DEUXIÈME CAHIER

PROPOSITIONS FONDAMENTALES TIRÉES DU SYSTÈME DES COORDONNÉES DE DESCARTES.

SDR L*IDENTITfi DBS COURBES DU SECOND DEGRÉ ET DES SECTIONS DU CONE DROIT A BASE CIRCULAIRE (*)^

Les divers auteurs qui, jusqu'à présent (i8i3), nous ont donné des Traités élémentaires sur l'application de l'algèbre à la géométrie^ ayant mis un ordre différent dans l'enchaînement des propositions , il est nécessaire , avant d'aborder la question dont il s'agit ici, d'indiquer la marche que je suppose adoptée à ce sujet. Cela 'permettra de donner à cet essai de démonstration le degré de clarté et de rigueur indispensable, tout en faisant éviter jusqu'à l'apparence de cercles vicieux.

Transformation et discjsssion préalables de r équation générale

des lignes du second degré.

Je suppose qu'on ait commencé par déterminer les équations du point et de la ligne droite, soit que Ton considère ce point ou cette droite d'une manière isolée, soit qu'on les suppose combinés entre eux par voie géométrique ou par voie analytique.

Le cercle étant, après la droite, la ligne la plus élémen-

(*) Cette Note était destinée à un ancien camarade de promotion d'École polytechnique, M. Dufrayer, officier d'artillerie, comme moi prisonnier de guerre dans le gouvernement de S^atoff, et qui se proposait d'en faire usage pÛÊt l'enseignement de la Géométrie analytique'à de jeunes Russes : cette Note ne put parvenir à sa destination par la voie de la poste offî-

' LEBfMES m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 67

taire, je suppose qu*on passe tout de suite à Texamen de ses diverses propriétés, de celles des tangentes, des sécantes, etc. Cet examen pouvant exiger qu'on transforme les axes coordonnés, ce sera le lieu de faire connaître les différentes formules au moyen desquelles on peut y parvenir.

Formules de transformation des coordonnées sur le plan, — Comme nous aurons occasion d'employer ces formules, je vais les rappeler d'une manière succincte et sans en donner la démonstration, (extrêmement facile à trouver par des considérations géométriques de projection.

I" Quand on voudra changer les axes de coordonnées de

manière que l'origine soit transportée en un point connu, dont

l'ordonnée serait d=n et l'abscisse ± m, on emploiera les deux

formules

x=: x'^mj x = r'dbn,

x* et x' représentant les nouvelles coordonnées, x et j les anciennes.

a® Pour le cas oii il s'agira de changer les axes coordonnés de manière que, l'origine restant la même, les nouveaux axes, censés rectangulaires comme les anciens, aient une direction différente, on emploiera les formules

a:=a:'c0Sa — j'sina, j= ar'sina -j- r'cosa,

dans lesquelles les coordonnées anciennes et nouvelles conservent les mêmes dénominations que ci-dessus, et oii a représente l'angle formé par le nouvel axe des x avec l'ancien.

3** Si l'on veut à la fois changer l'origine et la direction des axes d'un système rectangulaire en un autre système de même nature, on prendra

j;=: x'cosa — r'sina±//î, j=:r'sin a-i-/'cosa±:/i.

cielle. On la conserve ici malgré son peu d*importance relative, non-seulement pour l'ordre logique des idées et renchainement méthodique des démonstrations, mais aussi pour montrer, sans réticence, quelles étaient à celle époque, les idées et les vues de l'auleur on fait d'ÉIémcnls do géométrie analytique.

58 II' CAHIER. - LËMMES

4° Pour passer d*uii système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques, l'origine restant la même, on se servira des formules

.r = ^'rosa-|-j' COS (a -h y), j = x' sina-h/' sin [a-h^),

OÙ a représente toujours l'angle que le nouvel axe des x fait avec l'ancien, et f l'angle que forment entre eux les nouveaux axes. On lire de ces deux formules, par l'élimination,

, X sin ( a -f- f ) — y* COS ( a -h ^ ) , y cos a — j: sin a

sm(p ' siuf

Ces nouvelles formules serviront réciproquement à repasser du système oblique à un système rectangulaire.

