^g. 2?,).

Puisque le centre x du cercle cherché doit se trouver sur la droite MN, ce cercle passant par le point A, doit aussi passer par le point B situé sur la perpendiculaire Al), abaissée du point A sur MN, à une dislance BD = DA. Donc le problème se trouvera, par cette construction simple, ramené à conduire par deux points A et B un cercle tangent au cercle (C), et il se résoudra par conséquent comme le Prob. I.

Probi.èmk X.

// une droite donnée MN [Jig. 29), mener un cercle tangent qui passe par un point A et dont le centre soit, de plus, sur une autre dwite donnée PQ.

Le cercle cherché devra passer par le poinl B, situé sur la

46 l** CAHIER. - LEMMKS

perpendiculaire AD à MN, à une dislance BD de celle droiie égaie à AD ; el par conséqueiil le problème se irouvanl ramené au Prob. lïl, se résoudra de même.

PROBLfeim XI.

Mener un cercle tangent à deux cercles donnés (C) et (C) et dont le centre soit situé sur une droite donnée MN (*).

On augmenlera ou diminuera le rayon du cercle (C) d'une longueur égale au rayon du plus pelil cercle (C), selon la nature de son conlaci avec le cercle cherché el de manière que le cercle (C) se réduise à un poinl C : le problème se trouve ainsi ramené au Prob. IX, el chacune des deux solutions ainsi obtenues, fournira deux solutions de la question même dont il s'agit.

Problème XII.

À une droite PQ et à un cercle (C), mener an cercle tangent dont le centre soit situé sur une droite MN.

On rapprochera ou écartera la droite PQ du centre C, d'une longueur égale au rayon du cercle donné, selon la nature du contact avec le cercle cherché, el de manière que le cercle (C) se réduise à un point. Le problème sera ramené par cette construction au Prob. X el se résoudra de même.

Scolie. — Le cercle langepl cherché peut être aussi assujetti à une condition de grandeur : on pourrait demander, par exemple, que son rayon fût d'une longueur donnée ou d'un rapport donné avec une droite de grandeur indéterminée dans la figure, etc. Il peut encore être assujetti à la condition que ses tangentes menées par un ou deux points donnés, soient égales à des lignes données; ce dont on a vu un exemple (Prob. Il, première solution). Tous les problèmes de cette espèce pourront se résoudre au moyen des Prop. XI, XII et XIII, et en se servant des solulions indiquées pour les précédents.

(*) Les figures de ce problème et du suivant aussi bien que celles du Prob. IV, ont été supprimées, à cause de leur simplicité.

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. i;

Voicî encore un problème de ce genre, dont la solution est fort simple.

Problème XIII.

Étant donnés un cercle (C) et deux tangentes OT et OV à ce cercle [fig, 32), mener entre ces tangentes une droite \x de grandeur donnée AB et qui touche le cercle (C).

Fjg. 3a.

On portera AB de T eu /, sur la tangente OT et de T' en /', sur la tangente OT'; on fera passer ensuite par les deux points / et /' ainsi déterminés, une circonférence d<* cercle, tangente à TO et qui sera en même temps tangente à T'O. Cela fait, on mènera les deux tangentes communes \^ et \' x' aux cercles (C) et (C), et ces tangentes seront les droites demandées; car (Prop. IV), dans une telle figure Xa:=:X'j7' = T/ = par conséquent AB.

Si, au lieu de porter AB de T vers 0, on l'eût porté en sens contraire, et qu'on eût agi de même à l'égard deT', on eût obtenu de ce côté un nouveau cercle qui aurait donné, comme (C), deux solutions du problème. Ainsi ce problème est susceptible en général de quatre solutions. Ce nombre pourra se réduire dans certains cas, et même la solution pourra alors devenir impossible.

Nous allons maintenant faire l'application de ce qui précède au probléftne qui a pour objet de trouver l'intersection d'une droite donnée avec une section conique dont on connaîtrait les axes ainsi que les foyers.

Proposition XV.

Une section conique quelconque peut être considérée comme la courbe parcourue par le centre d'un cercle variable de grandeur, assujetti à être çonfipuellement tangent à deux cercles donnés ^ ou à pasàm^^i^:un point et à toucher un cercle égal ment do it é, ^*-'^^\

Commençons par recherc&$r la ndure de la courbe qui sera en général engendrée de cétfJiBÎiWlfiire.

Les deux cercles donnés peJBivfeVit avoir trois positions distinctes Tun à regard de l'autre : i" ils peuvent être entièrement isolés; 2** ils peuvent être renfermés Tun dans l'autre; 3® ils peuvent se loucher ou se couper en deux points.

Considérons le premier cas (^g*. 33), où les cercles (C)

et (C) sont isolés : le cercle générateur [x) peut avoir deux séries de positions [x] et [x') différentes, et par conséquent son centrç décrit alors deux courbes distinctes.

