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bk '^ bk' "^ bk"'^ ~~ bp^ bp^'^FP'

on obtient ainsi le théorème de Maclaurin (*), soumis à la loi ordinaire des signes de position pour les divers segments. On voit donc que, quand la sécante br vient à varier autour du point 6, la somme des réciproques des segments 6/r, bk\ . . formés par les tangentes sur la transversale fixe bpp\ . ., reste constante quel que soit le degré de la courbe géométrique considérée,

La manière dont nous avons démontré ce théorème a cela de remarquable qu'elle n'oblige pas à recourir aux notions du calcul différentiel, comme Ta fait Maclaurin, et c'est là un des avantages que procure l'emploi de Tanal^^se des transversales.

Corollaires et généralisations, — Si d devient infini dans

(*) A Trcatise of Algebroy by Colin Maclaurin, Appcndix : De linearuni f^cometricanim pmprictatibus gênerait bus Tractatus; 1748. J*ai déjà dit dans une précédente note, que je devais à Tamitié de mon ancien professeur M. Français, de Metz, la connaissance dHà ce précieux ouvrage, qu'il voulut bien me prêter au printemps de 1816; j'ajoute que je m'empressai d'en faire, pour mon usage particulier, une translation exacte du latin en français, sans commentaires, interprétations ni mutilations quelconques, comme il convient quand il s'agit d'une production en elle-même aussi correcte el remarquable d'un grand géomètre : cette traduction littérale est demeurée, jusqu'à ce jour, entre mes mains, dans un état qui en permettrait la publication immédiate, si le goût des sérieuses études géométriques venait à se propager davantage.

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. lai

réqualion transformée (a), ce qui suppose ac {Jig, 77) parallèle à aby comme le montre la^^g^. 79, bcrr'... restant fixe, on obtient la nouvelle relation

{bk) = (bp);

c'est-à-dire que le produit des segments bk, bk',.,., est simplement égal à celui des segments bp, bp\

Or, chose bien digne de remarque, la même relation subsiste sans modification essentielle, même quand on vient à supposer que, à son tour, la droite acq. . . de la y?g-. 79 passe

entièrement à l'infini; ce qui conduit à divers antres corollaires relatifs aux branches infinies et aux asymptotes des courbes géométriques.

Si , par les points // et b de la ^g, 77, comme on le voit (fig. 80) où a et b sont censés réunis en un seul, d'après Thypothèse de la^^. 78 où ^ = o, on menait deux nouvelles sécantes arbitraires bq^(/\ . . . , br/^ . . . , qu'on traçât ensuite les cordes r,^,, '^i </n. . ., qui leur correspondent et déterminent sur la direction fixe quelconque de la transversale indéfinie/?^ XX'... de nouvelles intersections /•,, X^,, X-^,..., analogues à celles X-, X-*, X-*,..., on aura, d'après l'équation (a),

d'[[bp) - [bk;)\-^d[[bp)[bk,^bk\ + bk\)- (bk^)(bp-^bp'+bp'')] ^{bp)(bk^M,-^bk^M'',^bl/, ,bl/',)-bk^ (bpJ,p'^bp,bp''\-bp'.bp'^ = o.

Cette équation, soustraite de (a), après les avoir préparées toutes deux

d'une manière convenable, donne

"^ bk'^ bk'"^ bk" bk,''W['"Ui?,'''''

relation indépendante des segments bp, bp\ etc., et qui subsiste ainsi même quand le triangle transversal s*évanouit.

En particulier, si d devenait nul, c'est-à-dire si a se confondait avec b {fis- 80), on aurait

bk^bk'

quelle que fût d'ailleurs la direction de la transversale abk

Si les deux sécantes ar et aq venaient en outre à se confondre, ainsi que «r, et ^z^,, les droites /y/, r'q\ etc., r,<7, , /*', </,, etc., deviendraient

Fig. 80.

des tangentes à la courbe, et l'équation ci-dessus subsisterait toujours, conformément à la remarque déjà faite plus haut.

Enfm, si, dans les hypothèses générales de la figure primitive 77, à laquelle seraient jointes les nouvelles transversales aq^ et ar^ de la^T^. 80, on supi)Ose que le sommet b du triangle transversal abc se confonde avec c sans que le côté bc coïncide avec ac comme ci-dessus, les droites rq, r'q\.,, (fig. 81), sans devenir pour cela des tangentes de la courbe, jouiront toujours de la propriété exprimée par la relation

Trk^ik''^'''=^^ijp-^ïp'^'^

de <iuelque manière d'ailleurs que Ion joigne deux à doux les points d'in-

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. laJ

tersection /*, r',. . . 7, 7', . .. , des transversales «f^, tuf^ n//, avec la courbe

FIg. 81.

proposée, à la condition do no pas faire d(^ double emploi ou de faussecombinaison des diagonales; telles sont, par exemple, r<i\ r'q% etc.