S*» Enfin, si l'on veut passer d'un système de coordonnées obliques à un autre système de même nature sans changer l'origine, on aura les deux formules

x' s\ï\ (•]/ — a)-4-r'sin(\p — B) ^' sin a -h r' sin S

sin>I* "^ sln^I/

dans .lesquelles a et p représentent respectivement les angles des deux^ouveaux axes x^ et y' avec l'ancien axe des Xy et -^ l'angle que les anciens axes forment entre eux.

Si l'on se proposait en outre, dans les deux derniers cas, de changer l'origine des axes en la transportant en un nouveau point dont les coordonnées seraient ±m et ±/i, il faudrait, comme pour les formules précédentes, ajouter ±m à l'expression de X et ±n à celle de y\

Après avoir discuté les propriétés du cercle relatives à des axes rectangulaires ou obliques, je suppose que Ton passe à l'examen des coordonnées rectangulaires à trois dimensions, en déterminant les équations du point, de la ligne droite et du plan situés d'une manière quelconque dans l'espace, et résolvant toutes les questions qui y ont rapport comme celles de trouver la distance entre deux points, un point et une droite ou un plan, l'angle de deux droites, etc.

Transformations y simplifications diverses de l'équation gé-

nérale des lignes du second degré, — Ces préliminaires élanl établis et bien connus, je passe à l'examen des lignes, droites ou courbes, représentées par Téquation

• (1) a)^-\-hxy-hcx^'\-dy-\-eX'\-f=^Oy

la plus générale possible du second degré. Elle comprend évidemment toutes celles des courbes ouvertes ou fermées, réelles ou imaginaires, du même degré.

Pour parvenir, avec rapidité et clarté, à la connaissance, à la classification des différentes espèces de lignes qu'elle peut représenter, il est indispensable de la ramener à la forme la plus simple possible, sans altérer cependant, en aucune manière, la nature des courbes qu'elle représente. Or c'est ce qui aura lieu nécessairement si l'on ne fait que changer la position relative des axes coordonnés auxquels ces mêmes courbes se trouvent rapportées.

Disparition du ternie en xy\ — On change seulement la direction de ces axes supposés rectangulaires, sans en déplacer l'origine commune, au moven des formules

x=. x' cos a — >•' sin a , >• = or' sin a -f- y' cos a.

On introduira ainsi dans l'équation (1], une arbitraire a qu'on pourra choisir à volonté, et dont on se servira pour faire disparaître l'un des termes de cette équation en annulant son coefficient. Effectuant cette substitution, on trouvera

y^^[aQos^oL — b sin a cos a-i-<?sin'a) f-^'^*' (2a sin a cos a — 6sin*a-|-6 cos' a — acsinacosa) j/* (a si n'a -h 6 sin a cos a -4- C COS'a) r' [dcosoL — esina)-h^'(rfsina -hé'cosa)-h/=o;

en prenant a de façon que le terme x' y' disparaisse, on aura, pour déterminer cotte inconnue , l'équation en elle-même fort simple,

a sin a cos a [a — c) — b (cos' a — sin' a) = 0;

6o ]!' CAUIEH. - LËMM£S

d'où l'on lire

lanfi:2a= •

Cette valeur de tang 2a, étant essentiellement réelle, il sera toujours possible de changer la direction des axes de façon que réquation de la courbe représentée par l'équation (i), ne renferntïe plus le terme en xy\

Maintenant, si l'on substitue la valeur ainsi obtenue pour a, dans les divers coefficients de Téquation transformée (2), et qu'on y remplace x' et 7' par x et 7, elle prendra la forme particulière

(3) a/»-f-ij;*-hc/-hrfj;-f-«= o;

les coefficients a, 6, c,..., étant distincts de ceux de l'équation (i) d'où l'on est parti, et ayant pour valeurs respectives ceux de l'équation (2).

Disparition du terme tout connu et de Vun des termes x ou y\ — On peut encore simplifier l'équation (3) de la courbe proposée, sans en altérer d'aucune façon la nature et les propriétés, en transportant l'origine des axes en un nouveau point arbitraire, sans changer leur direction; on a pour cela

expressions qui, substituées dans l'équation (3), donnent ( a/»-f-6x''-h/(c-H2nrt)-l-^'(rf^-2m6)

Disposant de m et de n, de manière à faire disparaître le terme en j' elle terme tout connu, on posera les nouvelles équations de condition

(5 ) c -h 2 /wi = o , fl/i' -h bm^ -f- en -h dm -j- e = o .