Quand le cercle [x] touche extérieurement (C) et (C), on a évidemment, quelle que soit la position du centre x^

Cx — Gx = CR - C'r,

et, par suite, le centre x parcourt une hyperbole dont C et C sont les foyers, et dont la différence des rayons vecteurs ou Taxe transverse est égal à CR — C'r.

Quand le cercle [x') touche les cercles donnés (G) et (C), l'un intérieurement et l'autre extérieurement, on a

O' çj r' = CR' -+- R' ^' — x' r + rC = CR -4- C r.

Le centre x' décrit donc aussi une hyperbole qui a mêmes foyers que la première , mais dont Taxe iransverse est égal à CR-hC'r.

Fig. 3/,.

Considérons à présent le cas [fig. 34) où le cercle (C.) esl renfermé dans (C). Il esl clair que le cercle tangenl peut encore avoir deux séries de positions distinctes [x) et [x').

Quand il a la position (x), on a

Co: H- C'^ = CR — Ro: -f- CV -f- rj; = eu 4- C r;

ainsi la courbe que parcourt le point x est, dans ce cas, une ellipse dont C el C sont les foyers, ei qui a pour grand axe la . somme CR-f-C'r des rayons des deux cercles donnés. Pour l'autre centre x' y on a pareillement

Ca/4-C'a^ = CR' — R'^-f-r^— C'r=CR' — CV;

ainsi la courbe que parcourt le centre x'y est aussi une ellipse qui a mêmes foyers que la première, mais dont le grand axe esl égal à la différence des rayons des cercles donnés.

Fig. 35.

Si le cercle (C) avait un rayon infmi et qu'il se réduisit par

5o !•' CAHIER. ~ LEMMES

conséquent à une ligne droîle CR (yîg*. 35), le cercle langent pourrait encore avoir deux séries de positions (:r) et {x'). Quand {x) touche extérieurement le cercle (C), on a

ce qui prouve que la courbe parcourue par le point x est une parabole. En effet, supposons qu'on écarte du centre C en KM, la droite CR d'une quantité /?ç = CV, il est évident qu'on aura pour tous les points x^

xRt = Cx;

ce qui montre en outre que le centre C est le foyer de la parabole, et que KM en est la directrice.

Pour la même raison , le centre x^ parcourt une parabole dont C est le foyer et dont une autre parallèle à CR, p'R', est la directrice. Car on a évidemment

Wx'^Cx' = Cr

et par conséquent, en supposant /^'^ =C'r,

Considérons maintenant les cas où les cercles (C) et (C) se coupent ou se touchent. Lorsque les deux cercles se coupent {Ji^. 36), le cercle tangent peut avoir les deux positions {x) ei

Fig. 36.

(x*). Le centre x parcourt une hyperbole dont C et C sont les foyers et dont Taxe transverse est égal à CR — C r. Le centre jK décrit une ellipse dont C et C sont aussi les foyers et qui a pour grand axe CR -h C/r : chacune de ces deux courbes passe évi-

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. 5i

demmenl par les deux points K el L, où se rencontrent les cercles (C) et (C). •

On voit que, dans tous les cas précédents, il \ a deux courbes distinctes engendrées pour les deux mômes cercles (C) el (C), soit qu'ils se coupent ou qu'ils ne se coupent pas. Mais la même chose n'a plus lieu quand ils se louchent.

Si les deux cercles (C) el (C) se louchent extérieurement

Fig. 37.

{fi8\^l)y ** est évident que le cercle [x) n'a plus qu'une seule position elle-même extérieure à ces cercles, et comme on a

le centre décrit une hyperbole dont C et C sont les foyers, et qui a CR — G'rpour axe transverse.

Quand les cercles (C) et (C) se louchent intérieurement {Jig, 38), le centre x décrit une ellipse qui a pour foyers les

centres C etC el pour grand axe la somme CR -f- C'rdes rayons de ces cercles. Dans l'un et l'autre de ces deux derniers cas, la courbe parcourue touche à la fois les cercles (C) et (C) au point de contact T.

Si le cercle (C) [Jig. 89) était une ligne droite CT tangente au cercle (C), la courbe unique, parcourue par le cenlre du

52 r CAHIER. - LËMMES

cercle mobile {x)y serait une parabole dont C serait le foyer, MK la directrice, elc^.

Enfin, si les cercles (C) el (G) se réduisaient à deux lignes

Fig. 39.

droites, il est clair que la courbe parcourue par le centre a: sérail elle-inêmc un système de deux lignes droites.

On conclut de cet examen, qu'une section conique quelconque, courbe ou droite> peut être engendrée par le centre d*un cercle qui serait, dans toutes ses positions, constamment tangent à deux cercles donnés , en ayant soin d'observer que ces cercles peuvent avoir des rayons infinis et par conséquent devenir de simples droites.