Application des nouvelles relations aux problèmes déjà résolus par la précédente méthode, pour Posculation des courbes par les coniques,

et Problèhe. — Uno courbe d'ordre quelconque étant décrite » sur un plan, déterminer pour un de ses points donné la » position de la parabole ou, plus généralement, de la conique *) osculatrice du 3* ordre en ce point. »

Lemme général. — Soit /?// (fig. 82) une conique quelconque touchant la courbe donnée aux points /?' et p"', traçons lacorde de contact p'p'\ elle coupera de nouveau la courbe aux ' points /?,.... Soit cr une autre transversale quelconque, rencontrant la même courbe aux points /•, *', r", et la conique en a et b; qu'on trace de plus les tangentes aux points /?,/>',..., etc., elles viendront couper la transversale crr' aux points Ar, k^y k^y etc. Les tangentes p'k' et p'^k" sont évidemment communes aux deux courbes; or, d'après le théorème ci-dessus de Maciaurin, on a à la fois

ck'

ck"

cl('

124 !!• CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSAl^S

de là on lire réquation de condition suivante

er cr cr Fig. 82.

pour exprimer que les deux courbes se touchent aux points p' et p" à la fois.

Cette dernière équation étant indépendante des segments ck' et c7r", elle aura lieu quelles qu'en soient les valeurs parti-

Fig. 83.

cuHèrcs. Par exemple, si Ton conçoit que la transversale cp tourne autour du point c, jusqu*à devenir tangente à la courbe proposée, auquel cas les deux points de contact p' et /i" se

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i25

confondront en un seul P {fig. 83), celle équaiion exprimera aussi que la seclion conique a, avec la courbe géométrique, quatre points confondus en un seul en P, et qu'elle lui est par conséquent osculatrice du 3* ordre en ce même point ; elle pourra donc servir à déterminer par le calcul la position de cette seclion conique.

Solutions par le calcul. — Le point P étant donné ainsi que la transversale crr'y il ne restera d'inconnues dans l'équation ci-dessus que les quantités ca et ch. L'une d'elles sera évidemment arbitraire; mais quand une fois on l'aura choisie, l'autre sera donnée par l'équation môme; donc on peut mener une infinité de sections coniques osculatrices du 3* ordre en un point donné d'une courbe géométrique. Du reste, il n'est pas difficile de voir qu'en se donnant un seul point a arbitrairement, la courbe entière est parfaitement déterminée et peut se construire par points.

En effet, qu'on trace à volonté [fig. 84) une autre transver-

Fip. 84.

sale rxr\ r",, qui coupe cb en d et Pp en c', on aura, en considérant le triangle cd& comme transversal de la section conique,

cP .dd .db' .da.dh^=-c'V ,da' .db' .ca,cb.

laC IP CAHIER. - BIÉTIIODE DES TRANSVERSALES

Mais on a, comme ci-dessus,

c'a c h' en cr^ (yh%

€es deux équations, avec l'analogue de celle-ci déjà obtenue, suffiront pour calculer les valeurs de da' et db\ puisque, par hypothèse, ca est donnée, et que da'=c'a!+c^dy db'=c'b'-\-c'd.

Quoique ces calculs soient très-simples à exécuter, puisque l'un et l'autre des segments & a^ et c'V seraient fournis par les racines d'une équation unique (*) du :»• degré, cependant îl vaut mieux déterminer l'osculatrice par des conditions particulières tirées des équations générales ci-dessus; ce qui offrira en même temps l'avantage de faire connaître d'une manière plus intime, la dépendance mutuelle des dctux <;ourbes.

Occupons-nous d'abord des osculations du second ordre.

Problème. — Troiwery pour un point donné d'une courbe géométrique, la direction du diamètre de la conique osculatrice du a" ordre en ce point.

Lemme général. — Supposez que, dans les conditions des Jig. 82 et 83, on fasse tourner la transversale cb autour du point c devenu C {Jig. 85), comme pôle fixe, et qu'on prenne sans cesse sur celte droite une longueur Co moyenne harmonique entre Ca et Cft, c'osl-à-dire telle que