Cette dernière transformation sera possible si les valeurs de m et de n sont toutes deux réelles. Or on tire des équations (5)

f 6) /!=—-- el m = — t^d± \/a (ad' -h bc' — ^abe) ^ ^ 2« vtab '

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 6i

la valeur de n étant essentiellement réelle, il sera effeciivement toujours possible de faire disparaître le terme en y\

Quant à la valeur de m, elle ne sera réelle qu'autant que la quantité a(arf*-f-6r' — ^abe) sera positive. Dans le cas contraire, m devenant imaginaire, la transformation précédente ne serait plus possible; c'est-à-dire que, dans ce cas, on ne pourrait pas faire disparaître à la fois le terme en y et le terme tout connu; mais alors même on pourra faire disparaître simultanément le terme tout connu et le terme en x\

En effet, il vient alors, pour déterminer m et n, les équations de condition

rf-f- 2mi = o, an^ -h bni* -h cn-\-dm-^e z=. o ; d'où Ton tire les valeurs particulières

, . d — bc± sib ( ad^ -h bc;^ — ^abe)

' 2D 7.ab

Or je dis que les deux quantités a{ad^-\-bc^ — ^abe) et b(ad^-^bc* — ^abe) comprises sous les deux radicaux (6) et (7), sont nécessairement de signes contraires quand rune'd'elles est négative et que l'équation (3) ou (1) représente une courbe existante.

En effet, on peut mettre l'équation (3) sous cette forme

(8) 6(2aj-f-c)'4-a(2 6a:-hrf)'=ûPa-hc'6 — 4«ft^;

par conséquent, si la quantité «(rf'a-f-^'fc — 4^^^) était négative, c'est-à-dire si a et ad^-hbc^ — ^abe avaient des signes contraires, il faudrait que b eût un signe opposé à celui de a, sans quoi en passant tous les termes de l'équation (8) dans le premier membre, elle se trouverait composée de la somme des trois quantités de même signe b{iax-hc)\a[2bxrhdyy ^abe — ad* — icS et ne pourrait être satisfaite par aucune des valeurs réelles attribuées à or et à j. Dans ce cas donc, la courbe que cette même équation représente serait essentiellement imaginaire.

D'autre part, puisque dans le cas de a[ad^-\-bc^ — ^abe.) négatif, b est nécessairement de signe contraire à «, il s'ensuit que

Ga II* CAHIER. - LEMMES

la quantité b{ad*'hbc^ — ^abe) sera en même temps positive, el qu*ainsi l'un des radicaux ci-dessus éiant imaginaire, Tautrc sera par là même réel (*).

Forme générale la plus simple de Véquation des lignes du deuxième degré. — Il suit de là que l'équation (i) ou (3) de la courbe considérée, peut toujours être ramenée, sans en modifier la nature ni les propriétés mais en déplaçant seulement les axes coordonnés, à Tune ou à lautre des deux formes

^^^ ( Aj;'-hB/'-hC^'=o,

dont la seconde représente évidemment la même courbe que la première.

Car, en y changeant x eu y: et réciproquement, ce qui tend simplement à échanger les axes des x et des/ entre eux, sans altérer non plus la nature de la courbe, il est clair que cette seconde équation deviendra identique à la première.

Donc l'équation (9) représente effectivement toutes les courbes possibles du second degré, et par conséquent sa discussion complète fera connaître les diverses propriétés et espèces particulières de courbes que peut représenter l'équation la plus générale du même degré.

Le terme Aj* pouvant toujours être censé positif dans l'équation (9), en changeant convenablement tous les signes de cette équation, je dis de plus qu'il est permis d'y supposer le terme C^ négatif, sans altérer en rien la nature de la courbe dont il s'agit. Car, en changeant dans cette équation x en — x^ ce qui revient simplement à transporter tout d'une pièce, la courbe du côté des X positifs, le terme B:r' ne changeant pas de signe, et le terme Cx devenant seul négatif; l'équation prendra ainsi la forme toute spéciale ,

(*) On peut remarquer que les coordonnées m et n de la nouvelle origine, satisfaisant à Téqualion (3) de la courbe, cette origine est Tun des points de cette courbe, et la discussion de Téquation ( 8 ) apprend que ce point est le sommet même de la courbe. (Note du martuscrit r/eriSTi.)