Si l'on suppose, dans tous les cas précédents, que le cercle (C ) se réduise à un point, le centre de [x) ne décrira qu'une seule courbe , qui sera une hyperbole quand il sera situé en dehors du cercle (C), une droite quand ce point sera situé sur la circonférence de ce même cercle, une ellipse quand il sera situé au dedans, enfin une parabole quand le cercle (C) deviendra une ligne droite (*).

Nous pouvons maintenant nous proposer de trouver l'intersection d'une courbe du second degré et d'une ligne droite.

(*) Cette discussion, pour èlro complète, aurait besoin do s'étendre au cas où, de deux cercles fixes donnés sur un même plan, l'un enveloppe le cercle mobile, et l'autre en est enveloppé extérieurement, etc. Mais cette discussion n'offre aucune difficulté, et n'a qu'un bien faible intérêt pour la solution du problème ci-après.

Problèmb XIV.

Déterminer les deux points (t intersection d'une ligne droite et d'une section conique.

Quelle que soil la courbe donnée, elle peut être considérée comme engendrée par le centre d'un cercle de rayon variable, assujetti à passer par un point donné et à rester tangent à un cercle donné. Les deux points d'intersection cherchés seront donc tels, que si de l'un d'entre eux comme centre, avec sa distance au point donné pour rayon, on décrit une circonférence de cercle, celle-ci sera tangente au cercle donné. Par suite, le problème proposé est ramené au Probl. IX résolu plus haut.

Si la courbe donnée est une parabole» la question revient à celle du Probl. X. Considérons ce dernier cas pour premier exemple.

Soil A [fig. 4®) le foyer de la parabole; PQ sa directrice; MN la droite dont on veut déterminer les intersections x et x' avec la parabole : la question revient, comme nous l'avons dii, â mener par le foyer un cercle tangent à la directrice PQ, et dont le centre soit situé sur la droite MN. On abaissera donc

Fig. !\o.

( Prob. X) du point A, Une perpendiculaire AD sur MN ; on portera AD sur cette droite, de D en B ; par les deux points A et B on fera passer une circonférence do cercle quelconque ABT; par le point p oii AB prolongée rencontre PQ, on mènera la tangente pT à ce cercle; on rapportera onsuilo cette tangente

54 r CAHIER. - LEMMES

sur la directrice PQ, de pari ei d'aulrer du point /?, en 0 et ô';

enfin aux points ô et ô' on élèvera sur celle directrice, des

perpendiculaires qui couperont la droite MN aux points x et a;'

demandés.

Scolie, — Il résulte de là que la parabole jouit de.cette propriété : Soit MN [figl 4o) une droite quelconque rencontrant la courbe en x ç^\ x' \ si Ton abaisse du foyer A, sur cette droite, une perpendiculaire AD qui coupe la directrice au point p, et que des points x et x*, on mène à Taxe de la courbe les parallèles ^'Ô' et orO qui rencontreront la directrice aux points 6' et ô, la distance W sera divisée en deux parties égales par le

Si la droite MN passait par le foyer A [Jig, /[ 0» ^^ construction précédente aurait encore lieu; seulement le cercle ABT serait

tangent à la droite /?A élevée perpendiculairement sur MN au point A, et alors on aurait/?© =/>ô' = pA, Il eslaisé de voir aiissi que le point p serait celui où se coupent les tangentes à la parabole menées par les points j:\et x; car les deux triangles pAx' et pQ' x' relatifs à rinlerseclion y', par exemple, étant alors rectangles et égaux, langle px^A = ang. j»j:'^' : pareille chose a lieu pour le point x ; donc les tangentes en x et x' passent par le même point/?. On peut remarquer, en outre, que l'angle xpx' de cps deux tangentes est un angle droit (* ).

(*) ^^ojr., à la suite de ce P*" volume, sous le titre de Souvenirs de i'École polytechnique, quelques autres propositions relatives à la parabole, démontrées par voie de synthèse : notamment la détermination des normales, des rayons de courbure et de la développée de cette courbe.

DK GÉOMÉTRIIî: synthétique. 55

Supposons, pour second exemple, qu'il s'agisse de trouver rinierseclion d'une ellipse avec une droite MN [Jig, 42).

Soient C ei C les foyers de Tellipse; du point C comme centre, avec le grand axe pour rayon, on décrira une circonférence (C), et Tellipse pourra être considérée comme engendrée par le centre d'un cercle qui passerait par le point C, et qui serait dans toutes ses positions, tangent au cercle (C). On abais-

sera donc (Prob. 1\) du foyer C, une perpendiculaire Cl) sur la droite donnée MN; puis on fera DB=(yD; par les points B et C on fera |>asser une circonférence quelconque BC'ww qui coupera le cercle (C) aux points m et w; on tracera la corde /?m, laquelle coupera C'B au point p\ de ce point, on mènera les tangentes pT et pV au.cercle (C); on joindra les points T et T' avec le foyer C par les droites CT et (71', qui couperont MN aux points x et x' demandés.