Classification des lignes du second degré, — De là on doit conclure que Tespèce cl les propriétés de la courbe en queslion ne dépendront que de la relation existante entre les signes et les valeurs des coefficients A et B ; ce qui peut offrir trois cas très-distincts, savoir : le cas où A et B ont tous deux même signe, celui où ces coefilcients ont des signes contraires, et enfin celui où le coeffîcient B est nul.

Quant aux cas dans lesquels les coefficients A ou C seraient séparément nuls dans Féquatlon ci-dessus, ils n'offriraient que de simples particularités. Car, A étant nul, par exemple, et cette équation devenant en conséquence,

B.r' — Cj: = o,

on peut y satisfaire en posant soit ^ = o, soilB^ — C = o: la première est évidemment féquaiion de l'axe des j, la seconde celle d'une droite parallèle à ce même axe à une dis-

tance mesurée par la quantité r^-

Si C est nul à son tour, Téquation devenant

A^-'-4-tf^' = o,

A et B étant supposés de mêmes signes, ne pourra évidemment être satisfaite que par

X = o et >• = o ,

équations d'un point isolé, placé à l'origine même des axes coordonnés.

Enfin si A et B ont, au contraire, des signes différents, l'équation

pourra alors être satisfaite par l'une ou i)ar l'autre des deux relations distinctes

y=\—J^ et y = —^—-^x,

qui représentent deux droites symétriques par rapport à l'axe des X et passant par l'origine des coordonnées, droites dont

Tensemble, le système peut en effet èire considéré comme une

ligne du deuxième degré.

On voit, d'après cela, que Téquation générale (i) peut représenter un point ou le système de deux droites, réelles ou imaginaires suivant les signes de A et B, mais qu'elle ne représenterait qu'une seule ligne droite si A et B étaient nuls en même temps. Ces dernières circonstances correspondent évidemment aux divers cas où l'équation (i)se réduit simplement au premier degré, ou devient naturellement décomposable en deux facteurs de ce degré, ou enfin est implicitement ou explicitement composée de la somme de deux carrés: ce que Ton peut toujours reconnaître à priori, en la résolvant par rapport à l'indéterminée x ou r.

La discussion à priori, de l'équation (i) des courbes du second degré, sous la forme générale ou particulière oii elle se trouve, n'ayant pas trait à l'objet dont il s'agit ici, je ne m'en occuperai point. D'ailleurs, ce qui précède et ce qui suit remplit le même but d'une manière différente.

Énumération des espèces distinctes, — On vient de prouver qu'il existe, en général, trois espèces distinctes de courbes du deuxième degré , représentées respectivement par les équations suivantes :

. V I Ar»-t-B^» — C^ = o, Ar' — Bar» — Cj; = o, • ("») iA>-Cx = o.

où A et B sont censés des constantes absolues.

En discutant séparément chacune de ces équations, on voit que la première représente la courbe fermée appelée ellipse^ la seconde la courbe à deux branches infinies appelée hyperbole, la troisième enfin la courbe à une seule branche infinie et ouverte nommée parabole, toutes trois également rapportées à un sommet.

Je suppose maintenant que , prenant chacune des équations (lo] à part, on la combine, d'une manière convenable, avec celles de la ligne droite et du cercle ; on en tirera les divers théorèmes relatifs aux axes, aux foyers, aux tangentes, etc. Il est clair que la nature, les propriétés mêmes, des courbes du second degré seront ainsi parfaitement définies; il ne s'agira plus, dès

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ftS

lors, que de prouver ridcntilé de ces courbes avec les sections coniques. Mais, avant d*aborder celle qucsiion, il ne sera peut être pas inutile de rappeler la manière dont M. Lefrançois trouve el définit, en particulier, les foyers des courbes du second degré (*).

Recherche analytique des foyers, — On sali (|ue, dans le cercle, la distance du centre à un point quelconque de la circonférence, est fonction rationnelle de Tabscisse correspondante: dans Tellipse, Thyperbole ou la parabole, cela n a évidemment pas lieu à Tégard du centre ou du sommet; mais on peut se demander si la chose est possible à Tégard d'un autre point inconnu de leurs axes principaux.

Soient donc a et p les coordonnées de ce point, sa dislance à un point quelconque x, y de la courbe aura en général pour expression

D= v' (a: — ay H- [y — p)' = ^J' — 2a ^-h «'■+->•' — 2 Pj-f- p^

Posons, afin d'abréger el de simplifier les calculs, les équations

6* 2 b^ fil) >'*db — a;* ^ = 0, ou ^'-hB.r= — C^ = o,

pour représenter la courbe en question, rapportée à l'un de ses sommets et à Taxe correspondant; cette courbe étant une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le coef-

(*) [Essai de Géométrie analytique y a* édition, 1804). — Cette méthode, purement analytique, appartient, je crois, au grand Euler ; comme celle d'Apollonius, elle est indirecte, peu simple, et s'écarte entièrement de la marche de l'invention. I^ notion des foyers des sections coniques dérive plus naturellement, pcut-ôtro , de la considération géométrique de certaines propriétés, soit du cône droit à base circulaire, soit de la théorie des cercles tangents dont il est question à la fin du précédent Cahier. Mais je crois utile de faire remarquer dès à présent, ce qui sera encore mieux établi dans le tome II de cet ouvrage, que la détermination générale du foyer des coniques appartient véritablement au quatrième degré, et comporte deux systèmes de solutions distincts, relatifs ù chacun des axes principaux de ces lignes courbes.

flcieiU B sera positif, négatif ou nul; on tirera de là et des équations ci-dessus la valeur

* qui, substituée dans Tcxpression de D, donne

Or celle expression ne saurait évidemment devenir ration-

nçlle lanl que le terme rp 2p v/Cx — Bx* subsistera sous 1® radical; il faut donc qu'on ait généralement p = o> et alors comme elle prend la forme

pour qu'elle soit rationnelle , indépendamment de toute valeur particulière attribuée à x, il faut que l'expression sous le radical devienne un carré parfait, ce qui exige que

C — 2,oL-=±ioLs]i — B; d*oii Ton tire pour a les deux valeurs suivantes

« = -7 et a= — , .»

réelles, pourvu que B soit < i.

Donc il y a généralement deux points distincts qui jouissent de la propriété énoncée , et, puisque p est nul, Tun et l'autre de ces points se trouvent situés sur l'axe même des :r, confondu en direction avec Taxe 2 a de la courbe, qui est grand axe à cause deB<^i. Si B est nul, c'est-à-dire quand la courbe se réduit à une parabole, les valeurs de a devenant

a =: -7 et a == -9 4 O

l'un des foyers est situé à l'infmi sur Taxe de la courbe, l'autre restant voisin du sommet et à distance finie.

Il n'est pas difficile de reconnaître que, dans les deux cas de l'ellipse et de l'hyperbole, les deux foyers sont situés à égale distance de part et d'autre du centre de la courbe ; car si Ton substitue dans les expressions de «, les valeurs de B et

de C en fonction des paramètres a et 6, c'est-à-dire

il viendra

a -^ saT^l}' a — s/a'' ip 6'

ou, en réduisant au même dénominateur,

a = a — v'^' — 6? et «:=«-+- v^«' — frS pour l'ellipse ,

a = — «4- V^a'H-é', a= — fl— V«' •+" '^'î pour l'hyperbole.

Dans ces expressions, a et — a étant les abscisses mêmes des centres de l'ellipse et de l'hyperbole, on voit que, pour obtenir celles des deux foyers, il faut y ajouter ou* en retrancher l'une ou l'autre des quantités radicales y^a» — 6», >Ja^ ■+- 6% etc.

Les «foyers une fois trouvés, on démontre facilement que la somme ou la différence des deux rayons vecteurs qui y aboutissent, est égale au grand axe de la courbe. Réciproquement la courbe qui jouit de la propriété que la somme ou la différence des deux distances de l'un quelconque de ses points à deux points connus soit une longueur constante, est une courbe du second degré.

En effet, soient /et/' les deux points en question; supposons que l'on place l'origine des coordonnées au point 0, milieu de la distance ff'y et qu'on prenne la droite indéfinie ff pour l'axe des x; soit représentée par p la demi-distance O/', — p sera l'abscisse de/. Enfin soit 2a la somme ou la différence des distances mf et mf des foyers / et /' à un point quelconque m de la courbe cherchée, on aura

>lr^^[x — pY ± sly^-^ix-^pY = 2a.

Laissant l'un des radicaux dans le premier membre, passant l'autre dans le second et élevant au carré, on aura

ou réduisant,

^V'j^ -^ {^-^pV = ^' — p^^'

Élevant de nouveau les deux membres de celte équation au carré et ordonnant, il viendra définitivement

équation d'une eilipse ou d'une hyperbole, selon que a sera plus grand ou plus petit quep.

Superposition d'une ligne donnée du second degré j à un cône circulaire droit aussi donné.

Les propriétés fondamentales des lignes du second degré étant connues et démontrées, il s'agit de faire voir que ces lignes sont identiques ou superposables à celles que l'on peut obtenir en coupant un cône droit circulaire donné, par un plan convenablement dirigé; lignes que, pour ce motif, on nomme sections coniques ou simplement coniques.

La question ainsi posée revient évidemment à celle-ci :

« Étant donnée une courbe du second degré représentée » généralement par l'équation (i), ou, si l'on veut, par l'une ou » l'autre des deux équations (9) qui appartiennent à la même )) courbe, placer cette courbe sur un cône droit circulaire » d'ouverture donnée. »

Présente de la sorte, le problème peut se résoudre par les considérations de la géométrie descriptive ou dans l'espace à trois dimensions; mais je ne le traiterai ici que sous le point de vue analytique , et, pour cela, je commence par recherchait/ l'équation générale des sections du cône.

Équation d*un cône circulaire droit dont Vaxe est oblique sur le plan des xy. — Soient C, le cosinus de l'angle formé par l'une quelconque des génératrices du cône avec l'axe; a, p ety les coordonnées de son sommet. Cela posé, l'axe et la génératrice dont il s'agit passant par le sommet invariable du cône, leurs équations pour des positions quelconques, seront évidemment de la forme générale

pour la génératrice,

pour Taxe du cône,

A, et B, élani des constames/p el q des variables qui ont des signiOcatlons bien déterminées.

L'expression du cosinus de Tangle que forment en générai ces deux droites étant d'ailleurs, comme on sait,

il en résultera Téquation de condition

( C = 1 -h \ip 4- B.c/

^ ' j cest-a-dire

.où la quantité Cl, censée donnée, fixe la grandeur de la demiouverture du cône ; les quantités A, et B, déterminent en même temps que a, p et 7 la position de ce cône à Tégard des trois axes de coordonnées; enfin les quantités/? et q, constantes pour une même génératrice et variables d'une génératrice à l'autre, en fixent Tinclinaison par rapport aux axes : ces quantités étant liées entre elles par l'équation de condition cidessus, de telle manière que, quand l'une d'elles est donnée, l'autre s'ensuit immédiatement. Donc si l'on élimine p ei q entre l'équation (12) et celles de la génératrice, on obtiendra UQe équation entre :r, j et2, qui, étant indépendante de la position particulière attribuée à la génératrice et convenant par conséquent à toutes celles qui remplissent la même condition , sera l'équation même de la surface conique cherchée. Or les équations ci-dessus de la génératrice, donnent respectivement

X — a y — ft

Ces valeurs, substituées dans l'équation (i?) en chassant le dénominateur z — 7, conduisent à îa suivante

j C;[(x-a)'-|-0--p)'-(-(3-7)'](n-Aî-|-B;) (.2OMJ j j2 -7 + A, (;r— a) + B. (j— p)p= o.

TeHe est l'éqnation générale de la surface conique cherchée.

7 oute section du cône circulaire droit esi du second degré, — Si l'on considère les quantités a, p, 7, A, elB„ qui en fixent la position, comme indéterminées, celle surface aura la situation la plus générale possible par rapport aux axes rectangulaires des coordonnées. Donc, en y supposant z = o, ce qui donnera rintersection du cùne avec le plan des :tr, on obtiendra finalement pour Véqualion générale des sections coniques,

^' ^ (-[-7 + A.(x-a)-hB.(j-p)p=o.

Cette équation étant du second degré en x et j, on voit qu'en effet les courbes qu'elle représente sont nécessairement comprises parmi celles de l'équation générale (i) d'abord examinées.

Les sections coniques ne peuvent donc être ainsi, que des ellipses, des hyperboles, des paraboles, ou les modifications de ces cx)urbes ; c'est-à-dire des points ou des lignes droites. Mais il est nécessaire, en outre, de prouver réciproquement que toute courbe représentée par l'équation générale (i) est une section conique; c'est-à-dire qu'une telle courbe peut toujours être considérée comme l'intersection d'un cône droit circulaire et d'un plan inconnu, mais pouvant être déterminé quand cette courbe et ce cône sont donnés à priori.

Proposition réciproque à démontrer quand la courbe 4{l arbitraire. — Nous avons vu précédemment que, quelle que soit la courbe représentée par l'équation (i), cette équation pouvait toujours être ramenée, en plaçant les axes coordonnés d'une manière convenable, à l'une ou à l'autre des deux formes

Af'-l-Hx' — Cx==o, Ajr'-f-Bj' — C^=o,

ou, en substituant pour A, B et C leurs valeurs en fonction des longueurs a et 6 des demi-axes principaux de la courbe,

(i4) rt'/'±6'x' — 2ab^x=0y a^x^±b^y^ — 2tfA'j=o.

Supposons d'abord que l'équation générale (i) puisse cire ramenée à la première de ces formes, il s'agira de démontrer

que la position du cône ci-dessus peut toujours être choisie de telle sorte que son intersection avec le plan des xy coïncide avec la courbe correspondante, en déterminant, à cet effet, d'une manière convenable les quantités a, p, 7, A, , B, qui fixent sa position. Pour cela, il faudra disposer de ces indétemiinées de façon que Téqualion (i3) de cette intersection soit identique à celle (i4) de la courbe donnée. Or, cette dernière équation ne renfermant point de terme relatif à la première puissance de y, il faudra d'abord faire disparaître le terme analogue de l'équation (i3); ce qui exige que p et B, soient simultanément nuls.

Cette équation devient ainsi

Conditions générales auxquelles le cône doit salisfaire. -7- Pour découvrir la position que le cône d'ouverture donnée doit prendre dans les hypothèses d'abord énoncées, il n'y a qu'à faire p = o et B, = o dans les équations de son axe, lesquelles deviendront ainsi

ce qui montre, tout d'abord, que cet axe se trouve situé dans le plan même des xz.

En développant ensuite l'équation de la section conique correspondante à la position particulière dont il s'agit, elle devient

Cî{'-+-Anr'+[C:(i-f-Aî)-An.r'

-2[C; (n-A;)« — A, (A.«-h7)]^ 4-C; (H-Ania'H-Y') — (A.a4-7)' = o.

Pour la ramener à la forme de l'équation (i4) de la courbe donnée, il restera à en faire disparaître le terme tout connu; ce qui entraîne la nouvelle équation de condition

C; (i 4- An (=t- H- 7') — { A. « ■+- V)-^ = o

ou bien , en développant,

72 li' CAIUER. - LEMMES

de laquelle on tire immédiatement

A.7±C.(i-«-Af)7v7^:^; C;(i+Aî)-AÎ

La quantité Ci, qui est un cosinus, étant nécessairement moindre que Tunité, le radical v^i — CJ sera, dans tous les cas, réel ; donc, en établissant la relation précédente entre a et 7, qui est aussi toujours réelle, la position du cône sera telle, que son intersection avec le plan des ^jaura pour équation

^î('+A:)^-+[cî(.-t-A:)-A;]x'

-2J[Cî(i + A;)— a;]«— A.7|^ = o,

ou, en y substituant la valeur ci-dessus de a,

cîin-Anr + lCfC-i-Aî)— a;]^'

2C1 (i -h AJ )7 ^1 — C' xz=o.

Cette équation ayant précisément la forme de Téquation (i4) de la courbe donnée, il reste simplement à démontrer qu'il est possible, en général, de déterminer les quantités 7 et A» de ^ manière que ces deux équations soient absolument identiques. Toutefois, on doit observer auparavant. que la courbe d'intersection passant, dans la supposition précédente, par l'origine mênne des coordonnées , puisque son équation est satisfaite en y faisant simultanément ^ = o et j = o, la position du cône devient telle alors, que l'une de ses génératrices, situées dans le plan des xz, passe nécessairement par cette origine des coordonnées ; le cône ayant ainsi l'une des situations indiquées dans la figure ci-après.

On peut encore observer que l'équation de condition

A.±C.(i-hA?)v/T-^ ^- Cî(i-hA;)-Ai ^'

entre a et 7, est l'équation même de la génératrice dont il s'agit, relative à rcs coordonnées, loulç*s deux considérées cçmme variables.

Positions diverses du cône qui satisfont à ces conditions,

— Revenons maintenant à notre objet principal.

Puisque les équations (i4) et (i5} doivent être identiques,

cela exige que les conditions

c;ti-+-Aî) ~a'' "^ cî(i-h-a;j a'

soient satisfaites.

La première donne pour A, la valeur

expression où le signe supérieur de 6' correspond au cas de l'ellipse et le signe inférieur à celui de Thyperbole. La seconde donne

et le radîiïal ^i' — CJ étant toujours réel, comme on Ta remarqué plus haut, 7 Test pareillement. De plus, le double signe dont il est affecté montre que le sommet du cône cherché peut être sur Tune ou l'autre des deux parallèles à Taxe des abscisses, placées à égales distances au-dessus et au-dessous de cet axe dans le plan éesxz; et, comme la quantité A, qui détermine Tinclinaison de Taxe central du cône, est de même affectée du double signe ±, tandis que p nul, en est indépendant, on en conclut encore que, à une même valeur de 7, correspondent deux valeurs de A, , ou deux positions de Taxe.

Donc le cône peut prendre les quatre positions distinctes indiquées dans la figure ci-après (*), où les deux cônes à sommets —7 et — 7', situés au-dessous du plan des xy% sont les symétriques de ceux 4-7 01+7' situés à la même distance

(*) Celle ligure est une projection sur le plan des .rc; le plan des xjest censé rabattu sur ce plan.

au-dessus; les axes A 7 et A' 7' des cônes supérieurs formant d'ailleurs avec Taxe des .r positifs, deux angles 7 A^ et 7'A'jr supplémentaires Tun de Tautre.

Fig. 43.

D'autre part, l'ordonnée 7 restant toujours réelle, Il ne s'agit plus que d'examiner si A, l'est constamment aussi.

Discussion spéciale relative à diverses hypothèses faites sur la forme de Véquation de la courbe.

Cas de Vellipse. — Dans cette hypothèse, l'on a

a représentant, je suppose, le demi grand axe de la courbe, et b son demi petit axe (*) : la fraction numérique -> étant moindre que l'unité, et par conséquent le radical étant essenliel- Jement réel.

Donc, dans ce cas, on peut toujours placer la courbe représentée par l'équation (i) ou (i4), sur le cône donné. Donc

(*) La raison, commo on Ta vu (14), en est que les deux axes d'une ellipse rencontrant à la fois la courbe en deux points, sa forme générale peut se représenter aussi bien par l'équalion 1P)'* -^-a\c^—'iba^x = o^ que par Téquation r/'i'-h b'^.r^— lab^x — o. [Note de 181 3.)

'ti

aussi, loutes les fois que cette équation appartiendra à une ellipse réelle, il sera permis de confondre le lieu qu'elle représente avec une véritable section conique.

Cas de la parabole, — Quand le terme ~ x^ manque dans

réquation (i4) entre les coordonnées x, y du lieu considéré, auquel cas cette équation représente une parabole, l'expression de A, devenant

a toujours une valeur réelle, et par conséquent Téquation (i) représente encore Tune des sections du cône circulaire donné.

Cas de l'hyperbole. — Supposons, en troisième lieu, que la courbe représentée par Téquation (i)ou (i4}, soit une hyperbole, alors on a